2014年高考-关于介绍自己的作文

第１１卷第２期
２００９丘６）１
闽西职业技术学院学报
Ｊｏｕｒｎａ ｌ
ｏｆＭｉｎｘｉ
ＶｏｃａｔｉｏｎａｌａｎｄＴｅｃｈｎｉｃａｌ
Ｃｏｌｌｅｇｅ< br>Ｖ０１．１１Ｎｏ．２
Ｊｕｎｅ
２００９
无穷积分敛散性的一个判别法
郑建南１，李志伟２
（１．福建电力职业技术学院，福建泉州３６２０００；２．泉州师范学院，福建泉 州３６２０００）
摘要：研究了无穷积分敛散性的判别法问题，指出了《无穷积分敛散性的—个新的判别 法）一文中所给出的判别
法的极限性和不足之处，在此基础上推广出新的判别方法，以弥补原判别法的不 足。
关键词：无穷积分；敛散性；Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则
中图分类号：０１７３文献标识码 ：Ａ
文章编号：１６７３．４８２３（２００９）０２．－－０１０４－０２
１问题的提出定理２Ⅱ１若以石）在【１，＋∞）上连续，对任意菇Ｅ
无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题 。
是求解无穷积分近似值的—个先决条件。由于判别
方法比较多，学生不易掌握，是高等数学教 学中的一
个难点，也一直是教学中一个重要的研究课题。在研
究生考试中，无穷积分敛散性判别 的考题经常出现，
因此研究无穷积分敛散性的判别的方法在教学中就
有指导和现实意义。关于无 穷积分的敛散性的相关
研究可参见文［１—６】。
华东师大１９８５年研究生入学考试中有一题 【１】：
设火石）在【１，＋∞）上连续，对任意茗Ｅ【ｌ，＋∞）有以菇）＞０，
’ｆｗ儿＾ ，
【１’＋∞）有八石）＞０，Ｂ—ｌｉｍ。ｆ（茗）＝０．又是箦导＝以，
ｆ～∞
则 当Ａ为定理１的各种情况，都有相同的结论成立。
注意到在定理ｌ中的条件（３）下，判别法失效，因此在应用上有一定的极限性。另一方面，定理２其
实不是定理ｌ的推广。而仅仅只是定理ｌ的一个 特
例。事实上由Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则和定理２的条件知
Ｈ—
ｌｉｍ牲：ｌｉｍ≤ 掣：－Ａ，即定理２的条件蕴涵了
Ｉｎｘ
ｒ岬九龙Ｊ
定理１的条件成立．故定理２仅是 定理１在ｌｉｍｆ（ｘ）
＝０时的—个特例。
２主要结果
又ｌｉｍ马婴：－Ａ，试证： 若Ａ＞ｌ，则ｆ＿＋■茗）出收敛。
＾∞ｌ】肼
Ｊ
１。
文【１】将上述试题改 进为如下定理：
定理１ｔ１１若以石）在【１，＋∞）上连续，对任意石Ｅ
结合上述原因，本文 考虑了定理１的推广问题，
得到了如下的定理：
定理３若函数八石）在【１，＋∞）上连续，对 任意
【ｌ，＋∞）有人茗）＞ｏ，又ｌｉｍ酱＆立：－Ａ，有
（１）若Ａ＞Ｉ（包括Ａ为＋∞） ，则Ｊ．．ｆ（ｘ）ｄｘ收敛；
（２）若Ａ＜Ｉ，则Ｉ．火算）也发散；
（３）若Ａ＝Ｉ，则ｌ 。以戈）出可能收敛也可能发散。
进而又将定理ｌ推广为：
【收稿日期］２００８—１２－２０
【基金项目】福建省教育厅科研基金资助项目（ＪＡ０８２１６）。
茗∈【ｌ，＋∞）有以菇） ＞ｏ，又璺静＝＿Ａ，有
（２）若Ａ＜Ｉ，则１．以菇）出发散；
（１）若Ａ＞１（包括Ａ为＋ ∞），则Ｊ．以髫）出收敛；
（３）若Ａ＝Ｉ，则Ｊ。火石）出可能收敛也可能发散。
【作者简 介】郑建南（１９６８－）。女，福建泉州人，高级教师。从事高等数学的教学与研究。
１０４
万方数据

ｌＩＩ（ｋ）一‰以算）】＜ｈｉ（Ｉｎｘ）－１＇，故赤妖算）＜
ｊ Ｘ＞Ｉ，当石＞ｘ．时一Ａ—ｓ＜』芝【＝掣＜一Ａ＋８，ｅＰ
证因为ｌｉｍ掣鼙必：－Ａ，所以对ｖ８ ＞ｏ，
ＩｎＩｎｘ
刁面Ｉ万万，利用比较判别淝
当Ａ＞Ｉ时，取ｓ＜Ａ一１，即Ａ－ｅ ＞ｌ，由，（菇）＜
丽面１矛万，知Ｊ。以菇）如收敛；
当删时，取ｅ＜ｌ－Ａ，即Ａ＋ｅ＜ｌ ，由赤
，¨
妖茗），知ｌ。以茗）出发散；
当Ａ＿１时，躲无穷积分Ｊ：而南（Ｐ＞０ ），
椭静：兰蕊塾』铲一
易知吗。当ｐ＞ｌ时收敛，当ｐ≤１时发散，但对Ｖｐ＞Ｏ
１ 一旦！望！里！些．
ｍ
注意到ｌｉｍ越｝粤！生：ｌｉｍ型连半坚：
Ｉｎｘ
ｒ ・－
ｌｎ
ｌｎ石ｌ＿＋∞ｌ／ｘｌｎｘ
ｆ呻蕾Ｉｎ
ｌｉｒａ士＝ｏ
ｌ ｎｘ
所以ｌｉｍ粤噬幽一ｌ，即当Ａ＝Ｉ时，无穷积分
ｒ＿∞ｌｎｌｎｘ
可能收敛，也 可能发散。
同理可证：当为Ａ：＋∞时，即ｌｉｍ粤蚴一∞
ｒ．．∞ｌｎｌｎｘ
时，无 穷积分』■石）出必收敛。定理３证毕。
定理３为我们提供了—个判别无穷积分收敛的
新方法， 利用Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则我们可以得到如下的
推论。
推论１若八互）在【ｌ，＋∞）上连 续，对任意石∈
【１，＋∞）有八石）＞ｏ，，ｌｉｍ＋。ｆ（茗）＝０
ｒ＿．＋蕾ｒ●＋∞< br>Ｘ—ｌｉｒａ。ｋ１１＋搿ｌ
，Ｉ石Ｊ
＝以，则当Ａ为定理３的各种情况，都有相同的结 论
‘
成立。
证由Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则和已知条件知
璺锉也壶掣掣：ｌ－叶∞
ｌｎｌｎ茁ｒ呻＋∞
ＪＪ
万方数据
璺㈣ｎｘ＋搿】－－Ａ。故推论１的结论成立。
３应用举例
作为定理３和推论１的应用。我们将以下面的
两 个例子说明，应用定理１或定理２无法判断出其
敛散性，而应用定理３可以判别，从而说明定理３的确是定理１的推广。
例１判别无穷积分Ｊ。扣（ｐ＞ｏ）的敛散性。
解这里以茗）＝—０－ 在【１，＋∞）上连续，对任意
ｘｌｎｅｘ
艟【１＇伸）有删＞ｏ。Ｘ土ｍＩｎｘ｛１＋搿ｌ－
１ｉｍｌ肼ｆｌ一——上雩址）：呻，由推论１知，当ｐ＞
．．．ｘ（１Ｗｘ＋ｐｌｒｉ＇ｑｘ ）．
ｘｌｎ’ｘ
１时，原无穷积分收敛；当ｐ＜ｌ时，原无穷积分发散；
当ｐ＝ｌ时， 原无穷积分可能收敛，也可能发散。
另一方面，如果应用定理２，有：
，岘搿＝，觋—攀竿一＝
．．．ｘａ（１ｒｅｘ＋ｐｌｎｅ－ｔｘ）．
菇ｌＩ觑
一ｌｉｒａ。一ｌ＋击＝一ｌ< br>我们无法判断其敛散性。
．
１
，＋－８１ｎ——
例２判别无穷积分Ｊ。 弋手ｄｘ的敛散性。
解这里以石）＝毒在【１，＋∞）上连续，对任意
．
Ｓｌｎ——< br>１
ｌｎ＇ｘ
茹∈【１，＋∞）有火石）＞Ｏ，又
Ｉｎ
，ｌｉｒａ
ｘ＇（ｘ）＝ｌｉｍ［１ｎ（…ｘｓ～ｉｎｌ）一．．２】＝＝—－２
由定理３知，原无穷积分收敛。
同样地，若运用定理２，有：
ｘ八ｆ＇茹（ｘ，）＝ｌｉｍ。一ｘ（－击２
ｌｎ２一ｌｉｍ
ｘｃ。ｓｌ＋２１ｎｘｓｉｎｌｘ
ｘ
ｘ）／
１ｉ矿”。ｌｎｘ< br>！ｍ言：ｌｉｍ
ｉＬ一掣墨竺墅｝一１。
ｓｉｎｘ一１
我们无法判断其敛散性。
（下转第１１２页）

Ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙ
ｒｅｐｏｒｔ
ｏ ｎ
ｔｈｅ
ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ
ｏｆｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ
ｐｏｔａｔｏｖａｒｉｅｔｉｅｓ
ＺＨＡＮＧ
Ｒｏｎｇ－ｚｏｎ９１，ＺＨＥＮＧ
Ｈａｉ－ｈｕ ｉ２，ＨＵＡＮＧ
Ｘｉｎ－ｈｕａ２
（１．Ｚｉｓｈａｎ
Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ< br>Ｓｅｒｖｉｃｅ
Ｃｅｎｔｅｒ，Ｈｕｉ’ａｎ，Ｆｕｊｉａｎ，３６２１０２，Ｃｈｉｎａ；Ｓｔａｔｉｏｎ，Ｆｕｊｉａｎ，３６２１００，Ｃｈｉｎａ）
ｔｈｅ
ｃｏｍｐａｒｉｓｏ ｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ．Ｔｈｅ
ｒｅｓｕｌｔ
ｙｉｅｌｄ
ａｎｄ
ｐｌａｎｔ ｉｎｇ
ｇｏｏｄ
ｃａｎ
２．Ｈｕｉ’ａｎ
Ａｇｒｏ－Ｔｅｅｈｎｏｌｏｇｙ< br>Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｉｖｅ
ｐｏｔａｔｏ
ｖａｒｉｅｔｉ ｅｓ
ｓｈｏｗｅｄ
ｅｆｆｅｃｔｓ
ｃｏｕｎｔｙ．
ｔｈａｔ
Ｚｈｏｎ ｇｓｈｕ
ｏｆ
ｙｉｅｌｄ
Ｎｏ．３
ｗｉｌｌ
ｈａｄ
ｂｅｈｉｓｈ
ｗｅｒｅ
ｒａｔｅ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｏ
ｏｆ
ｂｉｇｔｕｂｅｒｓ，ｈｉｇｈｍａｒｋｅｔａｂｉｌｉｔｙ．Ｔｈｅ
ｂｅ
ｓｐｒｅａｄ
ｉｎｔｈｅｉｎｃｒｅａｓｅ
ｐｒｏｍｉｎｅｎｔ
ａｎｄ
ｔｈｅｄｅｍｏｎｓｔｒａ ｔｉｏｎ
Ｋｅｙ
ｗｏｒｄｓ：ｐｏｔａｔｏ；ｎｅｗ
ｖａｒｉｅｔｙ；ｉｎｔｒｏｄｕ ｃｔｉｏｎ
ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ
－●－—＿．————－—＋——＋—・＋－—卜—＋—一 ．—・—卜——＋—－－卜——卜呻－－．一・＋・一．—・■—－—．＿・—卜——卜——＋——●——－．— —＿．—・＿．叶斗・■一，一．・・■一－＋・＋－一．——＿．——＿．—・■—・—卜——＋——●—－— 卜啃—卜噜＿．——卜噜一．－－・●－・
（上接第１０５页）
４
结语
【２】 张孔生，葛莉．关于一类无穷积分收敛性的一点注记田．阜
阳师范学院学报：自然科学版，２００３，２ １（４）：５４－５５．
【３】艾红．非负函数无穷积分的敛散性叨．辽宁师专学报：自然
科学 版。２００３，５（２）：６５．
本文改进及推广了文【１】的结果，提供了一种无
穷积分敛散 性更精确的判别方法：充实了一些经典
教科书，以及前期对该问题的研究的文献所提供的
各种判 别法。通过文中所举的例子可看出。对于一些
传统的判别方法无法判断其敛散性无穷积分。在新
的判别式中得以迎刃而解．
参考文献：
【４瑚洪池，韦宁．２个无穷积分收敛性等价的证明田． 高师理
科学刊，２００７，２７（６）：２１—２２．
【５】马燕．一类无穷积分收敛性的判定 定理及其应用叨．山东
师范大学学报：自然科学版，２００６，２１（２）：１２９．
【６】裴 东林．关于正值函数无穷积分收敛性判别法的讨论田．
甘肃教育学院学报：自然科学版，２００２，（１ ６）２：１６１９．
【７浏玉琏，傅沛仁．数学分析讲义：下册嗍．３版．北京：高等
教育出版 社，２００１：１
１—２２．
责任编辑：潘伟彬
【ｌ】温朝晖，李天胜，朱存斌．无穷 积分敛散性的—个新的判别
法叨．大学数学，２００５，２１（２）：１１１—１１２．
Ａｃｒ ｉｔｅｒｉｏｎ
Ｏｉｌ
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
ａｎｄ
ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ
ｏｆ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ
ｆｏｒ
ｉｎｆｉｎｉｔｙ
ＺＨＥＮＧ< br>Ｊｉａｎ—ｎａｎｌ，ＬＩ
Ｚｈｉ－ｗｅｉ２
（１．Ｆｕｊｉａｎ
Ｅｌｅｃｔｒ ｉｃａｌ
Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ
ａｎｄ
Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ
ＮｏｒｍａｌＣｏｌｌｅｇｅ，Ｑｕａｎｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ，３６２０００，Ｃｈｉｎａ；
２．Ｑｕａｎｚ ｈｏｕ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ
ｐｒｏｂｌｅｍ
ｔｈｅ
ｓｈｏｒｔｃｏｍｉ ｎｇ
ｏｆｔｈｅａｒｔｉｃｌｅ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｊｉａｎ，３６２０００，Ｃｈｉ ｎａ）
ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ
ｏｆ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ
ｆｏｒ
ｏ ｆ
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
ａｎｄ
“Ａ
ｎｅｗ
ｉｎｆｉｎｉｔｙｉｓ
ｓｔｕｄｉｅｄ，
ｍｅｔｈｏｄ
ａ
ｏｆ
ｊｕｄｇｉｎｇｔｈｅ
ｃｒｉｔｅｒｉｏｎｉｓ
ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ
ａｎｄ・ｄｉｖｅｒｇｅ ｎｃｅ
ｏｆ
ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ
ｆｏｒ
ｉｎｆｉｎｉｔｙ”ｉｓ
ｐｏｉｎｔｅｄ
ｏｕｔ，ａｎｄ
ｎｅｗ
ｐｕｔ
ｆｏｒｗａｒｄ．
Ｋｅ ｙ
ｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ
ｆｏｒ
ｉｎｆｉｎｉｔｙ；ｃｏｎｖｅｒｇｅ ｎｃｅ
ａｎｄ
ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ；Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ
Ｒｕｌｅ
１１２
万方数据

无穷积分敛散性的一个判别法
作者：
作者单位：刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：
郑建南， 李志伟， ZHENG Jian-nan， LI Zhi-wei
郑建南,ZHENG Jian- nan(福建电力职业技术学院,福建,泉州,362000)， 李志伟,LI Zhi-
wei(泉 州师范学院,福建,泉州,362000)
闽西职业技术学院学报
JOURNAL OF MINXI VOCATIONAL AND TECHNICAL COLLEGE
2009，11(2)
0次

参考文献(7条)

1.温朝晖.李天胜.朱存斌

无穷积分敛散性的- 个新的判别法[期刊论文]
-
大学数学 2005(02)
2.张孔生.葛莉

关于一类无穷积分收敛性的一点注记[期刊论文]
-
阜阳师范学院学报(自然科学版) 2003(04)
3.艾红

非负函数无穷积分的敛散性[期刊论文]
-
辽宁师专学报(自然科学版) 2003(02)
4.胡洪池.韦宁

2个无穷积分收敛性等价的证明[期刊论文]
-
高师理科学刊 2007(06)
5.马燕

一类无穷积分收敛性的判定定理及其应用[期刊论文]< br>-
山东师范大学学报（自然科学版） 2006(02)
6.裴东林

关于正值函数无穷积分收敛性判别法的讨论[期刊论文]
-
甘肃教育学院学报(自然科学版) 2002(16)
7.刘玉琏.傅沛仁

数学分析讲义 2001

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温朝晖.李天胜.朱存斌

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