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经典小学奥数题目
1.一张圆形纸片的半径是3厘米，一张正方形纸片上的边长是4厘 米。两张纸片
重叠一部分放在左面上，覆盖桌面的面积为38平方厘米。问：两张纸片重合部
分 的面积是多少？
3*3*3.14+4*4-38=4.26平方厘米
3.某班参加体育 活动的学生有25人，参加音乐活动的有26人，参加美术活动的
有24人，同时参加体、音活动的有1 6人，同时参加音、美活动的有15人同时
参加体、美活动的有14人，三个组同时都参加的有5人。这 个班共有多少名学
生参加活动？
25+26+24-16-14-15+5=35人

4.某校六年级举行语文和数学竞赛，参加人数占全年级总人数的百分之40.参加
语文竞赛的占竞赛人数的五分之二，参加数学竞赛的占竞赛人数的四分之三，两
项都参加的有12人。这 个学校六年级共有多少人？
40%*25*X+40%*34*X-40%X=12 X=200

5.某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，
这个班三项都会的至少有几人？
48+37+39-52*2=20人

6.分母是385的最简真分数共有多少个？这些真分数的和是多少？
385的最简真分数的个数240个，真分数的和是120
牛吃草问题
例1：
一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9
周，那么这片 草地可供21头牛吃几周？
这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来 的草
的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然
在变，但应 注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。
假设1头牛一周吃的草的数量为 1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），
此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周 需吃23×9=207（份），此时新草
与原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新 长出的草的数量
的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新
长出的草的份数为：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：
162 -15×6=72（份）。这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新
长出来的草，于是这 片草地可供21 头牛吃72÷（21-15）＝12（周）
例2：
由于天气逐渐冷起来， 牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某
块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头 牛吃6天。照此计算，可供多少
头牛吃10天？
与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且 原有的草还在减少，但是，我们同
样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。
设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，
100-90 =10（份），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导
1 12

致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，
再加上寒 冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草，所以原有草两有
（20+10）×5=150（份 ），由150÷10=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃
10天。由寒冷导致的原因占去10头牛 吃的草，所以可供5头牛吃10天。
例3：
自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急 的孩子要从扶梯上楼。已知男孩
每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达 楼上，
女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？
与前两个题比较，“总的草量 ”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台阶”，“牛”
变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问 题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶
梯的速度 。男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），
女孩比男孩少走了 100—90=10（级），多用了6—5=1（分钟），说明电梯1
分钟走10级。因男孩5分钟到达 楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速
度之和。所以，扶梯共有（20+10）×5=150（级 ）
例题4：
一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如
果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在
要想2小时舀 完，需要多少人？
已漏进的水，加上3小时漏进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是36人
用1小时才能舀完。已漏进的水，加上10小时漏进的水，每小时需要（5×10）
人舀完，也 就是50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内漏
进的水及船中已漏进的水。
1小时漏进的水，2个人用1小时能舀完：
（5×10—12×3）÷（10—3）=2
已漏进的水：（12—2）×3=30
已漏进的水加上2小时漏进的水，需34人1小时完成：
30+2×2=34
用2小时来舀完这些水需要17人：34÷2=17（人）
例题5：
有三块草地， 面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样
快。第一块草荐地可供11头牛吃10 天，第二块草地可供12头牛吃14天。问
第三块草地可供19头牛吃多少天？
前几天我们接 触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草
地。为了解决这个问题，只需将三块草 地的面积统一起来。即
[5，6，8]=120
这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天 ，120÷5=24，变为120公顷草地可供
11×24=264（头）牛吃10天
第二块 6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供
12×20=240（头） 牛吃14天。
120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：
一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供
285头牛齿及天？即
2 12

每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）
草地原有草：（264—180）×10=840（份）
可供285头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天）
答：第三块草地可供19头牛吃8天。
工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注 满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独
开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开 甲乙两水管，5小时后，再打
开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队需 要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队
合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低， 甲队的工作效率是原来
的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，
且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120 ，乙的工效为130，甲乙的合作工效为
120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工效 >甲的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做， 16天内
实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能
少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请
甲、 丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多
少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作
量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作
量。
根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做
6小时、丙做 2小时一共的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。

3 12

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做 ，第四天乙做，这样交替
轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，
第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做
这项工程需17 天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙 表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否
则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天

5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当
师傅完成了任务时， 徒弟完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12， 两次一共全部完工，那
么徒弟第二次后共完成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚< br>好是120个。

6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给 女生栽，平均
每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水 管，乙管为出水管，20分钟可将满池水
放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开 甲管，当水池水
刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟
的水，也就是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去
做， 要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如
期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：
4 12

由“若乙队去做，要超 过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单
独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6

9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡 烛要1小时，
一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两
支 蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2
解得x＝40


二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的
脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从
400只变 为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相
差数就会少4+2＝6只（也就是 原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为
396-2＝394，相差数少了400-394 ＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数




三．数字数位问题
1．把1至2005这20 05个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,
这个多位数除以9余 数是多少?
解：
5 12

首先研究能被9整除的数的特点 ：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那
么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除 ，那么得的余数就
是这个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29 ……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上
的数字之和就是10+20+30+ ……+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和
可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少22
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
22的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确
值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈ 102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整
数，可能是102，也有可能 是103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个
三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位 数,则新的三位数比原三位
数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。

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5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数 的7倍多24,求原
来的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。

6．把一个两位数的个位数字与十 位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和
恰好是某自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无 法加横线，请将整
个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142

8．有一个四 位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,
如果个位数字与百位数字互换, 千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
7 12

9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果 用这个两位数
除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以

10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过2 8799...99(一共有20个9)分钟
之后的时间将是几点几分?
答案是10：20
解：
（28799……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整数天，时间仍 然还
是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20

四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2× 1＝120种不同的排
法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均 有2种排法，
总共又2×2×2×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59





五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么, 同时含钙和铁的食
品种类的最大值和最小值分别是( )
8 12

A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是
解出第三题的人 数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的
人数多1人;(4)只解出一道题的 学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二
题的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，
只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答
1、2、3题 。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a 123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，
检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第1 、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数
的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三 道或三道以上为合格，那么这
次考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％
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六．抽屉原理、奇偶性问题
1 ．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，
问最少要摸出几只手套才能 保证有3副同色的？
解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副
同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手
套。这时拿出1副 同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要
再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色 的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，
只要再摸出2只手套 ，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同
色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若干 ，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证
有3人能取得完全一样？
答案为21
解：
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3．某盒子内装50只球， 其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只
是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的 球中至少包含有7只同色的球，问：
最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6*5+1+1＝32
4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时
各取出1个，然 后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石
子的个数都相同?（如果能请说明具体操 作，不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
564＝14
14是一个偶数
10 12

而原来 1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若
干次奇数后，结果一定还是 奇数，不可能得到偶数（14个）。

七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑 3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，
马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑
5*4x ＝20米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑 出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份
数是21-20＝1，现在求马的21 份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630
米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，
甲车行完 全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。 < br>由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，
乙行了8份 （总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处
相遇，说明两车的路程差是（40+ 40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×
（10+8）＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，
两人每隔12 分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，
哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔 4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分
钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车 汽笛声后，在经过57秒火车经过她
前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒 传340米，求火车
的速度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理解：人在听到声音后57 秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的
地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是136 0米一共用了4+57＝61秒。

11 12

7．猎犬发现 在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬
的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑 9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步
的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子 要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。
由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同 一时间，猎犬跑2a米，兔子可
跑59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a ＝6：5，也就是
说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别
同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达
A地比甲到达B地要晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解

12 12

经典小学奥数题目
1.一张圆形纸片的半径是3厘米，一张正方形纸片上的边 长是4厘米。两张纸片
重叠一部分放在左面上，覆盖桌面的面积为38平方厘米。问：两张纸片重合部< br>分的面积是多少？
3*3*3.14+4*4-38=4.26平方厘米
3.某班 参加体育活动的学生有25人，参加音乐活动的有26人，参加美术活动的
有24人，同时参加体、音活 动的有16人，同时参加音、美活动的有15人同时
参加体、美活动的有14人，三个组同时都参加的有 5人。这个班共有多少名学
生参加活动？
25+26+24-16-14-15+5=35人

4.某校六年级举行语文和数学竞赛，参加人数占全年级总人数的百分之40.参加
语文竞赛的占竞赛人数的五分之二，参加数学竞赛的占竞赛人数的四分之三，两
项都参加的有12人。这 个学校六年级共有多少人？
40%*25*X+40%*34*X-40%X=12 X=200

5.某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，
这个班三项都会的至少有几人？
48+37+39-52*2=20人

6.分母是385的最简真分数共有多少个？这些真分数的和是多少？
385的最简真分数的个数240个，真分数的和是120
牛吃草问题
例1：
一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9
周，那么这片 草地可供21头牛吃几周？
这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来 的草
的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然
在变，但应 注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。
假设1头牛一周吃的草的数量为 1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），
此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周 需吃23×9=207（份），此时新草
与原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新 长出的草的数量
的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新
长出的草的份数为：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：
162 -15×6=72（份）。这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新
长出来的草，于是这 片草地可供21 头牛吃72÷（21-15）＝12（周）
例2：
由于天气逐渐冷起来， 牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某
块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头 牛吃6天。照此计算，可供多少
头牛吃10天？
与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且 原有的草还在减少，但是，我们同
样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。
设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，
100-90 =10（份），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导
1 12

致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，
再加上寒 冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草，所以原有草两有
（20+10）×5=150（份 ），由150÷10=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃
10天。由寒冷导致的原因占去10头牛 吃的草，所以可供5头牛吃10天。
例3：
自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急 的孩子要从扶梯上楼。已知男孩
每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达 楼上，
女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？
与前两个题比较，“总的草量 ”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台阶”，“牛”
变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问 题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶
梯的速度 。男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），
女孩比男孩少走了 100—90=10（级），多用了6—5=1（分钟），说明电梯1
分钟走10级。因男孩5分钟到达 楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速
度之和。所以，扶梯共有（20+10）×5=150（级 ）
例题4：
一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如
果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在
要想2小时舀 完，需要多少人？
已漏进的水，加上3小时漏进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是36人
用1小时才能舀完。已漏进的水，加上10小时漏进的水，每小时需要（5×10）
人舀完，也 就是50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内漏
进的水及船中已漏进的水。
1小时漏进的水，2个人用1小时能舀完：
（5×10—12×3）÷（10—3）=2
已漏进的水：（12—2）×3=30
已漏进的水加上2小时漏进的水，需34人1小时完成：
30+2×2=34
用2小时来舀完这些水需要17人：34÷2=17（人）
例题5：
有三块草地， 面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样
快。第一块草荐地可供11头牛吃10 天，第二块草地可供12头牛吃14天。问
第三块草地可供19头牛吃多少天？
前几天我们接 触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草
地。为了解决这个问题，只需将三块草 地的面积统一起来。即
[5，6，8]=120
这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天 ，120÷5=24，变为120公顷草地可供
11×24=264（头）牛吃10天
第二块 6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供
12×20=240（头） 牛吃14天。
120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？
因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：
一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供
285头牛齿及天？即
2 12

每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）
草地原有草：（264—180）×10=840（份）
可供285头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天）
答：第三块草地可供19头牛吃8天。
工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注 满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独
开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开 甲乙两水管，5小时后，再打
开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队需 要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队
合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低， 甲队的工作效率是原来
的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，
且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120 ，乙的工效为130，甲乙的合作工效为
120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工效 >甲的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做， 16天内
实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能
少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请
甲、 丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多
少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作
量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作
量。
根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做
6小时、丙做 2小时一共的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。

3 12

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做 ，第四天乙做，这样交替
轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，
第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做
这项工程需17 天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙 表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否
则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天

5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当
师傅完成了任务时， 徒弟完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12， 两次一共全部完工，那
么徒弟第二次后共完成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚< br>好是120个。

6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给 女生栽，平均
每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水 管，乙管为出水管，20分钟可将满池水
放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开 甲管，当水池水
刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟
的水，也就是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去
做， 要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如
期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：
4 12

由“若乙队去做，要超 过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单
独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6

9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡 烛要1小时，
一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两
支 蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2
解得x＝40


二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的
脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从
400只变 为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相
差数就会少4+2＝6只（也就是 原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为
396-2＝394，相差数少了400-394 ＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数




三．数字数位问题
1．把1至2005这20 05个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,
这个多位数除以9余 数是多少?
解：
5 12

首先研究能被9整除的数的特点 ：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那
么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除 ，那么得的余数就
是这个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29 ……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上
的数字之和就是10+20+30+ ……+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和
可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少22
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
22的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确
值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈ 102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整
数，可能是102，也有可能 是103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个
三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位 数,则新的三位数比原三位
数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。

6 12

5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数 的7倍多24,求原
来的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。

6．把一个两位数的个位数字与十 位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和
恰好是某自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无 法加横线，请将整
个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142

8．有一个四 位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,
如果个位数字与百位数字互换, 千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
7 12

9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果 用这个两位数
除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以

10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过2 8799...99(一共有20个9)分钟
之后的时间将是几点几分?
答案是10：20
解：
（28799……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整数天，时间仍 然还
是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20

四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2× 1＝120种不同的排
法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均 有2种排法，
总共又2×2×2×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59





五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么, 同时含钙和铁的食
品种类的最大值和最小值分别是( )
8 12

A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是
解出第三题的人 数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的
人数多1人;(4)只解出一道题的 学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二
题的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，
只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答
1、2、3题 。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a 123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，
检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第1 、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数
的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三 道或三道以上为合格，那么这
次考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％
9 12

六．抽屉原理、奇偶性问题
1 ．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，
问最少要摸出几只手套才能 保证有3副同色的？
解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副
同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手
套。这时拿出1副 同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要
再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色 的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，
只要再摸出2只手套 ，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同
色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若干 ，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证
有3人能取得完全一样？
答案为21
解：
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3．某盒子内装50只球， 其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只
是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的 球中至少包含有7只同色的球，问：
最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6*5+1+1＝32
4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时
各取出1个，然 后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石
子的个数都相同?（如果能请说明具体操 作，不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
564＝14
14是一个偶数
10 12

而原来 1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若
干次奇数后，结果一定还是 奇数，不可能得到偶数（14个）。

七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑 3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，
马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑
5*4x ＝20米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑 出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份
数是21-20＝1，现在求马的21 份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630
米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，
甲车行完 全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。 < br>由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，
乙行了8份 （总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处
相遇，说明两车的路程差是（40+ 40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×
（10+8）＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，
两人每隔12 分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，
哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔 4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分
钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车 汽笛声后，在经过57秒火车经过她
前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒 传340米，求火车
的速度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理解：人在听到声音后57 秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的
地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是136 0米一共用了4+57＝61秒。

11 12

7．猎犬发现 在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬
的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑 9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步
的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子 要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。
由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同 一时间，猎犬跑2a米，兔子可
跑59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a ＝6：5，也就是
说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别
同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达
A地比甲到达B地要晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解

12 12