AA
F
I
B
H
G
D
E
F< br>I
C
B
H
G
D
E
C
【解析】 连接
BG
，
S
△AGC
据燕

6
份

，根尾定理，
S
△AGC
:S
△BGC
AF: FB3:26:4
S
△ABG
:S
△AGC
BD:DC3: 29:6

得
S
△BGC
4
(份)，
S
△ABG
9
(份)，则
S
△ABC
19
(份)，因此
S
△AGC
S
△ABC

6
,
19同理连接
AI
、
CH
得
S
△ABH
S
△ABC

S
6
S
△BIC
6196661
,

,所以
△GHI

19S
△ABC
19S< br>△ABC
1919

三角形
GHI
的面积是1，所以三角形
ABC
的面积是19

【巩固】如图，
ABC
中
BD2DA
，
CE 2EB
，
AF2FC
，那么
ABC
的面积是阴
影三角 形面积的 倍．
A
D
G
F
H
B
E
I
C
H
I
C
B
E
D
G
F
A
【分析】
如图，连接
AI
．

根据燕尾定理，
S
BCI
:S
ACI
BD:AD2:1，
S
BCI
:S
ABI
CF:AF1:2
，
所以，
S
ACI
:S
BCI
:S
ABI1:2:4
，那么，
S
BCI

2
S
A BC

2
S
ABC
．
1247
同理可知< br>ACG
和
ABH
的面积也都等于
ABC
面积的
2
，所以阴影三角
7
形的面积等于
ABC
面积的
12
3
1
，所以
ABC
的面积是阴影三角形
77< br>面积的7倍．

【巩固】如图在
△ABC
中，
DC

EA

FB

1
,求
△GHI的面积
的 值．
DBECFA2
△ABC的面积

A
E
H
F
I
B
G
D
C
B
F
I
A
E
H
G
D
C
【解析】
连接
BG
,设< br>S
△BGC

1份，根据燕尾定理

S
△AGC:S
△BGC
AF:FB2:1
,
S
△ABG
:S
△AGC
BD:DC2:1
,得
S
△AGC
2
(份)，
S
2
S
△ABG
4
(份),则
S△ABC
7
(份)，因此
△AGC

,同理连接
AI
、
CH
得
S
△ABC
7
S
△ABH
2
S
△BIC
2
S
72221

,

,所以
△GHI


S
△ABC
7S
△ABC
7S
△ABC
77
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是 相同的，那么在同样的位置
上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很
多 题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们
有对称法作辅助线.

【例 28】
如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
BDDEEC
，
CFFGGA
，三角形
ABC
被分成
9
部分，请写出这
9
部分的面积各是多少?
A
A
GG
P
Q
F
B
B
F
N
D
EC< br>M

【解析】
设
BG
与
AD
交于点< br>P
，
BG
与
AE
交于点
Q
，
BF< br>与
AD
交于点
M
，
BF
与
AE
交于 点
N
．连接
CP
，
CQ
，
CM
，
CN
．
根据燕尾定理，
S
△ABP
:S
△CBP
AG:GC1:2
，
S
△ABP
:S
△ACP
BD: CD1:2
，设
S
△ABP
1
(份)，则
S
△ ABC
1225
(份)，所以
S
△ABP

DEC
1

5
75
3
35
同理可得，
S
△ABQ

2
,
S
△ABN

1
,而S
△ABG

1
，所以
S
△APQ

2

1

723
121
S
△AQG

．
3721
，
同理，
S
△BPM
S
四边 形MNED
311239
，
S
△BDM

,所以
S
四边形
PQMN

3521273570
1395
,
S
四边形NFCE

1

1

5

1
,
S
四边形GFNQ

1

1

1

5


3357642


【巩固】如图，
ABC
的面积为1，点
D
、
E
是
BC
边的三等分点，点
F
、
G
是
A C
边的三等分点，那么四边形
JKIH
的面积是多少？
C
F
G
K
A
【解析】
连接
CK
、
CI
、
CJ
C
D
E
G
K
BI
H
B
A
F
J
D
E
J
IH
．

根据燕尾定理，
S
ACK
: S
ABK
CD:BD1:2
，
S
ABK
:S
CBK
AG:CG1:2
，
所以
S
ACK
:S
ABK
:S
CBK
1:2:4
，那么
S
A CK

类似分析可得
S
AGI
又
S
ABJ:S
CBJ
那么，
S
CGKJ

2
． 15
1111

，
S
AGK
S
ACK< br>
．
1247321
AF:CF2:1
，
S
ABJ
:S
ACJ
BD:CD2:1
，可得
S
 ACJ

1
．
4

1117

． < br>42184
84
172161
所以四边形
JKIH
2 
，
8415370
根据对称性，可知四边形
CEHJ
的面积也为< br>17
，那么四边形
JKIH
周围的
图形的面积之和为
S
CGKJ
2S
AGI
S
ABE
的面积为
1< br>61

70
9
．
70

【例 29】 < br>右图，
△ABC
中，
G
是
AC
的中点，
D< br>、
E
、
F
是
BC
边上的四等分点，
已知△ABM
的面积比四边形
FCGN
的
AD
与
BG
交于
M
，
AF
与
BG
交于
N
，
面积大
7.2
平方厘米，则
△ABC
的面积是多少平方厘米？
A< br>G
M
F
C
B
D
EF
C
A
G
N
M
B
【解析】
连接
CM
、
CN
．
N
D
E
< br>根据燕尾定理，
S
△ABM
:S
△CBM
1
S
△ABM
S
△ABC
；
5
AG:GC1:1
，< br>S
△ABM
:S
△ACM
BD:CD1:3
，所以
再根据燕尾定理，
S
△ABN
:S
△CBN
AG:GC1:1
，所以
S
△ABN
:S
△FBN
S
△CBN:S
△FBN
4:3
，所以
AN:NF4:3
，那么
S
△ANG
142

S
△AFC
2437
，

所以
S
FCGN
515

2
< br>

1

S
△AFC
S
△ABCS
△ABC
．
7428

7

根据题意， 有
1
S
△ABC

5
S
△ABC
7.2
，可得
S
△ABC
336
(平方厘米)
528

【例 30】
如图，面积为l的三角形
ABC
中，
D
、< br>E
、
F
、
G
、
H
、
I
分别 是
AB
、
BC
、
CA
的三等分点,求阴影部分面积.
A
D
E
I
H
E
Q
D
P
A
I
M
H
N

【解析】
三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理
吧！
令
B I
与
CD
的交点为
M
，
AF
与
CD
的交点为
N
，
BI
与
AF
的交点为
P
,
BI
与
CE
的交点为
Q
,连接
AM
、BN
、
CP

⑴求
S
四边形ADMI
：在△ABC
中，根据燕尾定理，
S
△ABM
:S
△CBM
AI:CI1:2S
△ACM
:S
△CBM
AD:BD1:2

设
S
△ABM
1
(份)，则
S
△CBM2
(份),
S
△ACM
1
(份),
S
△A BC
4
(份),
1111
S
△ACM
S
△ ABC
，所以
S
△ADM
S
△ABM
S
△AB C
,
S
△AIM
S
△ABC
,
431212< br>所以
S
四边形ADMI
(
1

1
)S△ABC

1
S
△ABC
,
12126
同理 可得另外两个顶点的四边形面积也分别是
△ABC
面积的
1

6B
F
G
C
B
F
G
C
所以
S< br>△ABM
⑵求
S
五边形DNPQE
：在
△ABC
中， 根据燕尾定理
S
△ABN
:S
△ACN
BF:CF1:2S△ACN
:S
△BCN
AD:BD1:2
,
所以
S
△ADN

1
S
△ABN

1

1
S
△ABC

1
S
△ABC
,同理
S
△BEQ

1
S
△ABC

3372121
在
△ABC
中，根据燕
，
尾
所
定理
以
S
△ABP
:S
△ACP
BF:CF1:2
,
S
△ABP
:S
△CBP
AI:CI1:2

1
所以S
△ABP
S
△ABC
5
1

11

11
S
五边形DNPQE
S
△ABP
S
△A DN
S
△BEP




S
△ABC
S
△ABC

52121105

同理另外两个五边形面积是
11113
S
阴影
133
610570
△ABC
面积的
11
105
，所以

【例 31】
如图，面积为 l的三角形
ABC
中，
D
、
E
、
F
、G
、
H
、
I
分别是
AB
、
BC
、
CA
的三等分点,求中心六边形面积.
A
D
E
I< br>H
A
D
E
Q
C
N
R
I
P< br>H

【解析】
设深黑色六个三角形的顶点分别为
N
、
R
、
P
、
S
、
M
、
Q
，连接< br>CR

在
△ABC
中根据燕尾定理，
S
△ABR:S
△ACR
BG:CG.2:1
,
S
△ABR
:S
△CBR
AI:CI1:2

所以
S
△ABR

2
S
△ABC
,同理
S
△ACS

2
S
△ABC
,
S
△CQB< br>
2
S
△ABC

777
B
F
G< br>B
M
F
S
G
C
所以
S
△RQS1
2

2

2

1
，同理
S
△MNP

1

7777
根据容斥原理，和上题结果< br>S
六边形
7
11131


777010


课后练习：
练习1. 已知
△DEF< br>的面积为
7
平方厘米，
BECE,AD2BD,CF3AF
，求
△ABC
的
面积．
A
F
D
B
E

S
△BDE
:S
△ABC
(BDBE):(BABC)(1 1):(23)1:6
，
【解析】
S
△CEF
:S
△ABC
(CECF):(CBCA)(13):(24)3:8
S
△ ADF
:S
△ABC
(ADAF):(ABAC)(21):(34) 1:6

C
设
S
△ABC
24
份，则
S
△BDE
4
份，
S
△ADF
4
份，
S
△CEF
9
份，
S
△DEF
244497份，恰好是
7
平方厘米，所以
S
△ABC
24
平方厘 米

练习2. 如图，四边形
EFGH
的面积是
66
平方 米，
EAAB
，
CBBF
，
DCCG
，
HD DA
，求四边形
ABCD
的面积．

H
D
A
E
C
B
G
H
D
C
B
G
F
A
E
F

【解析】
连接
BD
．由共角定理得
S
△BCD
:S
△CGF
(CDCB):(C GCF)1:2
，即
S
△CGF
2S
△CDB
同理
S
△ABD
:S
△AHE
1:2
，即
S
△AHE
2S
△ABD

所以
S
△AHE
S
△CGF
2(S
△CBD
S
△ADB
)2S< br>四边形ABCD

连接
AC
，同理可以得到
S
△DH G
S
△BEF
2S
四边形ABCD

S
四边形 EFGH
S
△AHE
S
△CGF
S
△HDG
S
△BEF
S
四边形ABCD
5S
四边形ABCD

所以
S
四边形ABCD
66513.2
平方米

练习3. 正方形
ABCD
的面积是120平方厘米，
E
是
AB
的中点，
F
是
BC
的中点，
四边形
BGHF< br>的面积是 平方厘米．
A
D
E
G
H
F
A
D
BC
E
G
H
F

M

【解析】
欲求四边形
BGHF
的面积须求出
EBG
和
CHF
的面积．
BC
由题意可得到：
EG: GCEB:CD1:2
，所以可得：
S
EBG

1
S
BCE

3
将
AB
、
DF
延长交于
M
点，可得：
BM:DCMF:FDBF:FC1:1
，
而
EH:HCEM:C D(
1
ABAB):CD3:2
，得
CH
2
CE< br>，
25
2255

S
BCE
< br>1

1
ABBC
1
12030

224

S
四边形BGHF
S
EBC< br>
1
S
EBC

1
S
EBC

7
S
EBC

7
3014
．
35 1515
而
CF
1
BC
，所以
S
CHF

1

2
S
BCE

1
S
 BCE

本题也可以用蝶形定理来做，连接
EF
，确定H
的位置(也就是
FH:HD
)，同样也能解出．

练习4. 如图，已知
ABAE4cm
，
BCDC，
BAEBCD90
，
AC10cm
，则
S
ABC
S
ACE
S
CDE


cm
2
．
C
B
C
B
A
E
D
A'
A
E
D
C'

【解析】
将三角形
ABC
绕
A
点和
C
点分别顺时针和逆时针旋转< br>90
，构成三角形
AEC'
和
A'DC
，再连接
A' C'
，显然
ACAC'
，
ACA'C
，
ACA'C AC'
，所
以
ACA'C'
是正方形．三角形
AEC'
和三 角形
A'DC
关于正方形的中心
O
中
心对称，在中心对称图形
ACA'C'
中有如下等量关系：
S
AEC
S
A'DC'
；
S
AEC'
S
A'DC
；
S
C ED
S
C'DE
．
所以
S
ABC
SACE
S
CDE
S
AEC'
S
ACE< br>S
CDE

1
S
ACA'C'

1101050cm
2
．
22

练习5. 如图，正方形
ABCD
的面积是
120
平方厘米，
E
是
AB的中点，
F
是
BC
的
中点，四边形
BGHF
的面积是_____平方厘米．
A
D
A
D
E
G
H
E
G
H

【解析】
连接
BH
,根据沙漏 模型得
BG:GD1:2
,设
S
△BHC
1
份，根据燕 尾定理
（122)210
份，
S
BFHG

S△CHD
2
份，
S
△BHD
2
份，因此
S
正方形

B
F
C

B
F
C
127

，所
236
以
S
BFHG
1 2010
7
14
(平方厘米).
6

练习6. 如 图，
ABC
中，点
D
是边
AC
的中点，点
E、
F
是边
BC
的三等分点，
若
ABC
的面积 为1，那么四边形
CDMF
的面积是_________．

A
D
N
C
B
E
A
D
N
B
E
MM

【解析】
由于点
D
是边
AC
的中点，点
E
、如果能求出
BN
、
F
是边
BC< br>的三等分点，
NM
、
MD
三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以 求出来，其中
当然也包括四边形
CDMF
的面积．
连接
CM
、
CN
．
根据燕尾定理，
S
 ABM
:S
ACM
BF:CF2:1
，而
S
ACM
2S
ADM
，所以
4
BD
．
5
那么
S
BMF

BM

BF
S
BCD< br>
4

2

1

4
，
S< br>四边形CDMF

1

4

7
．
BDBC5321521530
另解：得出
S
ABM
2S
AC M
4S
ADM
后，可得
S
ADM

1
S
ABD

1

1

1
，
55210
则
S
四边形CDMF
S
ACF
S
ADM

1

1

7
．
31030< br>S
ABM
2S
ACM
4S
ADM
，那么< br>BM4DM
，即
BM
FF
C

练习7. 如右图 ，三角形
ABC
中，
AF:FBBD:DCCE:AE4:3
，且三角 形
ABC
的
面积是
74
，求角形
GHI

的面积．
AA
F
I
B
H
G
D
E
F
I
C
B
H
G
D
E
C
【 解析】
连接
BG
，
S
△AGC

12份
据燕尾

，定理，
S
△AGC
:S
△BGC
AF:FB4:312:9
S
△ABG
:S
△AGC
BD :DC4:316:12

得
S
△BGC
9
(份)，
S
△ABG
16
(份)，则
S
△ABC
91 21637
(份)，因此
S
△AGC
12
,

S
△ABC
37
根
同理连接
AI
、
CH
得
S
△ABH
S
△ABC

12
S
△BI C
12
,,所以
S
△GHI

37121212
1


37S
△ABC
37S
△ABC3737
三角形
ABC
的面积是
74
,所以三角形
GH I
的面积是
74

1
2

37

月测备选

【备选1】
按照图中的样子，在 一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角
三角形．已知甲三角形两条直角边分别为
2cm和
4cm
，乙三角形两条直
角边分别为
3cm
和
6cm
，求图中阴影部分的面积．
甲
2
3
4
乙
6
甲
2
3
4
乙
6

【解析】
如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等
于平移后两个长方形面积之 和．所以阴影部分面积为：

3462（362422）11（cm
2
）

【备选2】
如图所示，矩形
ABCD
的面积为36平方厘米，四边形
PMON
的面积
是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．
D
M
O
P
N
C

【解析】
因为 三角形
ABP
面积为矩形
ABCD
的面积的一半，即18平方厘米，三
角形
ABO
面积为矩形
ABCD
的面积的
1
，即9平方厘 米，又四边形
PMON
4
AB
的面积为3平方厘米，所以三角形
AM O
与三角形
BNO
的面积之和是
18936
平方厘米． 又三角形
ADO
与三角形
BCO
的面积之和是矩形
ABCD的面积的一半，即
18平方厘米，所以阴影部分面积为
18612
(平方厘米 )．

【备选3】
如图，已知
BD3DC
，
EC2 AE
，
BE
与
CD
相交于点
O
,则
△AB C
被分

成的
4
部分面积各占
△ABC
面积的几分之几？
AA
1
1
E
2
4.5
D
1
C
E
O
9
O
2
13.5
B
D
C
B
3

【解析】
连接
CO
,设
S
△AEO
1
份，则其他部分的面积如图所示，所以
S
△ABC
1291830
份，所以四部分按从小到大各占
△ABC
面积的< br>124.5139313.59
,,,
30


【备选4】
如图，在
△ABC
中，延长
AB
至
D
，使
BDAB
，延长
BC
至
E
，使
1< br>BC
，
F
2
CE
是
AC
的中点，若
△ABC
的面积是
2
，则
△DEF
的面积是多
少？
A
F
B
D
C
E

【解析】
∵在
△ABC
和
△CFE
中，
ACB
与
FCE互补，
∴
S
△ABC

ACBC

22

4
．
S
△FCE
FCCE111
又
S
ABC
2
，所以
S
FCE
0.5
． 同理可得
S
△ADF
2
，
S
△BDE
3< br>．
所以
S
△DEF
S
△ABC
S
△C EF
S
△DEB
S
△ADF

【备选5】
20.5323.5

如图，
BD:DC2:3
,AE:CE5:3
,则
AF:BF

A
E
C
F
B
D
G

【解析】
根据燕尾定理有
S
△ABG
:S
△ACG
2:310:15
,
S
△ABG
:S
△BCG
5:310:6
,所以
S
△ACG
:S
△BCG
15:65:2AF:BF


【备选6】
如图在
△AB C
中，
DC

EA

FB

1
, 求
△GHI的面积
的值．
DBECFA3
△ABC的面积
A
E
H
F
I
B
G
D
C
B
F
I
G
D
C
H
E
A
【解析】
连接
BG
,设
S
△BGC

1份，根据燕尾定理

S
△AGC
:S
△BGC
AF:FB3:1
,
S
△ABG
:S
△AGC
BD:DC3:1
,得
S
△AG C
3
(份)，
S
3
S
△ABG
9
(份 ),则
S
△ABC
13
(份)，因此
△AGC

,同理连接
AI
、
CH
得
S
△ABC
13
S
△ABH
S
3
13
,
△BIC

,
S
△ABC
S
△ABC
13
所以
S
△GH I

S
△ABC

133334


1313

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）


目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙
漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨
一、等积模型
AB
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
S
S
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
ab
CD如右图
S
1
:S
2
a:b

1
2< br>③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
S
△ACD
S
△BCD< br>；
反之，如果
S
△ACD
S
△BCD
，则可知直 线
AB
平行于
CD
．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比 等于它们的底之比；两个平行四边形底相
等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在
△A BC
中，
D,E
分别是
AB,AC
上的点如图 ⑴(或
D< br>在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上)，
则< br>S
△ABC
:S
△ADE
(ABAC):(ADAE)

D
A
A
D
E
E
D
C

A
S
1
图⑴ 图⑵
S
4
S
2
O
三、蝶形定理
S
3
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：
B
①
S
1
:S
2
S
4
:S
3
或者
S< br>1
S
3
S
2
S
4
②
AO:O C

S
1
S
2

:

S4
S
3


蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问 题的一个途径．通过构造
B
C
B
C

a
模型， 一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边
AD
S
1
形内的三角形相联系； 另一方面，也可以得到与面积
S
2
S
4
O
对应的对角线的比 例关系．
S
3
梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：
①
S1
:S
3
a
2
:b
2

B
b
22
②
S
1
:S
3
:S
2
:S
4
a:b:ab:ab
；
③
S
的对应份数为

ab

2
．

四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
C
A
E
A
F
D
D
B< br>ABAC
F
G
BCAG
E
C

BG
C

①
AD

AE

DE

AF
；
②
S
△ADE
：S
△ABC
AF
2
:A G
2
．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，
不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如
下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似
比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工
具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在三角形
ABC
中，
AD< br>，
BE
，
CF
相交于同一点
O
，那么
AS
ABO
:S
ACO
BD:DC
．
上述定理给 出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因
E
F
为
ABO
和ACO
的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称
O
为燕尾定理．该定理在许多 几何题目中都有着广泛的运
C
D
用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之 中，
B

为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例 1】
如图，正方形
ABCD
的边长为6，
AE
1.5，
CF
2．长方形
EFGH
的面
积为 ．
_H

_D
_H

_D
_A
_E



_G
_A

_E



_G

_B

_F

_C

_B

_F

_C

【解析】
连接
DE，DF，则长方形
EFGH
的面积是三角形
DEF
面积的二倍．
三角形
DEF
的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S
△DEF
661.5622624.54216.5
,所以长方形< br>EFGH
面积为33．
【巩固】如图所示，正方形
ABCD
的边长为
8
厘米，长方形
EBGF
的长
BG
为
10
厘
米，那么长方形的宽为几厘米？
_

E
_

A
_

F
_

D
_

G
_

C

_

B
_

F
_

D
_

C

_

A
_

E
_

B
_

G

【解析】
本题主要是让学生会运用等底等高的两个平 行四边形面积相等(长方
形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底
等 高的平行四边形面积的一半．
证明：连接
AG
．(我们通过
△ABG
把这两个长方形和正方形联系在
一起)．
∵在正方形
ABCD
中，
S
△ABG
ABAB
边上的高，
∴
S
△ABG
S
的一半)
1
SS
EFGB
． 同理，
△ABG
2
1
2
1
2
ABCD
(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积
∴正方形
ABCD
与长方形
88106.4
(厘米)．
EFGB
面积相等． 长方形的宽

【例 2】
长 方形
ABCD
的面积为
A
36
cm
2
，
E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任
意一点，问阴影部分面积是多少？
HD
E
G
B
F
C
【解析】
解法一：寻找可利用的条件，连接
BH
、
HC
，如下图：
HD
A

E
G
B
F
C
可得：
S
EHB
S
AHB
、
S
FHBS
CHB
、
S
DHG
S
DHC
，而
S
ABCD
S
AHB
S
CHB
S
CHD
36

1
2
1
2

1
2
即
S
EHB
S
BHF
S
DHG
(S
AHB
S
CHB
S< br>CHD
)3618
；
而
S
EH B
S
BHF
S
DHG
S
阴影
S
EBF
1
2
1
2
，
11111
S
E BF
BEBF(AB)(BC)364.5
．
22228
所以阴影部分的面积是：
S
阴影
18 S
EBF
184.513.5

解法二：特殊点法．找
H
的特殊点，把
H
点与
D
点重合，
那么图形就可变成右图：
A
D
(H)
E
G

这样阴影部分的面积就是
DEF
的面积，根据鸟头定理，则有：

F
C
B
1111111
S
阴影< br>S
ABCD
S
AED
S
BEF
S
CFD
3636363613.5
．
2222222

【巩固】在边长为6厘米的正方形
ABCD
内任取 一点
P
，将正方形的一组对边
二等分，另一组对边三等分，分别与
P
点连接,求阴影部分面积．

A
D
A
(P)D
A
D
PP

【解析】
（法1）特殊点法．由于
P
是正方形内部任意一点，可采用特殊点 法，
假设
P
点与
A
点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两 个阴
影三角形的面积分别占正方形面积的
1
和
1
，所以阴影部分的面 积为
46
B
C
B
C
B
C
11
6< br>2
()15
平方厘米．
46
（法2）连接
PA
、
PC
．
由于
 PAD
与
PBC
的面积之和等于正方形
ABCD
面积的一半，所以 上、
下两个阴影三角形的面积之和等于正方形
ABCD
面积的
1
，同 理可知
4
左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形
ABCD
面积的
1
，所以阴
6
影部分的面积为
6
2
(
1

1
)15
平方厘米．
46

【例 3】
如图所示，长方形
ABCD
内的阴影部分的面积之和为70，
AB8
，AD15
，四边形
EFGO
的面积为 ．
A
D
O
E
B
F
G
C
【解析】 < br>利用图形中的包含关系可以先求出三角形
AOE
、
DOG
和四边形EFGO
的

面积之和，以及三角形
AOE
和
DOG< br>的面积之和，进而求出四边形
EFGO
的面积．
由于长方形
ABCD
的面积为
158120
，所以三角形
BOC
的面积为
1 3
30
，所以三角形
AOE
和
DOG
的面积之和为
1207020
；
44
11

又三角形
AOE< br>、
DOG
和四边形
EFGO
的面积之和为
120




30
，所以

24

1 20
四边形
EFGO
的面积为
302010
．
另解 ：从整体上来看，四边形
EFGO
的面积

三角形
AFC
面 积

三角形
BFD
面积

白色部分的面积，而三角形
AFC
面积

三角形
BFD
面积为长
方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部

分的面积，即
12070 50
，所以四边形的面积为
605010
．

【巩固】如图， 长方形
ABCD
的面积是36，
E
是
AD
的三等分点，AE2ED
，则
阴影部分的面积为 ．
A
O
B
【解析】
如图，连接
OE
．
E
D
A
M
O
B
E
N
D
C

C

根据蝶形定理，
ON:NDS
COE
:S
CDE
S
CAE
:S
CDE
1:1
，所以
S
OEN

1
S
OED
；
2
1< br>2
1
1
OM:MAS
BOE
:S
BAE
S
BDE
:S
BAE
1:4
，所以
S
 OEM
S
OEA
．
5
2
11
又
S< br>OED
S
矩形ABCD
3
，
S
OEA2S
OED
6
，所以阴影部分面积为：
34
11
362.7
．
25

【例 4】
已知
ABC< br>为等边三角形，面积为400，
D
、
E
、
F
分别为三 边的中点，
已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形
HBC
)
A
甲
乙
I
J
M
B
N
H丙
E
D
F

【解析】
因为
D
、E
、
F
分别为三边的中点，所以
DE
、
DF
、
EF
是三角形
ABC
的
中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例 模型，三角形
ABN
和三
角形
AMC
的面积都等于三角形
A BC
的一半，即为200．
根据图形的容斥关系，有
S
ABC
 S
丙
S
ABN
S
AMC
S
AMHN，
即
400S
丙
 200200S
AMHN
，所以
S
丙
S
AMHN
．
又
S
阴影< br>S
ADF
S
甲
S
乙
S
AMHN< br>，所以
1
S
阴影
S
甲
S
乙
S
丙
S
ADF
14340043
．
4
C

【例 5】
如图，已知
CD5< br>，
DE7
，
EF15
，
FG6
，线段
AB
将图形分成两部
分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形
AD G
的面
积是 ．
A
A
C
D
BE
F
G
C
D
B
EF
G

【解析】
连接
AF
，
BD
．
根据题意可知，< br>CF571527
；
DG715628
；
15S
CBF
，
S
BEC

12
S
 CBF
，
S
AEG

21
S
ADG
，
S
AED

7
S
ADG
，
2728
27
28
712
2115
SS
CBF
38
；
SS65
于是：；
ADG
ADGCBF
2827
2827
可得
S
ADG
40
．故三角形ADG
的面积是40．
所以，
S
BEF


【例 6】
如图在
△ABC
中，且
AD:AB2:5
，
D,E
分别是
AB,AC
上的点，
AE:AC4:7
，< br>S
△ADE
16
平方厘米，求
△ABC
的面积．
A
A
D
E
D
E
BC
B
C
【解析】
连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ABE
A D:AB2:5(24):(54)
，
S
△ABE
:S
△ ABC
AE:AC4:7(45):(75)

，所以
S
△ADE
:S
△ABC
(24):(75)
，设
S
△ADE
8
份，则
S
△ABC
 35
份，
S
△ADE
16
平方厘米，所以
1
份是
2
平方厘米，
35
份就是
70
平方厘米，
△ABC
的面积是
70
平方厘米．由此我们得到一
个重要的定理，共角定理：共角三角 形的面积比等于对应角(相等角
或互补角)两夹边的乘积之比 ．

【巩固】如图， 三角形
ABC
中，
AB
是
AD
的5倍，
AC
是
AE
的3倍，如果三角
形
ADE
的面积等于1，那么三角形ABC
的面积是多少？

A
D
E
C
D< br>A
E
C
B
【解析】
连接
BE
．

B

∵
EC3AE

∴
S
ABC
3S
ABE

又∵
AB5AD

∴
S
ADE
S
AB E
5S
ABC
15
，∴
S
ABC
15S< br>ADE
15
．

【巩固】如图，三角形
ABC
被 分成了甲(阴影部分)、乙两部分，
BDDC4
，
BE3
，
A E6
，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
A
E
B
甲
D< br>E
A
乙
C
【解析】
连接
AD
．

B
甲
D
乙
C

∵
BE3
，
AE6

∴
AB3BE
，
S
ABD
3S
BDE

又∵
BDDC4
，
∴
S
ABC
2S
ABD
，∴
S
ABC
6S
BDE
，
S
乙
5S
甲
．

【例 7】
如图在
△ABC< br>中，
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB:AD5:2
，
AE:EC3:2
，
S
△ADE
12
平方厘米，求
△ABC
的面积．
D
D
A
A
E
B
C
E

【解析】
连接
BE
，
S
△ADE
:S
△ ABE
AD:AB2:5(23):(53)

S
△ABE
:S
△ABC
AE:AC3:(32)(35 ):

(32)5

，
所以
S
△ADE:S
△ABC
(32):

5(32)

6 :25
，设
S
△ADE
6
份，则
S
△ABC25
份，
S
△ADE
12
平方厘米，所以
1
份是
2
平方厘米，
△ABC
25
份就是
50
平方 厘米，
的面积是
50
平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共
角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

B
C

【例 8】
如图，平行四边形
AB CD
，
BEAB
，
CF2CB
，
GD3DC
，
HA4AD
，平
行四边形
ABCD
的面积是
2
， 求平行四边形
ABCD
与四边形
EFGH
的面
积比．
H
H
A
G
D
F
B
C
E
A
G
D
F
B
C
E

【解析】
连接
AC
、
BD
．根据共角定理
∵在
△ABC
和
△BFE
中，
ABC
与
FBE
互补，
∴
S
△ABC

ABBC

1 1

1
．
S
△FBE
BEBF133
< br>又
S
△ABC
1
，所以
S
△FBE
3< br>．
同理可得
S
△GCF
8
，
S
△DHG
15
，
S
△AEH
8
．
所以
SEFGH
S
△AEH
S
△CFG
S
△DHGS
△BEF
S
ABCD
8815+3+236
．
所以
S
ABCD
S
EFGH

21
．
3618

【例 9】
如图所示的四边形的面积等于多少？ C
13
12
O
13
12
13
D
13< br>
【解析】
题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接
求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形
OAB
绕顶点
O
逆时针旋转，使长为
13
的两条边重合，此时三
角形
OAB
将旋转到三角形
OCD
的位置.这样，通过旋转后所得到的新
图形是一个边长为< br>12
的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形
的面积.
因此，原来四边形的面积为
1212144
.(也可以用勾股定理)

【例 10】
如图所示，
ABC
中，
ABC90
，
AB3
，
BC5
，以
AC
为一边向
ABC
外作正方形
ACDE
，中心为
O
，求
OBC
的面 积．
12
12
A
B

E
E
O
A
3
B
5
C
D
O
A
3
D
C
5

B

【解析】
如图，将
OAB
沿着
O
点顺时针旋转
90
，到达
OCF
的位置 ．
由于
ABC90
，
AOC90
，所以
O ABOCB180
．而
OCFOAB
，
所以
OC FOCB180
，那么
B
、
C
、
F
三点在 一条直线上．
由于
OBOF
，
BOFAOC90
，所 以
BOF
是等腰直角三角形，且斜
边
BF
为
538< br>，所以它的面积为
8
2

1
16
．
F< br>4
根据面积比例模型，
OBC
的面积为
16
5
 10
．
8

【例 11】
如图，以正方形的边
AB为斜边在正方形内作直角三角形
ABE
，
AEB90
，
A C
、
BD
交于
O
．已知
AE
、
BE
的长分别为
3cm
、
5cm
，求
三角形
OBE
的 面积．
CB
CB
O
E
DA
D
O
E
A
F

【解析】
如图，连接
DE
， 以
A
点为中心，将
ADE
顺时针旋转
90
到
 ABF
的位置．
那么
EAFEABBAFEABDAE90
，而
AEB
也是
90
，所以四边
形
AFBE< br>是直角梯形，且
AFAE3
，
所以梯形
AFBE
的面积为：
1

35
312
(
cm
2
)．
2
又因为
AB E
是直角三角形，根据勾股定理，
AB
2
AE
2
BE< br>2
3
2
5
2
34
，
2
所以< br>S
ABD
AB17
(
cm
2
)．
1
2
那么
S
BDE
S
ABD

S
ABE
S
ADE

S
ABD
S
AFBE
17125
(
cm
2
)，
所以< br>S
OBE
S
BDE
2.5
(
cm
2
)．

1
2

【例 12】
如下图，六边 形
ABCDEF
中，
ABED
，
AFCD
，
B CEF
，且有
AB
平行
于
ED
，
AF
平 行于
CD
，对角线
FD
垂直于
BD
，已知
FD2 4
BC
平行于
EF
，
厘米，
BD18
厘米，请问 六边形
ABCDEF
的面积是多少平方厘米？
B
A
C
G< br>A
B
C
F
E
D
F
E
D

【解析】
如图，我们将
BCD
平移使得
CD
与
AF
重合，将
DEF
平移使得
ED
与
AB
重合，这样
EF
、
BC
都重合到图中的
AG
了．这样就组 成了一个长方形
BGFD
，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形
BGFD的面积为
2418432
平方厘米，所以六边形
ABCDEF
的面积 为
432
平方厘米．

【例 13】
如图，三角形
AB C
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D< br>在
BC
上，且

BD:DC1:2
，
AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于 ．
A
A
3
3
E
F
3
12
C
D
E
B
D
A
E
F
B
D
C
F
C
B

S
△ABF
AE
S
△AB F
BD1
1
,

【解析】
方法一：连接
CF
，根据燕尾定理，，
S
△CBF
EC
S
△ACFDC2

设
S
△BDF
1
份，则
S
△DCF
2
份，
S
△ABF
3
份，
S
△AEF
S
△EFC
3
份，
如图所标
所以
S
DCEF

55
S
△ABC


1212
方法二：连接
DE
，由题目条件可得到
S
△ABD
S△ABC

，
1121
BF
S
△ABD
1

，
S< br>△ADE
S
△ADC
S
△ABC

，所以FES
△ADE
1
2233
1
3
1
3