小班律动-云南民族大学分数线

初中数学视角下欧拉线和欧拉圆的证明

[摘 要] 笔者查阅资料 ，发现没有人研究从初中
数学的角度证明以大数学家“欧拉”命名的欧拉线和欧
拉圆. 本文所 给的证明方法以初中数学课本知识为基
础，并进行稍微拓展，该方法对初中生竞赛培优教学
有一 定的参考价值.
[关键词] 初中数学；欧拉线；欧拉圆
在竞赛辅导中，历史上的经典名题、定理的证明
是我们绕不开的路. 比如，学习平面几何时，选择欧< br>拉线和欧拉圆的证明教学是培养学生推理能力和演绎
思维的一个不错选择. 首先，我们来熟悉一下欧拉线
和欧拉圆.
欧拉线：莱昂哈德?欧拉于1765年在他的 著作《三
角形的几何学》中首次提出的定理――三角形的重心在

欧拉线上，即三 角形的重心、垂心和外心共线，而且
重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.
欧拉 圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个
欧拉点（连接三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）
九点共圆. 通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），
或欧拉圆、费尔巴哈圆.
欧拉线是过三角形的垂心、外心、重心和欧拉圆
圆心的一条直线.
一般的定理教学，教师引导学生一起“探究”，然
后牵着学生的思维一起把别人走过的路再走一遍. 而
本文是笔者的另外一种实践. 笔者研究了这两个经典
定理历史上的证明方法，发现很多都超 过了初中生的
知识储备，于是筛选了一些适合的方法，重新整理思
路，把两个有关联的定理关联 起来，然后分不同的阶
段，为学生铺好台阶，走到终点.

引理及其证明
引理？摇 三角形的外心到一边的距离等于垂心
到该边相对的顶点距离的一半.
如图1，在△ABC中，O，H为其外心和垂心，D
为BC的中点，连接OD，AH. 求证：OD=AH.
证明？摇 如图1，连接OB，OC，连接CH并延
长交AB于点 R，延长AH交BC于点P，因为点O
为△ABC的外心，所以∠BAC=∠BOC. 因为D为BC
的中点，所以∠COD=∠BOC=∠BAC，OD⊥BC. 因为
CR⊥AB，所以∠ARC=∠ODC=90°. 所以△ARC∽△ODC.
所以=①. 因为AP⊥BC，所以∠ARC=∠APC=90°. 所
以A，R，P，C四?c共圆. 所以∠RAH=∠BCR. 所以
△ARH∽△CRB. 所以=，即=②. ①×②得=，所以
OD=AH.
上述证明是在锐角三角形中进行的，同理可证钝

角三角形也成立. 直角三角形比较特殊，很容易证明
成立.
欧拉线定理及其证明
如图2 ，在△ABC中，O，G，H分别为其外心、
重心、垂心，D为BC的中点，求证：O，G，H三点共线，且OG=GH.
证明 ？摇设AD交OH于点G′，因为OD⊥BC，
AH⊥BC，所以OD∥AH. 所以△ODG′∽△HAG′. 因为
OD=AH，所以OG′=G′H，DG′=AG′. 因为G为△ABC
的重心，所以DG=AG. 所以G与G′重合. 所以O，
G，H三点共线，且OG=GH.
上述证明是在锐角三角形中进行的，同理可证钝
角三角形也成立. 直角三角形比较特殊，很容易证明
成立.
九点圆（欧拉圆）及其证明

1. 证三高的垂足和三个欧拉点（连接三角形各顶
点与垂心所得三线段的中点）共圆
如图3 ，在△ABC中，H为其垂心，设AH，BH，
CH的中点分别为M，L，N，过M，L，N三点的圆< br>记为⊙J，P，Q，R分别是三条高在BC，AC，AB上
的垂足. 求证：P，Q，R均在⊙J上.
证明？摇 连接MN，LN，LM，QM，QN. 因为
L，N分别为BH，CH的中点，所以LN∥BC且LN=BC.
同理，LM∥AB且LM=AB，MN∥AC且MN=AC. 因为
H为△ABC的垂心，所以H为△MLN的垂心. 所以P，
Q，R分别为H关于LN，MN，ML对称的点. 所以
∠MQN=∠MHN，∠MHN+∠MLN =∠MQN+∠MLN=180°.
所以Q 在△MLN的外接圆上.同理，P，R也在△MLN
的外接圆上，所以P，Q，R在⊙J上.
上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读

者可以在钝角三角形和直角 三角形中进行证明.
2. 证三边中点和三个欧拉点共圆
如图4，在△ABC 中，D，E，F分别是BC，AC，
AB的中点，AP⊥BC，BQ⊥AC，CR⊥AB，垂足分别为< br>P，Q，R，H为△ABC的垂心，设AH，BH，CH的
中点分别为M，L，N，过M，L，N 三点的圆记为⊙J.
求证：D，E，F均在⊙J上.
证明？摇 连接MN，DN，则DN∥BQ，MN∥AC. 因
为BQ⊥AC，所以DN⊥MN. 又因为AP⊥BC，所以D，
P，N，M四点共圆. 所以点D在⊙J上. 同理，E，F
也在⊙J上.
上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读
者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.
欧拉圆心和欧拉线之间的位置
及其证明

1. 证明欧拉圆圆心在欧拉线上
如图5，O，H，J分别是△ABC的外心、垂心和
欧拉圆圆心. 求证：O，J，H三点共线，且OJ=HJ.
证明？摇 连接AH并延长交BC于点P，分别取
AH和BC的中点M，D，连接DM，OH交于点J′. 因
为OD⊥BC，MH⊥BC，所以OD∥MH. 所以
∠ODJ′=∠HMJ′. 所以∠DOJ′=∠MHJ′. 又因为
OD=AH=MH，所以△ODJ′≌△HMJ′. 所以OJ′= HJ′，
DJ′=MJ′. 因为∠APB=90°，所以DM为⊙J的直径. 所
以J为DM的中点. 所以点J与点J′重合. 所以O，J，
H三点共线，且OJ=HJ.
上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读
者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.
2. 证明三角形的欧拉圆半径等于外接圆半径的
一半

如图6，已知⊙J和⊙O分别是△ABC的欧拉圆和
外接圆，求证：⊙J的半径为⊙O半径的.
证明？摇 设H为△ABC的垂心，连接AH，分别
取AH和BC的中点M，D，连接OA ，OD，DM，则
OA为⊙O的半径，DM为⊙J的直径. 因为OD∥AM且
OD=AM，所以四边形AODM是平行四边形. 所以
OA=DM. 所以⊙J的半径为⊙O半径的.
上述证明是在锐角三角形中进行的，感兴趣的读
者可以在钝角三角形和直角三角形中进行证明.
利用欧拉圆心和欧拉线可证一
些四点共圆的问题
如图7，H为△ ABC的垂心，L为BC边的中点，
P为AH的中点，过点L作PL的垂线交AB于点G，
交A C的延长线于点K，求证：G，B，K，C四点共
圆.

证明？摇 如图8，设△ABC的外心为O，连接
OH，取OH的中点E，则E为欧拉圆圆心. 连接AO，
则AO∥PE，从而AO⊥GK. 设N为AB的中点，连接
ON，则ON⊥AG. 于是∠AON=∠AGL. 又因为
∠ACL=∠AON，所以∠ACL=∠AGL. 所以∠BGK=∠KCB.
所以B，K，C，G四点共圆.
几何名题内容丰富，是数 学竞赛教学的一大宝贵
资源，只要我们多挖掘，多思考，换种角度从学生的
最近发展区出发进行 启发教学，再配合可以利用所学
定理解决问题的实例让学生操练，应该能起到事半功
倍之效.