中秋节传说故事-杭州会计证

新疆大学毕业论文
(
设计
)












题 目:

一元三次方程的求根公式及其推导

指导老师:

木依丁.海力力
学生姓名：阿迪力·艾肯
所属院系：数学与系统科学学院
专 业：数学与应用数学

班 级：应数07-2班

完成日期：

声 明

本人阿迪力 ·艾肯声明该毕业论文（设计）是本人在木依丁.海力力老师指
导下独立完成的，本人拥有自主知识产权 ，没有抄袭、剽窃他人成果，由此造成
的知识产权纠纷由本人负责。

声明人（签名）：
2012年5月 27日



< br>阿迪力·艾肯同学在指导老师的指导下，按照任务书的内容，独立完成了该
毕业论文（设计），指 导教师已经详细审阅该毕业论文（设计）。


指导教师（签名）：
2012年5月 27日

新 疆 大 学

毕业论文（设计）任务书

班 级： 应数07-2 姓 名： 阿迪力·艾肯
论文（设计）题目：一元三次方程的求根公式及其推导


专 题：
论文（设计）来源： 指导教师自选题
要求完成的内容：




发题日期：
2012年 03月 10日
完成日期：
2012 年05月27 日

实习实训单位： 地点： 数学与系统科学学院

论文页数：
8


页； 图纸张数：
指导教师：木依丁.海力力

教研室主任： 高文华
院长（系主任）： 猛吉翔

摘 要

在本文 中，首先我们介绍了解一元三次方程的求解公式并举了几个例子，然
后介绍了解一元三次方程的卡尔丹公 式并举例，最后写出来卡尔丹公式的推导过
程。

目录

< br>1.一元二次方程的求解公式及其推导过程............................ .................1


1.1关于解一元二次方程的例子. .................................................. ..............................................2

2.一元三次方程求解公式................................ ...........................
3


2.2 关于解一元三次方程的例子………………………............................. ...........................…..4
3.求解一元三次方程的卡尔丹 公式的推到过程.........................................6
4.总结.......................................... .................................9
5.致谢....... .................................................. .................10
6.参考文献.................... .................................................. 11















1·一元二次方程的求解公式及其推导

人类很早就掌握 了一元二次方程的解法。我们来看一下一般形式的一元二次
2
方程
ax
＋bx
＋
c
＝0(
a
≠0)的解．
用配方法来解一般形式的一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋< br>c
＝0(
a
≠0)．
因为
a
≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数
a
，得
bc
x
2
x0
，
aa
移项，得
bc
x
2
x
，
aa
配方，得
b c

b

b

xx


，
aa

2a

2a

2
22
即
b

b
2
4ac

．

x


2
2a

4a

因为
a≠0，所以4
a
2
＞0，当
b
2
-4
ac≥0时，得
2
bb
2
4ac
，
x
2
2a
4a
即
bb
2
4ac
．
x
2a2a
所以
bb
2
4ac
，
x
2a2a
即
bb
2
4ac
．
x
2a
上面的式子叫做 一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0(
a
≠0)的求根公式．

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
从上面的结论可以发现：
(1)一元二次方程
ax
2
＋
b x
＋
c
＝0(
a
≠0)的根是由一元二次方程的系数
a、
b
、
c
确定的．

(2)在解一元 二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在
b
2
-4
ac
≥0的 前提
bb
2
4ac
2
下，把
a
、
b
、
c
的值代入
x
(
b
-4
ac
≥0)中，可求得方程的两个
2a
实数根，当
b
2
4ac
<0时有也有两个共轭虚根。
1.1关于一元二次方程的例子

例1：
3x
2
6x20

解：运用公式法求解
a3,b6,c2

b
2
4ac(6)
2
43(2)600

bb
2
4ac
660315315315
=
x
1
,x
2
;


x
23333
2a
可以看出当
0
时方程有两个互不相同的实数根；
例2：
x
2
23x30

解：运用公式法求解

a1,b23,c3
b4ac(23)4130
22

bb
2
4ac
23023


x
=
3


x
1
x
2
3:

212
2a
可以看到当
0
时方程有两个相同的实根；
例3：
2x
2
4x50

解：
a2,b4,c5


b
2
4 ac(4)
2
425164024

bb
2
4ac



x
2a

x
1
1
(4)246
1i

222
66
i,x
2
1i;

22
可以看到

<0时有也有两个共轭虚根。
2.一元三次方程求解公式

古代中国、希腊和印度等地的数学家， 都曾努力研究过一元三次方程，但是
他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一 般形式的三
次方程就不适用了。

在十六世纪的欧洲，随着数学的发展， 一元三次方程也有了固定的求解方法。
在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式” ，这显然是为
了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹。
下面我们看一下一元三次方程的求解公式：
先把方程
ax
3
bx
2
cxd0
化为
x
3
pxq0
的形式：
b
，则原式变成
3a
令
xy
a(y
b3
bb
)b(y)
2
c(y)d0

3a 3a3a
by
2
b
2
yb
3
2byb
2< br>b
2
a(y
2
)b(y)c(y)d0

32
a3a
9a
3a
3a27a
3
b
2< br>b
3
2b
2
b
3
bc
2
ayby ybyycyd0

3a3a3a
27a
2
9a
2
32
b
2
2b
3
bc
ay(c)y (d)0

3a
27a
2
3a
3
cb2
d2b
3
bc
y(
2
)y()0

32
a
3a
a
27a3a
3
cb
2< br>如此一来二次项就不见了，化成
ypyq0
，其中
p
2，
a
3a
3
d2b
3
bc
q
。
a
27a
3
3a
2
对方程
y
3
 pyq0
直接利用卡尔丹诺公式：

qpq
4p3
令
q
，
D()
2
()
3
，
T
；
4232
27
2
1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，
y
1

3
TD
3
TD

y
2


1
3
TD

2
3TD
33

y
3


2
TD< br>
1
TD
2）当
D0
时，方程有三个实根，其中至少有两 个相等的实根，
y
1
4q
，
y
2
y
3

3
3
4q

2
3）当
D0
时，方程有三个实根，
23p

y
1
(cos)

33
3p

(cos3sin)
333

 3p

y
3
(cos3sin)
333
y
2

其中

arccos

qp
D()
2
()
3
是根的判别式：D＞0时，有一个实根两个虚根；D＝0 时，有
23
三个实根，且其中至少有两个根相等；D＜0时，有三不等实根。
3q3p
2p
2

2.2关于解一元三次方程的例子
例4：求解一元三次方程
x
3
x
2
x10
；
解：先把一般形式化成
y
3
pyq0
的特殊形式。

a1,b1,c1,d1
cb
2
2d 2b
3
bc20

p
2
,q
a< br>3a
3a
27a
3
3a
2
27

2 20
3
yy0
327
qp108q10
D()
2
()
3
;T;
23729227
D=
108>0 所以方程有一个实根和两个共轭虚根
729
y
1

3
TD
3
TD
3

xy
b
3a
b21
x
1
y
1
1;
3a3310108
3
101082
;
27729277293
y
2


1
3
TD

2
3< br>TD
x
2
y
2

b11
i i;
3a33
13i
3
1010813i
3
101 081
i
2277292277293
y
3


2
3
TD

1
3
TD
x
3
y
3

b11
ii;
3a33
13i
3
1010813i
3
101081
i
2277292277293


x
1
1;
< br>
次方程的解为

x
2
i;


xi;

3

例5：
x
3
5x
2
8x40

解：先把一般形式化成
y
3
pyq0
的特殊形式。

a1,b5,c8,d4
cb
2
1d2b
3
bc2

p
2
,q
a
3a
3a
27a
3
3a
2
27

12< br>3
yy0
327
qp
D()
2
()3
0;
23
D＝0时，有三个实根，且其中至少有两个根相等
y1

3
4q
=-
3
4(
xy22
);

273
bb25
1;

x
1
y
1

3a3a33
3
y2
y
3

4q
1


x< br>2,3
y
2,3

b

1

5
2

23
3a33

x
1
1;< br>

次方程的解为

x
2
2;


x2;

3
3.求解一元三次方程的卡尔丹公式的推到过程
下面我们看一下
y
3
pyq0
（2）求根公式的推导过程：
不妨设
p
、
q
均不为零，令
yuv
（3）
代入（2）得，
u
3
v
3
(uv)(3uvp) q0
（4）
选择
u
、
v
，使得
3uvp 0
，即
uv
代入（4）得，
u
3
v
3
q
（6）
p
3
将（5）式两边立方得，
uv
（7）
27
33
p
（5）
3
联立（6）、（7）两式 ，得关于
u
3
、
v
3
的方程组：


u
3
v
3
q
p

p3
　，且uv


33
uv
3
27

p
3
0
于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t
的一元二次方程
tqt
27
2
的两根
u
3
、
v
3
。
q
4p
3
13i1 3i


q

p

2
T
， 设

q
，

1
,

2
;

D



，
2
27
2 2
4

2

3

23
又记
u< br>3
的一个立方根为
u
1
，则另两个立方根为
u
2

1
u
1
，
u
3

2
u
1
，其中

1
、

2
为 1的两个立方虚根。
以下分三种情形讨论：
1）若

0
，即< br>D0
，则
u
3
、
v
3
均为实数，可求得< br>u
3
TD
，
v
3
TD
。
取
u
1

3
TD
，
v
1
3
TD
，
p
，
3
p
即
u
1
、
v
1
；
u
2
、
v
3
；
u
3
、
v
2
，也就是满足
u
1
v
1
u
2
v
3
u
3
v
2< br>
3
T
2
D
，
3
在
yu
i
v
j
，

i,j1,2,3

组成 的九个数中，有且只有下面三组满足
uv
于是方程（2）的根为
y
1u
1
v
1
，
y
2
u
2
v
3


1
u
1


2
v
1
,y
3
u
3
v
2


2
u
1


1
v
1

这时方程（2）有一个实根
y
1
，两个共轭虚根
y
2
,y< br>3
，其表达式就是前面给出的
“卡丹公式”的形式，这里的根式
D
及< br>3
TD
都是在实数意义下的。
2）若，即D＝0时，可求得
u3
v
3
T
。取
u
1
v
1

3
T
，
同理，可求得
y
1
u
1< br>v
1
2
3
T
3
4q

y< br>2
y
3


1
u
1


2
v
1
T(

1


2
)T
33
3
4q

2
2
方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。


p

q


p

3）若

0
，即D＜0时 ，因为



0
，
p
＜0，

0
，

3

2


3

3
3

则u
3
、
v
3
均为虚数，求出
u
3
、< br>v
3
，并用三角式表示，就有
u
3
TiD
，< br>v
3
TiD
,
其中
T
，
D
都是实数，
p3p
qp

T
2
(D)
2
=
()
2
D
=
()
3
=-
23
9
p
u()
3
（
3
3
T
p
()
3
3

D
P
()
3
3
i
）=-
p3p
( cos

isin

)

9
p3p
同 理
v(cos

isin

)
，
9
3
其中

arccos
3q3p2p
2
，且
0a


3p3p
 
(cosisin),v
1
(cosisin)
， 取
u< br>1

333333
3p
2

2
(cosisin)(cosisin)
则
u
2

1
u
1

33333
=
3p
2
< br>

2



(cosisin)
333
3p
4



4



(cosisin)

333
3p
4



4



(cosisin)

33 3
3p
2



2


(cosisin)

333
p
，
3
v
2


1
v
1

u
3


2
u
1

v
3


2
v
1

显然，当且仅当取
u
1
,v
1
;u< br>2
,v
3
;u
3
,v
2;
这三组时才满足< br>uv
于是方程（2）得三个实根为
y
1
u
1
 v
1
,y
2
u
2
v
3
,y
3
u
3
v
2
，
具体表示出来就为：
y
1

23p

cos

33

3p

y
2
(cos3sin)

33 3
y
3

3p

(cos3sin)

333
3q3p
2p
2
其中

arccos
∴ 当

时，方程（2）有三个实根。
4.总结
综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：
3q3p
q
2
p
3
q

arccos
令
D ()()
，
T
，，
4232
2p
2
< br>1

13i13i
,

2
;

22
1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，
y
1

3
TD
3
TD

y
2


1
3
TD

2
3TD
33

y
3


2
TD< br>
1
TD
2）当
D0
时，方程有三个实根，其中至少有两 个相等的实根，
y
1
4q
，
y
2
y
3

3
3
4q

2
3）当
D0
时，方程有三个实根，
23p

y
1
(cos)

33
3p

(cos3sin)
333

 3p

y
3
(cos3sin)
333
y
2


致 谢
本文是在木依丁.海 力力老师精心指导下完成的．阿不都克热木·阿吉老师
以其严谨的治学态度，高度的敬业精神，大胆创新 的进取精神对我产生重要影
响．他渊博的知识，开阔的视野给了我深深的启发．同时，在此次毕业设计过
程中我也学到了许多关于应用数学方面的知识，数学理论知识有了很大的提
高．
感谢 我的家人，他们在精神和生活上给了我许多的鼓励和支持，他们为我学业的完成
付出了许多．最后，再次 对关心，帮助我的老师和同学表示衷心地感谢．