北京物资学院研究生院-校庆贺词

数字谜综合



涉及分数与小数的各种类型的数字谜问题 ，包括竖式的补填、算式的构造、小数的舍
人与变化等．较为复杂的数字问题，以及其他略有综合性的数 字谜问题．



1． 有一个四位整数，在它的某位数字前面加上一个小 数点，再与这个四位数相加，得
数是2000．81．求这个四位数是多少?

【分析与解】 设四位整数4的某位数字前加上一个小数点得到一个新的数B，A与B
的和为 2000．81，而小数只能由B得到，且0.81为B的小数部分，所以小数点加在A的
百位与十位之 间，即缩小了100倍．

有A+0.01A=2000.81，所以A=1981．



2． 老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数(保留两位 小数)，小明计算出
的答数是12．43．老师说最后一位数字错了，其他的数字都对．正确答案应该是 什
么?

【分析与解】 老师说最后一位数字错了，那么前3位数字是正确的，所 以正确的平
均数在12.40～12.5(不能取12.5)之间，那么这13个数的和在161.2～ 162.5(不能取
162.5)，因为这13个数都是自然数，所以它们的和也应该是自然数．

那么这13个数的和只能是162，它们的平均数应该是162÷13≈12.46．

所以正确的平均数应该是12.46．



3． 两 个带小数相乘，乘积四舍五人以后是22.5．这两个数都只有一位小数，且个位
数字都是4．这两个数 的乘积四舍五入前是多少?

【分析与解】 因为这两个带小数均只有一位小数，那么给它们均乘以10，则这两个

数均是整数．

开始它们的乘积在22.45～22.55(不能取22.55)之间，所以在这两个数在均 乘以10以
后再相乘而得到的乘积应该在2245～2255(不能取2255)之间．
< br>一一验证，2245=5×449，2246=2×1123，2247=3×7×107，2248=2 ×2×2×281，
2249=13×173，2250=2×3×3×5×5×5，2251为质数， 2252=2×2×563，2253=3×751，
2254=2×7×7×23．
其中只有2254可以表达为(2×23)×(7×7)=46×49，两个十位数字均为4的数的乘积．

所以，四舍五人前的乘积应为2254÷10÷10=22.54．

即两个数的乘积四舍五人前是22.54．



4．[4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷O.04=100

改动上面算式中一个数的小数点的位置，使其成为一个正确的等式，那么被改动的数
变为多少?

【分析与解】 我们先把题中左边算式计算一遍，在计算过程中发现问题．

[4.2×5-(1÷2.5+9.1÷0.7)]÷0.04
=[21-(0.4+13) ]÷0.04
=[21-13.4]÷0.04
=7.6÷0.04
=190

注意到在“[21-(0.4+13)]÷O.0 4”这一步中如果(0.4+13)是(4+13)，那么最终的结果
为100．

所以只需将1÷2.5改为1÷0.25，即将2.5改为O.25即可．



5.在算式2÷3÷4÷5÷6中添上若干个括号，使算式的结果是整数，并且尽可能小．试
写出添加完括号后的算式．

【分析与解】 注意到将除号前加一个括号，可以使括号内的除号在脱括号之后变为
乘号．

又注意到2、3、4、5、6只有5含有质因数5，就是说其他的质因数可能经过变换运

算法则除去，而质因数只能保留，且只能作为乘数，也就是说题中算式变化后是最终的结
果最小为5．
有2÷3÷4÷5÷6=
1
EF
，现在要得到5，扩大了5÷=900，所以 必须将原来作为除
180
CD
数的30变为乘数30，有5×6=30，所以将5、6 由除数变为乘数．

有2÷3÷(4÷5÷6)=5，此式即为所求．



6．用1，4，5，6四个数，并适当选择加号、减号、乘号、除号以及括号，组成一个结果等于24的正确算式．

【分析与解】 有24=2×2×2×3，常规的方法， 无法使1，4，5，6通过运算得到24，
11
但是注意到可利用分数：有4÷=24，6÷= 24等．
64


于是有下面两个算式满足：

4÷(1-5÷6)=24，6÷(5÷4-1)=24．

评注：此类题是常说的 “24点”游戏：从一副扑克牌中除去大王、小王，A表示1，J
表示11，Q表示12，K表示13， 其他的牌表示的数等于牌面数字．从剩下的52张牌中任
意抽取4张，通过选择运算使它们最终的计算结 果为24．



111
7．++≈0.658


上式是经过四舍五入得到的等式，其中每个△代表一个一位数．那么这3个△ 所代表
的3个数分别是多少?

【分析与解】设△代表的三个数从小到大为a、b、c．

111111
当a取最小值2时，++最小为++≈0.736，所以a最小取3．

289

111111
当a=3，b最小取 4时, ++最小为++≈0.694，所以b最小取5．

349

当a=3，b=5时,

111111
++最小为++≈0.644，有可能．

359
111
验证当，a=3，b=5，c=8时有++≈0.658．满足．
358

所以这三个数分别为3、5、8．
评注：此题从极端情况开始一一枚举而得.



8．用0，1，2，„，9这10个数字组成5个两位数，每个数字只 用一次，要求它们的
和是一个奇数，并且尽可能的大．那么这5个两位数的和是多少?
【分析与解】要求5个数的和是奇数，所以这5个数中有奇数个奇数，如果用9、8、
7、6、5作 十位数字，那么个位数字为0、1、2、3、4，这样组成的5个数中有2个数是奇
数．
< br>所以调整，将9、8、7、6、4作为十位数字，0、1、2、3、5作为个位数字，那么组成
的 5个两位数的和是(9+8+7+6+4)×10+(0+1+2+3+5)=351．

因为已经使十位数字尽可能的大，所以所得的和为最大值．

即在满足题意下，得到的5个两位数的和为351．



9．将 I，2，3，4，5，6，7，8这8个数分成3组，分别计算各组数的和．已知这3
个和互不相等，且 最大的和是最小的和的2倍，那么最小的和是多少?

【分析与解】 设分成的3组数的和从大到小依次为a、b、c，a=2c，并且有
a+b+c=b+3c=1+2 +3+„+8=36.3c为3的倍数，36为3的倍数.所以b为3的倍数．

b3
b6

b9

b12

b15
解得

c11
，

c10
，

c9
，

c8
，

c7，不难看出随

a2c22

a2c20

a 2c18

a2c16

a2c14

着b的增大，a在减小，所以其他情况不用再讨论．

满足条件的解只有b=12，c=8，a=16．

1，2，3，4，5，6，7，8可以分成{1，2，3，4，6}、{5，7}、{8}这三组．

所以满足题意的最小一组数的和为8．

< br>10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成3个三位数(每个数字只用一次)，
使其中最大的三位数被3除余2，并且尽可能的小；次大的三位数被3除余1；最小的三位
数能被3整 除．那么，最大的三位数是多少?

【分析与解】 被3除余2、1、0的数，其数字和除以3也分别余2、1、0．

为了使最大的三位数尽可 能的小，所以其百位最小取3，因为如果取1或2，那么剩下
两个三位中的某一个其百位数字大于3，显 然不满足．

当最大三位数的百位取3时，1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的三个 三位数只能是3
口口、2口口、l口口，而3口口的十位最小取4，百位与十位的数字和为7，则个位只 能
取7．

所以满足条件的最大三位数是347．



11．红、黄、蓝和白色卡片各一张，每张上写有一个数字．小明将这4张卡片如图7-l放置，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数与它的数字之和的10倍的差．结果小明
发现，无 论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998．问红、黄、蓝3张卡片上各是什
么数字?

红

黄

白

蓝

图7—1

【分析与解】 设这个四位数为
abcd
，其中a、b、c、d依次代表红、黄、白、蓝．

有
abcd
=1000a+lOOb+10c+d，而
abcd
的数字和为 a+b+c+d，所求的差为：

(1000a+100b+10c+d)-10(a+b+c+d)=1998，

即990a+90b-9d=1998．

因为a、b、d均为小于10的自然数，所以a=2，b=l，d=8．

即红、黄、蓝3张卡片上的数字分别为2、1、8．

abcde
评注：对 于用字母表示的数，注意到其在10进制中与其各个位数数字的关系．如：
中的a在万位表示10000 a，b在千位表示1000b，„．

12．一个四位 数的数码都是由非零的偶数码组成，它又恰是某两个偶数码组成的数的
平方．问这个四位数是多少?

【分析与解】 设这个四位数为A=
abcd
，其为B=
ef的平方，因为f只能取0、2、4、6、
8，所以B平方后的个位为0、4、6．即d为4或6．

而B中的十位数字e只能取4、6、8这三个数，不然平方后得到的不是4位数．

验证有68×68=4624满足．



13．一个整数乘以13后，乘积的最后三位数是123．这样的整数中最小的是多少?

【分析与解】 设A=
cba
，B=
123
，有
c ba
×13=
123
．

方法一:
123
一定是13的倍数，而13的倍数满足其后三位与前面隔开，差是13的
倍数．

123÷13=9„„6，那么6123一定是13的倍数，且为满足条件的最小自然数．

那么题中所求的最小整数为6123÷13=471．

方法二：有A的个位a只能是1，不然其与13的乘积的个位不是3．

显然有A的 个位1与13相乘过程中进有1，则A的十位b乘以13得到的数的个位为
2-1=1，显然只有当b= 7时才能满足．

此时A的十位7与13相乘过程中进有9，则A的百位c乘以13得到的数 的个位为
(1+10)-9=2，显然只有c=4．

于是
417
而乘以13后得到的积其最后三位数是123．

而这样的数中最小的是471．

14.将1 ，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入图7-2中的9个圆圈内，使
其中一条边上的4个数之和与 另一条边的4个数之和的比值最大．那么这个比
值是多少?


【分析与解】 为了使比值尽可能的大，那么一边应尽可能的小，另一边尽可能的大．

有两种情况：

478928
第一种情况，两边上各自4个数字和的比值为==2.8，
4 32110
6+7+8+930
第二种情况，两边上各自4个数字和的比值为==2.5.
6+1+2+312
显然有第一种情况的比值最大，为2.8．



15．在图7-3所示的除法算式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数．问被除数是多少?

【分析与解】 为了方便说明，标出字母．



=
A3B
=
A3B
÷999=
EF
÷
CD
，被除数与除数均为两位数． O.
A3B
999
所以
A3B
EF
可以约分后为，999为除数
CD
的倍数，
999
CD
999=3×3×3×37，999的约数中只有27、37为两 位数，所以除数
CD
只能是27或37．
第四行对应为
CD
×3， 且为三位数，所以
CD
=37．那么第四行为37×3=111．

则第五行首位为0减1，借位后为9．

所以第五行为90，对应为
CD< br>×B+
EF
=37×B+
EF
(
EF
<
CD
)．

当B=1时，37×B+
EF
小于37×(1+1)=54，不满足；

当B=2时，37×B+
EF
=37×2+
EF
=90，解 得被除数EF=16．

数字谜


涉及质数与合数等概念,以及需要利用数的整除特征、分解质因数等数论手段解的数字谜问题．

1.试将1,2,3,4,5,6,7分别填入下面的方框中,每个数字只用一次: 口口口(这是一 个三位数).口口口
(这是一个三位数),口(这是一个一位数),使得这三个数中任意两个都互质.已 知其中一个三位数已填好,
它是714,求其他两个数．
【分析与解】 714=2×3×7×17．
由此可以看出,要使最下面方框中的数与714互质,在剩下未 填的数字2,3,5，6中只能选5，也就
是说，第三个数只能是5．
现在来讨论第二个数的三个方框中应该怎样填2,3,6这3个数字．
因为任意两个偶数都有 公约数2,而714是偶数,所以第二个的三位数不能是偶数,因此个位数字只
能是3.这样一来,第二 个三位数只能是263或623.但是623能被7整除,所以623与714不互质．
最后 来看263这个数.通过检验可知:714的质因数2,3,7和17都不是263的因数,所以714与263
这两个数互质．
显然,263与5也互质．
因此,其他两个数为263和5．


2.如图19-1,4个小三角形的 顶点处有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，
而且每个小三角形3个顶点 上的数之和相等.问这6个质数的积是多少?






【分析与解】 设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S.4个小三角形的和S相加时, 中间三角
形每个顶点上的数被算了3次,所以 4S=2S+20,即S=10．
这样,每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2,3,5,从而六个质数是2,2,3,3,5,5,它们的 积
是：
2×2×3×3×5×5=900


3.在图19-2.所示算式的每个方框内填人一个数字,要求所填的数字都是质数,并使竖式成立．

【分析与解】记两个乘数为
a7b
和cd其中a、b、c、d的值只能取自2、3、5或7．
由已知条件,b与c相乘的个位数字仍为质数,这只可能是b与c中有一个是5另一个是3、5 或7,
如果b不是5,那么c必然是5,但73×5=365、77×5=385的十位数字都不是质数 .因此b是5,c是3、5、
7中的一个,同样道理,d也是3、5、7中的一个．
再由已知条件,
a75
的乘积的各位数字全是质数,所以乘积肯定大于2000,满足积大于2 000且a、c
取质数,只有以下六种情况：
775×3=2325,575×5= 2875,775×5=3875,375×7=2625,575×7=4025,775×7=5425．
其中只有第一组的结果各位数字是质数,因此a=7,c=3，同理,d也是3．
最终算式即为775×33=25575


4.把一个两位数的个位数字 与其十位数字交换后得到一个新数,它与原来的数加起来恰好是某个自然数
的平方.那么这个和数是多少 ?
【分析与解】 设原来的两位数为
xy
,则交换十位数字与个位数字后的 两位数为,两个数的和为
yx
,
两个数和为
xy
＋
yx< br>=
10xyx10y
11

xy


是ll的倍数,因为它是完全平方数,所以也是11 ×11=121的倍数.但是这个和小于100+100=200
<121×2,所以这个和数只能是121．



5. 迎杯×春杯=好好好
在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同 的数字.那么“迎+春+杯+
好”之和等于多少?
【分析与解】 好好好=好×111=好×3×37．
那么37必定是“迎杯”或“春杯”的约数,不妨设为“迎杯”的约数,那么“迎杯”为37或74．
当“迎杯”为37时,“春杯”为“好”×3,且“杯”为7,此时“春杯”为27,“好”为9,“迎+春+杯+好”之和为3+2+7+9=21；
当“迎杯”为74时,“春杯”为“好”×3 ÷2,且“杯”为4,此时“春杯”为24,“好”为16,显
然不满足．
所以“迎+春+杯+好”之和为3+2+7+9=21．

6． 数数×科学=学数学
在上面的算式中,每一汉字代表一个数字,不同的 汉字代表不同的数字.那么“数学”所代表的两位
数是多少?
【分析与解】 “学 数学”是“数数”的倍数，因而是“数”与1l的倍数.学数学=学×101+数×
10是“数”的倍数 ,而101是质数,所以“学”一定是“数”的倍数．
又“学数学”是11的倍数,因而:“学+学-数”为11的倍数．
因为“学”是“数”的倍 数,从上式推出“数”是11的约数,所以“数”=1,“学”=(11+1)÷2=6．
“数学”所代表的两位数是16．


7.将1,2,3,4,5,6,7,8,9 这9个数字分别填人下式的各个方框中,可使此等式成立:口口×口口=口
口×口口口=3634．填好后得到三个两位数和一个三位数,这三个两位数中最大的一个是多少?
【分析与解】 3634=2×23×79,表达为两个两位数的乘积只能是(2×23)×79,即46×79；
表达为一个两位数与一个三位数的乘积,只能是23×(2×79)=23×158．
满足题意,所以这三个两位数中最大的一个是79．


8.六年级的学生 总人数是三位数,其中男生占
3
,男生人数也是三位数,而组成以上两个三位数的6个数
5
字,恰好是l,2,3,4,5,6.那么六年级共有学生多少人?
【分析与解】 设六年级总人数为
xyz
,其中男生有
abc
人．
有
xyz
×
3
=
abc
,即5
a bc
=3
xyz
,其中
xyz
为5的倍数,所以z为5.而
abc
为3的倍数，所以其数
5
字和a+b+c应为3的倍数,则在剩下的5个数中, a、b、c(不计顺序)只能为1,2,6或l,2,3或4,2,6或
4,2,3．
而c不能是偶数(不然z应为0),所以只能是l,2,6或1,2,3或4,2,3可能满足；又因为
xyz
最大
为645,对应
abc
为387,即c不超过3．
于是
abc
有可能为261,123,321,213,231,243这6种可能,验证只有 当
abc
=261时,对应
xyz
为
261÷3×5=435．
所以六年级共有学毕435人.


9.图19-3是三位数与一位数相乘 的算式,在每个方格填入一个数字,使算式成立.那么共有多少种不同
的填法?

【分析与解】 设1992=
abc
×d(a ,b,c,d可以相同),有1992=2×2×2×3×83,其中d可以取2,3，
4，6,8这5 种,对应的算式填法有5种．



10.在图19-4残缺的算式中,只 写出3个数字l,其余的数字都不是1.那么这个算式的乘积是多少?









【分析与解】 如下图所示,为了方便说明,将某些数用字母标出．







第4行口口1对应为AB×C,其个位为1,那么B×C的个位数字也是 1,而B、C又均不能为1,所以只
有3×7,9×9对应为1,那么B为9、7或3．
第3行10口对应为AB×D,可能为100、102、103、104、105、106、107、108、1 09.103、107、109
均为质数,没有两位数的约数,不满足；
100、105没有个位数字为3、7、9的约数,不满足；
102=17×6、104=1 3×8、106=53×2、108=27×4,但102、104对应的AB中4均为1,不满足．
所以AB为53或27．
当AB为27时,第4行为27×C,且个位数字为1,所以只能为27×3=8l,但不是三位数,不满足．
当AB为53时,第4行为53×C,且个位数字为1,所以只能为53×7=371,因此被乘数必须 为53,乘数
为72,积为3816．



11.图19-5是 一个残缺的乘法竖式,在每个方框中填入一个不是2的数字,可使其成为正确的算式.那么
所得的乘积是 多少?

【分析与解】 方法一:由已知条件,最后结果的首位数字不能是2,因此只能是3.这说明千位上作
加法时有进位．
百位数上相加时最多向千位进2,所以要使千位数有进位,其中的未知数字至少是10-2-2 =6,即三个
三位数加数中的第二个至少是600.因为它是第一个乘数与一个一位数字的乘积,因此该 乘数肯定大于
60．
第二个乘数的百位数字与第一个乘数的乘积在220～229之 间,所以它只能是3(否则4×60>229).
而220～229之间个位数字不是2且是3的倍数的 只有225=3×75和228=3×76．
如果第一乘数是75,又第二个乘数的百位数字 是3,那么它们的乘积小于75×400=30000,它的首位
数字也就不可能是3,不满足．
乘数是76,另一个乘数就要大于30000÷76>394,那么只有395、396、39 7、398、399这五种可能,
它们与76的乘积依次为30020、30096、30172、30 248、30324.由于各个数字都不能是2,所以只有
76×396=30096满足题目的要求．
算式中所得的乘积为30096．
方法二：为了方便说明，将某些位置标上字母，如下图所示，因为干位最多进
1，而最终的乘积万位又不能是2，所以只能是3：








而第5行对应为22口=AB×C,其中C不可能为1,又不能为2,那么最小为3．
当C为3时,22口=AB×3,那么A只能为7,B只能为4,5或6，
(1)当B为4时,74×3=222,第5行个位为2,不满足题意；
(2)当B为5时,AB×CDE对应为75×3DE,小于30000,不满足；
(3)当B为6时,AB×CDE对应为76×3DE,D只能为9,此时第4行对应为
AB ×D即76×9=684.因为30000÷76>394,所以39E只有395、396、397、398、
399这五种可能,它们与76的乘积依次为30020、30096、30172、30248、30 324.
由于各个数字都不能是2,所以只有76×396=30096满足题目的要求．
验证C取其他值时没有满足题意的解．
所以算式中所得的乘积为30096．



12.请补全图19-6这个残缺的除法竖式.问这个除法算式的商数是多少?

【分析与解】 易知除号下第二行的首位为9.除号下第一行开头两位为1、0,商的十位为0．








第二行9口对应为CD×A，
(1)9口不可能为90,不然第一行前三位10口与第二行9 0的差不
可能为一位数,不满足第三行特征；
(2)9口对应为91时,第三行的首 位对应为10口-91,最小为9，
所以只能为9,那么有91=CD×A,928=CD×B,不可能 ；
(3)9口对应为92时,第三行的首位对应为10口-92,最小为8,
所以可能为8、9，
①如果为9,那么对应有92=CD×A,928=CD×B,不可能；
②如果为8 ,那么对应有92=CD×A,828=CD×B,不难得知A=l,B=9,CD=92时满足,那么被除数为
92×109=10028．
验证没有其他的情况满足,所以这个除法算式的商数为109．



13.若用相同汉字表示相同数字,不同汉字表示不同数字,则在等 式学习好勤动脑×5=勤动脑学习好×8
中,“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少?
【分析与解】 设“学习好”为x,“勤动脑”为Y,则“学习好勤动脑”为1000X+Y,“勤动脑学习< br>好”为1000y+x，
有(1000x+Y)×5=(1000y+x)×8,化简 有4992x=7995y,4992=128×3×13,7995=3×41×5×13,即
128 x=205y,有


x205

x410

x615
,

,

,
y128y256y384< br>

x820


y512

所以 ,“学习好勤动脑”所表示的六位数可能为205128,410256,615384,820512,但是不 能有重复
数字,所以只有410256,615384满足,其中最小的是410256

14.互为反序的两个自然数的积是92565,求这两 个互为反序的自然数.(例如102和201,35和53,11和
11,„,称为互为反序的数,但1 20和2l不是互为反序的数．)
【分析与解】 首先可以确定这两个自然数均为三位数,不然得到的乘积不可能为五位数．
设
AB C
×
CBA
=92565,那么C、A中必定有一个为5,一个为奇数.不妨设C为5 ．

AB5
×
5BA
=92565,那么A只能为1,1B55B1
=92565.又注意到92565=3×3×5×11×1l×17．
验证只有
1B5
为165时满足,所以这两个自然数为165、561．



15.开放的中国盼奥运×口=盼盼盼盼盼盼盼盼盼
上面的横式中不同的汉字代表不同的数字,口代表某个一位数.那么,“盼”字所代表的数字是多
少?
【分析与解】 我们从“口”中所应填入的一位自然数开始分析,设A=“开放的中国盼奥< br>运”,B=“盼盼盼盼盼盼盼盼盼”.
于是B=A×口.显然口内不会是1．
由于口是B的约数,因此口不会是“盼”所代表的数字,要不然A就等于111111111, 这说明口内不
会是5,而111111111不是7的倍数,说明口内也不会是7．
如果口内填3,则“盼”只能是1或2,当“盼”是1时,B÷3=37037037,不符合要求；当“盼”时 2
时，B÷3=74074074,也不符合要求；说明口内不能填入3．
口内也不 会是偶数数字2、4、6和8.因为口内是偶数数字时,“盼”也是偶数数字,口内显然不会
是2，如果 口内是4,根据被4整除的特征,“盼”只能是8,这时A就成了一个九位数,说明口内不能是4；
类似 的，可以说明口内不能是6和8．
综上所需,口的数字只能是9,这时利用
111...1< br>
=12345679×9,可以得到
9个1
盼盼盼...
盼
=12345679×9

9个盼
×盼.于是“盼”代表的数字必须同时满足下面两个条件：



经验证知◇=盼=7，即86419753×9=777777777．