例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，
99，100。请求出这个数列所有项的 和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，
99，100与列100，99，…，3 ，2，1相加，
则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+
（99+2）+（ 100+1），其中每个小括号内的两
个数的和都是101，一共有100个101相加，
所得 的和就是所求数列的和的2倍，再除以
2，就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个 等差数列，经研究发
现，所有的等差数列都可以用下面的公式求
和：等差数列总和=（首项+末 项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。

24

练 习 三
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的
和。
分析与解答：这个数列是等差数列，我
们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是
多少：
项数=（末项－首项）÷公差+1
=（50－2）÷2+1=25
首项=2，末项=50，项数=25

25

等差数列的和=（2+50）×25÷2=650
练 习 四
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270
例5：计算
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
分析与解答：
容易发现，被减数 与减数都是等差数列
的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，
然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其
实是把1 ~ 100这100个数分成了奇数与偶

26

数两个等差数列，每个数 列都有50个项。因
此，我们也可以把这两个数列中的每一项分
别对应相减，可得到50个差， 再求出所有差
的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
练 习 五
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997）－（2000+1998+1996）
（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）
（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）


名人名言
一道好题的价值之一在于它能产生其他
一些好题。 ——波利亚
27

第5讲 数数图形
知识要点与基本方法：
我们已经认识了线段、角、三角形、长
方形等基本图形，当这 些图形重重叠叠地交
错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想
准确地计数这类图形中所包含的 某一种基本
图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运
用有关的知识和思考方法，掌握数图形的 规
律，才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下
几点：
1，弄清被数图形的特征和变化规律。
2，要按一定的顺序数，做到不重复，不
遗漏。

28

例1：数出下面图中有多少条线段。

A
B
C
D

分析与解答：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗
漏。
从图中可以看出，从A点出发的不同线< br>段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同
线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线
段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6条
线段。
练习一：
数出下列图中有多少条线段。

29

（1）
ABCDE

（2）
（3）


例2：数一数下图中有多少个锐角。
E
D
C
B
O
A




30

分析与解答：
数角的方法和数线段的方法类似，图 中
的五条射线相当于线段上的五个点，因此，
要求图中有多少个锐角，可根据公式
1+ 2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10
（个）
练习二：下列各图中各有多少个锐角？
(1)
(2)

(3)



例3：数一数下图中共有多少个三角形。

31

ABC
D

分析与解答：
图中AD边上的每一条线段与顶点O构成
一个三角形，也就是说，AD 边上有几条线段，
就构成了几个三角形，因为AD上有4个点，
共有1+2+3=6条线段，所 以图中有6个三角
形。

练习三：
数一数下面图中各有多少个三角形。



32

例4：数一数下图中共有多少个三角形。
O
E
F


AB
C
D

分析与解答：
与前一个例子相比 ，图中多了一条线段
EF，因此三角形的个数应是AD和EF上面的
线段与点O所围成的三角形 个数的和。显然，
以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6
个，所以图中共有6×2 =12个三角形。
练习四
数一数下面各图中各有多少个三角形。

33

例5：数一数下图中有多少个长方形。
A
C
B
D

分析与解答：
数长方形与数线段的方法类似。可以这
样思考，图中的长方形的个数取 决于AB或
CD边上的线段，AB边上的线段条数是

34

1+2+3=6条，所以图中有6个长方形。
练习五


数一数下面各图中分别有多少个长方形。


( ) ( )
( )

逻辑学的用处：
有个学生请教数学家逻辑学有什么用。

数学家问他：“两个人从烟囱 里爬出去，一个
满脸烟灰，一个干干净净，你认为哪一个该去
洗澡？”
“当然 是脏的那个。”学生说。
“不对。脏的那个看见对方干干净净，以


为自己也不会脏， 哪里会去洗澡？”
35

第6讲 找 规 律（一）
专题简介：
观察是解决问题的根据。通过观察，得
以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情
况下，我们可以从以下几个方面来找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规
律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，
推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从
而很快找出规律；
4．数之间的联系往 往可以从不同的角度来理
解，只要言之有理，所得出的规律都可以认

36

为是正确的。
趣味数学:
某人先向正北走32km，再
向正南走36km，问以下哪些可能是正确的
①他离出 发点4km②他离出发点大于
48km③他离出发点68km④他离出发点小
于4km⑤他离出 发点大于4km小于68km
答：1，3，5


例1：先找出下列数排列的规律，并根据规
律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（ ），16，19
分析：在这列数中，相邻的两个数的差
都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：
10+3=13或16－3=13
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫
做数列。

37

练习一：
先找出下列各列数的排列规律，然后在括号
里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（ ），22，26
（2）3，6，9，12，（ ），18，21
（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3
（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19
（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192
（6）2，6，18，（ ），162，（ ）
（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2
（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），
11，3
例2：先找出下列数排列的规律，然后在括

38

号里填上适当的数。
1，2，4，7，（ ），16，22
分析：在这列数中，前4个数每相邻的
两个数的差依次是1，2，3。由此可以推算7
比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。
经验证，所填的数是正确的。
应填的数为：7+4=11或16-5=11
练习二：
先找出下列数排列的规律，然后在括号里填
上适当的数。
（1）10，11，13，16，20，（ ），31
（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64
（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），
11，2

39

（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），
11，9，8
（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），
4，1，0
（6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），
20，1
（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），
14，2
（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），
13，14
例3：先找出规律，然后在括号里填上适当
的数。
23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），
11，12

40

分析：
在这列数中，第一个数减去3的差是第
三个数 ，第二个数加上2的和是第四个数，
第三个数减去3的差是第五个数，第四个数
加上2的和是第 六个数……依此规律，8后
面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：
8+2=10

练习三
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）
（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）
（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），
（ ），18，14

41

（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）
（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），
20，12
（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），
13，486
（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），
（ ）
（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），
（ ）
例4：在数列1，1，2，3，5，8，13，（ ），
34，55……中，括号里应填什么数？
分析：经仔细观察、分析，不难发现：
从第三个数开始，每一个数都等于它前面两
个数的和。根据这一规律，括号里应填的数

42

为：
8+13=21或34－13=21
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古
代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。

练习四
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）
（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）
（3）0，1，3，8，21，（ ），144
（4）3，7，15，31，63，（ ），（ ）
（5）33，17，9，5，3，（ ）
（6）0，1，4，15，56，（ ）
（7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），

43

76，78
（8）0，1，2，4，7，12，20，（ ）
例5：下面每个括号里的两个数都是按一定
的规律组合的，在□里填上适当的数。
（8，4） （5，7） （10，2） （□，9）
分析：
经仔细观察、分析， 不难发现：每个括
号里的两个数相加的和都是12。根据这一规
律，□里所填的数应为：12－ 9=3

练习五：
下面括号里的两个数是按一定的规律组合
的，在□里填上适当的数。
（1）（6，9） （7，8） （10，5） （□，）

44

（2）（1，24） （2，12） （3，8） （4，
□）
（3）（18，17） （14，10） （10，1） （□，
5）
（4）（2，3） （5，9） （7，13） （9，□）
（5）（2，3） （5，7） （7，10） （10，
□）
（6）（64，62） （48，46） （29，27） （15，
□）
（7）（100，50） （86，43） （64，32） （□，
21）
（8）（8，6） （16，3） （24，2） （12，
□）


45

第7讲 和倍问题
专题简析：
已知两个数的和与它们之间的倍数关
系，求这两个数是多少的应用题，叫 做和倍
问题。解答和倍应用题的基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）=小数
小数×倍数=大数
（和－小数=大数）
例1：学校有科技书和故事书共480本， 科
技书的本数是故事书的3倍。两种书各有多
少本？


46

趣味数学:
红旗小学四(1)班42名学生去文化宫
看文艺演出， 每张票5元钱，文化宫规
定，每买4张票就送l张。请你算一算，
四(1）学生买票一共需要（ ）
元钱。



分析与解答：
答：170元
为了便于理解题意，我们画图来分析：

由图可知，如果把故事书的本数看作一份，那么科技书的本数就是这样的3份，两
种书的总本数就是这样的1＋3=4份。把480

47

本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3
份是科技书的本数。
480÷（1＋3）=120（本） 120×3=360
（本）

练 习 一
1，用锡和铝制成的合金是720千克，其
中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多 少
千克？
2，甲、乙两数的和是112，甲数除以乙
数的商是6，甲、乙两数各是多少？
3， 一块长方形黑板的周长是96分米，
长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各
是多少分米？

48

例2：果园里有梨树、桃树和苹果树共1200
棵， 其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树
的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹
果树各有多少 棵？
分析与解答：如果把苹果树的棵数看作1份，
三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份 。所以，
苹果树有1200÷8=150（棵），梨树有150×
3=450（棵），桃树有1 50×4=600（棵）
练 习 二
1，李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡
的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。
鸡、鸭、鹅各养了多少只？
2，甲、乙、丙三数之和是360，已知甲
是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙

49

各是多少。
3，商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与
圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔
各有 多少支？
查票
数学教授搭乘火车旅行，列车长前来查票
时，他竟找不到票。数学教 授急得满头大汗，
列车长说：找不到就算了，再补张票好了。数
学教授：这怎么可以，找不到那 张票，我就不
知道我要去哪里啊！

例3：有三个书橱共放了330本书，第二个< br>书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里
的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多
少 本书？
分析与解答：
把第一个书橱里的本数看作1份，那么

50

第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个
就是这样的2×4=8份，三个书橱里的 总本数
就是这样的1+2+8=11份。所以，第一个书橱
里放了
330÷11=3 0（本），第二个书橱里放了
30×2=60（本），第三个书橱里放了60×4=240
（本 ）。

练 习 三
1．甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是
乙 的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各
是多少。
2．三块钢板共重621千克，第一块的重 量是
第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2

51

倍。三块钢板各重多少千克？
3．甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，
甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数数
是丙队的3倍。三个队各修了多少米？
例 4：少先队员种柳树和杨树共216棵，杨
树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种
了多少 棵？
分析与解答：如果杨树少种20棵，那么柳树
和杨树的总棵数是216－20=196（ 棵），这里
杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以，柳树
的棵数是196÷（1＋3）=49（棵 ），杨树的
棵数是216－49=167（棵）。
练 习 四
1，粮站有大米和面粉共6300千克，大

52

米的重量比面粉的4倍还多300千克，大米
和面粉各有多少千克？
2，小华和小明两人参加数学竞赛，两人
共得168分，小华的得分比小明的2倍少42
分。两 人各得多少分？
3，学校购买了720本图书分给高、中、
低三个年级，高年级分得的比低年 级的3倍
多8本，中年级分得的比低年级的2倍多4
趣味数学:
本。高、中、低年 级各分得图书多少本？
比赛场次一样多，任何两个选手只在一次
比赛中相遇，每次比赛出场四人 ，问共有
多少人参加。
答：13
小华参加摩托车比赛，参加的选手与


例5：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的

53

米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。
三个队各筑多少米？
分析与解答：
把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数
是这样的2份。假设丙队多筑2 40米，那么
三个队共筑了1360＋240=1600米，正好是乙
队的2＋1＋1=4倍。 所以，乙队筑了1600÷
4=400米，甲队筑了400×2=800米，丙队筑
了400－ 240=160米。

练 习 五
1，三个植树队共植树1900棵，甲队植
树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300
棵。三个队各植树多少棵？

54

2，三个数的和是1540，甲数是丙数的7
倍，乙数比甲数多 40。三个数各是多少？
3，城东小学共有篮球、足球和排球共
95个，其中足球比排球少5 个，排球的个数
是篮球个数的

2

倍。篮球、足球、排球各有
我解决过的每一个问题都成为日后用以解
决其他问题的法则。——笛卡尔

多少个？
名人名

第8讲 最优化问题
知识要点与基本方法：在日常生活和生
产中，我们经常会遇到 下面的问题：完成一
件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最
少，效果最佳。这类问题在数学 中称为统筹
问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最

55

大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往
可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，
这 类问题在数学中称为极值问题。以上的问
题实际上都是“最优化问题”。例1：用一只
平底锅煎 饼，每次只能放两个，剪一个饼需
要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。问煎
3个饼至少需要 多少分钟？
分析与解答：先将两个饼同时放入锅中
一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时
可将一个取出，另一个翻过去，再放入第三
个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，
把第三个翻过去，再将第一个放入煎，再煎
一分钟就会全部煎好。所以，煎3个饼至少
需要3 分钟。

56

名人名



自然这一巨著是用数学符号写成的。——伽里略
练 习 一
1，烤面包时，第 一面需要2分钟，第二
面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。
小丽用来烤面包的架子，一 次只能放两片面
包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少
分钟？
2，用一只平底锅 烙大饼，锅里只能同时
放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在
要烙3个大饼，最少要用几分 钟？
3，小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放
4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2

57

分钟）。可小华烙6个大饼只用了6分钟，他
是怎样烙的？ < br>例2：妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶
需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需
要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝
上茶，最少需要多少分钟？

难题

我的一位数学老师，有一次，我的一个同学问他一道数学题，

他一看，挺简单，于是大怒，说道：你这个笨蛋，这道题不就这么这
么这么作.....

又换了一次，该同学找了一道据难的问题问他，他一看，然后似
乎进入了思考状态， 然后开始踱步思考，然后开始向教室外踱去
，
然

后就消失了。



分析：
经验表明，能同时做的事，尽量同时做，
这样可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，

58

因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗
茶壶、洗茶杯和拿茶 叶与烧开水可以同时进
行。
根据以上的分析，可以这样安排：先洗
水壶用1分钟，接 着烧开水用15分钟，同时
洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，
共需要16分钟。
练 习 二
1，小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶
开水需要10分钟，把开水 灌进热水瓶需要2
分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分
钟。他完成这几件事最少需要多少 分钟？
2，小强给客人沏茶，烧开水需要12分
钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放

59

茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶，
你认为最合理的安 排，多少分钟就可以了？
3，在早晨起床后的1小时内，小欣要完
成以下事情：叠被3分钟， 洗脸刷牙8分钟，
读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌
5分钟，收听广播30分钟。最 少需要多少分
钟？
例3：五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学
同时到达学校卫生室 ，等候校医治病。赵明
打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，
李佳点眼药水需要1分钟。卫 生室只有一位
校医，校医如何安排三位同学的治病次序，
才能使三位同学留在卫生室的时间总和 最
短？

60

分析：
校医应该给治疗时间最短 的先治病，治
疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫
生室的时间总和最短。这样，三位同学 留在
卫生室的时间分别是：李佳1分钟，赵1+3=4
分钟，赵明1+3+5=9分钟。时间总 和是
1+4+9=14分钟。
练 习 三 < br>1．甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1
个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热水
龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，
可以使他们打热水所花的总时间最少？
2．甲、乙 、丙三人到商场批发部洽谈业务，
甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、

61
名人名

16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的
时间最少？最少时 间是多少？


3．甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用
水，甲洗托把 需要3分钟，乙洗抹布需要2
分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需
要1分钟。怎样安排 四人用水的次序，使他
们所花的总时间最少？最少时间是多少？
例4：用18厘米长的铁丝围 成各种长方形，
要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长
方形的面积最大是多少？
分析与解答：根据题意，围成的长方形
的一条长与一条宽的和是18÷2=9厘米。显

62
纯粹数学，就其本质而言，是逻辑
思想的诗篇。 ——爱因斯坦

然，当长与宽的差越小，围成的长方形的面
积越大。又 已知长和宽的长度都是整厘米数，
因此，当长是5厘米，宽是4厘米时，围成
的长方形的面积最 大：5×4=20平方厘米。

练 习 四
1，用长26厘米的铁丝围成各种 长方形，
要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长
方形的面积最大是多少？
2，一个长方形的周长是20分米，它的
面积最大是多少？
3，一个长方形的面积是 36平方厘米，
并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方
形的周长最长是多少厘米？

63

例5：用3 ~ 6这四个数字分别组成两个两
位数，使这两个两位数的乘积最大。
分析与解答：解决这个问题 应考虑两点：
（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使
两个数的差最小。所以应把6和5 这两个数
字放在十位，4和3放在个位。根据“两个
因数的差越小，积越大”的规律，3应放在 6
的后面，4应放在5的后面。63×54=3402

练 习 五
1，用1 ~ 4这四个数字分别组成两个两
位数，使这两个两位数的乘积最大。
2，用5 ~ 8这四个数字分别组成两个两
位数，使这两个两位数的乘积最大。

64

3，用3 ~ 8这六个数字分别组成两个三
位数，使这两个三位数的乘积最大。
家的感觉
数学家认为数学的组成是：50%公式，
50%证明，50%想象力。
拓扑学家不能区分咖啡杯与面包圈。
统计学家的头在烤炉脚在寒冰时，会
说：“平均感觉是良好的。”

第九讲 牛顿（1642～
1727）
牛顿英国物理学家、数学家。曾任英
国皇家学会会长。
牛顿是举世公认的、有史以 来最伟大
的科学家之一。他的幼年充满了辛酸，在他
出生前3个月父亲便去世了，之后母亲改嫁 ，
他是由外祖母抚养成人的。23毕业于著名的

65

剑桥 大学后留校工作。后因逃避伦敦流行的
鼠疫来到母亲的农场里。在这里，他被一个
常人熟视无睹 的现象吸引住了。有一次，他
看到一个熟透了的苹果落在地上，便开始思
索为什么苹果会垂直落 在地上，而不是飞到
天上去呢？一定是有一种力在拉它，那么这
种将苹果往下拉的力会不会控制 月球？他就
是通过这个看起来十分简单的现象，发现了
著名的万有引力定律。这个定律的巨大作 用，
很快就显示了出来。它解释了当时所知道的
天体的一切运动。同时，牛顿又完成了一项重要的光学实验，从而证明了白光是由以赤、
橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序排列的合成
光 。1687年，牛顿出版了有史以来最伟大的

66

科学著作《自然 哲学的数学原理》。在这里，
他钻研了伽利略的理论，并归纳出著名的运
动三大定律。除此之外 ，他发现的二项式定
理，在数学界也有一席之地。1704年，出版
《光学》一书，总结了他对 光学研究的成果。
牛顿61岁那年被选为英国皇家学会
会长，此后年年连任直至逝世 。作为举世公
认的、最卓越的科学巨匠，他仍谦逊地说：
“如果说我比别人看得远些，那是因为 我站
在了巨人的肩上。”1727年3月20日，84
岁的牛顿逝世了。作为有功于国家的伟人 ，
他被葬在了英国国家公墓，受到世人的瞻仰。


67

第十讲1、巧测金字塔高度
金字塔是埃及的著名建筑，尤其胡夫金< br>字塔最为著名，整个金字塔共用了230万块
石头，10万奴隶花了30年的时间才建成这
个建筑。金字塔建成后，国王又提出一个问
题，金字塔倒底有多高，对这个问题谁也回
答不上 来。国王大怒，把回答不上来的学者
们都扔进了尼罗河。当国王又要杀害一个学
者崐的时候，著 名学者塔利斯出现了，他喝
令刽子手们住手。国王说：“难道你能知道
金字塔的高度吗？”塔利 斯说：“是的，陛
下。”国王说：“那么它高多少？
”塔利斯沉着地回答说：“147米。”国王

68

问：“ 你不要信口胡说，你是怎么测出来的？”
塔利斯说：“我可以明天表演给你看。”第
二天，天气 晴朗，塔利斯只带了一根棍子来
到金字塔下，国王冷笑着说：“你就想用这
根破棍子骗我吗？你 今天要是测不出来，那
么你也将要被扔进尼罗河！”塔利斯不慌不
忙地回答：“如果我测不出来 ，陛下再把我
扔进尼罗河也为时不晚。
”接着，塔利斯便开始测量起来，最后，国
王也不得不服他的测量是有道理的。
小朋友，你知道塔利斯是如何进行测量的
吗？


69

2、数学趣味小故事
高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一
道题目要同学们算算看，：
1+2+3+ ..... +97+98+99+100 =？
老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下
课了吧！正要借口出去时，却被 高斯叫住
了！！ 原来呀，高斯已经算出来了，小朋友
你可知道他是如何算的吗？高斯告诉大家 他
是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加
至 1 排成两排相加，也就是说：
1+2+3+4+ ..... +96+97+98+99+100
100+99+98+97+96+ ..... +4+3+2+1

70

=101+101+101+ ..... +101+101+101+101
共有一百个101相加，但算式重复了两次，
所以把10100 除以 2
便得到答案等于 <5050>从此以后高斯小学
的学习过程早已经超越了其它的同学，也因< br>此奠定了他以后的数学基础，更让他成为—
—数学天才！

第11周 速算与巧算（二）
专题简析：
乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除< br>法的运算定律和运算性质以及积、商的变化
规律，通过对算式适当变形，将其中的数转
化 成整十、整百、整千…的数，或者使这道

71

题计算中的一些数变得易于口算，从而使计
算简便。

例1：计算325÷25
分析与解答：
在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这一性质，可
以使这道计算题简便。
325÷25
=（325×4）÷（25×4）
=1300÷100
=13
练 习 一
计算下面各题。

72

1，450÷25 2，525÷25
3，3500÷125 4，10000÷625
5，49500÷900 6，9000÷225
例2：计算25×125×4×8
分析与解答：
经过仔细观察可以发现：在这道连 乘算
式中，如果先把25与4相乘，可以得到100；
同时把125与8相乘，可以得到100 0；再把
100与1000相乘就简便了。这就启发我们运
用乘法交换律和结合律使计算简便。
25×125×4×8
=（25×4）×（125×8）
=100×1000
=100000

73

练 习 二
计算下面各题。
125×15×8×4 25×24 25×5
×64×125
125×25×32 75×16 125×
16
例3：计算（1）（360+108）÷36 （2）（450
－75）÷15
分析与解答：
两个数的和（或差）除以一个数，可 以
用这个数分别去除这两个数，再求出两个商
的和（或差）。利用这一性质，可以使这道题计算简便。

74

（1）（360+108）÷36 （2）（450
－75）÷15
=360÷36+108÷36 =450
÷15－75÷15
=10+3 =30－
5
=13 =25
练 习 三
计算下面各题。
1．（720+96）÷24
2．（4500－90）÷45
3．6342÷21 4．8811÷89
5．73÷36+105÷36+146÷36
6．（10000－1000－100－10）÷10

75

例4：计算158×61÷79×3
分析与解答：在乘除法混合运算中，如果 算
式中没有括号，计算时可以根据运算定律和
性质调换因数或除数的位置。
158×61÷79×3
=158÷79×61×3
=2×61×3
=366
趣味数学:
有1~9九个数字组成两个数（每
个数只用一次），试问组成什么数乘
积最大？
答：9642
87531

练 习 四
计算下面各题。

76

1，238×36÷119×5 2，624×48÷312
÷8
3，138×27÷69×50 4，406×312÷
104÷203
例5：计算下面各题。
（1）123×96÷16 （2）200÷（25
÷4）
分析与解答：这两道题都是乘除混合运算式
题，我们可 以根据这两道题的特点，采用加
括号或去括号的方法，使计算简便。其方法
与加减混合运算添、 去括号的方法类似，可
以概括为：括号前是乘号，添、去括号不变
号；括号前是除号，添、去括 号要变号。
（1）123×96÷16 （2）200÷（25

77

÷4）
=123×（96÷16） =200÷25
×4
=123×6 =8×4
=738 =32
趣味数学：
小明的日记本每页都标
上号码，他用0~9的数字共
981个。日记本有多少页？
答：357

练 习 五
计算下面各题。
1，612×366÷183
2，1000÷（125÷4）
3，（13×8×5×6）÷（4×5×6）
4，241×345÷678÷345×（678÷241）

78

第12讲 定义新运算
专题简析：
我们学过 常用的运算加、减、乘、除等，
如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什
么运算结果 不同呢？主要是运算方式不同，
实质上是对应法则不同。由此可见，一种运
算实际就是两个数与 一个数的一种对应方
法。对应法则不同就是不同的运算。当然，
这个对应法则应该是对应任意两 个数。通过
这个法则都有一个唯一确定的数与它们对
应。
这一周，我们将定义一些新的运算形式，
它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不

数学的本质在于它的自由。 ——康托尔
79
名人名

相同的。

例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a
的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b
×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。
分析与解答：
解这类题 的关键是抓住定义的本质。这
道题规定的运算本质是：运算符号前面的数
的3倍减去符号后面的 数的2倍。
（1） 5△6=5×3－6×2=3
（2） 6△5=6×3－5×2=8
显然，本例定义的运算不满足交换律，
计算中不能将△前后的数交换。


80

练 习 一
1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a
－2×b。
试计算3○4。
2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a
＋2×b。试计算：
（1）（5*6）*7
（2）5*（6*7）
3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与
B的平均数。已知A▽6=17，求A。
例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋
a＋b，
试计算6⊕2。
分析与解答：

81

这道题规定的运算本质是：用运算符号
前后两个数的积加上这两个数。
6⊕2=6×2＋6＋2=20
练 习 二
1，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b
－（a＋b）。计算3⊕5。
2，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B
÷2。
试算6☆4。
3，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a
×b＋a＋b。
如果5⊕x=29，求x。
例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，
按此规律计算3△5。

82

分析与解答：
这道题规定的运算本质是：从运算符号前
的数加起，每次加的数都比前面的一个数多
1，加数的个数为运算符号后面的数。所以，
3△ 5=3＋4＋5＋6＋7=25
练 习 三
1，如果5▽2=2×6，2▽3=2×3×4，计
算：3。
2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷
（3＋6），计算8▽4。
3，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7
＋8，且1△x=15，求x。
例4：对于两个数a与b，规定a□
b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6= 27，

83

求x。
分析与解答：经仔细分析，可以发现 这道题
规定运算的本质仍然是：从运算符号前面的
数加起，每次加的数都比它相邻的前一个数< br>多1，加数的个数为运算符号后面的数，原
式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)= 27，解这个
方程，即可求出x=2。
练 习 四
1，如果2□3=2＋3＋ 4=9，6□5=6＋7＋
8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。
2，对于两 个数a与b，规定a□
b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□
x =585，求x。
3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2

84

×3=6，按此规律计算5！。
例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。
按此规律计算：。7▽3
分析与解答：
仔细观察和分析这几个算式，可以发现
下面的规律：a▽b=2a+b，依此规律：
7▽3=7×2＋3=17。
练 习 五
1，有一个数学运算符号“▽”，使下列
算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=1 5，5
▽1=8。按此规律计算：8▽4。
2，有一个数学运算符号“□”使下列算
351
667
3
2
按此规律计算：□。
8
11

85
式成立：□

，□

1
2
2
3
64711
，□

。
425945

3， 对于两个数a、b，规定a▽b=b×x
－a×2，并且已知82▽65=31，计算：29▽
我要变形了
57。
数学老师上课时常习惯于对走神的学
生说：“注意！我要……了。”
一天，正讲解方 程式，他发现又有同
学精神不集中，于是拍案道：“注意，我要
变形了！”

第13讲 算式谜（一）
知识要点与基本方法：
“算式谜”一般是指那 些含有未知数字
或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可
以根据已学过的知识，运用正确的分 析推理
方法，确定算式中的未知数字和运用符号。
由于这类题目的解答过程类似全平时进行的< br>猜谜语游戏，所以，我们把这类题目称为“算

86

式谜题”。
解答算式谜问题时，要先仔细审题，分
析数据之间的关系 ，找到突破口，逐步试验，
分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估
值法等。
例1：在下面算式的括号里填上合适的数。
7 6 （ ） 5
+ （ ） 4 7
（ ）2 1 （ ）
趣味数学:
芳芳在计算5×(口+9)时，
错看成了5

口+9，她得到的结果与正确
的结果相差（ ）。
答：36


分析：
根据题目特点，先看个位：7＋5=12，在

87

和的个位（ ）中填2，并向十位进一；再
看十位，（ ）+4+1的和个位是1，因此，第
一个加数的（ ）中只能填6，并向百位进1；
最后来看百位、千位，6+（ ）+1的和的个
位是2，第二个加数的（ ）中只能填5，并
向千位进1；因此，和的千位（ ）中应填8。

练习一
（1） 在括号里填上合适的数。 （2）
在方框里填上合适的数。
6 （ ）（ ） □
0 □ □
+2（ ） 1 5 －
3（ ）1 7

88

（ ）0 9 1
2 8 5 6
（3） 下面的竖式里，有4个数字被遮住
了，求竖式中被盖住的4个数字的
和。
□ □
+ □ □
1 6 9
例2：下 面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”
分别代表不同的数字，相同的汉字代表相同
的数字。 当它们各代表什么数字时，下列的
算式成立。
腾 飞
龙 腾 飞

89

+巨 龙 腾 飞
2 0 0 1
分析： < br>先看个位，3个“飞”相加的和的个位
数字是1，可推知“飞”代表7；再看十位，
3个 “腾”相加，再加上个位进来的2，所得
的和的个位是0，可推知“腾”代表6；再看
百位，两 个“龙”相加，加上十位进上来的
2，所得和的个位是0，“龙”可能是4或9，
考虑到千位上 的“巨”不可能为0，所以“龙”
只能代表4，“巨”只能代表1。
练习二
（1） C D （2） 式 谜 （3）
澳 门

90

A C D 填 式 谜
澳 门 归
+A B C D +巧 填 式 谜 +
庆 澳 门 归
1 9 8 9 1 9 9 5
1 9 9 9
例3：下面各式中的“兵”、“炮”、“ 马”、“卒”
各代表0—9这十个数字中的某一个，相同的
汉字代表相同的数字。这些汉字各代 表哪些
数字？
兵 炮 马 卒
+ 兵 炮 车 卒
车 卒 马 兵 卒
分析：这道题应以“卒”入手来分析。“卒”

91

< br>和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，这
个数字只能是0。确定“卒”是0后，所有
是“卒”的地方，都是0。注意到百位上是
“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是5，
“ 车”是1；再由十位上的情况可推知“马”
是4，进而推得“炮”是2。

练习三
（1） B A （2） A B C （3）
炮 兵 兵 炮
A B + C D C －
兵 马 兵
+ A B A B C D
马 兵 马

92

C A A
如果你想学会游泳，你必须下水；如果想成


名人名
为解题能手，你必须解题 ——波利亚
例4：将0、1、2、3、 4、5、6这七个数字
填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，
组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
分析：要求用七个数字组成五个数，这五个
数 有三个是一位数，有两个是两位数。显然，
方格中的数和被除数是两位数，其他是一位
数。 < br>0和1不能填入乘法算式，也不能做除
数。由于2×6=12（2将出现两次），2×5=10< br>（经试验不合题意），2×4=8（7个数字中没

93

有8 ），2×3=6（6不能成为商）。因此，0、1、
2只能用来组成两位数。经试验可得：3×
4=12=6=÷5
练习四
（1）将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填
在 圆圈和方筐里，每个数字恰好出现一次
组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
（2）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。
□÷□=□÷□
（3）用1、2、3、7、8这五个数字可以列成
一个算式：
（1+3）×7=28。请你用0、1、2、3、4、
6这六个数字列成一个算式。

94

例5：把“＋、－、×、÷”分别放在适当
的圆圈中（运算符号 只能用一次），并在方框
中填上适当的数，使下面的两个等式成立。
36○0○15=15 21○3○5=□
分析：先从第一个等式入手，等式右边是15，
与等式左边最后一个数15 相同，因为
0+15=15，所以，只要使36与0的运算结果
为0就行。显然，36×0+1 5=15
因为第一个等式已填“×”、“+”，在第
二个等式中只有“－”、“÷”可以填， 题目
要求在方框中填整数，已知3不能被5整除，
所以“÷”只能填在21与3之间，而3与5
之间填“－”。
练习五

95

（1）把“＋、 －、×、÷”分别填入下面的
圆圈中，并在方框中填上适当的整数，
使下面每组的两个等式成立 。
① 9○13○7=100 14○2○
5=□
② 17○6○2=100 5○14○
7=□
（2）将1 ~ 9这九个数字填入□中（每个数
字只能用一次），组成三个等式。
□＋□=□ □－□=□
□×□=□
第14讲 简 单 推 理
知识要点与基本方法：
解答推理问题，要从许多条件中找出关

96

键条件作为推理的突破口。推理要有条理地
进行，要充分利用已经得出的结论，作为 进
一步推理的依据。
例1：一包巧克力的重量等于两袋饼干
的重量，4袋牛肉干的重 等于一包巧克力的
重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？
分析：
根据“一包巧克 力的重量=两袋饼干的重
量”与“4袋牛肉干的重量=一包巧克力的重
量”可推出：两袋饼干的 重量=4袋牛肉干的
概率
重量。因此，一袋饼干的重量=两袋牛肉干的
我去参观气 象站，看到许多预测天气的最
重量。
新仪器。
参观完毕，我问站长：“你说有百分之七十
五的概率下雨时，是怎样计算出来的？”
站长不必多想便答道：“那就是说，我们这
里有四个人，其中三个认为会下雨。”

97

练 习 一
（1）一只菠萝的重量 等于4根香蕉的重量，
两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，
一只梨子的重量等于几根香蕉的重
量？
（2）3包巧克力的重量等于两袋糖的的重量，
12袋牛肉干的重量等于3包巧 克力的
重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉干
的重量？
（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3

98

只鸡的重量等于4只鸭的重量。一只
小猪的重量等于几只鸭的重量？
例2：一头象的重量等于4头牛的重量，一
头牛的重量等于3匹小马的重量，一匹小马
的重量等 于3头小猪的重量。一头象的重量
等于几头小猪的重量？
分析：根据“一头象的重量等于4头 牛的重
量”与“一头牛的重量等于3匹小马的重量”
可推出：“一头象的重量等于12匹小马的 重
量”，而“一匹小马的重量等于3头小猪的重
名人名言
量”，因此，一头象的重量等于36头小猪的
重量。

心中没有一定的问题而要寻找方法的人，
多半都是徒劳无获的。――希尔伯特


99

练 习 二
（1）一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，
1个菠萝的重量等于4个苹果的重量，
1个苹果的重量等于两个橘子的重量。
1只西瓜 的重量等于几个橘子的重量？
（2）一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天
吃草的重量相等， 也和6只羊一天吃草
的重量相等。已知一头牛每天吃青草
18千克，一只兔子和一只羊一天共吃
青草多少千克？
（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3
只鸡的重量等于4只鸭 的重量，两只鸭
的重量等于6条鱼的重量。问：两只小
猪的重量等于几条鱼的重量？

100