韩国的风土人情-实习周记20篇

附表2
立体几何证明的向量公式和定理证明
线线平行
平
行
的
证
明

（1）向量法

（2）线面平行性质定理
（线面平行

线线平行）

（3）面面平行性质定理

（4）线面垂直性质定理

线面平行

（1）向量法

（2）线面平行判定定理
（线线平行

线面平行）

（3）面面平行

线面平行
面面平行

（1）向量法

（2）面面平行判定定理
（线面平行

面面平行）

（3）面面平行判定定理推论
线线垂直
垂
直
的
证
明

（1）向量法

（2）线面垂直

线线垂直

（3）三垂线定理

（4）三垂线逆定理
线面垂直

（1）向量法

（2）线面垂直判定定理
（线线垂直

线面垂直）

（3）面面垂直性质定理
（面面垂直

线面垂直）
面面垂直

（1）向量法

（2）面面垂直判定定理
（线面垂直

面面垂直）

两异面直线所成角（0，

】
2
线面角【0，

】
2
二面角【0，

】
角
度
的
计
算

（1）向量法

（2）直接法：平行移动一条或两
条直线，直到他们相交。这时所
成的角（或其补角）为所求 角。
技巧：多找中点，中位线，平
行四边形等，或实行拓展补图等。

（1）向量法 （1）向量法

（2）定义法：直接找到斜

垂线法(定义法)
线和射影所成角。
2找平面角

< br>三垂线法（斜线射影）
（3）
sin


h

l


垂面法（平行于公共棱的面）

（4）三角余弦定理：
cos< br>
cos

1
cos

2

（3）射影面积法

距
离
点面距离

线面距离

面面距离
两异面直线间的距离

的
计
算
（1）向量法：

1、转化为平面的平行线上

（2）转化法
另外一点到平面的距离



2、转化到平面另外一侧的点来 求，

这两点的线段的中点是与平面的交点

（1）向量法

（2）定义法：找出异面直线的公垂线段。

（3）转化法：转化为线面距离或面面距
离来求。
（3）等体积法：

（四）利用向量方法证明和计算的原理（
非常重要
）
证明 分类 示意图 所需条件
（1）直线m方向向量
m
；
证明原理
线线
平行

平
行
的
证
明

m

n

m
∥
n

m
∥n

（2）直线n方向向量
n

线面
平行

（1）直线m方向向量
m
；
（2）平面

的法向量
n

mn0


mn


直线
m
∥平面


m

n

面面
平行

（1）平面

的法向量
m


m
∥
n

（2）平面

的法向量
n


平面

∥平面


（1）直线m方向向量
m
；
线线
垂直

垂
直
的
证
明
mn0

mn

m
⊥
n

（2）直线n方向向量
n

（1）直线m方向向量
m
；
（2）平面

的法向量
n

线面
垂直

m

n


m
∥
n


直线
m
⊥平面


（1）直线m方向向量
m
；
m

AB
=0

m
⊥AB
（2）平面

内两相交直线

的方向向量
AB
,
CD

m

CD
=0

m
⊥CD


m
⊥


AB,CD


且AB

CD=P

mn0

面面
垂直




计算 分类
两异
面直
线所
成角
示意图 所需条件 证明原理
mn
mn
（1）平面

的法向量
m


mn

（2）平面

的法向量
n


平面

⊥平面


cos

cosm,n

（1）直线m方向向量
m

（2）直线n方向向量
n


简化：
cos






（0，】
2
mn
mn

（1）直线OA的方向向量
线面角
角
的
计
算

sin

cosOA,n
OAn
OAn





【0，】
2
θ


OA
；
（2）平面

的法向量
n

简化：sin

=

OAn
OAn


同进同出为互补
二面角



【0，

】
（1）平面

的法向量
n

cosm,n
mn
mn

（2）平面

的法向量
m

（1二面角平面角是锐角余弦就取正值
（2二面角平面角是钝角余弦就取负值

一进一出为相等
（1）直线a和直线b的公
距
离
的
计
算
垂线的方向向量
n
；
两异面直线间的距离 （2）a上任意一点A，b
d
上任意一点B，构成向量


|ABn|
|n|
AB

点面距离
点
面
距
离
（1）点A和平面

内任
意一点B构成一个向量

AB
；


点A到平面

的距离
（2）平面

的法向量
n

d
线面距离
转化为
点面距离
|ABn|
|n|
面面距离
转化为
点面距离

高考数学专题——立体几何
综合近几年的高考题可知，本章高考命题的形式比较稳定，难易适 中。主要考线线、线面及面
面的平行与垂直，三垂线定理及逆定理的应用，以及空间角和距离的计算。从 解答题来看，一般
遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法，平移法等数学方法。注 重考查转化
与化归的思想。（即立体几何平面化：面面问题

线面问题
线线问题；几何问题代数化）
一、基本定理梳理
平行的证明
定义
线面平行
一条直线与一个平面没有公共
点，叫做直线与平面平行。
如果不在平面内的一条直线和平面
内的一条直线平行，那么这条直线和
这个平面平行。
面面平行
如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平
行，也叫做平行平面。
如果一个平面内有
两条相交直线分别平行
于另外一个平面，那么这
两个平面平行。 < br>推论：如果一个平面内有两
条相交直线分别平行于另
外一个平面内的两条直线，
那么这两个平面平行。
文字
语言
判
定
定
理
图
形
语
言
符
号
语
言



a



b


a


ab


如果一条直线和一 个平面平行，
经过这条直线的平面和这个平面相
交，那么这条直线和交线平行。
a

,ba

a

,ba


a

bP


a

bP











< br>''
aa,bb

a

,b



a
'


,b
'




如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么他
们的交线平行。
性
质
定
文字
语言

理

图
形
语
言
符
号
语
言




a


ab




b



a









a

ab




b


其他
重要
结论
如果两个平面平行，则其中一
个平面内的任意一条直线平行于另
外一个平面。





a


a




垂直的证明 线面垂直
如果一条直线和一个平面相交，
面面垂直
其他重要结论
相交成直二面角的两个
平面叫做相互垂直的平面。
如果一个平面过另一个
平面的一条垂线，那么这两个
平面互相垂直。
如果一条直线和一个平
面垂直，那么这条直线垂直于
这个平面内的任意一条直线。
定义
并且和这个平面内的任意一条直线
都垂直，我们就说这条直线和这个平
面互相垂直。
文字
语言
如果一条直线和一个平面
内的两条相交直线都垂直，那么
这条直线垂直于这个平面。
判
定
定
理
图形
语言

符号
语言


a

,b



a

bP

c


ca,cb


a








a


b



ab

a


性
质
定
理

文字
语言
如果两个平面互相垂直，
如果两条平行线中的一
如果两 条直线同垂直于一那么在一个平面内垂直于他
条垂直于一个平面，那么另一
个平面，那么这两条 直线平行。 们交线的直线垂直于另外一
条也垂直于这个平面。
个平面。
图形
语言

符号
语言

a



ab

b


三垂线定理



,a


a





 b,ab

ab


b


a


三垂线逆定理
在平面内的一条直线，如果它和这个 平面内的
一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的
射影垂直。
文字语言
在平面内的一条直线，如果它和这个平
面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这
条斜线垂直。
图形语言


符号语言
PO

,PO
O


aPA

A

,a 

,aOA

PO

,PO

 O


aOA

A

,a

,aPA
