衢州职业技术学院-新学期黑板报内容

HaoR三年级奥数教材
专题 在图形的数字中找规律

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基础讲解
在前面的专题中，我们了解和掌握了在数字排列中寻找一些规律，这些 基
础知识很重要。世间万物皆有象，通过数学的学习和应用我们能很好地揭示现
象所表现的内涵 ，这有助于我们进一步由现象到本质去挖掘事物及其变化的规
律，并加以应用，可以说在数字中发现规律 是最基本的功夫和应用之一了。
这一专题我们来学习在图形的数字中发现规律。
在图形中发现规律的方法有很多，我们一一来了解。
最简单的，就是发现图形之间的变化规律。
比如：根据前面图形中数的排列规律，在？处填入合适的数。




每个图形中的数字看似没有规律，但图形之间的数字规律却很明显：







图形之间，第一个图形、第二个图形和第三个图 形，相对应的数字排列为
（5、7、9），（10，12，14），（9，11，13），我们发现它们 都是相差为2的数
列，那么问题就变为（14，16，？），确定？的数字，很明显为18。
当然还可以很简单的推理，下面的数字都比上面的大4或者右边的都比左
边的大5，那么按照这个规律也 可以推出？值为18。
上面的比较简单，我们来看一个略微复杂一点的问题：
观察正方形中四个数的关系，在第三个图形的空缺处填写数字。

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（天津市数学学科竞赛题）




咋一看，似乎蒙圈儿了，因为你发现每个图形中的数字似乎 没规律，图形
之间也没有什么规律可寻。
这个时候需要静下心来慢慢观察、分析，4×3=1 2，7×3=12，5×3=15，
这个说明图形还是有规律的（×3），9-4=5，12-7=5， 那么5下面的应该是
5+5=10，而9-5=4，12-8=4，那么15下面的数字应该为10-4 =6。
在图形中发现规律有一个方法是通过图形中给定的数字来构建一个等式，
这个等式可以 应用于给定的其他图形。
比如：根据前面图形中数的排列规律，在空缺处填入合适的数。





通过观察第一个图形，我们发现有这样的等式：8+4 ×2=16，还可以8÷2
×4=16；通过观察第一个图形，我们发现有这样的等式：8÷4×7=1 4，这样，
我们发现了可以同时应用于第一个和第二个图形的计算等式（也就是规律），但
第三 个4不能被3整除，但9可以，我们知道乘除是等同的、全是乘除的时候
是可以换位置的，也就是乘除不 分先后，那么就可以列为4×9÷3=12，所以，
空缺处应该填入12。
寻找等式的时候一般情况下以最小数或者最大数、或者图形中间的数字为
中心来构建等式。
总结一下我们应对类似题目的一般方法和技巧。
首先，我们看各个图形对应位置上的数字是否有规律可寻；
其次，我们在第一个或者第二个图形中总结规律，然后得到验证后应用于
第三个图形；

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再者，我们在第一个或者第二个图形中发现计算等式，然后得到验证后应
用于第三个图形。
发现数字规律的关键在于对于数字及其间的关系的敏感，需要经常练习。
下面我们来看一个对三年级而言复杂一点的例子。




上面的空缺处应该填多少？
应对这样的题目，按照上面的方法似乎都不行，各个图形对应位置 上没规
律，每个图形的规律也不尽相同，更不好找等式，怎么办？
找突破口！
看到 （6、19），我们能想到什么？6×3+1=19，看到（19，58）呢？也是
19×3+1=58 ，那么是不是空缺处应该填58×3+1=175呢？
需要验证你找到的规律：对于第二个图形，（1 、3、7、15），似乎不行，
因为1×3+1=4，只要有一个不行那么这个规律就不对。
可是我们发现（1、3、7、15）有这样的规律：1×2+1=3，3×2+1=7，7
×2+1=1 5，也就是说第二个图形是×2+1等于下一个数字。
由此我们能猜想，第一个图形是×1+1的规律，是不是呢？
（2、3、4、5）---〉2×1+1=3，3×1+1=4，4×1=5。
OK，那么规 律出来了，就是第一个图形是×1+1，第二个图形是×2+1，第
三个图形是×3+1，所以空缺处应 该填175。
在上面的例子的学习中，我们在得到一个问题的解答同时也学到了一些新
知识， 比如我们知道数列的规律可以很多，前面一个数字乘以2再加1就是一
个，可以写下这样的数列来：
1，3，7，15，31，63，127，255，......
倒过来就是先减1再除以2得到后面的数字，如
255，127，63，31，15，7，3，1
可以想到的是，这样数列可以任意的写出很 多，也可以很复杂的，比如，
从第三个起，最前面的乘以3，再加上后面的乘以2，那么数列可能就是这 样了：

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1，2，7，20，61，182，547，......
该数列的规律如下：
7=1×3+2×2
20=2×3+7×2
61=7×3+20×2
182=20×3+61×2
547=61×3+182×2
当然，这个对三年级 的学生来说就很有难度了，只是让你多了解一些数列
的知识，做一些铺垫，为你以后的学习做准备。
你越能总结，知道的越多，那么提高的也就越快，学习中你体会到的乐趣
也就越多。
上面的图形可以做一些变化，但解题思路是相同的。




上面的？处应该填多少？
先看每个图的对应位置，（3、7、13、21），这个是一个有规 律的数列，后
面的数字依次是前面的数字加（4，6，8），那么最上面的？处应该填21+10=31 。
看每个图，（7，20），很明显有7×3-1=20，（13，51）则有13×4-1=51，
（21，104）有21×5-1=104，再回头看（3，5）则可以有3×2-1=5，那么对应的规律就出来了，就是下面的数字是上面的数字乘以一个数再减1，而乘数也
是有规律可寻的，分 别是2、3、4、5，最后的乘数当然就是6了，所以下面的
数字就是31×6-1=185。
我们来看在图形的数字中找规律的一类题，就是给你一个表格，表格中有
一些数字，然后填写空缺处的 数字。





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【讲解】
① 表格中，我们能看到7+9=16， 3×5=15，可是这个规律不适用其他处，
还 是老实地横向和纵向来看，7+9+16=32，11+15+6=32，这个规律可以，
那么空缺处应 该是这个规律：3+？+15=32，那么?=14。
② 有明显的规律：4×3=12，6×4 =24，7×5=35，12-3=9，那么空缺处应
该为24-4=20，35-5=30。但是还可 以有一个答案，因为3×3=9，所以空缺
处也可以填：4×4=16，5×5=25，如果加以限制， 比如9下面填20，要求填
最下面的数字，那么就应该填30；而如果9下面填16，那么最下面的数字 就
应该是25了。
③ 看似没规律，不好下手，横向有（7-4）×2=6，（8-4） ×2=8，那么最下
面就应该是（6-5）×2=2了。
总结上面的解题方法和技巧：
首先当然是看横向和纵向的规律，是否总和有规律；
接下来看是否横向和纵向上有一个计算等式成立；
再看是否在斜角上有规律，或者顺时针、逆时针上有规律。
我们来看另外一类的常见题型，在空的圆圈处填上适当的数字。








上面的题目，最边上比较好填，都是1，沿着（1，2 ，3，4）这条线也好
填，问题是中间的不好处理。
最核心的地方在于发现一般规律，就是底下的数字等于它肩膀上两个数字
的和，1+2=2， 1+2=3，1+3=4，3+3=6，有了这个认识就好填写了。
有了前面我们讲解的数列知识，这类题目比较容易做，就是沿线（横着找、

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斜线找）找规律，最关键的是要找数字与它肩膀上的数字的关系。
稍微变化一下，问如下图圆圈处应该填写什么数字，再问第9行的第4个
数字应该是多少？








这个题目在于考察数 列知识，因为我们前面提到的规律似乎不明显，斜线
位置（1，2，3，4，5，6）的规律不适用，最 下面似乎应该填26，因为这一
排数字的尾数都是6，那应该怎么做呢？
看横向规律：
（2，4），相差2
（3，7，11），相差4
（4，10，16，26），相差6
（5，13，21），相差8
（6，16），（36，46，56），相差10
有了这个规律，那么圆圈处就好填写了，一个是29，一个是26。
看第二问，第9行的第4个数 是多少？这个问题的一般做法就是一行一行
的写出来，上面已经写了6行，我们再依照这个规律写上3行 就可以得到答案
了，但问题不能这样解决，如果问题是求23行的第37个数怎么办？
所以要开动脑筋来解决：
显然第几行最开头的数字就是几，第9行就是9了。
我们 知道了行之间的差数关系，就是（0，2，4，6，8，10），那么第9行
的差数应该是16了，根据 这个就可以写这行的数字了，依次是（9，25，41，
57，73，89，105，121，137） ,所以第9行的第4个数字应该是57。第9行
应该有9个数。

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对于第二问，解题首先要找到行开头的数字，然后找到行内的规律，也可
能是与肩膀上的数字有关。
通过前面的讲解，我们了解到了奥数中常见的几个图形，下面来看几个比
较少见的，如下图 ，请在？处填上适当的数字：





第一个不好 找突破口，但我们思考问题的出发点是找横向数字变化规律或
者下面的数字与它肩膀上两个数字的关系， 不过就是+、-、×、÷的计算而已，
我们发现：（9-8=1，8-7=1，9-7=2），（15- 7=8，23-15=8，23-7=16），有
明显的对应关系(①两倍关系②差相等)，那么？应该 是14。
第二题，关键在于找两个处于对角关系的数的规律，都等于20，那么？应
该是14。
第三题，在于找边上的数与中间数的关系，很明显，？应该是20。
上面我们列举了奥数中可能遇 到的几个题型，当然，题型可能还有很多，
但说千道万，题型或者图形再怎么变化，只要我们掌握了方法 ，就可以轻松应
对。你掌握了正确的方法，静下心来仔细观察，总会解决！！！
这个就是你的信心，强大的内心和不断提高的能力相辅相成，你就是高手！








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