信息与计算科学就业前景-难忘的运动会

21.2.2 公式法
教学目标：

【知识能力要求】
1.理解并掌握求根公式的推导过程；
2.能利用公式法求一元二次方程的解.
【过程与方法】
经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.
【情感态度价值观】
用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的
运算习惯，培养严谨认真的科学态度.
教学重点难点
1、用公式法解一元二次方程.
2、推导一元二次方程求根公式的过程.
教学过程：

活动一、情境导入，初步认识
我们知道，对于任意给定的一个 一元二次方程，只要方程有解，都可以利
用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程 都可以写成
ax
2
+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想 看，该怎样
做？
【活动目的】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求ax
2
+bx+c=0（a≠0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思< br>考时间，让学生自主探究.
活动二、思考探究，获取新知
通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的解. < br>bc
由ax
2
+bx+c=0(a≠0),移项，ax
2
+b x=-c.二次项系数化为1，得x
2
+x=-.
aa

b2
b
2
4ac
b
2
b
2
bc
配方，得x+x+
()
=-+
()
，即
(x)
.
2a4a
2
2a
aa
2a
2
至此，教师应作适当停 顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：
（1）两边能直接开平方吗？为什么？
（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.
【活动目的】设置停顿并提出两个问题的目的 在于纠正学生的盲目行为，
引导学生正确认识代数式b
2
-4ac的取值与此方程的解 之间的关系，加深认知.
教学时，应让学生积极主动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解.
师生共同完善认知：

一般地，式子b
2
-4ac叫做一元二次方 程ax
2
+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通
常用Δ表示，即Δ=b
2
-4ac.从而有：
①当Δ=b
2
-4ac＞0时，方程ax
2< br>+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当
Δ=b
2
-4ac=0时 ，方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b
2
-4 ac＜0
时，方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)没有实数解；
②当Δ≥ 0时，方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成

b b
2
4ac
x= ，这个式子叫做一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
2a
活动三、典例精析，掌握新知
例1不解方程，判别下列各方程的根的情况.
(1)x
2
+x+1=0; (2)x
2
-3x+2=0; (3)3x
2
-
2
x=2.
分析:找出方程中二次项系数、一次项 系数和常数项，利用b
2
-4ac与0的
大小关系可得结论.注意：在确定方程中a、 b、c的值时，一定要先把方程化
为一般式后才能确定，否则会出现失误.
解：（1）∵a= 1,b=1,c=1,∴Δ=b
2
-4ac=1
2
-4×1×1=-3＜0, ∴原方程无实数解;
(2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b
2
-4ac=( -3)
2
-4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相
等实数根；
（3）原 方程可化为3x
2
-
2
x-2=0,∴a=3,b=-
2
,c=-2,∴Δ
=b
2
-4ac=(-
2
)
2
- 4×3×(-2)=2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.
例2用公式法解下列方程：
(1)x
2
-4x-7=0; (2)2x
2
-2
2
x+1=0; (3)5x
2
-3x=x+1; (4)x
2
+17=8x
分析： 将方程化为一般形式后，找出a、b、c的值并计算b
2
-4ac后，可利
用公式求出 方程的解.

【活动目的】以上两例均可让学生自主完成，同时选派同学上黑 板演算.
教师巡视，针对学生的困惑及时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面
引导学生 关注其解答是否正确，同时还应注意其解答格式是否规范，查漏补缺，
深化理解.教师接着引导学生阅读 第12页有关引言中问题的解答，向学生提
问：（1）什么情况下根的取值为正数？（2）列方程解决实 际问题在取值时应
注意什么？
活动四、运用新知，深化理解
1.关于x的方程x< br>2
-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围

是 .
2.如果关于x的一元二次方程k
2
x
2
-（2k+1）x+1 =0有两个不相等实数根，
那么k的取值范围是（ ）
A.k＞-
B.k＞-
1

4
1
且k≠0
4
1
C.k＜-
4
D.k≥-
1
且k≠0 4
3.方程
2
x
2
+4
3
x+6
2< br>=0的根是（ ）
A.x
1
=
2
，x
2
=
3

B.x
1
=6, x
2
=
2

C.x
1
=2
2
, x
2
=
2

D.x
1
=x
2
=-
6

4.关于x的 一元二次方程（m-1）x
2
+x+m
2
+2m-3=0有一个根为0，试求 m
的值.
（注：5~6题为教材第12页练习）
5.解下列方程：
（1）x
2
+x-6=0; （2）x
2
-
3
x-14=0; （3）3x
2
-6x-2=0;
（4）4x
2
-6x=0; （5）x
2
+4x+8=4x+11; （6）x(2x-4)=5-8x.
6.求第21.1节中问题1的答案.
【活动目的】通过练习可进一步理解和掌握本节知识， 在学中练、练中学
的活动中得到巩固和提高.
【答案】1.m≤1
2.B

3.D
4.把x=0代入方程，得m
2
+2m-3=0,解 得m
1
=1,m
2
=-3,又∵m-1≠0，即m≠
1,故m的值为 -3.
5~6略
活动五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.
【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中，进一步完善认知，
师生共同归纳总结.
活动六、课后作业：
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.
活动七、教学反思：
1.本 课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均
围绕着利用公式法解一元二次方程这 一重点内容展开，问题设计，课堂学习
有利于学生强化运算能力，掌握基本技能，也有利于教师发现教学 中存在的问
题.
2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨< br>论中发现求根公式，并学会利用公式解一元二次方程.
3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成
功的喜悦.
4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它
使解一元二次方程更加简便 ，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法
解一元二次方程得到延续和深化.