2012山东理综-湖南软件职业学校

一、函数、极限、连续重要概念公式定理
（一）数列极限的定义与收敛数列的性质 < br>数列极限的定义：给定数列

x
n

,如果存在常数
A
,对任给

0
,存在正整数
N
,使当
nN< br>时,恒有
x
n
A

,则称
A
是数列
x
n

的当
n
趋于无穷时的极限,或称数列

x
n

收敛于
A
,记为
limx
nA
.若
n

x
n

的极限不存在,则称 数列

x
n

发散.
收敛数列的性质：
(1) 唯一性：若数列

x
n

收敛,即
limx
nA
,则极限是唯一的．
n
(2)有界性：若
limx
n
A
,则数列

x
n

有界,即存在
M 0
,使得对
n
均有
x
n
M
.
n
(3)局部保号性：设
limx
n
A
,且
A0

或
A0

,则存在正整数
N
,当
nN
时,有
x
n
0

或
x
n
0

.
n
(4)若数列收敛于
A
,则它的任何子列也收敛于极限
A
.
（二）函数极限的定义
名称
当
xx
0
时,
f

x

以
表达式 任给 存在 当…时 恒有
A
为极限
当
x
时,
f

x

以






























A
为极限

当
xx
0
0
时,
f

x

以
A
为右极限

当
xx
0
0
时,
f

x

以
A
为左极限

当
x
时,
f

x

以
A
为极限

当
x
时,
f

x

以
A
为极限

（三）函数极限存在判别法
(了解记忆)
1．海涅定理：
limf
x

A
对任意一串
x
n
x
0

x
n
x
0
,n1,2,L

,都有
limf

x
n

A
．
xx
0
n
2.充要条件：(1)
limf(x)Alimf

x

limf

x

A
;

xx
0
xx
0
xx
0
(2)
limf(x)Alimf(x)limf(x)A
.
xx x
3.柯西准则：
limf

x

A
对任意给定的

0
,存在

0
,当
xx< br>0
0x
1
x
0


,
0x< br>2
x
0


时,有
f

x
1

f

x
2



. < /p>

4.夹逼准则：若存在

0
,当
0xx
0


时,有

（x)f(x)

(x),且
lim

(x)lim

(x)A,
则
xx
0
xx
0
xx
0
limf(x)A
.
5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的
x
1
,x
2
,x
1
x
2
,有
f

x
1

f

x
2

(或
f

x
1

f

x
2

),且存在
常数M
,使
f

x

M
(或
f

x

M
),则
limf

x

存在.
x
（四）无穷小量的比较
(重点记忆)
1.无穷小 量阶的定义,设
lim

(x)0,lim

(x)0
.
(1)若
lim

(x)
0
,则称

(x)
是比

（x)
高阶的无穷小量.

(x)
(2)
若lim
(3)
若lim
(4)
若lim
(5)< br>若lim

(x)
,则

(x)是比（

x)低阶的无穷小量
.

(x)

(x)
c(c0 ),则称

(x)与（

x)
是同阶无穷小量.

(x)

(x)
1,则称

(x)与（

x) 是等价的无穷小量
,记为

(x)

(x)
.

(x)

(x)
c(c0),k0,则称

(x) 是（

x)的k阶无穷小量


k
(x)
2.常用的等价无穷小量
(命题重点,历年必考)
当
x0
时,
（五）重要定理
(必记内容,理解掌握)
定理1
limf(x)Af

(x
0
)f

(x
0
)A
.
xx
0
定理2
limf(x)Af(x)Aa(x),其中lima(x)0
.
xx
0
xx
0
定理3 (保号定理)：
设limf( x)A,又A0(或A0),则一个

0
,当
xx
0
x(x
0


,x
0


), 且xx
0
时，f(x)0(或f(x)0)
.
定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限.
定理5 (夹逼定理 )：设在
x
0
的领域内,恒有

（x)f(x)
(x)
,且
xx
0
lim

(x)lim

(x)A,
则
limf(x)A
．
xx
0
xx
0
定理6 无穷小量的性质：
(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;
(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;
(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量．
定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量．
定理8 极限 的运算法则：设
limf

x

A,limg

x

B
,则
(1)
lim(f(x)g(x))AB

(2)
limf(x)g(x)AB

(3)
lim
f(x)A
(B0)

g(x)B
定理9 数列的极限存在,则其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限．
定理10 初等函数在其定义域的区间内连续．
定理11 设
f
x

连续,则
f

x

也连续．
（六）重要公式
(重点记忆内容,应考必备)
(1)
lim
sinx
1

x0
x
1
x
n
(2)
lim(1x)e,lim(1)
n
e
.(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设
x0
1
n< br>limf

x

0
,且
f

x< br>
0
则有
lim
sinf

x

f

x

f

x

e
) 1
,
lim


1f

x


1

0,nm

a
0
x
n
a
1
x
n1

L
a
n 1
xa
n

a
0


,nm< br>． (3)
lim
x
bx
m
bx
m1

L
bxb
01m1m

b
0


,nm
(4)函数
f

x

在
xx
0
处连续
f


x
0

f


x
0

f

x
0< br>
.
(5)当
x
时,以下各函数趋于

的速度
(6)几个常用极限
x
lime
x
0,

lime
x
,

limx
x
1
.

x
x0
（七）连续函数的概念

1.
f

x

在
xx
0
处连续,需满足三个条件：
①
f

x

在点
x
0
的某个领域 内有定义
②
f

x

当
xx
0
时的极限存在
③
limf

x

f

x
0

limylim

f

x
0
x

f

x
0


< br>0
.
x0xx
0

xx
0
2.
f

x

在
x
0
左连续：
f
x

在

x
0


,x< br>0

内有定义,且
limf

x

f
x
0

.

xx
0
3. f

x

在
x
0
右连续：
f

x

在

x
0
,x
0



内有定义,且
limf

x

f

x
0

.

xx
0
4.
f

x

在

a,b

内连续：如果f

x

在

a,b

内点点连续．
5.
f

x

在

a,b
< br>内连续：如果
f

x

在

a,b

内连续,且左端点
xa
处右连续,右端点
xb
处左连
续．
（八）连续函数在闭区间上的性质
(重点记忆内容)

1 ．有界性定理：设函数
f

x

在

a,b

上连续,则
f

x

在

a,b
上有界,即

常数
M0
,对任意的
x

a,b

,恒有
f

x

M
．
2．最大最小值定理：设函数
f

x

在

a,b

上连续,则在

a,b

上
f

x

至少取得最大值与最小值各一次,
即


,

使得：
f



max

f

x


,



a,b
;
f



min

f
x


,



a,b

.
axb
axb
3．介值定理：若函数
f
x

在

a,b

上连续,

是介于
f

a

与
f

b

( 或最大值
M
与最小值
m
)之间的
任一实数,则在

a,b

上至少

一个

,使得
f
< br>



.

a

b

．
4．零点定理：设函数
f

x

在

a,b

上连续,且
f

a

f
b

0
,则在

a,b

内至少

一个

,使得
f



0< br>
a

b

.

（九）连续函数有关定理

1．连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数．
2．反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加( 减
少)且连续．
3．复合函数的连续性：
u


x
在点
x
0
连续,


x
0

u
0
,而函数
yf

u

在点u
0
连续,则复合函数
yf




x



在点
x
0
连续．
4．初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数．
（十）间断点的定义及分类

1．定义：若在
xx
0
处,
limf

x

不存在,或
f

x
0

无定义,或
limf

x

f

x
0

,则称
f

x

在
xx
0
处间
xx
0
xx
0
断,
x x
0
称为
f

x

的间断点．
2．间断点的分类
间断点的类型
可去
第一
类间
断点
型间
断点
跳跃
型间
断点
第二
类间
断点
无穷
型间
断点
条件 例子

x0
是
f

x


去型间断点
sinx
的可
x

1
x0
是
f

x

arctan
的
x
跳跃型间断点
f
x
0
0

,f

x
0
 0

之一是无穷大
x0
是
f

x


型间断点
1
的无穷
x

振荡
型间
断点
f
x
0
0

,f

x
0
 0

之一不存在且
不是无穷大
1
x0
是
f
x

sin
的振
x
荡型间断点