石牛山-参赛感言

高考真题 高三数学
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分， 共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2}，则A∩B=
A．{0,2} B．{1,2} C．{0} D．{-2,-1,0,1,2}
解析：选A
2．设z=
1-i
+2i，则|z|=
1+i
1
A．0 B． C．1 D．2
2
1-i
解析：选C z=+2i=-i+2i=i
1+i3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济
收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
解析：选A
xy
4．已知椭圆C：
2
＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为
a4
1
A．
3

1
B．
2
2
22

C．
2

2
D．
22

3
2

2
5．已知圆柱的上、下底面的 中心分别为O
1
，O
2
，过直线O
1
O
2
的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，
则该圆柱的表面积为
解析：选C ∵ c=2，4=a-4 ∴a=22 ∴e=
A．122π B．12π C．82π D．10π
22
解析：选B 设底面半径为R,则(2R)=8 ∴R=2,圆柱表面积=2πR×2R+2πR=12π
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高考真题 高三数学
6．设函数f(x) =x+(a-1)x+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为
A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x
32
解析：选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x+x f′(x)=3x+1 f′(0)=1 故选D
7．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
→
EB=
31
A．
→
AB -
→
AC
44

13
B．
→
AB -
→
AC
44

31
C．
→
AB +
→
AC
44

13
D．
→
AB +
→
AC
44
3 2
1
→→
1111
→→
3
→
1
→
解析：选A 结合图形，
→
EB=- (BA+BD)=-
→
BA-
→
BC=-
→
BA-(AC-AB)=AB - AC
2242444
8．已知函数f(x)=2cosx-sinx+2，则
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x) 的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x) 的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
35
解析：选B f(x)= cos2x+ 故选B
22
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表 面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面
上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上， 从M到N的路径中，最短路径的长度为
22
A．217 B．25 C．3 D．2
解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长
0
10 ．在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=BC=2，AC
1
与平面BB
1
C
1
C所成的角 为30，则该长方体的体积为
A．8 B．62 C．82 D．83
0
解析：选C ∵AC
1
与平面BB
1
C
1
C所成的角为30 ，AB=2 ∴AC
1
=4 BC
1
=23 BC=2 ∴CC
1
=22
V=2×2×22=82
2
11 ．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a)，B(2,b)，且co s2α=，
3
则|a-b|=
1
A．
5
B．
5

5
C．
25

5
D．1


22511
2222
解析：选B ∵cos2α= 2cosα-1= cosα= ∴sinα= ∴tanα=
33665
又|tanα|=|a-b| ∴|a-b|=


2，x≤0
12．设函数f(x)=


1，x>0

-x
5

5

，则满足f(x+1)< f(2x)的x的取值范围是
A．(-∞,-1] B．(0,+ ∞) C．(-1,0) D．(-∞,0)
-x-1-2x
解析：选D x≤-1时，不等式等价于2<2,解得x<1,此时x≤-1满足条件
-2x
-1 x>0时，1<1不成立 故选D
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二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
2
13．已知函数f(x)= log
2
(x+a)，若f(3)=1，则a=________．
解析：log
2
(9+a)=1,即9+a=2,故a=-7


x-2y-2≤0
14．若x，y满足约束条件

x-y+1≥0
， 则z=3z+2y的最大值为_____________．



y≤0
解析：答案为6
22
15．直线y=x+1与圆x+y+2y-3=0交于A ,B两点，则|AB|=________．
解析：圆心为(0,-1),半径R=2,线心距d=2,|AB|=2R-d=22
222
16．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知bsinC+csinB=4asin BsinC，b+c-a=8，则△ABC的面积
为________．
1
解析：由 正弦定理及bsinC+csinB=4asinBsinC得2sinBsinC=4sinAsinBsin C ∴sinA=
2
由余弦定理及b+c-a=8得2bccosA=8, 则A为锐角，cosA=
222
22
383
, ∴bc=
23
123
∴S=bcsinA=
23
三、解答题 ：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都
必 须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
a
n
已知数列{a
n
}满足a
1
=1，na
n+1
=2(n+1)a
n
，设b
n
=．
n
（1）求b
1
,b
2
,b
3
；
（2）判断数列{b
n
}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{a
n
}的通项公式．
2(n+1)
解：（1）由条件可得a
n+1
=a
n
． < br>n
将n=1代入得，a
2
=4a
1
，而a
1
=1，所以，a
2
=4．
将n=2代入得，a
3
=3a
2
，所以，a
3
=12．
从而b
1
=1，b
2
=2，b
3
=4．
（2）{b
n
}是首项为1，公比为2的等比数列．
a
n+12a
n
由条件可得=，即b
n+1
=2b
n
，又b1
=1，所以{b
n
}是首项为1，公比为2的等比数列．
n+1n< br>a
n
n-1n-1
（3）由（2）可得=2，所以an=n·2．
n
18．（12分）
0
如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3, ∠ACM=90，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且
AB⊥DA．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
2
（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q- ABP的体积．
3
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高考真题 高三数学

18．解：（1）由已知可得，∠BAC=90°，BA⊥AC．
又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．
又AB

平面ABC， 所以平面ACD⊥平面ABC．
（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32．
2
又BP=DQ=DA，所以BP=22．
3
1
作QE⊥AC，垂足为E，则QEDC，且QE=DC．
3
由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．
111
0
因此，三棱锥Q- ABP的体积为V=×QE×S
ΔABP
=×1××3×22×sin45=1
332
19．（12分）
3
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量 数据（单位：m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，
得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
频数
日用水量
频数
[0,0.1)
1
[0,0.1)
1
[0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)
3
[0.1,0.2)
5
2
[0.2,0.3)
13
4
[0.3,0.4)
10
9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
[0.4,0.5)
16
[0.5,0.6)
5
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m的概率；
（3）估计该家庭使 用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所
在区间中点的 值作代表．）
解：（1）
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3

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（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
1
x
1
= (0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5 )=0.48
50
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
1
x
2
=(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+ 0.55×5)=0.35
50
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35) ×365=47.45(m)．
20．（12分）
2
设抛物线C:y=2x，点A (2,0),B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
（2）证明：∠ABM=∠ABN．
解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．
11
所以直线BM的方程为y=x+1或y=- x-1．
22
（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x-2)( (k≠0))，M（x
1
， y
1
），N（x
2
，y
2
），则x
1
>0 ，x
2
>0．
2
22
代y=k(x-2)入y=2x消去x得ky –2y–4k=0，可知y
1
+y
2
=，y
1
y
2
=–4．
k
y
1
y
2
x
2
y< br>1
+x
1
y
2
+2(y
1
+y
2< br>)
直线BM，BN的斜率之和为k
BM
+k
BN
=+=．①
x
1
+2x
2
+2(x
1
+2)( x
2
+2)
y
1
y
2
将x
1
=+2，x
2
=+2及y
1
+y
2
，y
1
y
2的表达式代入①式分子，可得
kk
x
2
y
1
+x1
y
2
+2(y
1
+y
2
)=
2y
1
y
2
+4k(y
1
+y
2
)-8+8< br>= =0
kk
3
所以k
BM
+k
BN
=0 ，可知BM，BN的倾斜角互补，所以，∠ABM=∠ABN．
21．（12分）
x
已知函数f(x)=ae-lnx-1．
（1）设x=2是f(x)的极值点．求a，并求f(x)的单调区间；
1
（2）证明：当a≥时，f(x)≥0．
e
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1
x
解：（1）f（x）的定义域为(0,+∞)，f ′（x）=ae–．
x
由题设知，f ′（2）=0，所以a=
从而f（x）=
1
2
．
2e
1
x
1
x
1
2
e-lnx-1，f ′（x）=
2
e- ．
2e2ex
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
1e
（2）当a≥时，f（x）≥ -lnx-1．
ee
ee1
设g（x）= -lnx-1，则g ′（x）= –
eex
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
1
因此，当a≥时，f(x)≥0． < br>e
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。
22．[选修4–4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy中， 曲线C
1
的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
2
线C
2
的极坐标方程为ρ+2ρcosθ-3=0.
（1）求C
2
的直角坐标方程；
（2）若C
1
与C
2
有且仅有三个公共点，求C
1
的方程.
22
解：（1）C
2
的直角坐标方程为(x+1)+y=4．
（2）由（1）知C
2
是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆．
由题设知 ，C
1
是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l
1，y轴左边的射线为l
2
．
由于B在圆C
2
的外面，故C1
与C
2
有且仅有三个公共点等价于l
1
与C
2
只有一个公共点且l
2
与C
2
有两个公共点，
或l
2与C
2
只有一个公共点且l
1
与C
2
有两个公共点．
|-k+2|4
当l
1
与C
2
只有一个公共点时，A到l< br>1
所在直线的距离为2，所以
2
=2，故k= - 或k=0．
3< br>k+1
4
经检验，当k=0时，l
1
与C
2
没有公共 点；当k= - 时，l
1
与C
2
只有一个公共点，l
2
与 C
2
有两个公共点．
3
当l
2
与C
2
只 有一个公共点时，A到l
2
所在直线的距离为2，所以
|k+2|4
=2，故 k=0或k=- ．
2
3
k+1
xx
x
4
经检验 ，当k=0时，l
1
与C
2
没有公共点；当k= 时，l
2
与C
2
没有公共点．
3
4
综上，所求C
1
的方程为y= - |x|+2．
3
23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）
已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.

-2 x<-1
2x -1≤x≤11
解:（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)=

故不等式f(x)>1的解集为(,+∞)．
2 x>1
2


（2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立 等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立．
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高考真题 高三数学
若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；
22
若a>0，|ax-1|<1的解集为(0, )，所以≥1，故(0,2]．
aa
综上，a的取值范围为(0,2]．


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