2019全国2卷理科数学精彩试题及详解
妇女节手抄报-水浒传读后感1500字
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2019全国2卷理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合
则
2.设 则在复平面
对应的点位于
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
则
3.已知
4. 年 月 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天
事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探
测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月
拉格朗日
点的轨道运行
，
点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为
，月球质量为
，地月距离为
，
点到月球的距离为
根据牛顿运动定理和万有引力
定律， 满足方程：
则 的近似值为
设
由于 的值很小，因此在近似计算中
5.演讲比赛共有
为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 个
原始评分中去掉
个最高分、一个最低分，得到 个有效评分。 个有效评分与 个
原始评分相比，不变的数字特征是
中位数 平均数 方差
极差
6.若 则
实用文案
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7.设 ， 为两个平面，则
的 充要条件是
内有无数条直线与 平行
内有两条相交直线与 平行
， 平行于同一条直线 ，
垂直于同一平面
8.若抛物线
的焦点是椭圆
的一个焦点，则
9.下列函数中，以
为周期且在区间
单调递增的是
10.已知
则
11.设 为双曲线
：
的右焦点， 为坐标原点，以 为直径
的圆与圆
交于
，
两点 若
则 的离心率为
12.设函数
的定义域为 ，满足
且当
时，
若对任意
都有
则 的取值范围是
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有 个车次的
正点率为 ，有 个车次的正点率为 ，有 个车次的正点率为 ，则经
停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
14.已知
是奇函数，且当 时，
若
则
15. 的内角 ，
， 的对边分别为 若
则
的面积为
16.中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、
正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体”
图
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半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数
学的对称美。图
是一个棱数为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一正方
体的表面上，且此正方体的棱长为
，则该半正多面体共有 个面
，
其棱长
为
（本题第一空 分，第二空 分。）
三、解答题：共 分。第 题为必考题。第 、 题为选考题。
（一）必考题：共60分
17.（12分） 如图，长方体
的底面 是正方形
、
点 在棱
上
，
证明： 平面
若
求二面角
的正弦值
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18.（12分）
分制乒乓球比赛，每赢一球得 分，当某局打成 平后，每球交换发球权，先多
得
分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的
概率为
，乙发球时甲得分的概率为 ，各球的结果相互独立。在某局双方 后，
甲先发球，两人又打了 个球该局比赛结束。
求
求事件“
且甲获胜”的概率。
19.（12分）已知数列
和
满足
证明：
是等比数列，
是等差数列
求
和
的通项公式
20.(12分)已知函数
讨论
的单调性，并证明
有且仅有两个零点
设
是
的一个零点，证明曲线 在点
处的切线也是曲线
的切线
。
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21．（12分）已知点
，
动点
满足直线 与
的斜率之积为
记 的轨迹为曲线
求
的方程，并说明 是什么曲线
过坐标原点的直线交 于
， 两点，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，
连结 并延长交 与点
证明： 是直角三角形
求
面积的最大值
二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在极坐标系中， 为极点，点
在曲线 ： 上 直线 过点
且与 垂直，垂足为
当
时
，
求
及 的极坐标方程
当 在 上运动且 在线段 上时，求
点轨迹的极坐标方程
23.【选修4-5：不等式选讲】(10分)
已知
当 时，求不等式
的解集
若
时，
求 的取值范围
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参考答案：2019全国2卷理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合
则
解析：
或
选
2.设 则在复平面
对应的点位于
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
解析： ， 对应点
位于复平面第三象限
，
选
则
3.已知
解析：
，
选
4. 年 月
日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天
事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探
测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”。鹊桥沿着围绕地月
拉格朗日
点的轨道运行
，
点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为
，月球质量为
，地月距离为
，
点到月球的距离为
根据牛顿运动定理和万有引力
定律， 满足方程：
设
由于 的值很小，因此在近似计算中
则 的近似值为
解析：
，
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选
5.演讲比赛共有
为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 个
原始评分中去掉
个最高分、一个最低分，得到 个有效评分。 个有效评分与 个
原始评分相比，不变的数字特征是
中位数 平均数 方差
极差
解析：不妨把 个原始评分从小到大排序记作：
去掉
剩余 个
有效评分为，
由数字特征定义知，不变的数字特征是中位数，选
6.若 则
解析：由函数
的基本性质知
，当
时，
只有
成立，选
7.设 ， 为两个平面，则 的 充要条件是
内有无数条直线与 平行 内有两条相交直线与 平行
，
平行于同一条直线 ， 垂直于同一平面
解析：由面面平行的判定定理知，
正确，选
8.若抛物线
的焦点是椭圆
的一个焦点，则
解析：抛物线
的焦点为
所以椭圆焦点在 轴上
，
由题知，
又
，
选
9.下列函数中，以
为周期且在区间
单调递增的是
解析：由
的函数图象可知，周期为
且
在区间
单调递增的函数是
，
选
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10.已知
则
解析： ，
，
又
，
，
选
11.设 为双曲线 ：
的右焦点， 为坐标原点，以 为直径
的圆与圆
交于
，
两点 若
则
的离心率为
解析：由题知，
，
，
选
12.设函数
的定义域为 ，满足
且当
时，
若对任意
都有
则 的取值范围是
解析：
，
时，
，
时，
时，
时
时
时，
，
时
，
故当
时，令
，
得
，
结合图象
∞
时，都有都有
，
选
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
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13.我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有 个车次的
正点率为 ，有 个车次的正点率为 ，有 个车次的正点率为 ，则经
停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
解析：平均正点率估计值为
，
填
14.已知
是奇函数，且当 时，
若
则
解析： 已知
是奇函数，且当 时，
，
填
15. 的内角 ， ，
的对边分别为 若
则
的面积为
解析：
，
由余弦定理
知
的面积
填
16.中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、
正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体”
图
半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数
学的对称美。图 是一个棱数为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一正方
体的表面上，且此正方体的棱长为 ，则该半正多面体共有
个面
，
其棱长
为
（本题第一空 分，第二空 分。）
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解析：由图知，该半正多面体的面数为 ，设所求棱长为 则由题知
，
第一空填
，第二空填
三、解答题：共 分。第 题为必考题。第 、
题为选考题。
（一）必考题：共60分
17.（12分）
如图，长方体
的底面
是正方形
、
点 在棱
上
，
证明： 平面
若
求二面角
的正弦值
解析：
在正方体
中，
平面
平面
，
，
又
，
，
且
，
平面
， 平面
底面 是正方形，若
，
由
知 平面
，
则
，
为等腰直角三角形，取 则 ，
以
为坐标原点，以 ， ，
分别为 轴如图建立空间直角坐标系
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则
设平面 的法向量
则
取 则
设平面
的法向量
则
取 则
二面角
的正弦值为
18.（12分）
分制乒乓球比赛，每赢一球得 分，当某局打成 平后，每球交换发球权，先多
得 分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的
概率为 ，乙发球时甲得分的概率为 ，各球的结果相互独立。在某局双方 后，
甲先发球，两人又打了 个球该局比赛结束。
求
求事件“ 且甲获胜”的概率。
解析：
用甲表示甲发球时甲得分，用乙表示乙发球时乙得分，用
甲
表示甲发球时乙得分，
用
乙
表示乙发球时甲得分，∵甲先发球,X=2，∴甲:乙为10:
12或12:10时比赛结束。
则
甲乙
甲
乙
甲先发球
，
且甲获胜，则甲：乙为 时比赛结束
则
且甲获胜
甲
乙
甲
乙
甲 乙 甲
乙
事件“
且甲获胜”的概率为
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19.（12分）
已知数列
和
满足
证明：
是等比数列，
是等差数列
求
和
的通项公式
解析：
①
②
① ②
得：
，即
① ②
得：
，即
又
，
，
是首项为 ，公比为
的等比数列，
是首项为
，公差为 的等差数列
由
知，
，
20.(12分)
已知函数
讨论
的单调性，并证明
有且仅有两个零点
设
是
的一个零点，证明曲线 在点
处的切线也是曲线
的切线
。
解析：
且
在
上单调递增，在
，
上单调递增
。
在
和
， 上各有一个零点
有且仅有两个零点
设
是
的一个零点
，
则
，
在点
处的切线斜率为
在点
处的切线方程为：
，
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即
设该切线与
切于
，又
且
，
曲线 在点
处的切线也是曲线
的切线且切点为
21．（12分）
已知点
，
动点
满足直线 与 的斜率之积为
记
的轨迹为曲线
求 的方程，并说明 是什么曲线
过坐标原点的直线交 于 ， 两点，点 在第一象限，
轴，垂足为 ，
连结 并延长交 与点
证明： 是直角三角形
求
面积的最大值
解析：
设直线
与
的斜率分别为
，
，
点
，
动点
，
：
曲线 是去掉左右顶点
，
长轴长为 焦点为
的椭圆
设
则
由题知直线 斜率存在且不为 ，则直线 的方程
为
直线 的方程为
，
且
， 由
与
，联立得
解得，
直线
的斜率为
，
是直角三角形
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由
得
令
的面积
则
在
单调递减
，
时
，
取得最大值
，
最大值为
面积的最大值为
二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在极坐标系中， 为极点，点
在曲线 ： 上 直线 过点
且与 垂直，垂足为
当
时
，
求
及 的极坐标方程
当 在 上运动且 在线段 上时，求
点轨迹的极坐标方程
解析：
点
在曲线
： 上，当
时，
设
，则
直线 的极坐标方程为
设
则
即
在线段
上，且 ，
点
轨迹的极坐标方程为 ，
23.【选修4-5：不等式选讲】(10分)
已知
当
时，求不等式
的解集
若
时，
求 的取值范围
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解析：
当 时，
不等式
的解集为
，
当 ，且
时，
的取值范围是
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