2019-2020年高中数学人教A版必修4学案：3.2+简单的三角恒等变换+W ord版含解析
合并→利用正弦函数的单调性求函数fx的单调递减区间
(2) f（ -）＝1，f（


42

＋

2
）＝0 →求出cosβ，sinα＋β→结合角
的范围→求sinβ，cosα＋β的值→利用两角差 的余弦公式求cosα的值

方法归纳
函数的解析式的次数可以降低，项数可以减 少时，要先化简解析
式成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式再研究其图象及性质．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝sin
2
x＋23sin xcos x＋3cos
2
x，x∈R，
求：
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

ππ

( 2)求函数f(x)在区间

－
6
，
3

上的值域 ．

1－cos 2x31＋cos 2x
解析：(1)f(x)＝
＋3sin 2x＋＝2＋3sin 2x＋
22
π

cos 2x＝2sin

2x＋
6

＋2，

2ππ ππ
所以最小正周期T＝
2
＝π，因为－
2
＋2kπ≤2x＋
6
≤2kπ＋
2
，k∈Z
时，f(x)为单调递增函数，
ππ< br>
所以f(x)的单调递增区间为

kπ－
3
，kπ＋6

，k∈Z.

π

πππ
2x＋
(2)由(1)知f(x)＝2＋2sin
6

，由于－
6
≤x≤
3
，所以2x＋
6


π5π

∈

－
6
，
6

，

π

1


2x＋
所以sin
6
∈

－
2
，1

，所以f(x)∈[1,4 ]，所以f(x)在区间


ππ


－，
上的值域为[1,4]．

63

利用二倍角公式，降幂公式化简函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形
式，再利用性质求解．


3.2

- 8 - 14

2019-2020年高中 数学人教A版必修4学案：3.2+简单的三角恒等变换+Word版含解析
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)

3π

4
α
1．已知cos α＝
5
， α∈

2
，2π

，则sin
2
等于( )

1010
A．－
10
B.
10

33
C.
10
3 D．－
5


3 π

α

3
解析：因为α∈

2
，2π

，所以
2
∈

4
π，π

，

α
所以sin
2
＝
答案：B
1－cos α
＝
2
110
＝
1010
.

π
π

1
2．若sin 2α＝
4
，且α∈

4
，
2

，则cos α－sin α的值为( )

33
A.
2
B.
4

33
C．－
2
D．－
4
< br>
π
π

解析：因为α∈

4
，
2

，所以cos α2
＝1－sin 2α，

3
所以cos α－sin α＝－
2
.
答案：C
1－cos 50°
13
3．设a＝
2
cos 6°－
2
sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，
2
则有( )
A．cC．a解析：由已知可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a答案：C
1＋cos 2α1－cos 2α

7π

 
4．若α∈
4
，2π
，则 －等于( )
22

A．cos α－sin α B．cos α＋sin α
C．－cos α＋sin α D．－cos α－sin α

7π

解析：因为α∈

4
，2π

，所以sin α≤0，cos α>0，

- 9 - 14

2019-2 020年高中数学人教A版必修4学案：3.2+简单的三角恒等变换+Word版含解析
则
1＋cos 2α
－
2
1－cos 2α
22
＝cos
α－sinα
2
＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α.
答案：B
α
5．已知2sin α＝1＋cos α，则tan
2
＝( )
11
A.
2
B.
2
或不存在
C．2 D．2或不存在
解析：由2sin α＝1＋cos α，
ααα
2
即4 sin
2
cos
2
＝2cos
2
，
αα
当cos
2
＝0时，则tan
2
不存在，
α α
1
当cos
2
≠0时，则tan
2
＝
2
.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若cos 22°＝a，则sin 11°＝________，cos 11°＝________.
解析：cos 22°＝2cos
2
11°－1＝1－2sin
2
11°，
所以cos 11°＝
1＋cos 22°
＝
2
1＋a
2
.
1－cos 22°1－a
sin 11°＝
＝
22
.
1－a1＋a
答案：
2

2

3
α
7．已知cos α＝－
5
，且180°<α<270°，则tan
2
＝________.
αα
解析：因为180°<α<270°，所以90°<
2
<135°，所以 tan
2
<0，所以

3


－

1－
1－cos α
α

5

tan
2
＝－＝－＝－2.
3

1＋cos α
1＋

－
5


答案：－2
π
β

α

31
8．若α，β∈
0，
2

，cos

α－
2

＝2
，sin

2
－β

＝－
2
，则c os(α＋

- 10 - 14

2019-2020 年高中数学人教A版必修4学案：3.2+简单的三角恒等变换+Word版含解析
β)的值等于________．
π

β

α
31
β
解析：∵α，β∈

0，
2

，cos

α－
2

＝
2
，sin
< br>2
－β

＝－
2
，∴α－
2
＝
 
παπ
±
6
，
2
－β＝－
6
.
ππ
∴2α－β＝±
，α－2β＝－
33
.
2π
α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或
3
(0舍去)．
1
∴cos(α＋β)＝－
2
.
1
答案：－
2

三、解答题(每小题10分，共20分)
2cos
2
α－1
9．化简：.

π

2

π

2tan

4
－α

s in

4
＋α


解析：方法一
原式＝
cos
2
α－sin
2
α
1－tan α

ππ


sincos α＋cossin α

2
2·
4

1＋tan α

4

＝
(复角化单角，进一步切化弦)
2
1－tan αcos α＋sin α
＝＝1(使用平方差公式)．
2
cos α－sin αcos α＋sin α
方法二
cos 2α
ππ
原式＝
(利用
－α与＋α的互余关系)
π44

π

2tan

4
－α
< br>cos
2

4
－α


cos2
α－sin
2
α1＋tan α
cos
2
α－sin
2
αcos α＋sin α
cos 2α
＝＝
π
(逆用二倍角的正弦公式)

π

π

2sin

4
－α

cos

4
－α

sin

2
－2α< br>

cos 2α
＝
cos 2α
＝1.
sin2α＋β
sin β
10．求证：
sin α
－2cos(α＋β)＝
sin α
.
- 11 - 14
cos 2α

2019-2020年高中数学人教A版必修4学案：3.2+简 单的三角恒等变换+Word版含解析
证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
sin2α＋β
sin β
两边同除以sin α得
sin α
－2cos(α＋β)＝
sin α
.
[能力提升](20分钟，40分)

π

1
2

11．已知sin α＋cos α＝
3
，则2cos
4
－α

－1＝( )

817
A.
9
B.
18

82
C．－
9
D．－
3

11
解析：∵sin α＋cos α＝
3
，平方可得1＋sin 2α＝
9
，
8
可得sin 2α＝－
9
.
< br>π

π

8
2cos
2

4－α

－1＝cos

2
－2α

＝sin 2α＝－
9
.

答案：C
θ
2
2cos
2
－sin θ－1
3
π
12．已知sin 2θ＝
5
，0<2θ<
2< br>，则
π

＝________.

2sin
θ＋
4


θθ

22

2co s
2
－sin θ－1
2cos
2
－1

－sin θ

解析：
＝
π

ππ


 
2sin

θ＋
4

2

sin θcos
4
＋cos θsin
4


sin θ
cos θ－sin θ
1－
cos θ
1－tan θ
＝＝
sin θ
＝
.
sin θ＋cos θtan θ＋1
＋1
cos θ
3
π
因为sin 2θ＝
5
，0<2θ<
2
，
- 12 - 14

2019-2020年高中数学人教A版必修4学案：3.2+简单的三角恒等变换+Word版含解 析
4sin 2θ1
所以cos 2θ＝
5
，所以tan θ＝＝
4
＝
3
，
1＋cos 2θ
1＋
5
1
1－tan θ
1－
3
1
所以＝
1
＝
2
，
tan θ＋1
＋1
3
θ
2cos
2
2
－sin θ－1
1
即
π

＝
2
.

2s in

θ＋
4


1
答案：
2

13．化简：
α

2

－
2

1＋sin 3α－2sin
45°

(1)；
3α
cos α－1＋2cos
2
2
αα

1＋sin α＋cos α< br>
cos
2
－sin
2


(2)(0< α<π)．
2＋2cos α
sin 3α＋cos90°－αsin 3α＋sin α
2sin 2αcos α
解析：(1)原式＝
＝＝
2cos 2αcos α
cos α＋cos 3αcos α＋cos 3α
＝tan 2α.
(2)原式＝
αα

[1＋cos α＋sin α]

cos
2
－sin
2



3
5
21＋cos α
ααα

αα
< br>
2cos
2
＋2sin
cos

cos
－sin

222

22

＝

α< br>2×2cos
2
2
α
α

2
α
α< br>2


cos
－sin
2cos
2
22< br>
cos
2
cos α

＝＝
.
αα2cos
2
2
cos
2
2
απα
∵0<α<π ，∴0<
2
<
2
，∴cos
2
>0，
- 13 - 14

2019-2020年高中数学人教A版必修4学案：3.2+简单的三角 恒等变换+Word版含解析
α
cos
2
cos α
∴原式＝
α
＝cos α.
cos
2
14．已知函数f(x)＝sin
2
x＋3sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；

π

3(2)若f(x)在区间

－
3
，m

上的最大值为< br>2
，求m的最小值．

113
解析：(1)f(x)＝
2
－
2
cos 2x＋
2
sin 2x
π

1

＝sin

2x－
6

＋
2
.

2π
所以f(x)的最小正周期为T＝
2
＝π.
π< br>
1

(2)由(1)知f(x)＝sin

2x－
6

＋
2
.

π
由题意知－
3
≤x≤m，
5πππ
所以－
6
≤2x－
6
≤2m－
6
.

π

3

要使得f(x)在
－
3
，m
上的最大值 为
2
，

π

π

即sin
2x－
6

在

－
3
，m

上的最大值为1.

πππ
所以2m－
6
≥2
，即m≥
3
.
π
所以m的最小值为
3
.

- 14 - 14