猪坚强-幼儿个案分析

广西南宁三中2019-2020学年高考适应性月考卷（三)理科数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_____ ______


1
．设
Z(M)
表示整数集合
M
中的质数的个数，设集合
A{x|1x18}
，
B{x|52 x27}
，则
Z(AB)
（

）
.
A
．
3
2
．设
z
A
．
2i

B
．
4 C
．
5 D
．
6
22i
.
，（注：，则
zz
（

）
abi
的共轭复数为
abi
）
z
是
z
的共轭复数
1i
B
．
i
C
．
2 D
．
4
3
．设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
a
4
4
，
S
9
45
，则
a
10

（

）
.
A
．
20 B
．
10 C
．
44 D
．
55
x
2
y
2
4
．已知直线
x2y40
过椭圆
C:
2

2
1(ab0)
的两个顶点，则椭圆
C
的
ab
标准方程 为（

）
.
x
2
y
2
A
．
1

164
x
2
y
2
B
．
1

24
x
2
y
2
C
．
1

42
x
2
y
2
D
．
1
416
222
5
．圆
O:xy

内的曲线
y|sinx|
与
x
轴围成的区域记为
M
（图中阴影部分），随机往圆
O
内投一个点
A
，则点
A
落在区域
M
内的概率是（

）
.

A
．
4

2

1
B
．
4

3

1
C
．
2

2
D
．
2

3

6
．已知
a(ln2)< br>3
，
b(ln3)
3
，
clog
2
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（

）
.
3
A
．
abc

7
．函数
f(x)
B
．
cab
C
．
bac
D
．
cba

1
sinx
2x
2
|x|
的大致图象为（

）
.
x
试卷第1页，总5页

A
．
B
．
C
．
D
．

uuur
1
uuur
uuuruuur
8< br>．已知在边长为
3
的菱形
ABCD
中，点
E
满足BEEC
，则
AEBD
BAD60
，
2
的值（

）
.
A
．
1

9
．若
sin

B
．
0 C
．
3
D
．
6



5< br>


，则
sin

2


（

）
.





6


6

5
B
．
25
5
A
．
2

5
C
．

5

5
D
．
3

5
10
．设所有棱长都为2
的正三棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（

）
.
A
．
8

B
．
28


3
C
．
4

D
．
20


11
．已知直线
l
1
，
l
2
经过抛物线
C:y
2
x
的焦点
F
，
l
1
，
l
2
互相垂直，直线
l
1
与
C
交
于
D
，
E
两点，直线
l
2
与
C
交于
A
，
B
两点，则
| AB||DE|
的最小值为（

）
.
A
．
2 B
．
4 C
．
8 D
．
16
x
2
12
．设
f(x)
，< br>g(x)ax32a(a0)
，若对于任意
x
1
[0,1]
，总存在
x1
x
0
[0,1]
，使得
g

x
0

f

x
1

成立， 则
a
的取值范围是（

）
.
A
．

0,


2


3


B
．

,


22

35


C
．

,4


2

5



D
．
[4,)

13
．设等比数列

a
n

满足
a
1
a
3
5
，
a
1
a
3
3
，则
a
4

________.
14．若函数
f(x)tanxln(xax
2
)
为偶函数，则
a
________.
15
．随机变量

服从正态分布
N


,


，若
P(

2 



)0.234
，则
2
P(
< br>

2)
________.
16
．胶囊酒店是一种极 高密度的酒店住宿设施，起源于日本，是由注模塑胶或玻璃纤维
试卷第2页，总5页

< br>制成的细小空间，仅够睡眠使用
.
空间内电视、照明灯、电源插座等设备齐全，洗手间< br>及淋浴设施需要共享，其特点是使捷、价格便宜，多适用于旅客
.
如图为一胶囊模型，< br>它由一个边长为
2
的等边圆柱（其轴截面为正方形）和一个半球组成，则它的内接正四< br>棱锥的表面积为
________.

17
．等差数列
< br>a
n

的前
n
项和为
S
n
，
a
3
3
，
S
4
10
.
（
1
）求

a
n

的通项公式；

（
2
）设
b
n

1
，求数列
b< br>n
的前
n
项和
T
n
.
S
n
18
．为研究家庭收入和食品支出的关系，随机抽取了个家庭的样本，得到数据如下表所
示< br>.
10
个家庭的月收入额与食品支出额数据（单位：百元）

家庭

收入（
x
）

支出（
y
）


参考数据：
1
20
7
2
30
9
3
33
8
4
40
11
5
15
5
6
13
4
7
26
8
8
38
10
9
35
9
10
43
10

x
i 1
10
i
293
，

y
i
81
，

x9577
，

y701
，

x
i
y
i
2574
.
2
i
2
i
i1
i1
i1
i1
10101010
ˆ
a
ˆ
bx
ˆ
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
参考公式： 回归方程
y
ˆ
b


xx

yy

ii
i1
n


xx

i
i1
n
2
ˆ
.
ˆ
ybx
，
a
（
1
）恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重
.
一个家庭或个人收入越少，
用于购买生存性的食物的支出在家庭或个人收入中所占的比重就越大对一个国 家而言，
一个国家越穷，每个国民的平均支出中用来购买食物的费用所占比例就越大
.
恩格尔系
数达
59%
以上为贫困，
50~59%
为温饱，
4 0~50%
为小康，
30~40%
为富裕，低于
30%
为
试 卷第3页，总5页

最富裕
.
根据上述样本数据，请估计这个国家达到 最富裕（恩格尔系数

30%
）的家庭比
例；

ˆ
及
a
ˆ
的（
2
）建立
y
（支出）关于
x< br>（收入）的回归方程（系数精确到
0.01
），并解释
b
现实生活意义
.
19
．如图，在棱长为
a
的正方体
AC
1中，
M
，
N
，
E
，
F
分别是
A
1
B
1
，
A
1
D
1
，
B
1
C
1
，
C
1
D
1
的中点.

（
1
）求证：平面
AMN
平面
BEFD
；

（
2
）求直线
AF
与平面
BEFD
所成角的正弦值
.
1
x
2
y
2
20
．已知椭圆
C:
2

2
1(ab0)
，椭圆的长轴长为
4
，离心率为，若直线
2
ab
l:ykxm
与椭圆
C
相 交于
A
，
B
两点，且
k
OA
k
OB（
1
）求椭圆的标准方程；

（
2
）求证：
VAOB
的面积为定值，并求此定值
.
21
．已知函数
f(x)kxlnx
.
（
1
）若函数
f(x)
在区间
(1,)
上单调递增，求
k
的 取值范围；

2
（
2
）若函数
f(x)
有两个不同 的零点
x
1
，
x
2
，求证：
x
1
x
2
e
.
b
2

2
（
O
为坐标原点）
.
a
22
．在平面直角坐标系
xOy
中，已知直线
l
的方程 为
3x3y30
，椭圆
C
的参数
方程为


xcos

，（

为参数）
.
y2sin< br>

（
1
）求直线
l
的参数方程和椭圆
C< br>的标准方程；

（
2
）设直线
l
与椭圆
C< br>相交于
A
，
B
两点，求线段
AB
的长
. < br>23
．已知函数
f(x)
（
1
）求
m
的值 ；

（
2
）若
a
2
b
2
c< br>2
m
，求
4x4x1|xm|
的最小值为
2
23
（其中
m0
）
.
2
491

的最小值
.
a
2
b
2
c
2
1
试卷第4页，总5页

试卷第5页，总5页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
参考答案
1
．
C
【解析】

【分析】

可以求出集合
B
，然后进行交集的运算求出
AIB
，从而可得出集合
AIB
所含的质数，从
而得出
Z

AB

的值．

【详解】

解：
∵
B

x|


527

x

，
A{x|1 x18}
，

22

527

x


22

∴
A
I
B

x|


∴集合
AIB
中所含质数为：
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，

∴
Z

AIB

5
．

故选：
C
．

【点睛】

本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，质数的定义，考查了计算能力，属于基础题．

2
．
D
【解析】

【分析】

2
利用商的模等于模的商求得
|z|
，再由
zz|z|
求解．

【详解】

解：
∵
z
22i
，
1i
∴|z|=|
22i
22
22i
2
，< br> |

1i
1i
2
2
∴
zzz4
．

故选：
D
．

【点睛】

本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．

答案第1页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
3
．
B
【解析】

【分析】


利用等差数列

a
n

的前
n
项和公式和通项公 式列出方程组，求出
a
1
，
d
，由此能求出
a
10
．
【详解】

解：
∵
等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，

a
4
4
，
S
9
45


a
1
3d4

∴

，
< br>98
9a
1
d45

2

解得
a
1
1
，
d1
，

∴
a
10
a
1
9d10
．

故选：
B
．

【点睛】

本题考查等差数列的第< br>10
项的求法，考查等差数列的性质、基本量等基础知识，考查运算
求解能力，属于基础 题．

4
．
A
【解析】

【分析】
< br>求出椭圆的顶点坐标，顶点
a
，
b
，然后顶点椭圆的标准方程．

【详解】

x
2
y
2
解：因为直线
x 2y40
过椭圆
C:
2

2
1(ab0)的两个顶点，

ab
x
2
y
2
所以
a 4
，
b2
，所以椭圆的标准方程为：
1
．

164
故选：
A
【点睛】

本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的标准方程的求法，考查计算能力，属于基础题．

5
．
B
【解析】

答案第2页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【分析】

先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线
y|sinx|
与
x
轴围成的区域记为
M
的面积为
S2

sinxdx
，代入几何概率的计算公式可求．

0

【详解】

解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为

3
，


曲线
y|sinx|
与
x
轴围成的区域记为
M
的 面积为
S2sinxdx2cosx
0


0
4< br>，

4

，由几何概率的计算公式可得，随机往圆
O
内投一个点
A
，则点
A
落在区域
M
内的概率
p< br>故选：
B
．

【点睛】


3
本题 主要考查了利用积分求解曲面的面积，几何概率的计算公式的运用，属于中档试题．

6
．
B
【解析】

【分析】

利用对数函数和指数函数的性质求解．

【详解】

解：
∵
0ln21
，
∴
0a1
，

∵
ln31
，
∴
b1
，

∵
log
2
1
log
2
31
，
∴
c 0
，

3
∴
cab
，

故选：
B
．

【点睛】

本题考查三个数的大小的 求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的
合理运用，属于基础题
.
7
．
B
【解析】

【分析】

由
f

1

0
及函数在特殊点处的导数的符号可得出正确选项．< br>
答案第3页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【详解】

解：由
f

1

sin110
，可排除A
、
D
；

当
x0
时，
f


x


xcosxsinx
4x1
，< br>
2
x
1

11

1

f


16cos

tan

，

4

44

4

当
x

0,




1
0
，


时，令
g

x

xtanx
，
g


x

1
2
2

cosx
故
g

x

为减函数，则
g

x

g

0

0
，故
xtanx，

所以
11

1

tan
即f


0
，故排除
C
，选
B
．< br>
44

4

故选：
B
．

【点睛】

本题考查利用函数的性质确定函数图象，属于基础题．

8
．
C
【解析】

【分析】

将
AEBD
用
AB
，
AD
向量表示，利用向量的数量积的运算律计 算即可；

【详解】

解：如图：

uuuruuur
uuur
uuur
；

uuur
1
uuur
∵
边长为
3
的菱形
ABCD
中，
BAD60
，点
E
满足
BEEC
，

2< br>
uuuruuur

uuur
1
uuur

uuuruuur
∴
AE
g
BD

ABBC

g
BAAD

3


r
1
uuur

uuuruuur

uuu


AB AD

g
ABAD

3


答案第4页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
uuur
2
2
uuuruuur
1
uuur
2
ABAB
g
ADAD

33
21
3
2
33 cos60

3
2

33
3
．

故选：
C
．

【点睛】

本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积公式的运用，属于基础题．

9
．
D
【解析】

【分析】

由已知结合诱导公式及二倍角的余弦公式进行化简即可求解．

【详解】

解：若
sin

5



，
< br>




6

5
则
si n

1



1


1

1

2


sin




2



cos


2


12sin
2

< br>




6

3



3

6


2
13
12 
．

55
故选：
D
．

【点睛】

本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．

10
．
B
【解析】

【分析】

连接上 下底面的中心
M
，
N
，则
MN
得中点即为外接球球心，容易 求得半径，面积．

【详解】

解：如图，
M
，
N
分别是上下底面正三角形的中心，

O
为
MN
的中点，

易知
O
为外接球的球心，

AN

2
23 2323
AD

AB

；


2

3
32323
答案第5页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
在直角三角形ONA
中，可得半径
OA
AN
2
ON
2
 (
23
2
2
2
21
，

)()
323

21

28

∴S
球
＝
4π



，


3

3

故选：
B
．

2

【点睛】

本题主要考查了三棱柱外接球，属于中档题．

11
．
B
【解析】

【分析】

11< br>），所以直线
l
2
的斜率为

，
4k
11< br>|DE|
x
1
x
2

1

2
，联立直线
l
1
与抛物线方程，利用韦达定理以及抛物线的定义得到，
2k
y
＝（
kx

由题意可知直线
l
1
的斜率存在，设直线
l
1
的方程为：
|AB|
x
3
x
4

1
1
2

1k
2
，所以
|AB|•|DE|


1k


1< br>2
2

k
1

2

k
2
，再利用基本不

2
k

等式即可求出
|AB| •|DE|
的最小值．

【详解】

1

1

解：由题意可知，焦点
F

,0

，准线方程为：x
，

4

4

显然直线
l1
的斜率存在且不为零，设直线
l
1
的方程为：
yk

x
∵
直线
l
1
，
l
2
互相垂 直，
∴
直线
l
2
的斜率为



1


，

4

1
，

k
答案第6页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

1
ykx
k
2


1
2

22
0
，

4

，消去
y得：
kx

k1

x
联立方程


16

2


y
2
x
< br>设
D
（
x
1
，
y
1
），
E
（
x
2
，
y
2
），
A
（
x
3
，
y
3
），
B
（
x
4
，
y
4
），

1
2
k1
11
，
∴
x
1
x
2

2
2

2
k2k
1
2同理可得：
x
3
x
4
k
，

2
由抛物线的定义可知，
|DE|
x
1
x
2
< br>∴|AB|•|DE|
1k
111

1

2，
|AB|
x
3
x
4
1k
2
，

2k2

2
1

1




2
k

k

2
2

1
11
2
2
4
k
，当且仅当，即
 22k
2
22
k
kk
k1
时，等号成立，

∴|AB|•|DE|
的最小值为
4
，

故选：
B
．

【点睛】

本题主要考查了抛物线的 定义，直线与抛物线的位置关系，以及基本不等式的应用，属于中
档题．

12
．
B
【解析】

【分析】

先对函 数
f

x

分
x0
和
x0
， 运用二次函数的值域求法，可得
f

x

的值域，运用一次
函数的单调性求出函数
g

x

的值域，由题意可得
f
x

的值域包含在
g

x

的值域 内，可得
a
的不等式组，解不等式可得
a
的取值范围．

【详解】

x
2
解：
∵
f

x< br>

，

x1
当
x0
时，
f< br>
x

0
，

当
x0
时，f

x


1
11

2
xx

1
111
，

()
2

x24
答案第7页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
1
11

1
由
0x1
，即
1
，



2
，

x

x2

4
1

2
1
故
0f

x


，

2
∴0f

x


又因为
g

x

ax32a

a0

，且
g

0

32a
，
g

1

3a< br>．

由
g

x

递增，可得
32 ag

x

3a
，

对于任意
x< br>1


0,1

，总存在
x
0
< br>
0,1

，使得
g

x
0
f

x
1

成立，

可得

0,



32a,3a

，

2
2

1



32a0

可得

1

3a

2

∴
a 

,

．

22
故选：
B
．

【点睛】

本题主要考 查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想和集合的关系，是对
知识点的综合考查，属于 中档题．

13
．
8

【解析】

【分析】

利用等比数列

a
n

满足< br>a
1
a
3
5
，
a
1
a3
3
，列出方程组，求出
a
1
，
q
，进而求 出
a
4
．

【详解】

解：
∵
等 比数列

a
n

满足
a
1
a
3
5
，
a
1
a
3
3
，
< br>
35



a
1
a
1
q
2
5
∴

，解得
a
1
1，
q2
，

2
aaq3

11
3
∴
a
4
a
1
q8
．

答案第8页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
故答案为：
8
.
【点睛】

本题考查等比数列的第4
项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，
属于基础题．

14
．
1
【解析】

【分析】

根据题 意，求出
f(x)
的表达式，结合函数奇偶性的定义可得
tan

x

lnxa

x

【详解】


2

tanxln

x

2
a x
2
，变形分析可得答案．



，则
f

x

tan

x

ln

xa

x


tanxln

x ax

，

若函数
f

x

tanxln

xax

为偶函数，则
f

x

f

x

，

即
ta nxln

xax

tanxln

xax< br>
，

解：根据题意，函数
f

x

tanxlnxax
2
2
2
22
变形可得
lna 0
，解可得
a1
；

故答案为：
1
．

【点睛】

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数的奇偶性的定义，属于基础题．

15
．
0.734

【解析】

【分析】

根据正态分布的密度函数图象关于直线
x
＝
μ
轴对称，即可求得P(



2)
．

【详解】
< br>解：根据题意，正态分布
N

,


2
< br>的密度函数图象关于直线
x

轴对称，

∵
P(< br>
2



)0.234
，
∴
P(



2)0.50.2340.734
．

故答案为：
0.734
．

【点睛】

答案第9页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
本题主要考查了正 态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及运用函数图象对称性解决概
率问题，属于基础题．

16
．
2192

【解析】

【分析】

画出图形，利用求出正四棱锥的表面积即可．

【详解】

解：由题意可知几何体的直观图如图：


2

38
正四棱锥的底面边长为：
2
，棱锥的高为：
3
．斜高为：
3
2


，



2


2

底面面积为：
222
，侧面积为：
4
所以正 四棱锥的表面积为：
2192
．

故答案为：
2192
．

2
138
2219
．

22

【点睛】

本题考查几何体的内接体，正四棱锥的表面积的求法，是基本知识的考查，属于中档题．
17
．（
1
）
a
n
n
（
2
）
T
n

【解析】

【分析】

（
1
）先设等差数列

a
n

的公差为
d
，然后结合题干根据等差数列的通项公式和求和公式列
出关于首项
a
1
与公差
d
的方程组，解出
a
1
与
d
的值，即可得到数列< br>
a
n

的通项公式；（
2
）

由 第（
1
）题的结果计算出数列

b
n

的通项公式 ，然后利用裂项相消法计算出前
n
项和
T
n
．
【详解】
n

n1
答案第10页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

a3
a
1
2d3

解：（
1
）由题意，设 等差数列

a
n

的公差为
d
，则
，

43
S4ad10
41

2
< br>
a
1
2d3
整理，得

，

2a3d5

1

a
1
1
. 解得

d1

∴
a
n
1
n1

1n
．

（
2
）由（
1
）知，

S
n

n

n1

，

2
∴
b
n

121

1
2



，

S
n
n

n1< br>
nn1

1

1

11

11

1
∴
T
n
2

1 

2



2



L
2





2

23

34

nn1

11
< br>111
2

1
L



nn1

223
1

2

1


n1


2n

n1
【点睛】

本题主要考查等差数列的基础知识，以及运用裂项相消法求 前
n
项和．考查了转化与化归思
想，方程思想，逻辑思维能力和数学运算能力．属于中 档题．

18
．（
1
）
20%
（
2
）
$$
y0.2x2.24
，解释见解析

【解析】

【分析】

（
1
）根据恩格尔系数的定义算出
10
个家庭的恩格尔系数，其中系数低于
30%
的家庭有
5
个，从而算出最富裕家 庭的比例；

$$
、
b
$$
的公式计算出回归方程的系数即可得解．

（
2
）结合表格中数据和
a
【详解】

答案第11页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
解：（
1
）由题意可知，

10
个家庭的恩格尔系数如下表所示：


家
庭


恩

格
35
尔
%
系
数



所以样本中达到最富裕的家庭有
5
个，

估计这个国家达到最富裕的家庭比例为
% % % % % % % % %
3024.2427.533.3330.7730.7726.3225.7123.26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
51

.
102
（
2
）
y
i

，，
29381
x
i1
29.3y
i1
8.110101010
i

x
1010
$$

所以< br>b


xx

yy


xy 10xy
iiii
i1
1010


x
ix

i1
10

2
i1
10


x
i1
2
i
10x
2
25741 029.38.1
0.20
，

95771029.3
2
$$
ybx
$$
8.10.2029.32.24

故
a
所以
y
关于
x
的回归方程为
$$
y 0.20x2.24
.
$$
的现实意义为收入每增加
1
百元，估计 支出增加的值；
a
$$
的现实意义为用于购买生存性的
b
食物的最少支 出．

【点睛】

本题考查概率和回归方程的求法，考查学生数据分析的能力和运算能力，属于中档题．

答案第12页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
19
．（
1
）证明见解析（
2
）
【解析】

【分析】

4

9
（
1
）设正方体的棱长 为
4
，如图建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：
MN

平面< br>EFBD
，
AK

平面
EFBD
，进而得到平面
AMN

平面
EFBD
．

（
2
）求出平 面平面
EFBD
的法向量，根据两个法向量夹角公式，可得直线
AF
与平面< br>BEFD
所成角的正弦值．

【详解】

解：（
1< br>）证明：如图
1
，连接
B
1
D
1
，
EN
，

∵M
、
N
分别是
A
1
B
1
，
A
1
D
1
的中点，
∴MN
< br>D
1
B
1
，

又
∵DD
1

BB
1
且
DD
1
＝
BB
1
，
∴DBB
1
D
1
为平行四边形，得
D
1B
1

DB
，
∴MN

DB
，

∵MN⊄
平面
BDEF
，
BD⊂
平面
BDEF，

∴MN

平面
BDEF
，

∵在正方形
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
，
F
分别是棱
A
1
B
1
，
D
1
C
1
的中点，

∴MF

A< br>1
D
1
且
MF
＝
A
1
D
1
，

又
∵A
1
D
1

AD
且
A
1
D
1
＝
AD
，
∴MF
< br>AD
且
MF
＝
AD
，

∴
四边形
ABEN
是平行四边形，
∴AM

DF
，

又
∵AM⊄
平面
BDEF
，
DF⊂
平面
BDEF< br>，
∴AM

平面
BDEF
，

∵AM⊂
平面
AMN
，
MN⊂
平面
AMN
，且
AM∩MN
＝
M
，

∴
平面
AMN

平面
DBEF
．

（
2
）如图，以
B
为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为
4
，

则
B
（
0
，
0
，
0
），
E
（
0
，
2
，
4
），
D
（
4
，
4
，
0
），
A
（4
，
0
，
0
），
F
（
2
，< br>4
，
4
）

uuuruuuruuur
AF

2，4，4

，
BE

0，2，4
，
BD

4，4，0

.
ur
设平面BDFE
的法向量为
m

x，y，z


v
v
uuu
r

mBE2y4z0
u
v21，
所以

v
uuu
，
m

2 ，

，

mBD4x4y0

答案第13页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
uruuururuuur
m
g
AF4844
cosm
，
A F
uuu


rur

369
AFm< br>∴
直线
AF
与平面
BEFD
所成角的正弦值为
4．

9


【点睛】

本题考查空间向量知识 的运用，考查线面角、面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属
于中档题．

x< br>2
y
2
20
．（
1
）
1
（2
）证明见解析；定值为
3

43
【解析】

【分析】

（
1
）由长轴长及离心率和
a
，
b
，
c
之间的关系求出椭圆的标准方程；

（
2
）将直线与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，由（
1
）可得
k
OA< br>k
OB
b
2

2
的
a
值，进而 可得
k
，
m
的关系，求出弦长
AB
，及
O
到直线的距离，代入面积公式可证得面积
为定值．

【详解】

解： （
1
）由题意可得
2a4
，
c1

，
b
2
a
2
c
2
，解得：
a
2
 4
，
b
2
3
，

a2
答案第14页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
x
2
y
2
所以椭圆的标准方程为：
1
. 43
（
2
）由（
1
）得：设
A

x< br>1
,y
1

，
A

x
2
, y
2

，因为
k
OA
k
OB
b
2
3

2

，

a4
y
1
y
2
3

*
即x
1
x
2
4
联立直线与由的方程：


ykxm
222
34kx8kmx4m120
，，整理可得：

22

3x4y120
8km
4m
2
12
，
x
1
x
2

，

< br>
，
x
1
x
2

2
34k
2
34k
k
2
(4m
2
12)8k
2
m
2
3m
2
12k
2
2
∴
y< br>1
y
2
kx
1
x
2
km
x
1
x
2

m
，

m< br>222
34k34k34k
22
3m
2
12k
2
3
22
由
*
可得：可得，


2m 34k
2
4m124
所以弦长
AB1k
2
(x< br>1
x
2
)4x
1
x
2
1k
22
64m
2
k
2
16m
2
48

222
(34k)34k
4
1k
2
3
34k
2

，

2
34k
2
O< br>到直线
l
的距离
d
m
1k
2

34k
2
2
，

1k
2
所以
S
ABC
334k
2
2
4

34k

，

1113
2
ABd1k
2

2
43
2234k
2
24
1k
2
所以可证：
AOB
的面积为定值，且此定值为
3
．

【点睛】

本题考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．

21
． （
1
）
k³1
（
2
）证明见解析

【解析】

答案第15页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【分析】

（
1
）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；

（
2
）中将所证的结论转化为求新函数的单调区间问题得以解决．

【详解】

解：（
1
）
∵
f(x)kxlnx
，函数
f(x)
在区间

1,

上单调递增< br>
∴
f

(x)k
∴
k
1
 0
在

1,

恒成立，

x
1
，

x
∴
k³1
；

（
2
）证明：不妨设
x
1
x
2
0
，

∵
f

x
1

f

x
2

0
，
∴
kx
1
lnx
1
0
，

kx
2
lnx
2
0
，

可得
k

x
1
x
2

lnx
2
 lnx
1
，

k

x
1
x
2< br>
lnx
1
lnx
2
，

2
要 证明
x
1
x
2
e
，即证明
lnx
2lnx
1
2
，也就是证
k

x
1
x
2

2
，

∵
k
lnx
1
lnx
2
lnx
1
lnx
2
2
＞< br>∴
，即证明：，

x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2

x
1

2

1

x
2

x
1即
ln＞

，

x
x
2
1
1
x
2
令
x
1
2t1

t
， 则
t1
，于是
lnt

．

x
2t1
(t1)
2
2

t1

令
g

t

lnt
，
t1
，则
g

t


，

t(t1)
2t1
故函数
g

t

在

1,

上是增函数，
∴
g

t

g

1

0
，

即
lnt
2

t1

t1
成立．

∴
原不等式成立．

【点睛】

本题考查函数的单调性的应 用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，转化思想的
答案第16页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
应用，属于较难题．

1

x1t

2
16

y
2
2
AB
22
．
2
（
1
）直线
l
的参数方程

；椭圆
C
的 标准方程是
x
（）
1
7
4

y
3< br>t

2
【解析】

【分析】

（
1
）根据题意，将直线的方程变形可得
y3

x1

， 写出参数方程的形式即可，将椭圆

y

的方程变形可得
x

1
，整理即可得答案；


2

2
2
（
2
）根据题意，设
A
，
B
对应的参数分别为
t
1
，
t
2
，将直线的方程与椭圆的方程联立可得
3
2

t

t4

1

4 0
，求出
t
1
，
t
2
的值，又由
AB t
1
t
2
，即可得答案．

4

2

【详解】

解：（
1
） 根据题意，已知直线
l
的方程为
3x3y30
，即
y3
x1

，

2
1

x1t< br>
2

其参数方程为

，（
t
为参数），< br>

y
3
t

2

2

xcos

y

椭圆
C
的参数方程为

（
θ
为参数），则有
x
2


1< br>，


y2sin


2

y< br>2
y
2
2
变形可得
x1
，即椭圆
C的标准方程为
x1
；

44
2
（
2
）直线
l
与椭圆
C
相交于
A
，
B
两点， 设
A
，
B
对应的参数分别为
t
1
，
t2
，

y
2
椭圆
C
的标准方程为
x 1
，变形可得
y
2
4x
2
40
，

4
2
1

x1t
2

2
< br>3
2
t

又由直线
l
的参数方程为
，则有
t4

1

40
，变形可得
4

2


y
3
t

2

答案第17页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
7t
2
16t0
，

16
，

7
16
则
ABt
1
t
2

．

7
则
t
1
0
，
t
2
< br>【点睛】

本题考查参数方程的应用，涉及直线、椭圆的参数方程与普通方程的互化，属于中档题．
23
．（
1
）
12
（
2
）
3

【解析】

【分析】

（
1
）对
f(x)
化简，对绝对值号进行分类讨论，求出
f(x)
的最小值
f


（
2
）由
m11
，利用柯西不等式求出即可．

【详解】

解：（
1
）
f(x)

1< br>
23
，
求出
m
；




2

2
4x
2
4x1|xm|2x1x m
的最小值为
23
（其中
m0
）当
2
1

x

,

时，
f(x)3xm1
，

2

当
x



1< br>
,m

时，
f(x)xm1
，

2

当
x

m,

时，
f(x) 3xm1
，

图象如下：

答案第18页，总19页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

1
11

1

f



m 
，
f

m

2m1
，
m

2m1

m0

2
22

2

123

1

f(x)fm
故，故
m11
；

min

22

2

（
2
）由
a
2
b
2
c
2
11
，

由柯西不等式得，

1

2< br>2

49
22
abc123136
，当且 仅当



222

abc1

2
ab

49
故
44

c
2
1

1
时，即
a2,b6,c1
时取等号，

491

的最小值为
3
．

a
2
b
2
c
2
1
【点睛】
< br>本题考查绝对值不等式的求法，柯西不等式求最值问题，考查运算能力和变换技巧，属于中
档题．

答案第19页，总19页