先从甲袋中取出
1
个球放入乙袋，再从乙袋出
1
个球的
总
数
为
红
球的
总
数
为
，由此能求出乙袋 中取出
红
球的概率．

，取出
本
题
考
查< br>概率的求法，考
查
古典概型等基
础
知
识
，考
查
运算求解能力，考
查
函数与方程思想，是基
础题
．

8.
【答案】
C
【解析】
解：
设
生
产
A
，
B
产
品的
产
量分
别为
x，
y
（
单
位：
100
吨），
则
两种< br>产
品的量之和
z=x+y
．

由
题
意得
约
束条件，

得可行区域如
图< br>，其中
A
（
4.5
，
0
），
B
（< br>3.25
，
2.5
），．


由可行区域可得目标
函数
z=x+y
经过
B
（
3.25
，
2.5
）
时
，
z
取最大
值
，故
z
max
=5.75
（
100
吨）．

故
选
：
C
．

设
生
产
A
，
B
产
品的
产
量分
别为
x
，y
（
单
位：
100
吨），
则
两种
产< br>品的量之和
z=x+y
，再由已知得到
x
，
y
所满
足的不等式
组
，作出可行域，数形
结
合得答案．
< br>本
题
考
查简单
的数学建模思想方法及数形
结
合的解< br>题
思想方法，属中档
题
．

9.
【答案】
D
【解析】
解：
设
正三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
底面
边长为
x
，
侧
棱
为
y
，
则
6x+3y=a
，

三棱柱
ABC -A
1
B
1
C
1
侧
面
积
S=3x y
．

第8页，共18页

∴
当且
仅
当
∴
a=24
，
x=2
，
y=4
．

，即
，

时
，等号成立，

∴
正三棱柱< br>ABC-A
1
B
1
C
1
的外接球的球心
O< br>到
顶
点
A
的距离
为
R=
，

2
∴
该
球的表面
积为
4πR
=
．

故
选
：
D
．

设
正三棱柱
ABC -A
1
B
1
C
1
底面
边长为
x
，
侧
棱
为
y
，
则
6x+3y=a
，三棱柱< br>ABC-A
1
B
1
C
1
侧
面
积S=3xy
．当且
仅
当
时
，正三棱柱
侧
面积
取得
最大
值
24
，求出正三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
的外接球的球心
O
到
顶
点
A
的距离，
由此能求出
该
球的表面
积
．

本
题
考
查
三棱柱的外接球的表面
积
的求法，考
查
三棱柱、球等基
础
知
识
，考
查
运算求解 能力、空
间
想象能力，考
查
函数与方程思想、数形
结
合思想 ，是中
档
题
．

10.
【答案】
D
【解析】
解：由双曲
线
的定
义
与几何性
质
以及正弦定理得，

e=====1+
；

∵
|PF2
|
＞
c-a
，即
e
＜
1+
又
∵
e
＞
1
，
∴
1
＜
e
＜
+1
；

2
，
∴
e-2e-1
＜
0
；

∴
离心率
e
的取
值
范
围
是（
1
，< br>故
选
：
D
．

+1
）．

由双曲
线
的定
义
与几何性
质
，
结
合正弦定 理，得
e=
由
|PF
2
|
＞
c-a
，得< br>e
＜
1+
=1+
；

，
结
合
e
＞
1
，求出
e
的取
值
范
围
．

第9页，共18页

本
题
考
查
了 双曲
线
的定
义
与性
质
的
应
用
问题
，也考
查
了正弦定理的
应
用
问题
，
解题时
可以
结
合
图
形
进
行解答
问题，是基
础题
．

11.
【答案】
C
【解析】
解：分
别
取
边
BC
，
AC
的中点
D
，
E
，

则
因
为
所以
且
又
所以
，
，

，所以
E
，
D
，
P
三点共
线
，
．

，

，所以，

．

，

所以
△
PB C
的面
积
故
选
：
C
．

分
别
取
边
BC
，
AC
的中点
D
，推
导
出
E
，
D
，
P
三点共
线
，且
而，，由此能求出
△
PBC
的面
积
．

． 从
本
题
考
查
平面向量
线
性运算，考
查三角形面
积
等基
础
知
识
，考
查
运算求 解能
力，考
查
函数与方程思想，是中档
题
．

12.
【答案】
D
【解析】
2xxx
解：当
x
＞
0
时
，由
x-axe-ae
＞
0
可得< br>ae
＜（
x
＞
0
），

显
然当a≤0
时
，不等式
ae
x
＜在（
0
，
+∞
）恒成立，不符合
题
意；

x
当
a
＞
0
时
，令
f
（
x
）
=ae
，则
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）上
单调递
增，

令
g
（
x
）
=
，
则
g′
（
x
）
==
＞
0
，

∴
g
（
x
）在（
0
，
+∞
） 上
单调递
增，

∵
f
（
0
）
=a
＞
0
，
g
（
0
）
=0
，且
f
（
x
）＜
g
（
x
）有
2
个正 整数解，

第10页，共18页

∴
，即，解得
≤a
＜．

故
选
：
D
．

x
化
简
不 等式可得
ae
＜，根据两函数的
单调
性得出正整数解
为
1< br>和
2
，列
出不等式
组
解出即可．

本
题
考
查
了函数零点与函数
单调
性的关系，属于中档
题．

13.
【答案】
【解析】

解：如
图
所示，

设
半径
为
R
，
则
所以
弧
长
故答案
为
：．

，

．

，

根据
题
意画出图
形，
结
合
图
形求出半径和弧
长
．

本
题
考
查
了扇形的半径与弧
长
的
计
算
问题
，是基
础题
．

14.
【答案】

【解析】
解：
∵
，
b=3
，，

，得，

∴
由正弦定理
又
∵
b
＜
a
，

∴
∴
，

．

．

故答案
为
：
由已知利用正弦定理可求
sinB
的
值
，
进
而可求
B
，利用三角形内角和定理可
第11页，共18页

求
C
的
值
．

本
题
主要考
查
了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的
应
用，考
查
了
转
化思想，属于基
础题
．

15.
【答案】
【解析】

解：以点
D
原点，< br>DA
，
DC
，
DD
1
分
别为
x，
y
，
z
轴
建立空
间
直角坐
标
系，
设
棱
长
为
2
，

则
A（
2
，
0
，
0
），
E
（
0< br>，
0
，
1
），
B
（
2
，
2
，
0
），
D
1
（
0
，
0
，
2
），

∴
∴
cos
＜
，
＞
=
，

=
，

．

∴
异面直
线
AE与
BD
1
所成角的余弦
值为
故答案
为
：．
以点
D
原点，
DA
，
DC
，
DD< br>1
分
别为
x
，
y
，
z
轴
建 立空
间
直角坐
标
系，
设
棱
长为
2
，求出
余弦
值
．

本
题
考
查
利用 空
间
向量求解异面直
线
所成角，是基
础
的
计
算
题
．

16.
【答案】
2
【解析】
2
解：
∵
f
（
x
）
=ax+bx+c
，< br>
的坐
标
，求其
夹
角余弦
值
，可得异面直< br>线
AE
与
BD
1
所成角的
-2
∴
f′
（
x
）
=2ax+b
，

∵
对
任意
x
∈
R
，不等式
f
（
x
）
≥f′
（
x
）恒成立，

2
∴
ax
+bx+c≥2ax+b
恒成立，

2< br>即
ax+
（
b-2a
）
x+
（
c-b
）
≥0
恒成立，

222
故
△
=
（b-2a
）
-4a
（
c-b
）
=b+4a-4ac≤0
，且
a
＞
0
，

22
即
b
≤4ac-4a
，

第12页，共18页

2
∴
4ac-4a
≥0
，

∴
c≥a
＞
0
，

∴
故
≤
=2
故答案
为
：
2
-2
，

-2
，

===≤
22
由已知可得
ax+
（
b -2a
）
x+
（
c-b
）
≥0
恒成立，即
△
=
（
b-2a
）
-4a
（
c-b
）=b
2
+4a
2
-4ac≤0
，且
a
＞
0
，
进
而利用基本不等式可得的最大
值
．

本< br>题
考
查
的知
识
点是二次函数的性
质
，
导
函数，恒成立
问题
，最
值
，基本不等
式，是函数方程不 等式
导
数的
综
合
应
用，
难
度大．

17.
【答案】解：（Ⅰ）设等比数列
{a
n
}
的公比为< br>q
，
∵
S
2
、
S
4
、
S
3
成等差数列，∴
2S
4
=S
2
+S
3< br>，
即
a
3
+2a
4
=0
，又
a< br>2
+a
3
+a
4
=-
，
2323
∴
a
1
q+2a
1
q=0
，
a
1
q+a
1
q+a
1
q=-
，
解得
q=-
，
a
1
=1
，
n
- 1
n
-1
∴
a
n
=a
1
•
q=< br>（
-
）；
n
-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
n|a
n
|=n
•（），
n
-1012
设
T
n
=1×
（）
+2×
（）
+3×
（）
+
…
+n
•（），①
n
123
T
n
=1×
（）
+2×
（）
+3×
（）
+
…
+n
•（），②
n
-1
n
012
①
-
②得，
T
n
=
（）
+
（）
+
（）
+
…
+< br>（）
-n
•（）
=-n
•（）
n
=2-
（< br>n+2
）•（）
n
，
n
-1
∴
T
n
=4-
（
n+2
）•（）．
【解析】

（Ⅰ ）
设
等比数列
{a
n
}
的公比
为
q
，由
题
意和等差中
项
的性
质
列出方程并化
简，
第13页，共18页

由等比数列的通
项
公式和条件列 出方程
组
，求出
q
和
a
1
的
值
， 代入通
项
公式
求出
a
n
；

（Ⅱ）由（Ⅰ ）化
简
n|a
n
|
，利用
错
位相减法、等比数列的 前
n
项
和公式求出数列
{na
n
}
的前
n
项
和．

本
题
考
查
了等比数列的通
项
公式、前
n
项
和公式，等差中
项
的性
质
，以及
错
位
相减法求数列的和，考
查
了方程思想，化
简< br>、
变
形能力．

18.
【答案】解：（
I
） 求产品研发费的自然对数值
z
和销售额
y
的回归直线方程，
∵
=
∴
=
=≈11.99
，
=42-11.99×1.68≈21.86
，
∴
=11.99z+21.86
，
∴
y
关于
x< br>的回归方程为
=11.99lnx+21.86
；
（Ⅱ）根据（
I
）的回归方程
=11.99lnx+21.86
，
令
=11.99lnx+21.86=70
，得
lnx≈4.02
， 解得
x≈55.5
，
∴
2018
年的销售额要达到
70< br>万元，则产品研发费大约需要
55.5
万元．
【解析】

（
I
）求
产
品研
发费
的自然
对
数
值
z
和
销
售
额
y
的回
归
直
线
方程，

从而得到
y
关于
x
的回
归
方程；

（Ⅱ）根据（
I
）的回
归
方程，令
=70
求得
x
的
值
即可．

本
题
考
查
了用线
性回
归
方程系数公式求
线
性方程以及用
样
本 估
计总
体解决
简单实际问题
，是中档
题
．

19.
【答案】（Ⅰ）证明：连接
BD
交
EC
于
Q
，连接
DE
，
∵
AB=4
，
E
为
AB
的中点，∴
BE=AE=2
，

∴
BE
∥
CD
∥
AE
，
BE=CD=AE
，
则四边形
AECD
、
BEDC
为平行四边形，
∴
AD=CE
，
又
AD=BC
，∴
CE=BC
，
又∠
ABC=60°
，∴
CB=BE
，
则四边形
EBCD
为菱形，
∴
BD
⊥
EC
，即
BQ
⊥
EC
，且
DQ
⊥
EC
，
第14页，共18页

在四棱锥
P-AECD
中，
∵
PQ
⊥
EC
，且
DQ
⊥
EC
，
DQ∩PQ=Q
，
∴
EC
⊥平面
PDQ
，
而< br>PD
⊂平面
PDQ
，则
PD
⊥
EC
；
（Ⅱ）解：∵二面角
P-EC-A
是直二面角，
又
PQ
⊥
EC
，
PQ
⊂平面
PEC
，
∴
PQ
⊥平面
AECD
，
∴
【解析】
．

（Ⅰ）
连
接
BD
交
EC
于
Q
，
连
接
DE
，由已知可得四
边
形
AECD
、
BEDC
为
平行
四
边
形，
进
一步得到四
边
形
EBCD
为
菱形，可得
BD
⊥
EC
，即
BQ
⊥
EC
，且
DQ
⊥EC
，

在四棱
锥
P-AECD
中，有
PQ< br>⊥
EC
，且
DQ
⊥
EC
，由
线
面垂 直的判定可得
EC
⊥
平面
PDQ
，
进
一步得到PD
⊥
EC
；

（Ⅱ）由二面角
P-EC-A
是直二面角，且
PQ
⊥
EC
，可得
PQ
⊥
平面AECD
，然后利
用棱
锥
体
积
公式求得四棱
锥
P-AECD
的体
积
．

本
题
考
查
空
间
中直
线
与直
线
的位置关系，考
查< br>空
间
想象能力与思
维
能力，
训
练
了多面体体
积
的求法，是中档
题
．

20.
【答案】解：（< br>I
）∵点
A
（
-1
，
0
），
B（
1
，
0
），动点
M
满足
|MA|+|MB| =4
．
∴动点
M
的轨迹方程为以
A
，
B
为焦点的椭圆，设标准方程为：
+=1
（
a
＞
b
＞
0
）．
222
∵
2a=4
，
c=1
，
a
=b+c
，
2
联立解得
a=2
，
c=1
，
b=3
．
∴曲线
C
的方程为：．
（Ⅱ）设
P
（
x
1
，
y
1
），
Q
（
x
2
，
y
2
）．联立
22
化为：（
4k+3
）
x+16 kx+4=0
，
222
△
=
（
16k
）
-16
（
4k+3
）＞
0
，解得
k
，
．
∴
x
1
+x
2
=-
，
x
1
x
2
=
，
+4=
，
λ≠0
．
，y
N
=
（
y
1
+y
2
）
=< br>．
．
y
1
+y
2
=k
（
x1
+x
2
）
+4=-
∵
∴
x
N
=
（
x
1
+x
2
）
=-
第15页，共1 8页

又点
N
在椭圆
C
上，∴
2
化 为：
λ=
+
2
，∴
4k+3
＞
4
．
=1
，
，∵
k
2
2
∴
0
＜λ
＜
4
，解得
-2
＜
λ
＜
2
，且
λ≠0
．
∴
λ
的取值范围是：（
-2
，0
）∪（
0
，
2
）．
【解析】

（
I
）由点
A
（
-1
，
0
），
B
（
1
，
0
），
动
点
M
满
足
|MA|+|MB|=4
．
动
点
M
的
轨
迹方程
为
以
A
，
B
为
焦点的
椭圆
，
设标
准方程
为
：
a
2
=b
2
+ c
2
，解出即可得出．

（Ⅱ）
设
P
（
x
1
，
y
1
），
Q
（
x
2
，
y
2
）．
联
立
△
＞
0
，解得< br>k
2
22
，化
为
：（
4k+3
）
x +16kx+4=0
，
+=1
（
a
＞
b
＞
0
）．由
2a=4
，
c=1
，
．由，
λ≠0
．可得
x
N
，
y
N
．根据点
N
在
椭圆
C
上即可得出．

本
题
考
查
了直< br>线
与
椭圆
的位置关系、一元二次方程的根与系数的关系、向量
坐
标
运算性
质
，考
查
了推理能力与
计
算能力，属于
难题
．

21.
【答案】解：（Ⅰ）证明：由已知得
h（
x
）
=e
x
，设
H
（
x
）
=h
（
x
）
-g
（
x
）
=ex
-x-1
，
x
∴
H
′（
x
）
=e
-1
，
令
H
′（
x
）
=0
，可得
x=0
．
当
x
∈（
-∞
，
0< br>）时，
H
′（
x
）＜
0
，当
x
∈（
0
，
+∞
，）时，
H
′（
x
）＞
0
，
∴
H
（
x
）在（
-∞
，
0
）递减，在（
0
，
+∞
）递增，
∴
H
（
x
）
≥H
（
0
）
=0
，即
h（
x
）
-g
（
x
）
≥0
；
∴
g
（
x
）
≤h
（
x
）； （Ⅱ）由已知可得
∵函数
*
，则
F
′（
x
）< br>=
在
[k
，
+∞
）（
k
∈
N
）上存在极值，
*
．
∴函数
F
′（
x
）=0
在
[k
，
+∞
）（
k
∈
N
）上有解．
即方程
1+
令
φ
（
x
）
= 1+
在
[k
，
+∞
）（
k
∈
N
） 上有解，
，（
x
＞
0
）
*
∵
x
＞
k
，∴
φ
′（
x
）
=--
＜
0
，∴
φ
（
x
）在（
0
，
∞
）递 增，
φ
（
4
）
=
＞
0
，
φ（
5
）
==
．
∴函数
φ
（
x
）存在零点
x
0
∈（
4
，
5
），
*< br>∴
k≤x
0
，∵
k
∈
N
，∴
k≤4
，
第16页，共18页

∴
k
的最大值为
4
．
【解析】

xxx
（Ⅰ）由已知得
h
（
x
）
=e
，< br>设
H
（
x
）
=h
（
x
）
- g
（
x
）
=e-x-1
，
∴
H′
（
x
）
=e-1
，

可得
H
（
x
）在（
-∞
，
0
）
递
减，在（
0
，
+∞
）
递
增，即
h
（
x
）
-g
（
x
）
≥0
，
g
（
x
）
≤h（
x
）；

（Ⅱ）由已知可得
只需方程
1+
令
φ
（
x
）
=1+
可得解．

本
题
考
查
了
导
数在研究函数的极
值
的
应
用，考
查
了函数的
单调
性、零点
问题
，
属于中档
题
．

22.
【答案】解：（
I
）曲线
C
的极坐标方程是
ρ=4cosθ
，
22
转化为直角坐标方程为：（
x-2
）
+y=4
， ，
则
F′
（
x
）
=
在
[k
，
+∞
）（
k
∈
N
）上有解，

*
．

，（
x
＞
0
）利用
导数即可得函数
φ
（
x
）存在零点
x
0
∈
（
4
，
5
），即
直线
l
的极坐标方程是
转化为直角坐标方程为：
x+y-1=0
．
（Ⅱ）点
，
的直角坐 标为（
0
，
1
）且点
Q
在直线
l
上．
设直线的参数方程为：（
t
为参数），
把直线的参数方程代入曲线
C
的直角坐标方程为：
整理得：
所以：
所以：
|QA|+|QB|=
，（
t
1
和
t
2
为
A
和
B
对应的参数），
，
t
1
•
t
2
=1
．
，
考点：
1
、极坐标和直角坐标的互化；
2
、参数的意义．
【解析】

（Ⅰ）直接利用
转换
关系，把参数方程和极坐
标
方程与直角坐
标
方程
进
行
转
化．
（Ⅱ）利用直
线
和曲
线
的位置关系，整理成一元二次方程，利用根和系数 的关
系求出
结
果．

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本
题
考
查
的知
识
要点：参数方程和极坐
标
方程与直角坐
标
方程的
转
化，一元
二次方程根与系数的关系的
应
用．

23.
【答案】解：（
I
）原不等式即
|2x+1|+|x-2|≤4
，
①当
x≤-
时，原不等式即
-2 x-1-x+2≤4
，解得：
-1≤x≤-
，
②当
-
＜< br>x≤2
时，原不等式即
2x+1-x+2≤4
，解得：
-
＜< br>x≤1
，
③当
x
＞
2
时，原不等式即
2x +1+x-2≤4
，解得：
x
∈∅，
综上，原不等式的解集是
[-1
，
1]
；
（Ⅱ）∵
f
（
x
）
=|2x+1|+|x-a|
．
a
∈< br>R
．
①当
a=-
时，
f
（
x
）< br>=|2x+1|≥0
，
显然不等式
f
（
x
）＜
1
的解集为非空集合， < br>②当
a
＞
-
时，易知当
x=-
时，
f
（
x
）取得最小值
a+
，
即
f
（
x
）
=|2x+1|+|x-a|≥a+
，
欲使不等式
f
（
x
）＜
1
的解集为非空集合，必需
a+
＜
1
，
故
-
＜
a
＜； < br>③当
a
＜
-
时，易知当
x=-
时，
f
（
x
）取最小值
-a-
，
即
f
（
x< br>）
=|2x+1|+|x-a|≥-a-
，
欲使不等式
f
（
x
）＜
1
的解集为非空集合，
必需
-a-
＜
1
，
∴＜
a
＜
-
；
综上，当
-
＜
a
＜时，不等式
f
（
x
）＜
1
的解集是非空集合．
【解析】

（Ⅰ）通
过讨论
x
的范
围
， 求出各个区
间
的不等式的解集，取并集即可；

（Ⅱ）通
过讨论a
的范
围
，求出
f
（
x
）的最小
值< br>，得到关于
a
的不等式，从而确定
a
的范
围
即可．< br>
本
题
考
查
了解
绝对值
不等式
问题
，考
查
分
类讨论
思想，
转
化思想，是一道中
档
题
．


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