2019年江苏省盐城中学高三全真模拟考试(最后一卷)数学试卷(含答案)
庆阳一中-诺贝尔是哪国人
高考数学精品复习资料
2019.5
高三年级模拟检测
数学Ⅰ试卷
命题人:胥容华 刘进
范进 审题:高三数学组
参考公式:锥体的体积公式
高.
,其中是锥体的底面积,是锥体的
一、填空题:(本大题共
14
个小题,每小题
5
分,共
70
分,将答案填在答题
纸上)
1. 设集合
2.
已知复数
3.
“”是“函数
,
(
,则 ▲ .
▲
.
,是虚数单位)是实数,则
为奇函数”的 ▲ 条件.
(填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”中的一个).
4. 一只口袋内
装有大小相同的4只球,其中2只黑球,2只白球,从中一次随机摸出2只球,有1
只黑球的概率是
▲ .
5. 根据如图所示的伪代码,当输入的值为3时,输出的值为 ▲ .
6.
有100件产品编号从00到99,用系统抽样方法从中抽取5件产品进行检验,分组后每组按照相
同的间隔抽取产品,若第5组抽取的产品编号为91,则第2组抽取的产品编号为 ▲ .
7. 已知满足约束条件,则的最大值为 ▲ .
8. 《九章算术》是
我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周
六尺,高五尺.问:积
及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,
米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧
长为6尺,米堆的高为5尺,问堆
放的米有多少斛?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺,圆周率约为
3,估算出
堆放的米约有 ▲ 斛.
9. 已知
▲ .
,且,,则
10. 各项为正数的等比数列
11. 在中,角,,
中,,,则 ▲ .
,,,则的对边分别是,,,若
的面积是 ▲ .
12.
已知半径为
相交,则直线被圆
13. 已知向量
▲ .
14. 设是上的
奇函数,当时,,若函数有两
,
的动圆经过圆的圆心,且与直线
截得的弦长最大值是
▲ .
满足,,若恒成立,则实数的取值范围为
个零点,则实数的取值范围是 ▲
.
二、解答题
(本大题共
6
小题,共
90
分.
解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤)
15.
(本小题满分
14
分)
在中,,设,的面积是,
且满足.
(1)求的取值范围;
(2)求函数
16.
(本小题满分
14
分)
在正三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,点
D
是边
BC
的中点.
(
1
)求证:
A
1
C
平面
AB
1
D
;
的最大值和最小值.
(2
)设
M
为棱
CC
1
上的点,且满足
BM⊥
B
1
D
.
求证:平面
AB
1
D
⊥平面
ABM
.
17.
(本小题满分
14
分)
已知椭圆
顶点,四边形(1)求椭圆
(2)点
①求椭圆
②若动点
是正方形.
的离心率;
是椭圆
的方程;
在直线
和直线
的左、右焦点分别是和,点、分别是椭圆的上、下
上一点.
上(不在轴上),直线与椭圆交于另一个点.
证明:直线
的斜率之积为定值.
18.
(本小题满分
16
分)
某学校在平面图为矩形的操场
线段
领队位置,且
果最好. <
br>(1)当为何值时,为队列
、
到
、
、
内进行体操表演,其中<
br>为表演队列所在位置(
的距离均为,记
,分别在线段
为
、
上一
点,且
上),点为
,我们知道当面积最小时观赏效
的中点?
的值.
(2)怎样安排
的位置才能使观赏效果最好?求出此时
19.
(本小题满分
16
分)
已知函数
(1)求在
.
处的切线方程;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)设函数
有解,求整数
,其定义域是
的最小值.(参考数据:
,若关于的不等式
,)
在上
20
.
(本小题满分
16
分)
已知数列
(1)求和
的各项都为正数,其前项和为
(结果用,,
,使得对任意
,若数列
表示);
,都有
满足
成立,求的最小值;
,且满足:,,. <
br>(2)若存在正整数
(3)定义:对于,则称这个数列为“
Y
数列”.已知首项
为
(为正奇数),公比为正整数的等比数列是“
Y
数列”,数列不是“
Y数列”,当
时,
是各项都为有理数的等差数列,求.
高三年级第三次模拟检测
数学Ⅱ试卷
21
.【选做题】(本题包括
A
、
B
、
C
、
D
四小题,请选定其中两题,并在
相应的答题区域内作答.若
多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.)
A
.【选修
4-1
:几何证明选讲】(本小题满分
1
0
分)
如图,⊙
O
的直径
求证:
B
.【选修
4-2
:矩阵与变换】(本小题满分
10
分)
的延长线与弦
.
的延长线相交于点,为⊙
O
上一点,.
设是矩阵的一个特征向量.
(1)求实数的值;
(2)求矩阵
C
.【选修
4
-4
:坐标系与参数方程】(本小题满分
10
分)
在极坐标系中,已知直线
D
.【
选修
4-5
:不等式选讲】(本小题满分
10
分)
设,求证:
被圆截得的弦长为,求的值.
的特征值.
【必做题
】(第
22
题、第
23
题,每题
10
分,共
20<
br>分
.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤)
22.
某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课
程取得优秀
成绩的概率分别为,(),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生
取得优秀成绩的课程数,
其分布列为:
ξ 0
1
2 3
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;
(2)求,的值;
ξ. (3)求数学期望
23. 有三种卡片分别写有数字1,10,100,从上述三种卡片中选取若干张,使得这些卡片之和
为(
为正整数).考虑不同的选法种数,例如
或“11张写有1的卡片”.
(1)若=100,直接写出选法种数;
,当≥2时,求数列的通
=11时有两种选
法:“一张卡片写有1,另一张写有10”
(2)设为正整数,记所选卡片的数字和为100的选法种数
为
项公式.
数学Ⅰ答案
一、填空题:(本大题共
14
个小题,每
小题
5
分,共
70
分,将答案填在答题纸上)
1.
{3}
2. 1 3.充要 4.
8.
12.5 9.
2
5. 9 6. 31
7. 4
3
12
3
10. 20 11.
3
12.
26
13.
(,3][,)
14.
(0,]
33
二、解答题
(本大题共
6
小题,共
90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.解:(1)在
ABC
中,
ABAC8
,
bccos
8
,bc
又
ABC
的面积
S
又
(0,
)
,
[
8
cos
3
1
tan
3
bcsin
4tan
3
2
,]
……………………..…….7分
63
13
2
sin2
)
(2)
f(<
br>
)2sin
3sin2
12(cos2
22
12(sin
6
cos2<
br>
cos
sin2
)12sin(2
<
br>)
……….10分
66
由(1)知,当
6
时,
f(
)
min
1
;当
3
时,
f(
)
max
0
………14分(未指出
值各扣
1分)
16.
证明:(
1
)连接
A
1
B
,与
AB
1
交于点
E
,连接
DE
正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
AA
1
BB
1
四边形
AA
1
B
1
B
是平行四边形
A
1
B
与
AB
1
互相平分
E
是
A
1
B
的中点
在
A
1
BC
中,
D
是
BC
中点,
E
是
A
1
B
的中点
A
1
B
1
C
1DE
是
A
1
BC
的中位线
DEA
1
C
又
DE
平面
AB
1
D
,
AC
平面
AB
1
D
,
DEAC
11
A
M
A
1
C<
br>
平面
AB
1
D. …………7
分
(
2
)正三棱柱
ABCA
1
B
1
C1
BB
1
平面
ABC
又
BB
1
平面
BCC
1
B
1
平面
BCC
1
B
1
平面
AB
C
平面
BCC
1
B
1
D
B<
br>C
第16题
平面
ABCBC
又
AD
平面
ABC
AD
平面
BCC
1
B
1
在正
ABC
中,
D
是
BC
中点
ADBC
又
BM
又
BMB
1
D
,
B
1
DADD
平面
BCC
1
B
1
ADBM
AD
平面
AB
1
D
B
1
D
平面
AB
1
D
BM
AB
1
D
又
BM
17.解:(1)四边形
AF
1
BF
2
是正方形是正方形
平面
ABM
平面
AB
1
D⊥平面
ABM…………………14
分
bc
22
a
,
e
………………………4分 22
x
2
y
2
26
1
,代入
(2,
3)
,得
C:
2
2
1
a
2
8
(2)①由(1)设椭圆
C:
2
<
br>1
2
a
aa
a
2
x
2
y
2
椭圆
C:1
………………….8分
84
)
B(0,2)
②设点
P
x
0
,8
,其中
x
0
0
设
M
x
1
,y
1
A(0,2
,
M,B,P
三点共线
y
1
2
6
()
x1
x
0
又
k
AM
y
1
2
x
1
k
AP
y2
1010<
br>()
k
AM
k
AP
1
x
0
x
1
x
0
5
y
1
2
4
由()可知
k
AM
k
AP
()
2
3x
1
x
1
2
x
2
y
2
2
1
上
y
1
4(1)
M
x
1
,y
1
在椭圆
C:
848
代入()得
k
AM
k
AP
5<
br>为定值.…………………….14分
6
18.解:以
O
为坐标原点,
AB
所在直线为
x
轴,过
O
垂直于
AB
的
直线为
y
轴,建立如图所示的平
面直角坐标系.则
C(8,16),B(8,
0),P(4,4)
,
∴
OC:y2x
OD:y
1
x
∴
2
D
P
N
O
第18题
C
OCOD
设
M(2m,m),N(n,2n),(m0,n0)
∵
P
为
MN
的中点
M
24
m
A
2mn8
5
∴
∴
8
m2n8
n
5
此时
M(
B
245
4824
;
…………….7分(建系2分)
,),
d
5
55
m42n4
(2)
∵
k
PM
k
PN
∴
∴
4m12n5mn
2m4n4
15
∵
OCOD
∴
S
OMN
OMONmn
22
24
∵
4m12n5mn83mn
当且仅当
m3n
时取等号,
5
245
192596
.
∴
mn
.
∴
S
OMN
mn
, 此时
d
5
2525
答:(1)当
d
245
时,
P
为队列
MN
的中点;
5
245
时,观赏效果最好.………………………………….16分(答1分) 5
(2)当点
M
满足
d
xe
x
ee
19.解:(1)
f'(x)
, 且
f'(1)f(1)
(x1)
2
42
yf(x)
在
(1,f(1))处切线方程是:
y
eeee
(x1)
,整理得:
yx
.………4分
2444
11
2
(2)由题设不等式:
e<
br>x
x
2
xa
ae
x
x
.
x
22
1
xx
0
设
h(x)e
x
x
2
x
h'(x)ex
1
设
p(x)h'(x)ex1
p(0)
2
p'(x)e
x
10
p(x)
在
[0,)
上单调递增
p(x)00
h'(x)
1
a1
………10分
h(x)
在
[0,)
上单调递增
又
h(0)1
h
mi
(
n
x)h(
0)
(3)
D(0,1)
x
(1,)
e
x
(x1)(xm)
(x1)(xm)
在
D
上
有解等价于在
D
上有解.
e
x1(x1)lnx
lnx<
br>e
x
e
e
x
e
(x1)
在
D<
br>上恒成立,即证:
(x1)0
恒成立, 先证:
x14
x1
4
e
(x1)
2
0
在
D
上恒成立
4
e
0
设
H(x)e
x
(x1)
2
,其中
x[0,)
H(1)
4ee
H'(x)e
x
(x1)
,
H'(0)10<
br>,
H'(1)0
22
ee
H''(x)e
x<
br>
在
[0,)
上单调递增
令
H''(x)0
,得
xln(0,1)
22
e
当
x(0,ln)
时
H''(x)0
H'(x)
2
e
当
x(ln,)
时
H''(x)0
H'(x)
2
eee
H'
min
(x)H'(ln)ln0
222
只要证
e
x
当
x(0,1)
时
H'(x)0
H(x)
当
x(1,)
时
H'(x)0
H(x)
e
x
e
H
min
(x)H(1)0
H(x)0
(x1)
恒成立
在
D
上恒成立 ①
x14
ex1
在
D
上恒成立
(x1
)
4lnx
4x1
当
x(1,)
时,即证:
ln
x0
恒成立 ()
ex1
4x1
设
F(x)lnx
其中
x[1,)
,
F(1)0
ex1
再证:
ex
2
(2e8)xe
2
t(x)ex(2e8)x
e
,其中
6432e0
F'(x)
设
2
ex(x1)
t(x)0
恒成立
F'(x)0
恒成立
F(x)
在
(1,)
上单调递增
F(x)F(1)0
()成立
当
x(0,1
)
时,即证
lnx
4x1
0
由上证可知,不等式成立
ex1
ex1
在
D
上恒成立 ②
(x1)
4lnx
e
x
x1
(x1)(x1)
由
①②可知,在
D
上恒成立
e
x
恒成立
x1lnx
lnx
当
m1
时,
(x1)(xm)
(x1)(x1)
e
x
在
D
上恒成立
lnxln
x
1
(x1)(x2)151
令
m2
g(x)
,
g()1.81
,又
e
2
1.65
1.81
,
lnx24ln2
e
x
g(x)
在
D
上有解.
综上,
m
的最小整数值是2. ………16分(得到结果未证明得2分)
20.解:(1)
n1
时,
raaa
2
b
,∴
a
2
rab
a
rabr
ab
)a
3
b
,∴
a
3
ar
aa
b
a
1
a
,
a
2
r
,
a
3
ar
…………………….4分(各2分)
a
n2
时,
r(a
(2)
∵
rS
n
a
n
a
n1
b
①
∴
rS
n1
a
n1
a
n2
b
②
②-①得
ra
n1
rS
n1
rS
n<
br>a
n1
(a
n2
a
n
)
∵a
n1
0
,∴
a
n2
a
n
r
{a
2k1
},{a
2k
}(kN
)
都是公差为
r
的等差数列.
写出数列的前几项:
a,
bb
r
,
ar
,
a2r
,
2r
…
aa
∴
r
>0时,
a
2k1
,a
2k
都是单调递增的,不合题意,同理
r
<0时也不成立
∴
r
=0则数列为
a,
∴
当
a
bb
,
a
,…
aa
b
22
即
ba
时,
T
min
=1,
当
ba
时,
T
min
=2
a
综上,
T
min
1
或
T
min
2
…………….8分(各
2分)
(2)
∵{
b
n
}是首项为b(b为正奇数)公比
q
为正整数的等比数列
∴
b
n
>0
∵{
b
n
}是“Y数列”,∴
b
n1
b
n
b
n
(q1)10
<
br>∴
q10
即
q1
,∴
b
n1
b<
br>n
q(b
n
b
n1
)b
n
bn1
所以在
{b
n1
b
n
}中,b
2
b
1
为最小项 同理
{b
n1<
br>
由
{b
n
}
是“Y数列”,所以
b
2b
1
1
,即
b(q1)1
数列
{<
br>1
2
111
b
n
}
中
b
2
b
1
为最小项
222
b
n
11
}
不是
“Y数列”所以
b
2
b
1
1
,即
b(q1)
2
22
2
∴
b(q1)2
.
∵
b
为正奇数 ∴
b
=1,
q3
∴
b
n
3
由(2)有数列
{a
n
}
的前
三项是:
a,
n1
………………12分.
1
r
,
ar
∵
{a
n
}
是各项都为有理数的等差数列
a
rr
2
16rr
2
16
1
2
0
∴
a
ar2(r)
整理得
2aar20
a
(
a
44
a
舍去)
rr
2
16
是有理数
r
2
16
是一个完全平方数
设
a4
r
2
16kN
*
,
k
2
r
2
16
kr1
由
r
>0得
(无整数解,舍去)或
kr16
此
时,
a2
,
a
n
kr2
<
br>r3
解得
kr8k5
3n1
2
(3n1)3
n
(nN
*
)
………………………..16分
所以,
a
n
b
n
6
高三年级第三次模拟检测
数学Ⅱ答案
2
21.B.解:(1)设
是矩阵
M属于特征值
的一个特征向量,
3
a2
2
则
3
32
2a62
,
=4,
2
, 故解得
a1
………5分
3
123
,
a1.
(2)
f(
)
1
3
2
2
<
br>(1
)(2
)60
1
4
,
2
1
………10分
C.解:以极点为坐标原点,极轴为
x
轴,建立平面直角坐标系
直线的极坐标方程化为直角坐标方程为
2x+y+a0
,
圆的极坐标方程
化为直角坐标方程为
x
2
+y
2
4y
,即
x2
+(y2)
2
4
因为截得的弦长为
2<
br>,所以圆心
(0,2)
到直线的距离为
413
,
即2+a
5
3
,因为
a0
,所以
a152
.………10分(多一解扣2分)
22.解:事件
A
i
表示“该生第
i
门课程取得优秀成绩”,
i
=1,2,3,由题意知
P(A
1
)
4<
br>,
P(A
2
)p
,
P(A
3
)q
5
(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“<
br>
0
”是对立的,所以该生至少有1
门课程取得优秀成绩的概率是
1P(
0)1
(2)由题意知
6119
,………3分
125125
16
(1p)(1q)
5125
424
P(
3)P(A
1
A
2
A
3
)pq
5125
6
整理得
pq
,
pq1
125
32
由
p
q
,可得
p
,
q
.………6分
55
P(
0)P(A
1
A
2
A
3
)
(3)由题意知
aP(
1)P(A
1
A
2
A
3
)P(A
1
A
2
A
3
)P(A
1
A
2
A
3
)
=
41137
(1p)(1q)p(1q)(1p)q
555125
bP(
2)1P(
0)P(
1)P(
3)
=
23. 解:(1)
m
=100时选法种数为12. ………4分
58
125
9
E
0P(
0)1P(
1
)2P(
2)3P(
3)
=
………10分
5
(2)由(1)知
a
1
12
,当
n
≥2时,若至少选一张100的卡片,则除去一张100的卡片,其余数字之和为
1
00(
n
-1),有
a
n1
种选法, 若不选含有100的卡片,
则有(10
n
+1)种选法.所以
a
n
=
a
n1
+10
n
+1
从而
a
n
=(
a
n
-
a
n1
)+(
a
n1
-
a
n2
)+…+(
a
2
a
1
)
+
a<
br>1
=10
n
+1+10(
n
-1)+1+…+10×2+1+
12
=
10
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br>(n2)(n1)
n1125n
2
6n1(n2)
………10分
2