2017山东高考数学-泰安高考

2019-2020学年江苏省淮安市六校联盟高三第三次学情调查数学试卷
（文科）< br>
一、填空题（本大题共
14
小题，每小题
5
分，共计
70
分）

1
．已知集合
A
＝
{
﹣3
，﹣
1
，
1
，
2}
，集合
B
＝
[0
，
+
∞），则
A
∩
B
＝

．

2
．若复数
z
＝（
1+i< br>）（
3
﹣
ai
）（
i
为虚数单位）为纯虚数，则实数
a
＝

．

3
．函数
y
＝的定义域为

．

4
．“
x
＞
2
”是“
x
2
+3x
﹣
4
＞
0
”的

条件．（从“充要”，“充分不必 要”，“必要不
充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）

5
．已知等差数列
{a
n
}
，
a
4
+a
6< br>＝
10
，前
5
项的和
S
5
＝
5，则其公差为

．

6
．已知
f
（
x
）是定义在
R
上的奇函数，当
x
＜
0
时
f
（
x
）＝
log
2
（
2
﹣
x
），则
f
（
0
）
+f
（2
）
＝

．

7
．在平面直角坐标系
xOy
中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为
个顶点与抛物线
y< br>2
＝﹣
4x
的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为

．

8
．如图所示，长方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
的体积为
36
，
E
为线段
B
1
C
上的一点，则棱锥
A
﹣
D ED
1
的体积为

．

，且它的一
9
．若曲线
C
1
：
y
＝
ax
3
﹣
6x
2
+12x
与曲线
C
2
：
y＝
e
x
在
x
＝
1
处的两条切线互相垂直，则实 数
a
的
值为

．

10
．已知正 实数
x
，
y
满足
xy
﹣
x
﹣
2y
＝
1
，则
x+2y
的最小值为

．

11
．已知菱形
ABCD
的边长为
2
，∠BAD
＝
120
°，点
E
、
F
分别在边
BC
、
DC
上，
＝μ．若＝
1
，•＝﹣，则λ
+
μ＝

．

＝λ，
12
．已知点
A
（﹣
1
，
0
），
B
（
2
，0
），直线
l
：
kx
﹣
y
﹣
5k＝
0
上存在点
P
，使得
PA
2
+2PB
2
＝
9
成立，则实数
k
的取值范围是

．

13
．在三角形
ABC
中，角
A
、
B
、
C
、所对的边分别为
a
、
b
、
c
，若
b
＝
3
，

2sin
2
A+s in
2
B+C
，则
sinC
的最大值是

．

14
．已知函数
f
（
x
）＝
|lnx |
，
g
（
x
）＝
根的个数为

．

，则方程
|f
（
x
）
+g
（
x
）
|
＝
1
实
二、解答题（本大题共六小题，
15
、
16
、
17
每题
14
分，
18
、
19
、
20
每题
16
分，共
90
分）< br>
15
．如图，在正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
E
，
F
分别为
BB< br>1
，
AC
的中点．

（
1
）求证：
BF
∥平面
A
1
EC
；

（
2
） 求证：平面
A
1
EC
⊥平面
ACC
1
A
1
．


16
．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，
A
为单位圆与
x
轴正半轴的交点，
P
为单位圆上一点，且∠
AOP
＝α，将点
P
沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点
Q
（
a
，
b
），其中

（
1
）若 点
P
的坐标为
（
2
）若
，时，求
ab
的值 ；

，求
b
2
﹣
a
2
的取值范围．


17
．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台
P
，已知射线
AB
，
AC
为湿地两边夹角为
120
°的公路（ 长度均超过
2
千米），在两条公路
AB
，
AC
上分别设立游客接送点
M
，
N
，从观景台
P
到
M
，
N
建造两条观光线路
PM
，
PN
，测得
AM< br>＝
2
千米，
AN
＝
2
千米．

（
1
）求线段
MN
的长度；

（< br>2
）若∠
MPN
＝
60
°，求两条观光线路
PM与
PN
之和的最大值．


18
．（
16分）在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C
：
+
＝< br>1
（
a
＞
b
＞
0
）的左、右焦点
分 别为
F
1
、
F
2
，焦距为
2
，一条准线方 程为
x
＝
2
．
P
为椭圆
C
上一点，直线< br>PF
1
交椭圆
C
于
另一点
Q
．

（
1
）求椭圆
C
的方程；

（
2
）若点
P
的坐标为（
0
，
b
），求过
P
、
Q
、
F
2
三点的圆的方程；

（
3
）若＝λ，且λ∈（，
2
），求•的最大值．

+n
﹣
4
，
b
n
＝（﹣
1
）
n
（
a
n
﹣
3n+21
），
19
．（
16
分）已知数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：
a
1
＝λ，
a
n+1
＝
其中λ为实 数，
n
为正整数．

（
1
）对任意实数λ，证明：数列{a
n
}
不是等比数列；

（
2
）证明：当λ≠
18
时，数列
{b
n
}
是等比数列；

（
3
）设
S
n
为数列
{b
n
}
的前
n
项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数
n
，都有
S
n
＞﹣
12
？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

20
．（
16
分）已知函数
f
（
x
）＝< br>lnx
﹣
ax
2
+x
，
a
∈
R．

（
1
）若
a
＝
2
，求函数
f
（
x
）的单调区间；

（
2
）若关于
x
的不等式
f
（
x
）≤
ax
﹣
1
恒成立，求整数
a
的最小值．

（
3
）若
a
＝﹣
2
，正实数
x
1
，
x
2
满足
f
（
x
1
）
+f
（
x
2
）+x
1
x
2
＝
0
，证明：
x
1
+x
2
≥．

2019-2020
学年 江苏省淮安市六校联盟高三（上）第三次学情调查
数学试卷（文科）（
12
月份）
参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共
14
小题，每小 题
5
分，共计
70
分）

1
．已知集合
A
＝
{
﹣
3
，﹣
1
，
1
，
2}
，集合
B
＝
[0
，
+
∞），则
A∩
B
＝
{1
，
2}
．

【解答】 解：∵
A
＝
{
﹣
3
，﹣
1
，
1< br>，
2}
，
B
＝
[0
，
+
∞），
∴
A
∩
B
＝
{1
，
2}
，

故答案为：
{1
，
2}
．

2
．若复数
z
＝（
1+i
）（
3
﹣
ai
）（
i
为虚数单位）为纯虚数，则实数
a
＝ ﹣
3
．

【解答】解：复数
z
＝（
1+i
）（
3
﹣
ai
）＝
3+a+
（
3
﹣
a
）
i
，

∵复数
z
为纯虚数，

∴，解得
a
＝﹣
3
．

故答案为：﹣
3
．

3
．函数
y
＝的定义域为
[2
，
+
∞） ．

【解答】解：由
2
x
﹣
4
≥
0
，得
2
x
≥
4
，则
x
≥
2
．< br>
∴函数
y
＝的定义域为
[2
，
+
∞）．

故答案为：
[2
，
+
∞）．

4
．“x
＞
2
”是“
x
2
+3x
﹣
4
＞
0
”的 充分 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不
充分”，“既不 充分又不必要”中选择一个正确的填写）

【解答】解：
x
2
+3x
﹣
4
＞
0
，

解得：
x
＞
1
或
x
＜﹣
4
．

∴
x
＞2
”是“
x
2
+3x
﹣
4
＞
0
”的充分不必要条件．

故答案为：充分．

5
．已知等差数列< br>{a
n
}
，
a
4
+a
6
＝
10
，前
5
项的和
S
5
＝
5
，则其公差为
2
．

【解答】解：∵等差数列
{a
n
}
，
a
4
+a
6
＝
10
，前
5
项 的和
S
5
＝
5
，设公差为
d
．

由题意可得
2a
1
+8d
＝
10
，
5a
1
+
＝
5
，

解方程组求得
d
＝
2
，

故答案为
2
．

6
．已知
f
（
x
）是定义在
R
上的奇函数，当
x
＜
0
时
f
（
x
）＝
log
2
（
2
﹣
x
），则
f
（
0
）
+f
（2
）
＝ ﹣
2
．

【解答】解：
f
（
x
）是定义在
R
上的奇函数，当
x
＜
0
时
f
（
x
）＝
log
2
（
2
﹣
x
），

则
f
（
0
）
+f
（
2
）＝
0
﹣
f
（﹣
2
）＝﹣
log
2
（
2+2
）＝﹣
2
，

故答案为：﹣
2
．

7
．在平面直角坐标系
xOy
中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为
个顶点与抛物线
y
2
＝﹣
4x
的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为
y
＝
【解答】 解：设双曲线的方程为
∵抛物线
y
2
＝﹣
4x
中
2 p
＝
4
∴抛物线
y
2
＝﹣
4x
的焦点< br>F
（﹣
1
，
0
），

∵双曲线的一个顶点与 抛物线
y
2
＝﹣
4x
的焦点重合

∴
a
＝
1
，

又∵双曲线的一条准线方程为
∴，解得
c
＝
2
，


x
，

，

，

，且它的一
x
．

∴
b
2
＝
4
﹣
1
＝
3
，即
∴双曲线的渐近线方程为
y
＝
故答案为：
y
＝
x
．

8
．如图所示， 长方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
的体积为
36
，
E
为线段
B
1
C
上的一点，则棱锥
A
﹣
DED
1
的体积为
1
．


【解答】解：∵长方体
ABCD
﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的体积为
36
，
E
为线段
B
1
C
上的一点，

∴棱锥
A
﹣
DED
1
的体积为：

＝
故答案为：
1
．

＝＝
1
．


9
．若曲线
C
1< br>：
y
＝
ax
3
﹣
6x
2
+12x< br>与曲线
C
2
：
y
＝
e
x
在
x
＝
1
处的两条切线互相垂直，则实数
a
的
值为 ﹣ ．

【解答】解：由
y
＝
ax
3
﹣
6x< br>2
+12x
，得
y
′＝
3ax
2
﹣
12x+12
，

∴
y
′
|
x
＝
1
＝
3a
，

由
y
＝
e
x
，得
y
′＝
e
x
，

∴
y
′< br>|
x
＝
1
＝
e
．

∵曲线
C
1
：
y
＝
ax
3
﹣
6x
2+12x
与曲线
C
2
：
y
＝
e
x在
x
＝
1
处的切线互相垂直，

∴
3a
•
e
＝﹣
1
，解得：
a
＝﹣
故答案为：﹣．
．

．

10
．已知正实数
x
，
y
满足
xy
﹣
x
﹣
2y
＝
1，则
x+2y
的最小值为
4+2
【解答】解：正实数
x
，
y
满足
xy
﹣
x
﹣
2y
＝
1
，
xy
＝
x+2y+1
，

由基本不等式可得，< br>xy
＝
x
•（
2y
）
∴
x+2y+1
∵
x+2y
＞
0
解不等式可得，
x+2y
故答案为：
4+2

，

，当且仅当
x
＝
2y
时取等号，

11
． 已知菱形
ABCD
的边长为
2
，∠
BAD
＝
120
°，点
E
、
F
分别在边
BC
、
DC
上，
＝μ．若＝
1
，•＝﹣，则λ
+
μ＝
•
•
+
λ•
＝（

+
λ•μ

+
）•（
．

+
），

＝λ，
【解答】解：由题意可得若
＝•
+
•
+
•
•μ
+< br>＝
2
×
2
×
cos120
°
+

＝﹣
2+4
μ
+4
λ
+
λμ×
2
×
2
×
cos120
°

＝
4
λ
+4
μ﹣
2
λμ﹣
2
＝
1
，

∴
4
λ
+4
μ﹣
2
λμ＝
3
①．

•＝﹣•（﹣）＝

•＝（
1
﹣λ）•（
1
﹣μ）

＝（
1< br>﹣λ）•（
1
﹣μ）
＝（
1
﹣λ）（
1
﹣μ ）×
2
×
2
×
cos120
°＝（
1
﹣λ ﹣μ
+
λμ）（﹣
2
）＝﹣，

即﹣λ﹣μ
+
λμ＝﹣②．

由①②求得λ
+
μ＝，

故答案为：．


12
．已知点
A
（﹣
1
，
0
），
B（
2
，
0
），直线
l
：
kx
﹣
y
﹣
5k
＝
0
上存在点
P
，使得
PA< br>2
+2PB
2
＝
9
成立，则实数
k
的取值范 围是
[]
．

【解答】解：由题意得：直线
l
：
y
＝
k
（
x
﹣
5
），

因此直线
l
经过定点（
5
，
0
）；
设点
P
坐标为（
x
0
，
y
0
）；∵< br>PA
2
+2PB
2
＝
9
，

∴
化简得：，


因此点
p
为
x
2
+y
2
﹣
2x
＝
0
与直线
l
：
y
＝
k
（
x
﹣
5
）的交点．

所以应当满足圆心（
1
，
0
）到直线的距离小于等于半径

∴

解得：
故答案为


13
．在三角形
ABC
中，角
A
、
B
、
C
、所对的边分别 为
a
、
b
、
c
，若
b
＝
3
，

2sin
2
A+sin
2
B+C
，则< br>sinC
的最大值是
C
，

．

【解答 】解：∵
b
＝
3
，
2sin
2
A+sin
2
B+
∴由正弦定理可得：
2a
2
+b
2
+ab< br>＝
3c
2
，可得
c
2
＝，

所以< br>cosC
＝＝＝≥
＝
故
sinC
max
＝
故 答案为：．

，当且仅当
a
＝
＝．

b
＝
3
时取等号，

14
．已知函数
f< br>（
x
）＝
|lnx|
，
g
（
x
）＝
根的个数为
4
．

，则方程
|f
（
x
）
+g
（
x
）
|
＝
1
实
【解答】解：由
|f
（
x
）
+g
（
x
）< br>|
＝
1
可得
g
（
x
）＝﹣
f
（
x
）±
1
．

g
（
x
）与< br>h
（
x
）＝﹣
f
（
x
）
+1
的图象如图所示，图象有
2
个交点


g
（
x< br>）与φ（
x
）＝﹣
f
（
x
）﹣
1
的 图象如图所示，图象有两个交点；

所以方程
|f
（
x
）
+g
（
x
）
|
＝
1
实根的个数为
4
．

故答案为：
4
．

二、解答题（本大题共六小题，
15
、
16
、
17
每题14
分，
18
、
19
、
20
每题
16
分，共
90
分）

15
．如图，在正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
E
，
F
分别为
BB
1
，
AC
的中点．
（
1
）求证：
BF
∥平面
A
1
EC
；

（
2
）求证：平面
A
1
EC
⊥平面ACC
1
A
1
．


【解答】证明：（
1
）连接
A
1
C
与
AC
1
交于点
O
，连接
OF
，

∵
F
为
AC
的中点，

∴
OF
∥
C
1
C
且
OF
＝
C
1
C
，

∵
E
为
BB
1
的中点，

∴
BE
∥
C
1
C
且
BE
＝
C
1
C
，

∴
BE
∥
OF
且
BE
＝
OF
，

∴四边形
BEOF
是平行四边形，

∴
BF
∥
OE
，

∵
BF
⊄平面
A
1
EC
，
OE
⊂平面
A
1
EC
，

∴
BF
∥平面
A
1
EC