寿险规划师-吉林师范大学录取分数线

立体几何知识点整理（文科）
一． 直线和平面的三种位置关系：
1. 线面平行
l
α
l
m
α
lm


m


l


l



方法二：用面面平行实现。
符号表示：
β
α
l





l


l




2. 线面相交
l
A
α
符号表示：
3. 线在面内
l
方法三：用平面法向量实现。
n
l
若
n
为平面

的一个法向量，
α
nl
且
l

,则
l

。
符号表示：
α



二． 平行关系：
1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。
l

3. 面面平行：
方法一：用线线平行实现。

m



lm




m



l

l

β
α
l'
m'
m
l
ll'
方法二：用面面平行实现。
l
β
γ
α
m

mm'






l,m

且相交

l',m'

且相交




方法二：用线面平行实现。








l

lm




m


方法三：用线面垂直实现。
若
l

,m

，则
lm
。
方法四：用向量方法：
若向量
l
和向量
m
共线且l、m不重合，则
lm
。

2. 线面平行：
方法一：用线线平行实现。

l



m






l, m

且相交






1 11

α
β
m
l

l

方法三：用向量方法：
若向量
l
和向量
m
的数量积为0，则
lm
。
α
A
C
B


三．垂直关系：
1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
三． 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：
(1) 范围：
(0,90]

(2)求法：
方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
余弦定理：
a
lAC< br>

lAB


l


ACABA

AC,AB




方法二：用面面垂直实现。
n
α
A
θ
P
O
β
l
m








m

l


lm,l




cos


α
2. 面面垂直：
abc

2ab
222
c
b
θ
(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量
C
θ
A
B
方法一：用线面垂直实现。
β
l
l








l



的夹角
(计算结果可能是其补角)：
α
cos


(二) 线面角
ABAC
ABAC

方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
l
m
α
(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作
PO


于O,连结AO ，则AO为斜线PA在面

内
的射影，
PAO
(图中

)为直线l与面

所成的角。
P
A
θ
l



lm

m



方法二：三垂线定理及其逆定理。
P
A
O
PO



lOA

lPA

l



α
O

(2)范围：
[0,90]

2 11
α
< br>l

当

0
时，
l

或
l


当

90
时，
l


(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。

(三) 二面角及其平面角
(1)定 义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作
l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角

为
二面角

—l—

的平面角。

< br>
m
n
P
l
n
1
θ
n
2< br>uruur
uruur
n
1
n
2
步骤一：计算cosn
1
n
2

uruur
n
1n
2



uruur
步骤二：判断
与
n
1
n
2

的关系，可能相等或
者互补 。
四． 距离问题。
1．点面距。
方法一：几何法。
P

(2)范围：
[0,180]

(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。
步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面

和

，

步骤1：过点P作PO


于O，线段PO即为所求。
步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等
体积法和等面积法；换点法)
2．线面距、面面距均可转化为点面距。
3．异面直线之间的距离
方法一：转化为线面距离。
m

A
O

n
则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
步骤2：解三角形，求出二面角。
β
P
θ
α
O
A

如图，m和n为两条异面 直线，
n

且
则异面直线m和n之间的距离可转化为直
m

，
线m与平面

之间的距离。
方法二：直接计算公垂线段的长度。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
方法三：公式法。
3 11

B
c
a
A
m
如图，AD是异面直 线m和n的公垂线段，
d
n

b
D
m'
mm'，则异面直线m和n之间的距离为：

C
dc
2
a
2
b
2
2abcos


五． 空间向量
(一) 空间向量基本定理


C
D
A

A
1
C
1
B
1

若向量
a,b,c
为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量
B
p
，都存在唯一的有序实数对
x、y、z
，使得
pxaybz c
。
(二) 三点共线，四点共面问题
1. A，B，C三点共线



uuuruuuruuur
OAxOByOC
，且
xy1

当
xy
1
时，A是线段BC的
2
A，B，C三点共线

AB

AC

2. A，B，C，D四点共面


uuuruuuruuuruuurOAxOByOCzOD
，且
xyz1

当
xyz
1
时，A是△BCD的
3
A，B，C，D四点共面

ABxACyAD

(三)空间向量的坐标运算
1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为：
A(x< br>1
,y
1
,z
1
)
，
B(x
2,y
2
,z
2
)
则：
uuur
uuur
AB
;
d
A,B

AB

r
2. 若空间中的向量
a(x
1
,y
1
,z< br>1
)
，
b(x
2
,y
2
,z
2< br>)

rrrr
则
ab

ab

4 11

rrrr
ab

cosab

六．常见几何体的特征及运算
(一) 长方体
1. 长方体的对角线相等且互相平分。
2. 若长方体的一条对 角线与相邻的三条棱所成的角分别为

、

、

，则
cos

+cos

+cos



222
α
β
γ
β
α
γ

222< br>若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为

、

、

，则
cos

+cos

+cos



3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。
(二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
(三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
(四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。
(只有五种正多面体)
(五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
(六) 体积：
V
棱柱


V
棱锥


(七) 球
1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
2. 设球半径为R，小圆的半径为r ，小圆圆心为O
1
，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关
系是 。
3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
4.球的表面积公式： 体积公式：





高考题典例
考点1 点到平面的距离

5 11

例1如图，正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的所有棱长都为
2
，
D
为
CC
1< br>中点．
（Ⅰ）求证：
AB
1
⊥
平面
A
1BD
；（Ⅱ）求二面角
AA
1
DB
的大小；
（Ⅲ） 求点
C
到平面
A
1
BD
的距离．
解答过程（Ⅰ）取
BC
中点
O
，连结
AO
．
Q△ABC
为正 三角形，
AO⊥BC
．
Q
正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，平面
ABC⊥
平面
BCC
1
B
1
，
A
F
C
O
B
A
1

别为
BC，CC
1
AO⊥
平面< br>BCC
1
B
1
．连结
B
1
O
，在正 方形
BB
1
C
1
C
中，
O，D
分
的中点，
B
1
O⊥BD
，
AB
1
⊥BD
．
D
C
1
B
1


在正方形
ABB
1
A
1
中，
AB
1
⊥A
1
B
， < br>AB
1
⊥
平面
A
1
BD
．
（Ⅱ） 设
AB
1
与
A
1
B
交于点
G
，在 平面
A
1
BD
中，作
GF⊥A
1
D
于
F
，连结
AF
，由（Ⅰ）得
AB
1
⊥
平面
A
1
BD
．
AF⊥A
1
D
， < br>∠AFG
为二面角
AA
1
DB
的平面角．
在< br>△AA
1
D
中，由等面积法可求得
AF
45
，5
又
QAG
1
AB
1
2
，
s in∠AFG
AG

2

10
．
2
AF
45
4
5
所以二面角
AA
1
DB
的大 小为
arcsin
10
．
4
（Ⅲ）
△A
1
BD
中，
BDA
1
D5，A
1
B22，S
△A
1
BD
6
，
S
△BCD
1
．在正三棱柱中，
A
1
到平面
BCC
1
B
1的距离为
3
．
设点
C
到平面
A
1
BD
的距离为
d
．
由
V
ABCD
V
CA BD
，得
1
S
△BCD
g3
1
S
△AB D
gd
，
d
3S
△BCD

2
．33
S
△ABD
2

11
1
1
点
C
到平面
A
1
BD
的距离为
2
．< br>2
考点2 异面直线的距离
例2 已知三棱锥
SABC
，底面是 边长为
42
的正三角形，棱
SC
的长为2，且垂直于底面.
E、D< br>分别为
BC、AB
的中点，求
6 11

CD与SE间的距离.
解答过程： 如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，
EF
为
BCD
的 中位线，
EF
∥
CD,CD
∥面
SEF
,
C D
到平面
SEF
的距离即为两异面直线间的
距离.又

线面 之间的距离可转化为线
CD
上一点C到平面
SEF

的距离，设其为 h，由题意知，
BC42
,D、E
、
F分别是AB、BC、BD的中点，
CD26,EF
V
SCEF

1
CD6,DF 2,SC2
2
111123
EFDFSC622

32323
在Rt
SCE
中，
SE
在Rt
S CF
中，
SF
又
EF
SC
2
CE
2
23

SC
2
CF
2
424230

12323
1
，解得
h

6,S
SEF
3
由于
V
CSEF
 V
SCEF
S
SEF
h
，即
3h
333
3
23
.
3
故CD与SE间的距离为
考点3 直线到平面的距离
例3． 如图，在棱长为2的正方体
AC
1
中，G是AA
1
的中点，求BD到平面
GB
1
D
1
的距 离.
思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.
解答过程：解 析一
BD
∥平面
GB
1
D
1
，
D
1

A
1
H
G
D
A
O
1

C
1
B
1
BD
上任意一 点到平面
GB
1
D
1
的距离皆为所求，以下求
点O平面
GB
1
D
1
的距离,
C
O
B
B
1
D
1
A
1
C
1，
B
1
D
1
A
1
A
，
B
1
D
1

平面
A
1
ACC
1,
又
B
1
D
1

平面
GB
1
D
1


平面
A
1
ACC
1
GB
1
D
1
，两个平面的交线是
O
1
G
,
作
OHO
1
G
于H，则有
OH
平面
GB
1
D
1
，即OH是O点到平面
GB
1D
1
的距离.
在
O
1
OG
中，
S
O
1
OG

11
O
1
OAO2 22
.
22
7 11

又
S< br>O
1
OG

1126
OHO
1
G 3OH2,OH
.
223
26
.
3
即BD到平 面
GB
1
D
1
的距离等于
解析二
BD
∥平面
GB
1
D
1
，
BD上任意一点到平面
GB
1
D
1
的距离皆为所求，以下求点B平面
GB
1
D
1
的距离.
设点B到平面
GB
1
D
1
的距离为h，将它视为三棱锥
BGB
1
D
1
的高，则
V
BGB
1
D
1
V
D< br>1
GBB
1
,由于S
GB
1
D
1

1
2236，

2
114
V
D
1
GBB
1
222
323
,
h
4
6

26
,

3
26
.
3
即BD到平面
GB
1
D1
的距离等于
小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面 距离.所以求线面距离关键是
选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离 ；解析二是等体积法求出点面距
离.
考点4 异面直线所成的角
例4如图，在< br>Rt△AOB
中，
OAB
π
，斜边
AB4
．< br>Rt△AOC
可以通过
Rt△AOB
以直线
AO
为轴旋转6
得到，且二面角
BAOC
的直二面角．
D
是
AB
的中点．
（I）求证：平面
COD
平面
AOB
；
（II）求异面直线
AO
与
CD
所成角的大小．
解答过程：（I）由题意，
COAO
，
BOAO
，

A
D
z
A
BOC
是二面角
BAOC
是直二面角，
COBO
，又
QAOIBOO
，
CO< br>平面
AOB
，
又
CO
平面
COD
．
平面
COD
平面
AOB
．
（II）作
D EOB
，垂足为
E
，连结
CE
（如图），则
DE∥AO< br>，
CDE
是异面直线
AO
与
CD
所成的角．
C
D
O
E
B
在
Rt△COE
中，
COBO2
，
OE
1
BO1
，
CECO
2
OE
2
5
．
x
C
2
O
B
y
8 11