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简单面体外接球球
心的确定
多

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简单多面体外接球球心的确定
一、知识点总结
1.由球的定义确定球心
⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点.
⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定
理计算得到.
⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球
的球心.
2．构造长方体或正方体确定球心
⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.
⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体.
⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
3.由性质确定球心
利用球心
O
与截面圆圆心
O
1
的连线垂直于截面圆及球心< br>O
与弦中点的连线垂直
于弦的性质，确定球心.
二、典型例题
1、 已知点
P
、
A、B、C、D
是球
O
表面上的点，
P A
平面
ABCD
，四边形
ABCD
是边长为
23
的正方形.若
PA26
，则
OAB
的面积为多少？
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2

精品资料 2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为
a
，顶点都在同一个球面上，则
该 球的表面积为多少？
3、已知正三棱锥
PABC
，点
P,A,B,C都在半径为
3
的球面上.若
PA,PB,PC
两两互相垂直，则球心到截 面
ABC
的距离为多少？
4、三棱锥
SABC
中，
SA 
平面
ABC
，
SA2
，
ABC
是边长为1的 正三角形，则
其外接球的表面积为多少？
5、点
A、B、C、D
在同一个 球的球面上，
ABBC2
，
AC2
，若四面体
2
AB CD
体积的最大值为
，则这个球的表面积为多少？
3
6、四面体的三组对棱 分别相等，棱长为
5,34,41
，求该四面体外接球的体积.
7、正四面体
ABCD
外接球的体积为
43

，求该四面体的体积.
8、若底 面边长为2的正四棱锥
PABCD
的斜高为
5
，求此正四棱锥外接球的体积.
9、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都
9
在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积
8
为 .
10、在等腰梯形
ABCD
中，
AB=2DC=2
，
 DAB=60
0
，
E
为
AB
的中点，将
ADE< br>与
BEC
分布沿
ED
、
EC
向上折起，使
A、B
重合于点
P
，则三棱锥
P-DCE
的外接球的体积为 .
11、已知球
O
的面上四点A、B、C、D，
DA平面ABC
，
ABBC
，
DA=AB=BC=3
，则球
O
的体积等于 .
12、已知点A、B、C、D在同一个球面上，
AB平面BCD
，
BC DC
，若
AB6,AC=213,AD=8
，则B、C两点间的球面距离是 .
三、几点补充
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3

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1、设正方体的棱长为
a
，求（1）内切球半径； （2）外接球半径；（3）与棱
相切的球半径。
（1）截面图为正方形
EFGH
的内切圆，得
R
a
； < br>2
（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如
图4作 截面图，圆
O
为正方形
EFGH
的外接圆，易得
R

2
a
。
2
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5 ，以对角面
AA
1
作截面图得，圆
O
为矩形
AA
1
C
1
C
的外接圆，易得
R

A
1
O






3
a
。
2


图1
图2
图3
2、正四面体的外接球 和内切球的半径（正四面体棱长为
a
，
O
也是球心）
内切球半径为：
r
6
a

12
6
a

4
外接球半径为：
R


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4