关于秋天的成语-汇款和转账的区别

北京市西城区2019年高三一模试卷
数 学（理科）
2019.4

第Ⅰ卷
（选择题 共40分）
一、选择题：本大 题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．

1．设全集
UR
，集合
A{x|0x
≤2
}
，
B{x|x1}
，则集合
ð
U
(AUB)
（ ）
（A）
(,2]
（B）
(,1]
（C）
(2,)
（D）
[2,)

2. 已知平面向量< br>a(2,1)
，
b(1,1)
，
c(5,1)
. 若
(akb)c
，则实数
k
的值为（ ）
（A）
2

（B）
1

2
（C）
11

4
（D）

11

4
3．在极坐标系中，过点
(2,)
且与极轴平行的直线方程是（ ）
（A）
ρ2

（B）
θ

π
2


2
（C）
ρcosθ2

（D）

sin

=2

4．执行如图所示的程序框图，如果输入
a2,b2
，那么输出的a值为（ ）
（A）
4

（B）
16

（C）
256

（D）
log
3
16



开始
输入
a
,
b

是
log
3
a4

否
输出a
aa
b

结束
5．下列函数中，对于任意
xR
，同时满足条件
f(x)f(x)
和
f(xπ)f(x)
的函数是
（ ）
（
A
）
f(x)sinx

（
B
）
f(x)sinxcosx

（
C
）
f(x)cosx


（
D
）
f(x)cosxsinx

22
x
2
y
2
1
表示双曲线”的（ ） 6． “
m8
”是“方程
m10m8
（A）充分而不必要条件
（C）充分必要条件

7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第
二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均 为11万元. 设该设
备使用了
n(nN)
年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额 等于收入减去成本），则n等于
（ ）
（A）
3


8. 如图，设
P
为正四面体
ABCD
表面（含棱）上与顶点不重合
的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合
M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）
B

C


（A） 4个


（B）6个 （C）10个 （D）14个
. P

D

A

（B）
4

（C）5 （D）6

（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件

第Ⅱ卷
（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．设复数
1i
xyi
，其中
x,yR
，则
xy
____ __．
2i
2
10. 若抛物线
C:y2px
的焦点在直线
x2y40
上，则
p
_____；
C
的准线方程为 _____．

11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的 正三角形，那么它的侧（左）
视图面积的最小值是________.


x
≥1,

y
≥
0,

12．若不等式组

表示的平面区域是一个四边形，则实数
a
的取值范围是_______.

2xy≤6,


xy
≤a
13. 科技活 动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），
要求6人排成 一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）

14．如图，在直角梯形
ABCD
中，
ABCD
，
ABBC，
AB2
，
CD1
，
BCa(a0)
，Puuuruuur
uuuruuur
为线段
AD
（含端点）上一个动点， 设
APxAD
，
PBPCy
，对于函数
yf(x)
，给出以下
三个结论：
1 当
a2
时，函数
f(x)
的值域为
[1,4]
；
○
D C
2
a(0,)
，都有
f(1)1
成立；
○
P
3
a(0,)
，函数
f(x)
的最大值都等于4.
○
A B

其中所有正确结论的序号是_________.






三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知
bcabc
.
（Ⅰ）求
A
的大小；
（Ⅱ）如果
cosB

16．（本小题满分13分）
在某批次的 某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率
分布表如下. 根据 寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡
是优等品，寿命小于 300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.
寿命（天） 频数 频率
222
6
，
b2
，求△ABC的面积.
3
[100,200)

20
30
70
0.10

a

[200,300)

[300,400)

[400,500)

0.35

0.15

0.25

b

50
200
[500,600)

合计
1

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了< br>n(nN)
个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个


等 级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；
（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行 使用，若以上述频率作为概率，用X表
示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.

17．（本小题满分14分）
如图，在四棱柱
ABCDA
1< br>B
1
C
1
D
1
中，底面
ABCD
和 侧面
BCC
1
B
1
都是矩形，
E
是
CD< br>的中点，
D
1
ECD
，
AB2BC2
.
（Ⅰ）求证：
BCD
1
E
；
（Ⅱ）求证：
B
1
C

平面
BED
1
；

D
1
C
1
A
1
B
1
E
D C
A B
（Ⅲ）若平面
BCC
1
B
1
与平面
BED1
所成的锐二面角的大小为


18．（本小题满分13分）
xa,


xlnx,
已知函数
f(x)

2
其中
a
≥0
．


x2x3,x
≤a,
π
，求线段
D
1
E
的长度.
3
（Ⅰ）当
a0
时，求函数
f(x)
的图象在点
(1,f(1))< br>处的切线方程；
（Ⅱ）如果对于任意
x
1
,x
2
 R
，且
x
1
x
2
，都有
f(x
1
)f(x
2
)
，求
a
的取值范围.


19．（本小题满分14分）
x
2
2
已知椭圆
W：y 1
，直线l与W相交于
M,N
两点，
l
与x轴、
y
轴分别相交于
C
、
D
两
2
点，O为坐标原点.
（Ⅰ）若直线
l
的方程为
x2y10
，求
OCD
外 接圆的方程；
（Ⅱ）判断是否存在直线
l
，使得
C,D
是线段MN
的两个三等分点，若存在，求出直线l的方

程；若不存在，说明理由.






20．（本小题满分13分）
1
(nN

)
. 从数列
{a
n
}中选出
k(k≥3)
项并按原顺序组成的新数列记为
n
1111
{b
n
}
，并称
{b
n
}
为数列
{an
}
的
k
项子列. 例如数列
,,,
为
{a
n
}
的一个4项子列.
2 358
在数列
{a
n
}
中，
a
n

（Ⅰ）试写出数列
{a
n
}
的一个3项子列，并使其为等差数列；
（Ⅱ）如果
{b
n
}
为数列
{a
n
}
的 一个5项子列，且
{b
n
}
为等差数列，证明：
{b
n}
的公差
d
满足
1
d0
；
8
（Ⅲ）如果
{c
n
}
为数列
{a
n
}
的一 个
m(m≥3)
项子列，且
{c
n
}
为等比数列，证明：< br>c
1
c
2
c
3
Lc
m
≤2 
1
2
m1
.

北京市西城区2019年高三一模试卷参考答案及评分标准
高三数学（理科）

2019.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．C 2．B 3．D 4．C
5．D 6．A 7．A 8．C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．

2
10．
8

x4



5
11．
23




12．
(3,5)

13．
48


14．
○
2,
○
3
注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为
bcabc
，
222
b
2
c
2
a
2
1

， ……………… 3分 所以
cosA
2bc2
又因为
A(0,π)
，
所以
A
π
. ……………… 5分
3
6
，
B(0,π)
，
3
2
（Ⅱ）解：因为
cosB
所以
sinB1cosB
由正弦定理
3
. ………………7分
3
ab

， ………………9分
sinAsinB
bsinA
3
. ………………10分 得
a
sinB
因为
bcabc
，
222

所以
c2c50
，
解得
c16
，
因为
c0
，
所以
c61
. ………………11分
2
故△ABC的面积
S

16．（本小题满分13分）
1323
bcsinA
. ………………13分
22
（Ⅰ）解：
a0.15
，
b30
. ……………… 2分
（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，
所以优等品、正品和次品的比例为
50:100:501:2:1
. ……………… 4分
所以按分层抽样法，购买灯泡数
nk2kk4k(kN)
，
所以
n
的最小值为
4
． ……………… 6分
（Ⅲ）解：
X
的所有取值为
0,1,2,3
. ……………… 7分
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为
0.10.150.25
， ……… 8分
从本批次灯泡中购买
3
个，可看成
3
次独立重复试验，
所以
P(X0)C
3
(1)

27
，
64
11
2
27
P(X1)C
1
(1) 
，
3
4464
119
2
P(X2)C
3< br>()
2
(1)
1

，
4464
13
1
P(X3)C
3
()
. ……………… 11分
3
464
03
1
4
所以随机变量< br>X
的分布列为：
X

P

0 1 2 3
27

64
27

64
9

64
1

64
………………12分

所以< br>X
的数学期望
E(X)0
2727913
123< br>．
646464644
………………13分
（注：写出
X:B(3 ,)
，
P(Xk)C
3
()(1)



17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为底面
ABCD
和侧面
BCC
1
B
1
是矩形，
所以
BCCD
，
BCCC
1
，
又因为
CDICC
1
C
，
1
4
k
1
4
k
1
4
3k
，
k0,1,2,3
. 请酌情给分）
所以

BC
平面
DCC
1
D
1
，

………………
2
分

因为

D
1
E
平面
DCC
1
D
1
，

所以
BCD
1
E
. ………………4分
（Ⅱ）证明：因为
BB
1
DD
1
, BB
1
DD
1
，
所以四边形
D
1
DBB
1
是平行四边形.
连接
DB
1
交
D
1
B
于点
F，连接
EF
，
则
F
为
DB
1
的中点.
在
B
1
CD
中，因为
DECE
，
DF B
1
F
，
所以
EFB
1
C
. ………………6分
又因为
B
1
C
平面
BED
1
，
EF
平面
BED
1
，
所以
B
1
C
平面
BED
1
. ………………8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知
BCD
1
E
，

又因为

D
1
ECD
，
BCI
z
D
1
C
1
A
1
B
1
F
E
D C
y
A
G
B
x
CDC
，

所以
D
1
E
平面
ABCD
. ………………9分
设
G
为
AB
的中点，以
E
为原点，
EG< br>，
EC
，
ED
1
所在直线分别为x轴，y轴，z轴
如图建立空间直角坐标系，
设
D
1
Ea
，则
E(0,0,0), B(1,1,0), D
1
(0,0,a), C(0,1,0), B
1
(1,2,a), G(1,0,0)
.
设平面
BED
1
法向量为
n(x,y,z)
，

因为

u
EB
uur
(1,1,0),
u
ED
uuur
1
(0,0,a)
，


uuur
由


nEB

xy0,

uuuur
0,
0,
得

nED

1


z0.


令
x1
，得
n(1,1,0)
.
设平面
BCC
1
B
1
法向量为
m(x
1
,y
1
,z
1
)
，

因为

u
CB
uur
(1,0,0),
u
CB
uur
1
(1,1,a)
，

u
由

uur


mCB
u
0,
得


CB
uur

x
1
0,
m
1
0,

x
1
y
1
az

1
0.

令
z
1
1
，得
m(0,a,1)
.
由平面
BCC
π
1
B
1
与平面
BED1
所成的锐二面角的大小为
3
，

得

|co sm,n|
|mn|
mn

a
2a
2
 1
cos
π
3
，

解得
a1
.

.（本小题满分13分）
解：由题意，得
f

(x) (xlnx)

lnx1
，其中
x0
，
所以
f

(1)1
，
又因为
f(1)0
，
………………
11
分

………………
12
分

………………
13
分
14
分

……………… 2分




………………
18
（Ⅰ）

所以函数
f(x)
的图象在点
(1, f(1))
处的切线方程为
yx1
. ……………… 4分
（Ⅱ ）解：先考察函数
g(x)x
2
2x3
，
xR
的 图象，
配方得
g(x)(x1)
2
2
， ……………… 5分
所以函数
g(x)
在
(,1)
上单调递增，在
(1,)
单调递减，且
g(x)
max
g( 1)2
.
……………… 6分
因为对于任意
x
1
,x
2
R
，且
x
1
x
2
， 都有
f(x
1
)f(x
2
)
成立，
所以
a
≤1
. ……………… 8分
以下考察函数
h(x)xlnx
，
x(0,)
的图象，
则
h

(x)lnx1
，
令
h

(x)lnx10
，解得
x
1
e
. ……………… 9分
随着
x
变化时，
h(x)
和
h

(x)
的变化情况如下：
x

(0,
1
)

1
e

(
1
e
e
,)

h

(x)



0



h(x)

↘ ↗
即函数
h(x)
在
(0,
1
e
)
上单调递减，在
(
1
e
,)
上单调递增，
h(x)
1
e

1
min
h()
e
. ……………… 11分
因为对于任意
x
1
,x
2
R，且
x
1
x
2
，都有
f(x
1
) f(x
2
)
成立，
所以
a
≥
1
e
. ……………… 12分
因为

1
e
2
（即
h(x)
min
g(x)
max
），
所以
a
的取值范围为
[
1
e
,
1]
. ……………… 13分

且

19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为直线
l
的方程为
x2y10
，
所以与x轴的交点
C(1,0)
，与
y
轴的交点
D(0,)
. ……………… 1分
1
2
则线段
CD
的中点
(,)
，
|CD|1()
11
241
2
2
5
， ……………… 3分
2
即
OCD
外接圆的圆心为
(,)
，半径为
11
2 4
15
|CD|
，
24
所以
OCD
外接圆的 方程为
(x)(y)
1
2
2
1
4
2
5
. ……………… 5分
16
（Ⅱ）解：结论：存在直 线
l
，使得
C,D
是线段
MN
的两个三等分点.
理由如下：
由题意，设直线
l
的方程为
ykxm(km0)
，
M(x
1
,y
1
)
，
N(x
2
,y
2
)
，
则
C(
m
,0)
，
D(0,m)
， ……………… 6分
k

ykxm

222
由方程组

x
2
得
(12k)x4kmx2m20
， ……………… 7分
2

y1
2
所以
16k8m80
， （*） ……………… 8分
22
2m
2
2
4km
由韦达定理 ，得
x
1
x
2

,
x
1
x
2

. ……………… 9分
2
12k
2
12k
由
C,D
是线段
MN
的两个三等分点，得线段
MN
的中点与线段
CD
的中点重合.
所以
x
1
x
2

解得
k
4kmm
0
， ………………10分
2
12kk
2
. ……………… 11分
2
由
C,D
是线段
MN
的两个三等分点，得
|MN|3|CD|
.
2
所以
1k|x
1
x
2
|3(
m
2
)m
2
， ……………… 12分
k

4km
2
2m
2
2m
即
|x
1
x
2
|()43||
，
12k
2
12k
2
k
解得
m
5
. ……………… 13分
5
验证知（*）成立.
所以存在直线
l
，使得
C,D
是线段
MN
的两个三等分点，此时直线l的 方程为
y
25
x
，
25
或
y

25
x
. ……………… 14分
25
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列
111
，，； ……………… 2分 236
≥
b
1
b
2
b
3
b4
b
5
0
， （Ⅱ）证明：由题意，知
1
所以
db
2
b
1
0
. ……………… 3分
若
b
1
1
，
由
{b
n
}
为
{a
n
}
的一个5项子列，得
b< br>2
≤
，
所以
db
2
b
1
≤
1
1
2
1
2
1
.
2
因为
b
5
b
1
4d
，
b
5
0< br>，
所以
4db
5
b
1
b
5
11
，即
d
这与
d
≤

1
.
4
1
矛盾.
2
所以
b
1
1
.
所以
b
1
≤
， ……………… 6分
因为
b
5
b
1
 4d
，
b
5
0
，
所以
4d b
5
b
1
≥
b
5

1
2
111

，即
d
，
228

综上，得

1
d0
. ……………… 7分
8
（Ⅲ）证明：由题意，设
{c
n
}
的公比为
q
，
2m1
则
c
1
c
2
c
3
Lc
m
c
1
(1qqLq)
.
因为
{c
n
}
为
{a
n
}< br>的一个
m
项子列，
所以
q
为正有理数，且
q1
，
c
1

设
q
1
≤1
(aN

)
.
a
K
(K,LN

，且
K,L
互质，
L
≥2）.
L
当
K1
时，
11
因为
q
≤
，
L2
2m1
所以
c
1
c
2
c
3
Lc
m
c
1
(1qqLq)


≤
1
11
2
1
()L()
m1
，
222
1
2()
m1
，
2
1
m1
所以
c
1
c
2
 c
3
Lc
m
≤
2()
. ……………… 10分
2
当
K1
时，
m1
因为
c
m
c
1
q
所以
aK< br>m1
1K
m1

m1
是
{a
n}
中的项，且
K,L
互质，
aL
M(MN
*
)
，
2m1
所以
c
1
c
2
c
3
Lc
mc
1
(1qqLq)


*
11111(
m1

m2

m32
L
m1< br>)
.
MKKLKLL
因为
L
≥2
，
K，MN
，
所以
c
1
c
2
c
3
Lc
m
≤
1
综上，
c
1
c
2
c
3
Lc
m
≤
2
11
2
11
()L()< br>m1
2()
m1
.
2222
1
2
m1
. ……………… 13分