【2019西城一模】北京市西城区2019届高三一模试卷-数学理

温柔似野鬼°
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2020年08月16日 06:10
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北京市西城区2019年高三一模试卷
数 学(理科)
2019.4

第Ⅰ卷
(选择题 共40分)
一、选择题:本大 题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项.

1.设全集
UR
,集合
A{x|0x
≤2
}

B{x|x1}
,则集合
ð
U
(AUB)
( )
(A)
(,2]
(B)
(,1]
(C)
(2,)
(D)
[2,)

2. 已知平面向量< br>a(2,1)

b(1,1)

c(5,1)
. 若
(akb)c
,则实数
k
的值为( )
(A)
2

(B)
1

2
(C)
11

4
(D)

11

4
3.在极坐标系中,过点
(2,)
且与极轴平行的直线方程是( )
(A)
ρ2

(B)
θ

π
2


2
(C)
ρcosθ2

(D)

sin

=2

4.执行如图所示的程序框图,如果输入
a2,b2
,那么输出的a值为( )
(A)
4

(B)
16

(C)
256

(D)
log
3
16



开始
输入
a
,
b


log
3
a4


输出a
aa
b

结束
5.下列函数中,对于任意
xR
,同时满足条件
f(x)f(x)

f(xπ)f(x)
的函数是
( )

A

f(x)sinx


B

f(x)sinxcosx



C

f(x)cosx



D

f(x)cosxsinx

22
x
2
y
2
1
表示双曲线”的( ) 6. “
m8
”是“方程
m10m8
(A)充分而不必要条件
(C)充分必要条件

7.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元,从第
二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均 为11万元. 设该设
备使用了
n(nN)
年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额 等于收入减去成本),则n等于
( )
(A)
3


8. 如图,设
P
为正四面体
ABCD
表面(含棱)上与顶点不重合
的一点,由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M ,如果集合
M中有且只有2个元素,那么符合条件的点P有( )
B

C


(A) 4个


(B)6个 (C)10个 (D)14个
. P

D

A

(B)
4

(C)5 (D)6

(B)必要而不充分条件
(D)既不充分也不必要条件






第Ⅱ卷
(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.设复数
1i
xyi
,其中
x,yR
,则
xy
____ __.
2i
2
10. 若抛物线
C:y2px
的焦点在直线
x2y40
上,则
p
_____;
C
的准线方程为 _____.

11.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2,它的俯视图是一个边长为2的 正三角形,那么它的侧(左)
视图面积的最小值是________.


x
≥1,

y

0,

12.若不等式组

表示的平面区域是一个四边形,则实数
a
的取值范围是_______.

2xy≤6,


xy
≤a
13. 科技活 动后,3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名学生),
要求6人排成 一排,且学生要与其指导教师相邻,那么不同的站法种数是______. (用数字作答)

14.如图,在直角梯形
ABCD
中,
ABCD

ABBC
AB2

CD1

BCa(a0)
,Puuuruuur
uuuruuur
为线段
AD
(含端点)上一个动点, 设
APxAD

PBPCy
,对于函数
yf(x)
,给出以下
三个结论:
1 当
a2
时,函数
f(x)
的值域为
[1,4]


D C
2
a(0,)
,都有
f(1)1
成立;

P
3
a(0,)
,函数
f(x)
的最大值都等于4.

A B


其中所有正确结论的序号是_________.






三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知
bcabc
.
(Ⅰ)求
A
的大小;
(Ⅱ)如果
cosB

16.(本小题满分13分)
在某批次的 某种灯泡中,随机地抽取200个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率
分布表如下. 根据 寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于500天的灯泡
是优等品,寿命小于 300天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.
寿命(天) 频数 频率
222
6

b2
,求△ABC的面积.
3
[100,200)

20
30
70
0.10

a

[200,300)

[300,400)

[400,500)

0.35

0.15

0.25

b

50
200
[500,600)

合计
1

(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出a,b的值;
(Ⅱ)某人从灯泡样品中随机地购买了< br>n(nN)
个,如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个


等 级分层抽样所得的结果相同,求n的最小值;
(Ⅲ)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行 使用,若以上述频率作为概率,用X表
示此人所购买的灯泡中次品的个数,求X的分布列和数学期望.

17.(本小题满分14分)
如图,在四棱柱
ABCDA
1< br>B
1
C
1
D
1
中,底面
ABCD
和 侧面
BCC
1
B
1
都是矩形,
E

CD< br>的中点,
D
1
ECD

AB2BC2
.
(Ⅰ)求证:
BCD
1
E

(Ⅱ)求证:
B
1
C

平面
BED
1


D
1
C
1
A
1
B
1
E
D C
A B
(Ⅲ)若平面
BCC
1
B
1
与平面
BED1
所成的锐二面角的大小为


18.(本小题满分13分)
xa,


xlnx,
已知函数
f(x)

2
其中
a
≥0



x2x3,x
≤a,
π
,求线段
D
1
E
的长度.
3
(Ⅰ)当
a0
时,求函数
f(x)
的图象在点
(1,f(1))< br>处的切线方程;
(Ⅱ)如果对于任意
x
1
,x
2
 R
,且
x
1
x
2
,都有
f(x
1
)f(x
2
)
,求
a
的取值范围.


19.(本小题满分14分)
x
2
2
已知椭圆
W:y 1
,直线l与W相交于
M,N
两点,
l
与x轴、
y
轴分别相交于
C

D

2
点,O为坐标原点.
(Ⅰ)若直线
l
的方程为
x2y10
,求
OCD
外 接圆的方程;
(Ⅱ)判断是否存在直线
l
,使得
C,D
是线段MN
的两个三等分点,若存在,求出直线l的方


程;若不存在,说明理由.






20.(本小题满分13分)
1
(nN

)
. 从数列
{a
n
}中选出
k(k≥3)
项并按原顺序组成的新数列记为
n
1111
{b
n
}
,并称
{b
n
}
为数列
{an
}

k
项子列. 例如数列
,,,

{a
n
}
的一个4项子列.
2 358
在数列
{a
n
}
中,
a
n

(Ⅰ)试写出数列
{a
n
}
的一个3项子列,并使其为等差数列;
(Ⅱ)如果
{b
n
}
为数列
{a
n
}
的 一个5项子列,且
{b
n
}
为等差数列,证明:
{b
n}
的公差
d
满足
1
d0

8
(Ⅲ)如果
{c
n
}
为数列
{a
n
}
的一 个
m(m≥3)
项子列,且
{c
n
}
为等比数列,证明:< br>c
1
c
2
c
3
Lc
m
≤2 
1
2
m1
.


北京市西城区2019年高三一模试卷参考答案及评分标准
高三数学(理科)

2019.4

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.C 2.B 3.D 4.C
5.D 6.A 7.A 8.C
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.

2
10.
8

x4



5
11.
23




12.
(3,5)

13.
48


14.

2,

3
注:第10题第一问2分,第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:因为
bcabc

222
b
2
c
2
a
2
1

, ……………… 3分 所以
cosA
2bc2
又因为
A(0,π)

所以
A
π
. ……………… 5分
3
6

B(0,π)

3
2
(Ⅱ)解:因为
cosB
所以
sinB1cosB
由正弦定理
3
. ………………7分
3
ab

, ………………9分
sinAsinB
bsinA
3
. ………………10分 得
a
sinB
因为
bcabc

222


所以
c2c50

解得
c16

因为
c0

所以
c61
. ………………11分
2
故△ABC的面积
S

16.(本小题满分13分)
1323
bcsinA
. ………………13分
22
(Ⅰ)解:
a0.15

b30
. ……………… 2分
(Ⅱ)解:由表可知:灯泡样品中优等品有50个,正品有100个,次品有50个,
所以优等品、正品和次品的比例为
50:100:501:2:1
. ……………… 4分
所以按分层抽样法,购买灯泡数
nk2kk4k(kN)

所以
n
的最小值为
4
. ……………… 6分
(Ⅲ)解:
X
的所有取值为
0,1,2,3
. ……………… 7分
由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为
0.10.150.25
, ……… 8分
从本批次灯泡中购买
3
个,可看成
3
次独立重复试验,
所以
P(X0)C
3
(1)

27

64
11
2
27
P(X1)C
1
(1) 

3
4464
119
2
P(X2)C
3< br>()
2
(1)
1


4464
13
1
P(X3)C
3
()
. ……………… 11分
3
464
03
1
4
所以随机变量< br>X
的分布列为:
X

P

0 1 2 3
27

64
27

64
9

64
1

64
………………12分


所以< br>X
的数学期望
E(X)0
2727913
123< br>.
646464644
………………13分
(注:写出
X:B(3 ,)

P(Xk)C
3
()(1)



17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:因为底面
ABCD
和侧面
BCC
1
B
1
是矩形,
所以
BCCD

BCCC
1

又因为
CDICC
1
C

1
4
k
1
4
k
1
4
3k

k0,1,2,3
. 请酌情给分)
所以

BC
平面
DCC
1
D
1


………………
2


因为

D
1
E
平面
DCC
1
D
1


所以
BCD
1
E
. ………………4分
(Ⅱ)证明:因为
BB
1
DD
1
, BB
1
DD
1

所以四边形
D
1
DBB
1
是平行四边形.
连接
DB
1

D
1
B
于点
F,连接
EF


F

DB
1
的中点.

B
1
CD
中,因为
DECE

DF B
1
F

所以
EFB
1
C
. ………………6分
又因为
B
1
C
平面
BED
1

EF
平面
BED
1

所以
B
1
C
平面
BED
1
. ………………8分
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)可知
BCD
1
E


又因为

D
1
ECD

BCI
z
D
1
C
1
A
1
B
1
F
E
D C
y
A
G
B
x
CDC


所以
D
1
E
平面
ABCD
. ………………9分

G

AB
的中点,以
E
为原点,
EG< br>,
EC

ED
1
所在直线分别为x轴,y轴,z轴
如图建立空间直角坐标系,

D
1
Ea
,则
E(0,0,0), B(1,1,0), D
1
(0,0,a), C(0,1,0), B
1
(1,2,a), G(1,0,0)
.
设平面
BED
1
法向量为
n(x,y,z)


因为

u
EB
uur
(1,1,0),
u
ED
uuur
1
(0,0,a)



uuur



nEB

xy0,

uuuur
0,
0,


nED

1


z0.



x1
,得
n(1,1,0)
.
设平面
BCC
1
B
1
法向量为
m(x
1
,y
1
,z
1
)


因为

u
CB
uur
(1,0,0),
u
CB
uur
1
(1,1,a)


u


uur


mCB
u
0,



CB
uur

x
1
0,
m
1
0,

x
1
y
1
az

1
0.


z
1
1
,得
m(0,a,1)
.
由平面
BCC
π
1
B
1
与平面
BED1
所成的锐二面角的大小为
3




|co sm,n|
|mn|
mn

a
2a
2
 1
cos
π
3


解得
a1
.

.(本小题满分13分)
解:由题意,得
f

(x) (xlnx)

lnx1
,其中
x0

所以
f

(1)1

又因为
f(1)0

………………
11


………………
12


………………
13

14


……………… 2分




………………
18
(Ⅰ)


所以函数
f(x)
的图象在点
(1, f(1))
处的切线方程为
yx1
. ……………… 4分
(Ⅱ )解:先考察函数
g(x)x
2
2x3

xR
的 图象,
配方得
g(x)(x1)
2
2
, ……………… 5分
所以函数
g(x)

(,1)
上单调递增,在
(1,)
单调递减,且
g(x)
max
g( 1)2
.
……………… 6分
因为对于任意
x
1
,x
2
R
,且
x
1
x
2
, 都有
f(x
1
)f(x
2
)
成立,
所以
a
≤1
. ……………… 8分
以下考察函数
h(x)xlnx

x(0,)
的图象,

h

(x)lnx1


h

(x)lnx10
,解得
x
1
e
. ……………… 9分
随着
x
变化时,
h(x)

h

(x)
的变化情况如下:
x

(0,
1
)

1
e

(
1
e
e
,)

h

(x)



0



h(x)

↘ ↗
即函数
h(x)

(0,
1
e
)
上单调递减,在
(
1
e
,)
上单调递增,
h(x)
1
e

1
min
h()
e
. ……………… 11分
因为对于任意
x
1
,x
2
R,且
x
1
x
2
,都有
f(x
1
) f(x
2
)
成立,
所以
a

1
e
. ……………… 12分
因为

1
e
2
(即
h(x)
min
g(x)
max
),
所以
a
的取值范围为
[
1
e
,
1]
. ……………… 13分


19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:因为直线
l
的方程为
x2y10

所以与x轴的交点
C(1,0)
,与
y
轴的交点
D(0,)
. ……………… 1分
1
2
则线段
CD
的中点
(,)

|CD|1()
11
241
2
2
5
, ……………… 3分
2

OCD
外接圆的圆心为
(,)
,半径为
11
2 4
15
|CD|

24
所以
OCD
外接圆的 方程为
(x)(y)
1
2
2
1
4
2
5
. ……………… 5分
16
(Ⅱ)解:结论:存在直 线
l
,使得
C,D
是线段
MN
的两个三等分点.
理由如下:
由题意,设直线
l
的方程为
ykxm(km0)

M(x
1
,y
1
)

N(x
2
,y
2
)


C(
m
,0)

D(0,m)
, ……………… 6分
k

ykxm

222
由方程组

x
2

(12k)x4kmx2m20
, ……………… 7分
2

y1
2
所以
16k8m80
, (*) ……………… 8分
22
2m
2
2
4km
由韦达定理 ,得
x
1
x
2

,
x
1
x
2

. ……………… 9分
2
12k
2
12k

C,D
是线段
MN
的两个三等分点,得线段
MN
的中点与线段
CD
的中点重合.
所以
x
1
x
2

解得
k
4kmm
0
, ………………10分
2
12kk
2
. ……………… 11分
2

C,D
是线段
MN
的两个三等分点,得
|MN|3|CD|
.
2
所以
1k|x
1
x
2
|3(
m
2
)m
2
, ……………… 12分
k


4km
2
2m
2
2m

|x
1
x
2
|()43||

12k
2
12k
2
k
解得
m
5
. ……………… 13分
5
验证知(*)成立.
所以存在直线
l
,使得
C,D
是线段
MN
的两个三等分点,此时直线l的 方程为
y
25
x

25

y

25
x
. ……………… 14分
25
20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:答案不唯一. 如3项子列
111
,,; ……………… 2分 236

b
1
b
2
b
3
b4
b
5
0
, (Ⅱ)证明:由题意,知
1
所以
db
2
b
1
0
. ……………… 3分

b
1
1


{b
n
}

{a
n
}
的一个5项子列,得
b< br>2


所以
db
2
b
1

1
1
2
1
2
1
.
2
因为
b
5
b
1
4d

b
5
0< br>,
所以
4db
5
b
1
b
5
11
,即
d
这与
d


1
.
4
1
矛盾.
2
所以
b
1
1
.
所以
b
1

, ……………… 6分
因为
b
5
b
1
 4d

b
5
0

所以
4d b
5
b
1

b
5

1
2
111

,即
d

228


综上,得

1
d0
. ……………… 7分
8
(Ⅲ)证明:由题意,设
{c
n
}
的公比为
q

2m1

c
1
c
2
c
3
Lc
m
c
1
(1qqLq)
.
因为
{c
n
}

{a
n
}< br>的一个
m
项子列,
所以
q
为正有理数,且
q1

c
1


q
1
≤1
(aN

)
.
a
K
(K,LN

,且
K,L
互质,
L
≥2).
L

K1
时,
11
因为
q


L2
2m1
所以
c
1
c
2
c
3
Lc
m
c
1
(1qqLq)



1
11
2
1
()L()
m1

222
1
2()
m1

2
1
m1
所以
c
1
c
2
 c
3
Lc
m

2()
. ……………… 10分
2

K1
时,
m1
因为
c
m
c
1
q
所以
aK< br>m1
1K
m1

m1

{a
n}
中的项,且
K,L
互质,
aL
M(MN
*
)

2m1
所以
c
1
c
2
c
3
Lc
mc
1
(1qqLq)


*
11111(
m1

m2

m32
L
m1< br>)
.
MKKLKLL
因为
L
≥2

K,MN

所以
c
1
c
2
c
3
Lc
m

1
综上,
c
1
c
2
c
3
Lc
m

2
11
2
11
()L()< br>m1
2()
m1
.
2222
1
2
m1
. ……………… 13分

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