打草惊蛇的典故-生活中的小数

1990——2005年高考立体几何试题汇编
(90全国) 如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥ 底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、
E.又SA＝AB,SB＝B C.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

（90）解法一:由于 SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC底边SC的中线,所以SC
⊥BE.
又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.
又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD.
而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.
∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
设SA＝a,

又因为AB⊥BC,
∴∠ACS＝30°.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.

解法二 :由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.
又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
由于S A⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥
AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC ,所
以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.
∵DE面BDE,DC面BDC,
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
以下同解法一.

（91全国）已知ABCD是边长为4的正方形，E
、
F分别是AB、AD 的中点，

GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．
（91）解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC
、
EF、BD分别交AC于H 、O． 因为ABCD是
正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．
BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设
矛盾．
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是 点B到平面
EFG的距离． ——4分
∵ BD⊥AC， ∴ EF⊥HC．
∵ GC⊥平面ABCD，∴ EF⊥GC，
∴ EF⊥平面HCG．
∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交
线． ——6分
作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点< br>B到平面EFG的距离． ——8分
∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2，
∴ AC=4
2
，HO=
2
，HC=3
2
．
∴ 在R t△HCG中，HG=

32

2
2
2
22< br>．
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．
∴ OK=
HOGC22211
．

HG11
22
211
． ——10分
11
即点B到平面EFG的距离为
（92理）两条异面直线a、b所成的 角为θ，它们的公垂线段AA
1
的长度为d。在直线a、b上分别
取点E、F,设A< br>1
E=m，AF=n

（92） 解法一:设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为
β ,α∩β=c,则c∥a.因而b,c所成的角等于θ,且AA1⊥c(如图)。
∵ AA1⊥b, ∴ AA1⊥α.
根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α.
在平面 β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性
质定理,EG⊥α.连结FG ,则EG⊥FG.
在Rt△EFG中,EF2=EG
2
+FG
2
。 ∵ AG=m, ∴在△AFG中, FG
2
=m
2
+n
2
-2mncosθ.
∵ EG
2
=d
2
, ∴ EF
2
=d2
+m
2
+n
2
-2mncosθ.
如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则
EF
2
=d2
+m
2
+n
2
+2mncosθ.
因此
解法二:经过点A作直线c∥a,则c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c.
根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面a.
在两平行直线a、c所确定的平面内,作EG⊥c,垂足为G,则EG平行且等于AA1，从而EG⊥α。
连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG⊥FG.
在Rt△EFG中,EF
2
=EG
2
+FG
2
。
(以下同解法一)
（93全国）如图,A
1
B
1
C
1-ABC是直三棱柱,过点A
1
、B、C
1
的平面和平面ABC的交线记 作l. (Ⅰ)
判定直线A
1
C
1
和l的位置关系,并加以证明; (Ⅱ)若A
1
A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A
1
到直
线l的距离.
（93）解:(Ⅰ)l∥A
1
C
1
.证明如下:
根据棱柱的定义知平面A
1
B
1
C
1
和平面ABC平行.
由题设知直线A
1
C
1
=平面A
1
B
1
C
1
∩平面A
1
BC
1
,直线l=平面A
1
BC
1
∩平面ABC.
根据两平面平行的性质定理有l∥A
1
C
1
.

(Ⅱ)解法一: 过点A
1
作A
1
E⊥L于E,则A1E的长为点A
1
到l的距离.
连结AE.由直棱柱的定义知A
1
A⊥平面ABC.
∴ 直线AE是直线A
1
E在平面ABC上的射影.
又 l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有：AE⊥l.
由棱柱的定义知A
1
C
1
∥AC,又l∥A1C1, ∴ l∥AC.
作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,
从而AE＝BD＝(AE×BC)AC＝(4×3)5＝125
在Rt△A
1
AE中, ∵ A
1
A=1，∠A
1
AE=90°,





故点A
1
到直线 l 的距离为135。
解法二: 同解法一得l∥AC.
由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE， 从而有

Rt△ABC∽Rt△BEA，AE:BC=AB:AC，
∴AE＝(BC×AB)AC
以下同解法一。

（94全国）如图,已知A< br>1
B
1
C
1
-ABC是正三棱柱,D是AC中点.
(1)证明AB
1
∥平面DBC
1
；
(2)假设AB
1
⊥BC
1
,求以BC
1
为棱,DBC
1
与CBC
1
为面的二面角α的度数.

（94） (1)证明: ∵A
1
B
1
C
1
-ABC是正三棱柱,
∴ 四边形B
1
BCC
1
是矩形.连结B
1
C,交BC
1
于E,则B
1
E=EC.连结DE.
在△AB
1
C中,∵AD=DC, ∴DE∥AB
1
,













∴AB
1
∥平面DBC
1
.
(2)解:作 DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B
1
BCC
1
,连结EF,则EF是ED 在平面B
1
BCC
1
上的射影.
∵AB
1
⊥BC
1
, 由(1)知AB
1
∥DE, ∴DE⊥BC
1
,
则BC
1
⊥EF, ∴∠DEF是二面角α的平面角.
设AC=1,则DC=12. ∵△ABC是正三角形,
4,CF=DC·cosC=14 ∴在Rt△DCF中, DF=DC·sinC=
取BC中点G. ∵EB=EC, ∴EG⊥BC.
在Rt△BEF中, EF
2
=BF·GF,又BF=BC-FC=34,GF=14
∴EF
2
=(34)·(14),即EF=4. ∴tg∠DEF=DFEF=1 ∴∠DEF=45°.
故二面角α为45°.


（95全国）如 图，ABCD是圆柱的轴截面，点E在底面的周长上，AF⊥DE，F是
垂足。(1)求证：AF⊥DB
(2)如果AB=a，圆柱与三棱锥D- ABE的体积比等于3π，求点E到截面ABCD
的距离
（95） (1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE，
∵EB平面ABE， ∴DA⊥EB，
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE，
∵AF平面DAE，∴EB⊥AF，

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB，
∵DB平面DEB，∴AF⊥DB。
(2)解：设点E到平面ABCD的距离为d，记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。

由题设知

，即d=a2。
.（96全国） 如图,在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,E∈BB1
，截面A
1
EC⊥侧面AC
1
.
(Ⅰ)求证:BE=EB1; (Ⅱ)若AA
1
=A
1
B
1
;求平面A
1
EC与平面A
1
B
1
C
1
所成二面角
(锐角)的度数.
注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).
(Ⅰ)证明:在截面A
1
EC内,过E作EG⊥A
1
C,G是垂足.
① ∵__________________________________
∴EG⊥侧面AC
1
;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
② ∵___________________________________
∴BF⊥侧面AC
1
;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面 AC
1
于FG.
③ ∵ __________________________________
∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,
④ ∵_________________________________
∴FG∥AA
1
,△AA
1
C∽△FGC,
⑤ ∵_________________________
(Ⅱ)解:
（96） (Ⅰ)②∵BE:CF=1:2, ∴DC=2DB, ∴DB=BC, 1分
③∵△ABD是等腰三角形, 且∠ABD=120°, ∠BAD=30°,
∴∠CAD=90°, 3分
④∵FC⊥面ACD, ∴CA是FA在面ACD上的射影,
且CA⊥AD, 5分
⑤∵FA∩AC=A, DA⊥面ACF，DA面ADF

∴面ADF⊥面ACF. 7分

(Ⅱ)解: ∵V
A1-AEF
=V
E-AA1F
在面A1B1C1内作B
1
G⊥A
1
C
1
,垂足
为G.
BG＝
面A
1
C,
∵E∈BB
1
,而BB
1
∥面A
1
C, ∴三棱柱的高为
S
△AA1F
=AA1·AC2=
a2 9分
a
4
4 12分
a2 面A
1
B
1
C
1
⊥面A
1
C, ∴B
1
G⊥
a
2
2 10分 ∴V
A1-AEF
=V
E-AA1F
=

（97全国）如图 ,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是BB
1
、CD的中点.
(Ⅰ)证明AD⊥D
1
F;
(Ⅱ)求AE与D
1
F所成的角;
(Ⅲ)证明面AED⊥面A
1
FD
1
;
（97） 解:(Ⅰ)∵AC1是正方体, ∴AD⊥面DC1.
又D1F面DC1, ∴AD⊥D1F. -------------2分
(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相 等,又A1D1、
AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A 1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成 的角,因为E是BB1的中点,所
以Rt△A1AG≌Rt△ABE, ∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°,
即直线AE与D1F所成角为直角. -------------5分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1 F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F
面A1FD1, 所以 面AED⊥面A1FD1. -------------7分
（Ⅳ)连结GE,GD1. ∵FG∥A1D1, ∴FG∥面A1ED1,
∵AA1=2,






（98全国）已知斜三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的侧面A
1
ACC
1
与底面ABC垂直，
∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA
1
⊥A
1
C，AA
1
＝A
1
C。

（Ⅰ）求侧棱A
1
A与底面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求侧面A
1
ABB
1
与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求顶点C到侧面A
1
ABB
1
的距离。
（98）
解：（Ⅰ）作A
1
D⊥AC，垂足为D，由面A
1
ACC
1
⊥面ABC，得A
1
D⊥面ABC，
∴∠A
1
AD为A
1
A与面ABC所成的角。„„2分

∵AA
1
⊥A
1
C，AA
1
＝A
1
C，∴∠A
1
AD＝45°为所求。 „„4分

（Ⅱ）作DE⊥AB， 垂足为E，连A
1
E，则由A
1
D⊥面ABC，得A
1
E⊥ AB。
∴∠A
1
ED是面A
1
ABB
1
与面A BC所成二面角的平面角。 „„6分

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC。又D是AC的中点， BC＝2，AC＝2， ∴DE＝1，AD＝A
1
D＝，

tgA
1
ED＝A
1
DDE=。故∠A
1
ED＝60°为所求。 „„8分

（Ⅲ ）解法一：由点C作平面A
1
ABB
1
的垂线，垂足为H，则CH的长是C到 平面A
1
ABB
1
的距离。 „10分

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB。 又A
1
E⊥AB，知HB∥A
1
E，且BC∥ED， ∴∠HBC＝∠A
1
ED＝60°。

∴CH＝BCsin60°＝为所求。 „„12分

解法二：连结A
1
B。 根据定义，点C到面A
1
ABB
1
的距离，即为三棱锥C－A
1
AB的高h。 „„10分
由V锥C－A< br>1
AB＝V锥A
1
－ABC得12S△AA
1
Bh＝12S△ ABCA
1
D，

即 13×2h=13×2×，∴h=为所求。 „„12分



（
99全国）如图，已知正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
，点E在棱D
1
D上，截面EAC∥D
1
B，且面EAC与底面
ABCD所成的角为45°， AB=a
（Ⅰ）求截画EAC的面积；
（Ⅱ）求异面直线A
1
B
1
与AC之间的距离；
（Ⅲ〕求三棱B
1
—EAC的体积。

（99）（1）解：如图，连结DB交AC于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形 ∴DO⊥AC。 又∵ED⊥底面AC，
∴EO⊥AC。
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角， －－－－2分
∴ ∠EOD＝45°。 DO＝(2)
12
2a, AC=(2)
12
a, Eo=[(2)
12
a·sec45°]2=a.
故 S
△EAC
=(2)
12
×a
2
2

4分
（II）解：由题设ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
是正四棱柱，得A
1
A⊥底面AC， A
1
A⊥AC。
又 A
1
A⊥A
1
B
1
，
1
A是异面直线A
1
B
1
与AC间的公垂线。 －－－－6分
∵D
1
B∥面EAC，且面D
1
BD与面EAC交线为EO， ∴ D
1
B∥EO。
又 O是DB的中点， ∴E是D
1
D的中点， D
1
B＝2ED＝2a。
异面直线A
1
B
1
与AC间的距离为(2)
12
a。 －－－－8分
(III)解法一：如图，连结D
1
B
1
。 ∵D
1
D＝DB＝(2)
12
a，
∴BDD
1
B
1
是正方形。 连结B
1
D交D
1
B于P，交EO于Q。
∵B
1
D⊥D
1
B。 EO∥D
1
B， ∴B
1
D⊥EO
又 AC⊥EO， AC⊥ED， ∴AC⊥面BDD
1
B
1

∴B
1
D⊥AC ∴B
1
D⊥面EAC。
∴B
1
Q是三棱锥B
1
－EAC的高。 －－－－10分
由DQ＝PQ，得B
1
Q＝3B
1
D4＝3a2。
∴V
B1
－
EAC
＝(13)·[(2)
12
a
2
2]·(320=(2)
12
·a
3
4.
所以三棱锥了－EAC的体积是(2)
12
·a
3
4. －－－－12分 < br>解法二：连结B
1
O，则VB
1
－EAC＝2VA－EOB
1

∵AO⊥面BDD
1
B
1
， ∴AO是三棱锥A－EOB
1
的高，AO＝(2)
12
·a2
在正方形BDD
1
B
1
中，E、O分别是D
1
D、DB的中 点（如右图），
则S
△EOB1
=3a
2
4.
∴VB
1
-EAC=2×(130×(3a
2
4)×[(2)
12< br>a2}=(2)
12
·a
3
4.
所以三棱锥B
1
－EAC的体积是(2)
12
·a
3
4.－－－－12分。 （00广东、全国）如图，已知平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的底面ABCD是
菱形，且∠C
1
CB=∠C1
CD=∠BCD，
（Ⅰ）证明：C
1
C⊥BD；
（Ⅱ）当
CD
的值为多少时，能使A
1
C⊥平面C
1
BD？请给出证 明。
CC
1
（00广东）（Ⅰ）证明：连结
A
1
C
1
、
AC
和
BD
交于
O
，连结
C
1
O
。
∵四边形ABCD是菱形，∴
AC
⊥
BD
，
BC
=
CD
。
又∵∠
BC
C
1=∠
DCC
1
，
C
1
C
=
C
1
C
，
∴
C
1
BCC
1
DC，∴
C
1
B=
C
1
D，

∵
DOOB
∴
C
1
OBD
， 3分
但
ACBD,ACC
1
OO
，∴
BD
平面
AC
1
。
又
C
1
C
平面
AC
1
，∴
C
1
C
BD
。 „„„„6分
（Ⅱ）当
CD
1
时，能使
A
1
C 
平面
C
1
BD
。
CC
1
CD
1
，∴
BCCDC
1
C
，又
BCDC
1
CBC
1
CD
，
CC
1
证明一：∵
由此可推得
BDC
1
BC
1
D
。∴三棱锥
C C
1
BD
是正三棱锥。 „„„„9分
设A
1
C
与
C
1
O
相交于
G
。 ∵
A
1
C
1
AC
，且
A
1
C1
：
OC2
：1，
∴
C
1
G
：
GO
=2：1。
又
C
1
O
是正三角形
C
1
BD
的
BD
边上的高和中线，∴点
G
是正三角形
C
1
BD
的中心，
∴
CG
平面
C
1
BD
，即
A
1
C
平面
C
1
BD
。 „„„„12分
证明：由（Ⅰ）知，
BC
平面
AC
1
，
∵
A
1
C
平面
AC
1
，∴
BD A
1
C
。 „„„„9分
当
CD
1
时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同
BDA
1
C
的正法可得
BC
1
A
1
C
。
CC
1
又
BD

BC
1
 B
，∴
A
1
C
平面
C
1
BD
。 „„„„12分


（00两省一市）如图，直三棱柱ABC-
A
1
B
1
C
1
，底面ΔABC中，CA=CB=1，BCA=
90

，棱
AA
1
=2，
M、N分别是
A
1
B
1
、
A
1
A
的中点。
（I）求
BN
的长；
（II）求
cosBA
1
，
CB
1

的值；

（III）求证
A
1
BC
1
M

（00两省一市）如图，以C为原点建立空间直角坐标系O
xyz
。
（I）解：依题意得B

0, 1, 0

，N

1, 0, 1

，
∴
BN

10

2


01

2


1 0

2
3
——2分
（II）解：依题意得
A
1

1, 0, 2

，B

0, 1, 0

，C

0, 0, 0

，
B
1

0, 1, 2

。
∴
BA
1


1, 1, 2

，
CB
1


0, 1, 2

。

BA
1
CB
1
3
。
BA
1
6
，
CB
1
5
——5分
∴
cos
BA
1

CB
1
 
BA1
CB
1
BA
1
CB
1

130
——9分
10

11


11

（III）证明：依题意得
C
1

0, 0, 2

，M

, , 2


A
1
B

1, 1, 2

，
C
1
M

, , 0

，

22


22

∴
A
1
BC
1
M

11
00
，∴
A
1
B C
1
M
——12分
22

（01广东、全国）如图，在底面是直角梯形的四棱锥
Ｓ—ABCD
中，
∠
ＡＢＣ
＝９０°，
ＳＡ
⊥面
ABCD
，
SA＝AB
＝
ＢＣ
＝１，
ＡＤ
＝
(Ⅰ)求四棱锥
S —ABCD
的体积；
(Ⅱ)求面
SCD
与面
SBA
所成的二面角的正切值．
（ 01广东）解：(Ⅰ)直角梯形
ABCD
的面积是
M
底面
=
=
1
．
2
1
(BCAD)AB

2
10.53
1
2分
24
1131
∴四棱锥
S—ABCD
的体积是
V SAM
底面
1
4分
3344
(Ⅱ)延 长
BA、CD
相交于点
E
，连结
SE
，则
SE是所求二面角的棱 6分
∵
ＡＤ
∥
ＢＣ
，
ＢＣ
＝２
ＡＤ

∴
ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ
，∴
ＳＥ
⊥
ＳＢ

∵
ＳＡ
⊥面
ABCD
，得面
SEB
⊥面
EBC
，
EB
是交线.
又
ＢＣ
⊥
ＥＢ
，∴
Ｂ Ｃ
⊥面
SEB
，故
SB
是
SC
在面
SEB
上的射影，∴
CS
⊥
ＳＥ
，
所以∠
ＢＳＣ
是所求二面角的平面角 10分
∵
ＳＢ
＝
SA
2
AB
2
2, BC1,BCSB

∴ｔｇ∠
ＢＳＣ
＝
BC22
，即所求二面角的正切值为

SB22

（01两省一市）如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O- xyz，其中
Ox∥BC,Oy∥AB.E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a,高为h
→→
(Ⅰ)求cos;
(Ⅱ)记面BCV为

，面DCV为

，若

BED是二面角

VC

的平面角，求

BED


（01两省一市）

（02全国）如图，正方形
ABCD
、
ABEF
的边长都是1，而且平面
ABCD
、
ABEF
互 相垂直。点
M
在
AC
上移动，点
N
在
BF
上移动，若
CMBNa
（
0a2
）
（1）求
MN
的长；
（2）
a
为何值时，
MN
的长最小；
（3）当
M N
的长最小时，求面
MNA
与面
MNB
所成二面角

的大小。
（02全国）解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，
连接PQ，
依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。
∴MN=PQ由已知， CM=BN=a,CB=AB=BE=1,
ACBF2
a
CPaBQa
∴即
CPBQ

,
1
2
2
1
2
∴
MNPQ(1CP)
2
BQ
2
(1
a
2
)
2
 (
a
2
)
2
(a
2
2
1
) (0a2)
（2）
22

MN(a
由（1）
所 以，当a
2
2
1
)
22
22
时，MN
22
2
2

即M,N分别移动到AC,BF的中点时，MN的长最小，最小 值为
（3）取MN的中点G，连接AG、BG，
∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，∴∠AGB即为二面角α的平面角。
又
AGBG
6
，所以由余弦定理有
4
6
2< br>6
)()
2
1
1
1
44

。 故所求二面角

arccos()
。
3
3
662
44
(
cos




（02 两省一市）如图，正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底面边 长为
a
，侧棱长为
2a
。
（1） 建立适当的坐标系，并写出点A、B、A
1
、C
1
的坐标；
（2） 求AC
1
与侧面ABB
1
A
1
所成的角

（02两省一市）解：（1）如图，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy
轴，以
AA
1
A
1
垂直的直线为Ox
1
所在直线为Oz轴，以经过原点 且与平面
ABB
轴，建立空间直角坐标系。
由已知，得
A(0,0,0), B(0,a,0),A
1
(0,0,2a),C
1
(
------ ------4分
（2）坐标系如上。取
A
1
B
1
的中点 M，于是有
M(0,
A
1
C
1
B
1
CA
B
3a
a,,2a)

22
a
,2a)
,连
AM,MC
1
有
2
MC
1
(
3
a,0,0)
,且
2
AB(0,a,0),AA
1
(0,0,2a)

由 于
MC
1
AA
1
0,MC
1
AA
1
0

所以，
MC
1
面ABB
1
A
1

∴
AC
1
与AM所成的角就是
< br>AG
1
与侧面ABB
1
A
1
所成的角。
3a a
a,,2a),AM(0,,2a)
222
a
2
9
A C
1
AM02a
2
a
2
44
AC1
(
3a
2
a
2
而AC
1
 2a
2
3a
44
a
2
3
AM2a
2
a
42
9
2
a
3
cosAC
1
,AM
4

3
2
3aa
2
所以，AC
1
与AM所成的角，即AC
1
与侧面ABB
1
A
1
所成的角为30
0


（02广东）四棱锥
PABCD
的底面是边长为
a
的正方形，
PB
平面
ABCD
。 （1）若面
PAD
与面
ABCD
所成的二面角为
60
，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化。面
PAD
与面
PCD
所成的二面角恒大于
90




（0 2广东）解（1）∵
PB
平面
ABCD
，∴
BA
是
PA
在面
ABCD
上的射影，∴
PADA

∴
PAB
是面
PAD
与面
ABCD
所成二面角的平面角，
 PAB60

而
PB
是四棱锥
PABCD
的高，PAABtg603a


∴
V
PABCD

13
3
3aa
2
a

33
（2） 证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面
PAD
与
PCD
恒为全等三角形． < br>作
AEDP
，垂足为
E
，连结
EC
，则
 ADECDE
．
∴
AEEC
，
CED90
， 故
CFA
是面
PAD
与面
PCD
所成的二面角的平面角．
设
AC
与
DB
相交于点
O
，连结
EO，则
EOAC
．
2
aOAAEADa

2< /p>

AE
2
EC
2
(2OA)
2
( AE2OA)(AE2OA)
在△
AEC
中，
cosAEC0< br>
2
2AEEC
AE
所以，面
PAD
与面
PCD
所成的二面角恒大于
90

03年北京
（理）4．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是
．
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
D．若m⊥α，
m

，则α⊥β
（ ）
7．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 （ ）
A．
2

B．


3
2
C．
23


3
D．


1
2
13．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，
剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么
圆柱被截后剩下部分的体积是 .

17．（本小题满分15分）
如图，正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的底面边长的3，侧棱AA
1
=
33
,
D
2
是CB延长线上一点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：直线BC
1
平面AB
1
D；
（Ⅱ）求二面角B
1
—AD—B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥C
1
—ABB
1
的体积.





（文）11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径
为 .
17．（本小题满分15分）
如图，正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，D是BC的中点 ，AB=a.
（Ⅰ）求证：直线A
1
D⊥B
1
C
1
；
（Ⅱ）求点D到平面ACC
1
的距离；
（Ⅲ）判断A
1
B与平面ADC的位置关系，
并证明你的结论.

03年广东
9．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A．
2

R

2
B．

R

9
4
2
C．

R

8
3
2
D．

r

3
2
2
12．一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3π B．4π C．
33

D．6π
1 5．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB
2
+AC< br>2
=BC
2
，
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可
以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂
直，则
17．（本小题满分12分）
已知正四棱柱ABCD—A
1
B
1< br>C
1
D
1
，AB=1，AA
1
=2，点E为CC1
中点，点F为BD
1
中点.
（1）证明EF为BD
1
与CC
1
的公垂线；
（2）求点D
1
到面BDE的距离.









03年江苏
7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）

a
3
A．
3
a
3
B．
4
a
3
C．
6
a
3
D．
12
12．一个四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3π B．4π C．
33
π D．6π
16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD. ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD.
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.
其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—A
1
B1
C
1
中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA
1=2，D、E

分别是CC
1
与A
1
B的中点，点 E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.
（Ⅰ）求A
1
B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A
1
到平面AED的距离.
C
1


03年全国
D
（理）6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，
A
1

的所有内接圆柱中，全面积的最大值是
E
（ ）
G
C
8
2
9
（A）
2

R
（B）

R
2
（C）

R
2

3
4
B
1
在它
K
（D）
B
3
2
F
A

R

2
16．下 列5个正方体图形中，
l
是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得< br>出
l
面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）
① ② ③ ④ ⑤

P P

M
P

N
l

N
N
l l
l
l
N
M
M

M
M
P

N
P

18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱
ABCA
1B
1
C
1
中，底面是等腰直角三角形，
ACB90
，侧棱
AA
1
2
，D、
E分别是
CC
1
与
A
1
B
的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G
（I）求
A
1
B
与平面ABD所成角的大小
果用反三角函数值表示 ）
（II）求点
A
1
到平面AED的距离









A
1

E
K
A
F
B
D
G
C
B
1
C
1
（结

（文）10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为
为（ ）
3
R
，该圆柱的全面积
4
5
8
2
9
（A）
2

R
（B）

R
2
（C）

R
2
（D）

R
2

2
3
4
15．在平面几何 里，有勾股定理：“设
ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB
2
AC
2
BC
2
。”拓展到
空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面 积与底面面积间的关系，可以得出的正
、AC、DADB
两互相垂直，则确结论是：“设三棱锥
ABCD
的三个侧面
ABC
两
________________ ______________________________.”
17．（本小题满分12分）
已知正四棱柱
ABCDA
1
BC，AB1，AA
1
2 ，点E为CC
1
中点，点F为BD
1
点中点。
11
D1
（Ⅰ）证明
EF为BD
1
与CC
1
的公垂线
（Ⅱ）求点
D
1
到面BDE
的距离。
A
D
B
C

E

F


D

C
M

A

B
03年上海
（理）5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60° ，则异面直线PA与BC
所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）
14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）
A．α、β都垂直于平面r.
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.
18．（本题满分12分）
已知平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
A⊥ 平面ABCD，AB=4，AD=2.若B
1
D⊥BC，直线
B
1
D 与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A
1
B
1
C< br>1
D
1
的体积.

（文）14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）
A．α、β都垂直于平面r.
B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.
C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.
D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
18．（本题满分12分）
已知平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B
1D⊥BC，直线
B
1
D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABC D—A
1
B
1
C
1
D
1
的体积.







03年天津
（文）10．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

a
3
A．
3
a
3
B．
4
a
3
C．
6
a
3
D．
12
17．（本小题满分12分）
已知正四棱柱ABCD—A
1< br>B
1
C
1
D
1
.AB=1，AA
1
=2，点E为CC
1
中点，点P为BD
1
中点.
（1）证明EF为BD
1
与CC
1
的公垂线；
D
1

C
1
（2）求点D
1
到面BDE的距离.


A
1
B
1


E

F



D

C

M

A
B
（理）18．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC—A1
B
1
C
1
中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧 棱AA
1
=2，D、E
分别是CC
1
与A
1
B的中 点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.
（Ⅰ）求A
1
B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A
1
到平面AED的距离.










2004高考题分类汇编---立题几何 1．（18江苏）.在棱长为4的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，O是正方形A
1
B
1
C
1D
1
的中心，点P在棱CC
1
上，且CC
1
=4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC
1
B
1
所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）；
(Ⅱ)设O点在平面D
1
AP上的射影是H，求证：D
1
H⊥AP；
(Ⅲ)求点P到平面ABD
1
的距离.

D
1
C
1

O
·
A
1

B
1
·

H

P

D

C

A
B

解：（1）连结BP，
AB
平面
BCC
1
B
1
，
AP
与 平面
BCC
1
B
1
所成角就是
APB
，
CC
1
4CP,CC
1
4,CP1
，在
RtP BC
中，
PCB
为直角，
BC4,CP1
，故
PB< br>中，
ABP
为直角，在
RtA
BP17
，
ta nAPB
417
。
17
AP417417
，，
 APBarctan
BP1717
即直线AP与平面
BCC
1
B< br>1
所成角为
arctan
（2）连结
A
1
C
1
,B
1
D
1
，四边形
A
1
B
1
C
1
D
1
是正方形，
D
1
OA1
C
1
，又
AA
1

平面
A
1
B
1
C
1
D
1
，

AA
1
D
1
O
，
AA
1
A
1< br>C
1
A
1
，
D
1
O
平面A
1
APC
1
，由于
AP
平面
A
1
APC
1
，
D
1
O
AP
，又平面D
1
AP
的斜线
D
1
O
在这个平面内的射影是
D
1
H
，
D
1
HAP
.
( 3)连结
BC
1
，在平面
BCC
1
B
1
中 ，过点P作
PQBC
1
于点Q，AB⊥平面
BCC
1
B< br>1
,PQ

平面
BCC
1
B
1
,< br>
PQ⊥AB，

PQ⊥平面
ABC
1
D
1
，PQ就是点P到平面ABD
1
的距离，在
RtC
1
PQ
中，
C
1
QP90,PC
1
Q45
，
PC
1
3,PQ
（2）（浙江省19）
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=
2
，AF=1，M是线段EF
的中点。（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；









(2) 方法一
解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE。
∵
OE
平面BDE，
AM
平面BDE，
∴AM∥平面BDE。
(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，
∵AB⊥AF， AB⊥AD，
ADAFA,

∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF。
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。
在RtΔASB中，
AS
3 3
2
，即点P到平面ABD
1
的距离为
2
。
2
2
6
,AB2,

3

∴
tanASB3,ASB60,

∴二面角A—DF—B的大小为60º。
（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，
ABAFA
，
∴PQ⊥平面ABF，
QE
平面ABF，∴PQ⊥QF。
在RtΔPQF中，∠FPQ=60º， PF=2PQ。
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴
PQ
2
(2t).

2
(2t)
2
1
，∴
(2t)
2
12
又∵ΔPAF为直角三角形，∴
PF
2
(2t).

2
所以t=1或t=3(舍去) 即点P是AC的中点。
方法二
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。
设
ACBDN
，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（
22
（0,0,1）,
,,0)
、
22
∴NE=(

22
,,1)
,
22
又点A、M的坐标分别是
0
） （
2
，
2
，
、（
22
,,1)

22
∴ AM=（

22
,,1)

22
∴NE=AM且NE与AM不共线，
∴NE∥AM。
又∵
NE
平面BDE，
AM
平面BDE，
∴AM∥平面BDF。
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF
ADA,

∴AB⊥平面ADF。
∴
AB(2,0,0)
为平面DAF的法向量。

∵NE·DB=（

22
,,1)
·
( 2,2,0)
=0，
22
22
,,1)
·
(2,2,0)
=0得
22
∴NE·NF=（

NE⊥DB，NE⊥NF，
∴NE为平面BDF的法向量。
∴cos=
1

2
∴AB与NE的夹角是60º。
即所求二面角A—DF—B的大小是60º。
（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤
2
)得
PF(2t,2t,1),

∴CD=（
2
，0，0）
又∵PF和CD所成的角是60º。
∴
cos60
(2t)2(2t)(2t)12
22

解得
t
232
或
t
（舍去），
22
即点P是AC的中点。
3．（福建19）
在三棱锥S-ABC中，△ ABC是边长为4的正三角形，
平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
3
，M、N 分别为AB、SB
的中点。
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM- B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离。
19.本小题主要考查直线与直线，直线与 平面，二面
角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力。满分12分。
解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SD且AC⊥BD，
∴AC⊥平面SDB，又SB

平面SDB，
∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC

平面ABC，
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.
∵SN=NB，∴NE=
11
SD =
22
SA
2
AD
2
=
1
2
1 24
=
2
，且ED=EB.
在正△ABC中，由平几知识可求得EF=< br>在Rt△NEF中，tan∠NFE=
11
MB=，
42
EN
=2
2
，
EF
∴二面角N-CM- B的大小是arctan2
2
.
（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF=
EFE N
=
∴S
△CMN
=
22
3
，
2
13
CM·NF=
22
3
，S
△CMB
=
1BM·CM=2
3
.
2
设点B到平面CMN的距离为h，
∵ V
B-CMN
=V
N-CMB
，NE⊥平面CMB，∴
11
S
△CMN
·h=S
△CMB
·NE，
33
S

CMB
NE
4242
∴h==.即点B到平面CMN的距离为.
33
S

CMN
解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC
∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.
则 A（2，0，0），B（0，2
3
，0），C（-2，0，
0），S（0，0，22
），M(1，
3
，0)，N(0，
3
，
2
) .
∴
AC
=（-4，0，0），
SB
=（0，2
3
，2
2
），
∵
AC
·
SB
=（-4，0，0） ·（0，2
3
，2
2
）=0，

∴AC⊥SB. < br>（Ⅱ）由（Ⅰ）得
CM
=（3，
3
，0)，
00
MN
=（-1，0，
2
）.设n=（x，y，z）为平面CMN
的一个法向量，

CM
·n=3x+
3
y=0，
则 取z=1，则x=
2
，y=-
6
，
MN
·n=-x+
2
z=0，
∴n=(
2
，-
6
，1)，
又
OS
=(0，0，2
2
)为平面ABC的一个法向量，
∴cos(n，
OS
)=
1
.
3
|n||OS|
=
nOS
∴二面角N-CM- B的大小为arccos
1
.
3
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得
MB=（-1，
3
，0），n=（
2
，-
6
，1）为平面C MN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离d=
|n·MB|
42
=.
3
|n|
4．（湖北18）
如图，在棱长为1的正方体ABCD－A
1
、B
1
、C
1
、D
1
中，点E是棱BC的中点 ，点F 是棱CD上的动
点。
（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D
1
E⊥平面AB
1
F；
（Ⅱ）当D
1
E⊥平面AB
1
F时，求二面角C
1
―EF― A的大小（结果用
反三角函数值表示）。


（4）解法一：（Ⅰ）连结A
1
B，则A
1
B是D
1
E在面ABE
1
A
1
风的射影。
∵AB
1
⊥A
1
B，∴D
1
E⊥AB
1。
。
于是D
1
E⊥平面AB
1F

D
1
E⊥AF。
连接DE，则DE是D
1
ED 底面ABCD内的射影。
∴D
1
E⊥AF

DE⊥AF。
∵ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
既当点F是CD的中点时，D
1
F⊥平面AB
1
F。„„6分
（Ⅱ）当D
1
E⊥平面AB
1
F时，由（Ⅰ）知点F是CD的中点。

又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD。连接AC；
设AC与E F交于点H，则CH⊥EF。连结C
1
H，则CH是C
1
H在底面ABCD内 的射影。
∴C
1
H⊥EF，既∠C
1
HC上二面角C
1< br>－EF－C的平面角。
在Rt△C
1
CH中，∵C
1
C=1 ，CH=
1
2
，AC=。
4
4
∴
tanC1
HC
C
1
C
1
22
。
CH
2
4
∴∠C
1
HC=
arctan22
，从而AHC
1


arctan22
。
故二面角C
1
－EF－A的大小为

arctan22
。
解法二：以A为坐标标原点，建立如图所未的空间直角坐标系。
（Ⅰ）设DF=
x
，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0） < br>A
1
（0，0，1），B
1
（1，0，1）D
1
（0 ，1，1），E

1,

1

,0

，F （
x
，1，0）

2

∴
D
1
E

1,


1

，
AF(x,1 ,0)
。
,1

，
A
1
B
（1，0 ，1）
2

1
0
。
2
于是D
1
E⊥平面
AB
1
FD
1
E,AFD
1
EA F0x
既
x
1
。故当点F是CD的中点时，D
1
E ⊥平面AB
1
F。
2
（Ⅱ）当
1
E⊥平面AB
1
F时，F是CD的中点。又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD。连接AC，
设AC与E F交于点H，则AH⊥EF。连接C
1
H，则CH是C
1
H在底面ABCD内 的射影。
∴C
1
H⊥EF，既∠AHC
1
是二面角C
1< br>－EF－A的平面角。
∵C1（1，1，1），H

,,0

，
AB1FD1E,AFD1EAF0x

33


44

1
0
。
2
∴

11< br>
HC
1


,,1


44
HAHC
1
|HA||HC
1
|

，< br>
33

HA

,,0

。

44

∴
cosAHC
1


=
1

。
99
3

88

1< br>

3

1
3

3
8
既∠ AHC
1
=
arccos




arccos.

故二面角C
1
－EF－A的大小为

arccos
1
。
3
5（重庆19）
如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，
PA底面ABCD,AEPD,EFCD,AMEF

(1)
(2)













6．（湖南19）
证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
若
PA3AB
,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值。
P
E
F
A
M
B C
D
如图,在底面是菱形的四棱锥P —ABCD中,
ABC60,PAACa,PBPD
点E在PD上,且PE:E D= 2: 1.
(Ⅰ)证明 PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小:
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论.






2a,

(6) (Ⅰ)证明 因为底面ABCD是菱形, ∠ABC=60º,
所以AB=AD=AC=a.
在△PAB中,由
PA
2
AB
2
2a
2
PB
2

知PA⊥AB.
同理, PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)解:作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD
知EG⊥平面ABCD.
作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC.
∠EHG为二面角θ的平面角.
又PE:ED=2:1
所以
EG
123
a,AGa,GHAGsin60a,

333
EG3
,

30.

GH3
从而
tan


(Ⅲ)解法一 以A为坐标原点 ,直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为
x轴，建立空间直角坐标系如图。 由题设条件，相关各点的坐标分别为
A(0,0,0),B(
3131
a,a,0) ,C(a,a,0),

2222
21
a,a).

33
D(0,a,0),P(0,0,a), E(0,
所以
AE(0,
2131
a,a),AC(a,a,0),

3322
31
a,a,a),

22
AP(0,0,a ),PC(
BP(
31
a,a,a)

22
31a

,a

,a

),
其中0<λ<1,则
22
设点F是棱PC上的点,
PF

PC(
BF BPPF(
3131
a,a,a)(a

,a

, a

)

2222

=
(
3 1
a(

1),a(1

),a(1

).

22
令
BF

1
AC

2
AE
得

33
a(

1)a

1


1

1
,

22
1124
a(1

)a

1
a

2
,
即
1



1

2

2233
11

a(1

)a

2
.

1



2
.
33
113
解 得

,

1
,

2
.

222
113
即


时,
BFACAE.
共面.
22
2

又BF

平面AEC,所以当F是棱PC的时,BF∥平面AEC.
解法二 当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下.
证法一 取PE的中点M,连结FM,则FM∥CE. ①
1
PEED,
知E是MD的中点.
2
连接BM、BD,设BD

AC=O，则O为BD的中点。
由
EM
所以BM∥OE。 ②
由①、②知,平面BFM∥平面AEC.
证法二
11
CPAD(CDDP)

22
1313
=
ADCDDEAD(ADAC)(AEAD)

2222
31
=
AEAC.

22
因为
BFBC
所以
BF
、
AE
、
AC
共面。
又BF

平面AEC,从而BF∥平面AEC。

7（广东18）
如图，在长方体
ABCDA
已知
AB4,AD3,AA
E,F
分别是线段
AB,BC
1
BC
11
D
1
中，1
2
，
上的点，且
EBFB1

(I)求二面角
CEDC
1
的正切值
A
1
D
F
A
E
B
D
1
C
1
B
1
C

(II)求直线
EC
1
与
FD
1
所成角的余弦值



18．解：（I）以A为原点，
A B,AD,AA
1
分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，
则有
D(0,3,0)、D
1
(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C
1
(4,3,2)
于是，
DE(3,3,0),EC
1
( 1,3,2),FD
1
(4,2,2)

设向量
n(x,y,z)
与平面C
1
DE垂直，则有
n DE


1

3x3y0


< br>xyz
x3y2z0

2
nEC
1


zzz
n(,,z)(1,1,2),其中z0
222
取n
0
(1,1,2),则n
0
是一个与平面C
1< br>DE垂直的向量,

向量AA
1
(0,0,2)与平面CDE垂直,
n
0
与AA
1
所成的角

为二面角CDEC
1
的平面角

cos


tan

n
0
AA
1
|n
0
||AA
1
|
2
2

101022
11400 4

6
3

（II）设EC
1
与FD
1
所成角为β，则
cos


EC
1
FD
1
|EC
1
||F D
1
|

1(4)3222
1
2
3
2
2
2
(4)
2
2
2
2
2

21
14


7（天津19）
如图 ，在四棱锥
PABCD
中，底面ABCD是正方形，侧棱
PD
底面ABC D，
PDDC
，E是
PC的中点，作
EFPB
交PB于点F。
(I)证明
PA∥
平面
EDB
；
P
(II)证明
PB
平面EFD；



(III)求二面角
C-PB-D
的大小。
F
E
D
C

(19)本小题考查直线一平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查 空间想象能力和
推理论证能力。
方法一：
(I) 证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。

P


F

E


C
D

O


底面ABCD是正方形，

点O是AC的中点
B
A< br>在
PAC
中，EO是中位线，
PA∥EO
。

而
EO
平面EDB且
PA
平面EDB，
所以，
PA∥
平面EDB。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
(II)证明：
PD
底在ABCD且
DC
底面ABCD，
PDDC.

DEPC
①
同样由
PD
底面ABCD，得
PDBC.


底面ABCD是正方形，有
DCBC,BC
平面PDC
而
DE
平面PDC，
BCDE.
② 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6
分
由①和②推得
DE
平面PBC
而
PB
平面PBC，
DEPB

又
EFP B
且
DEEFE
，所以
PB
平面EFD 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
(III)解：由(II)知，
PBDF
，故
EFD
是二面角
CPBD
的平面角
由(II)知，
DEEF,PDDB

设正方形ABCD的边长为
a
，则
PDDCa,BD2a,

PBPD
2
BD
2
3a
PCPD
2
DC
2
2a

DE
12
PCa.
22< /p>

在
RtPDB
中，
DF
.2a6
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
a
。
PB3
3a
在
RtEFD
中，
2a
DE3< br>
sinEFD
2
,EFD

DF23
6a
3
所以，二面角
CPBD
的大小为

.

3
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设
DCa.

z
(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。
aa
依题意得
A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,,)

22

底面ABCD是正方形，

G
是此正方形的中心，
aa

故点G的坐标为
(,,0)
且
22

aa

PA(a,0,a),EG(,0,).
x

22
 
PA2EG
。这表明
PA∥EG
。
P
F
E
D
G
A
B
C
y

而
EG
平面EDB且
PA
平面EDB，
PA∥
平面EDB。


aa
(II)证明：依题意得
B (a,a,0),PB(a,a,a)
。又
DE(0,,),
故
22

a
2
a
2
00

22
PBDE

由已知
EFPB
，且
EF DEE,
所以
PB
平面EFD。

(III) 解：设点F的坐标为
(x
0
,y
0
,z
0
),PF 

PB,
则
(x
0
,y
0
,z
0
a)

(a,a,a)

从而
x
0


a,y
0


a,z
0
(1

)a.
所以

aa11
FE(x< br>0
,y
0
,z
0
)(

a,(< br>
)a,(

)a).

2222


由条件
EFPB
知，
0,
即
222



a(

)a(

)a0,
解得


1
2
1
2
1
。
3
aa2a

点F的坐标为
(,,),
且
3 33

aaa

aa2a
FE(,,),FD (,,).

366333

a
2
a
2
2a
2
0.

333
即
P BFD
，故
EFD
是二面角
CPBD
的平面角。

a
2
a
2
a
2
a
2
,
且
91896

a
2
a
2
a
2
6
|FE|a,
936366

222

aa4a6
|FD|a,
9993



cosEFD

|FE|| FD|
a
2
6
66
a.a
63
1
.
2
EFD

3

所以，二面角
CPBD
的大小为

.

3
8．（上海21）
如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF
∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P- ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
(1) 证明：P-ABC为正四面体；
(2) 若PD=
1
PA, 求二面角D-BC- A的
2
大小；(结果用反三角函数值表示)
(3) 设棱台DEF- ABC的体积为V, 是
否存在体积为V且各棱长均相等的直
平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC
有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这
六面体,并给出证
样的一个直平行

明；若不存在,请说明理由.
21、【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.
又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体.
【解】(2)取BC的中点M,连拉PM,.
∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,
则∠DMA为二面角D- BC-A的平面角.
由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,
∴PM=AM=
3
,由D是PA的中点,得
2
AD33
,∴∠DMA=arcsin.

AM33
sin∠DMA=
(3)存在满足条件的直平行六面体.
棱台DEF- ABC的棱长和为定值6,体积为V.
1
,底面相邻两边夹角为α,
2
1
则该六面体棱长和为6, 体积为sinα=V.
8
设直平行六面体的棱长均为
∵正四面体P- ABC的体积是
22
,∴0 1212
故构造棱长均为
1
,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面 体即满足要求.
2
9．（北京16）
如图，在正三棱柱ABC=A
1
B
1
C
1
中，AB=3，AA
1
=4，M为AA< br>1
的中点，P是BC上一点，且由P沿棱
柱侧面经过棱CC
1
到M的最 短路线长为
29
，设这条最短路线
与CC
1
的交点为N，求：
（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（II）PC和NC的长；
（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用
反三角函数表示）。


本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱住等基本
知识，考查空间想象 能力、罗辑思维能力和运算能力。
解：（I）正三棱柱ABC－A
1
B
1< br>C
1
的侧面展开图是一个长为

9，宽为4的矩形，其对角线长为
9497
。
（II）如图1，将侧面BB
1
C
1C绕棱CC
1
旋转120°使其与侧面AA
1
C
1
C在 同一平面上，点P运动到
点P
1
的位置，连接MP
1
，则MP
1
就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC
1
到点M的最短路线。
22
设PC=x，则P
1
C=x在Rt△MAP
1
中，由匀股定理得(3+x)+ 2=29，
求得x=2.
∴PC=P
1
C=2.
∵
22
NC
P
1
C
2

，
MAP
1
A5
4

5
∴NC=
（III） 如图2，连接PP
1
，则PP
1
就是平面NMP与平面ABC
的交线 ，作NH⊥PP
1
于H，又CC
1
⊥平面ABC，连结CH，由三垂线
定理得，CH⊥PP
1
.
∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）.
在Rt△PHC中， ∵∠PCH=
∴CH=
1
∠PCP
1
=60°，
2
PC
=1
2
4
NC
5
4
在R t△NCH中，tg∠NHC=

，
CH15
故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctg

4
.
5
2005年全国及各地高考数学试题分类汇编
------------立体几何
（全国卷Ⅰ）（2）一个与球心距离为1的平面截球所得 的圆面面积为

，则球的表面积为
（A）
82

（B）
8

（C）
42

（D）
4


正
该
（4）如图，在多面体ABCDEF中， 已知ABCD是边长为1的
方形，且
ADE、BCF
均为正三角形，EF∥AB， EF=2，则
多面体的体积为
（A）
2

3
4

3





（B）
（D）
3

3
3

2
（C ）

（11）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
（A）18对 （B）24对 （C）30对
'

'
（D）36对
（16）在正方形
ABCDA
'
B'
C
'
D
'
中，过对角线
BD
的一个平面交< br>AA
于E，交
CC
'
于F，则
① 四边形
BFDE
一定是平行四边形
② 四边形
BFDE
有可能是正方形
③ 四边形
BFDE
在底面ABCD内的投影一定是正方形
④ 四边形
BFDE
有可能垂直于平面
BBD

以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号）
（18）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，< br>''
'
'
'
1
DAB90

,PA< br>底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M
2
是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
（全国卷Ⅱ）2．正方体ABCD—A1
B
1
C
1
D
1
中，P、Q、R分别是AB、 AD、B
1
C
1
的中点。那么，正
方体的过P、Q、R的截面图形是 （ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
12．将半径都为1的4个铅球完全装人形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为


（ ）
2626
A．
326
B．
2
C．
4
D．
4326

33
3
3
16．下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
④侧棱与底面所成的角都相等 ，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，
真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、
PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）设AB=
2
BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.

（全国卷Ⅲ）(4)设三棱柱ABC-A
1
B< br>1
C
1
的体积为V，P、Q分别是侧棱AA
1
、CC
1
上的点，且PA=QC
1
，
则四棱锥B-APQC的体积为
（A）
V
（B）
V
（C）
V
（D）
V

（11）不共面的四个定点 到平面

的距离都相等，这样的平面

共有
（A）3个 （B）4个 （C）6个 （D）7个
（18）(本小题满分12分)
在四棱锥V- ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面
V
三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．
D
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

A
B

（北京卷）（6）在正四面体P－ABC中，D，E，
AB， BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是
．．．
（A）BC平面PDF （B）DF⊥平面PA E
（C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC
（16）如图, 在直四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB
AD＝2，DC＝2
3
，AA
1
＝
3
，AD⊥DC，AC⊥
垂足未E，
（I）求证：BD⊥A
1
C；
（II）求二面角A
1
－BD－C
1
的大小；
（III）求异面直线 AD与 BC
1
所成角的大小．



（上海卷）11、有两个相同的直三棱柱，高为
1
6
1
4
1
3
1
2
VAD是正
C

F分别是
＝
BD,
2
，底面三角形的三边长分别为
3a, 4a,5a(a0)
。用
a
它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全 面积最小的是一个四棱柱，则
a
的取值范
围是__________。
17 、（本题满分12分）已知直四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
2
，底面ABCD是直角梯< br>形，A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线
BC
1与DC所成角的大小。（结果用反
三角函数值表示）
（天津卷）(4)设
、、

、

为平面，
m、n、l
为直线，则
m 

的一个充分条件是
(A)



,



l,ml
(B)



m,



,




(C)



,



,m


（19）（本小题满分12分）
(D)
n

,n

,m


如图，在斜三 棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，侧面
B< br>1
BCC
1
A
1
ABA
1
AC,AB AC,A
1
AA
1
Ba
，
与底面ABC所成的二面角 为
120

，E、F分别是棱
B
1
C
1
、 A
1
A
的中
点
（Ⅰ）求
A
1
A
与底面ABC所成的角
（Ⅱ）证明
A
1
E
∥平面
B
1
FC

（Ⅲ）求经过
A
1
、A、B、C
四点的球的体积
（福建卷）4．已知直线m、n与平面

,

，给出下列三个命题：
①若
m

,n

,则mn;

②若
m

,n

,则nm;

③若m

,m

,则



.

其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2
8．如图，长方体AB CD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=AB=2，
AD=1，点E、F、G分别是DD
1
、AB、CC
1
的中
点，则异面直线A
1
E与GF所成的角是（ ）


A．
arccos
15

5

D．3
（ ）
C．
arccos
10

5

20．（本小题满分12分）
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的 正方形，AE=EB，F为CE上的点，
且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.







4

D．
2
B．

（广东卷）（４）已知高为３的直棱锥
ABCA'B'C'
的底面是边长 为１的正三角（如图１所示），
则三棱锥
B'ABC
的体积为
A'
C'
（Ａ）

11
33
（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
42
64
B'
（７）给出下列关于互不相同的直线
m
、l
、
n
和平面

、

的四
个命题：
①若
m

，
l

A
，点
A m
，则
l
与
m
不共面；
②若
m
、l
是异面直线，
l

，
m

，且
nl
，
nm
，则
n

；
③若
l

，
m

，



，则
lm
；
④若
l

，
m

，lm
点
A
，
l

，
m
，则



．
其中为假命题的是
（Ａ）①（Ｂ）②（Ｃ）③（Ｄ）④
（１６）（本小题共14分）
如图３所示，在 四面体
PABC
中，已知
PABC6
，
PCAB10，
AC8
，
A
B
图1
C
P
PB2 34
．Ｆ是线段ＰＢ上一点，
15
34
，点Ｅ在线段ＡＢ上，且
EF PB
．
17
（Ⅰ）证明：
PB
平面ＣＥＦ；
CF
E
A
F
B
（Ⅱ）求二面角Ｂ－ＣＥ－Ｆ的大小．
（湖北卷）10．如图，在三棱柱ABC—A′B′C′
点E、F、H、 K分别为AC′、CB′、A′B、B′
的中点，G为△ABC的重心. 从K、H、G、B′中取一点作为P， 使
棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为 （ ）
A．K B．H C．G D．B′
12．以平行六面体ABCD—A′B′ C′D′的任意三个顶点为顶点作
形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为
（ ）
A．
C
中，
C′
得该
三角
367

385
B．
37619218
C． D．
385385385
20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=
3
，
BC=1，PA=2，E为PD的中点.
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.
（湖 南卷）5．如图，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，O是底面
A
1
B
1
C
1
D
1
的中心，则O到平面AB C
1
D
1
的距离为 （ ）
A．
3
1
B．
2
C．
2
D．
2
2
42
17．（本题满分12分）

如图1 ，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为
3
的等腰梯形，将它沿对称轴OO
1
折成直二面角，如图2.
（Ⅰ）证明：AC⊥BO
1
；
（Ⅱ）求二面角O－AC－O
1
的大小.




图1 图2
（江苏卷）4、在正三棱柱
AB CA
1
B
1
C
1
中，若AB=2，则点A到平面
A
1
BC
的距离为（ ）
A．
3333
B． C． D．
3

424
8、设

,

,

为两两不重合的平面，
l,m ,n
为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若



，



，则

||

；②若
m

，
n

，
m||

，
n||

，则

||

；③若

||

，
l

，则
l||

；
④若



l
，



m
，
< br>

n
，
l||

，则
m||n
。其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有 公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是
危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同 一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、
③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同 方法种数为（ ）
A．96 B．48 C．24 D．0
21、（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二 、第三小问满
S
分各4分）如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面
ABCDE ，SA=AB=AE=2，
BCDE3
，
A
E
BAEBC DCDE120
。
（1）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；
B
D
C

（2）证明：BC⊥平面SAB；
（3）用反三角函数值表示二面角B—SC—D的大小。（本小问不必写出解答过程）






（江西卷）9．矩形ABCD中，AB=4，B C=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，
则四面体ABCD的外接球的体积为 （ ）
A．
125125

B．


129
C．
125


6

D．
125


3
15．如图，在直 三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，
AB=BC=
2
，BB
1
=2，
ABC90
，
E、F分别为AA
1
、C
1
B
1
的中点，沿棱柱的 表面从E
到F两点的最短路径的长度为 .
20．（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
，中，AD=AA
1
=1，AB=2，点 E
AD上移动.
（1）证明：D
1
E⊥A
1
D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD
1
的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D
1
—EC—D的大小为
在棱

.
4






（辽宁卷）4．已知m、 n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四
个命
题：① 若
m

,m

,则



； ②若



,



,则


；


③若
m

,n

,mn,则



；
④若m、n是异面直线，
m

,m

,n

,n

,则




其中真命题是 （ ）
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
14．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，
A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .

17．（本小题满分12分）
已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，
△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的
球面上，求△ABC的边长.

（浙江卷）6．设

、

为两个不同的平面，l、m为 两条不同的直线，且l


，m


，有如下
的两 个命题：
①若

∥

，则l∥m；②若l⊥m，则
⊥

．
那么
(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题
(C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题
12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起， 使二面
角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所 成角的大
D
小等于_________．
C

M

N


E
AB

18．如图，在三棱锥P－ABC 中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP
⊥底面ABC．
(Ⅰ)当k＝
1
时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
2
(Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
P








A
O




D
C
B