成人高考现场确认-趣味灯谜

2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(–3,1) B．(–1,3) C．(1,+∞) D．(–∞,–3)
2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}，则A∪B=( )
A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{–1,0,1,2,3}
3、已知向量a=(1,m)，b=(3,–2)，且(a+b)⊥b，则m=( )
A．–8 B．–6 C．6 D．8
4、圆x+y–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1，则a=( )
43
A．– B．– C．3 D．2
34
5、如下左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者
活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
22
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π B．24π C．28π D．32π
π
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
12
kππkππkππkππ
A．x=–(k∈Z) B．x=+(k∈Z) C．x=–(k∈Z) D．x=+(k∈Z)
2626 212212
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程 序框图，若输入
的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=( )
A．7 B．12 C．17 D．34
π3
9、若cos(–α)=，则sin2α= ( )
45
7117
A． B． C．– D．–
255525
10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x
1
，x< br>2
，…，x
n
，y
1
，y
2
，…，y
n
，构成n个数对(x
1
,y
1
)，(x
2
,y
2
)，…，(x
n
,y
n
)，

其中 两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
4n2n4m2m
A． B． C． D．
mmnn
xy1
11、已知F
1
、F
2
是双 曲线E：
2
–
2
=1的左，右焦点，点M在E上，MF
1
与 x轴垂直，sin∠MF
2
F
1
=,则E的离
ab3
心率为 ( )
3
A．2 B． C．3 D．2
2
12、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=< br>(x
2
,y
2
)，...(x
m
,y
m)，则
x+1
与y=f(x)图像的交点为(x
1
,y
1
)，
x
22

(xy)
( )
ii
i1
m
A．0 B．m C．2m D．4m
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
45< br>13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ___________．
513
14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。 (2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。
(3)如果α∥β，m?α，那么m∥β。
(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。
其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。
15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说 ：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1” ，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________． 16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__ ________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本 题满分12分)S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，且a
1
=1，S
7
=28。记b
n
=[lga
n
]，其中[x] 表示不超过x
的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
(1)求b
1
，b
11
，b
101
；
(2)求数列{b
n
}的前1 000项和．
18、(本题满分12分)某 险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的
本年度的保费与其上 年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次
数
保费
0
0.85
a
1 2 3 4 ≥5
a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]
一年内出险次0 1 2 3 4 ≥5

数
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19、(本小题满分12分)如图，菱 形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD
5
上，AE=CF=，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=10．
4
(1)证明：D'H⊥平面ABCD；
(2)求二面角B–D'A–C的正弦值．
xy
20、(本小题满分12分)已知椭圆E：+=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率 为k(k>0)的直线交E
t3
于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
x–2
xx
21、( 本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=e的单调性，并证明当x>0时，(x–2)e+x+2>0；
x+2
e–ax–a
(2)证明：当a∈[0,1)时，函数g(x)=(x>0)有 最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值
2
x
域．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在 边DA，DC上(不
与端点重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
(1) 证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为 (x+6)+y=25．
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

x=tcosα
(2)直线
l
的参数方程是

(t为参数)，
l
与C交于A，B两点，|AB|=10，求
l
的斜率．

y= tsinα
22
x
22
11
24、(本小题满分10分)[选修4– 5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x–|+|x+|，M为不等式f(x)<2的解集．
22
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．
参考答案
1、解析：∴m+3>0，m–1<0，∴–32、 解析：B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}={x|–13、解析： 向量a+b=(4,m–2)，∵(a+b) ⊥b，∴(a+b)·b=10–2(m–2)=0，解得m=8，故选D．
|a+4–1|
2222
4、解析：圆x+y–2x–8y+13=0化为标准方程为：(x–1)+(y–4)=4， 故圆心为(1,4)，d==1，
2
a+1

4
解得a=–，故 选A．
3
5、解析一：E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=1 8种走法，故选B．
解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C
2
条路 ，再从F处到G处最短共有C
1
条路，则小明
43
到老年公寓可以选择的最短 路径条数为C
2
·C
1
=18条，故选B。
43
6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为
l
，圆柱高为h．
1222
由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：
l
=2+(23)=4 ，S
表
=πr+ch+c
l
=4π+16π+8π=28π，故选C． 2
πππ
7、解析：由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位得y=2si n2(x+)=2sin(2x+)，则平移后函
12126
πππkπ
数的对称轴为 2x+=+kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z，故选B。
6262
8、解析：第一次运算：s =0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17，故选C．
π3π7
2
π
9、解析：∵cos(–α)=，sin2α=cos(–2α)=2 cos(–α)–1=，故选D．
452425
π3
解法二：对cos(–α)=展开后直接平方
45
解法三：换元法
10、解析：由题意得：(x
i
,y
i
)(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴
影 中
由几何概型概率计算公式知
π4m4m
=，∴π=，故选C．
1nn< br>22
3
F
1
F
2
F
1
F
2
sinM
11、解析： 离心率e=，由正弦定理得e====2．故选A．
MF< br>2
–MF
1
MF
2
–MF
1
sinF
1
–sinF
2
1
1–
3
x+11
12、解析： 由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y==1+也关于(0,1)对称，
xx
∴对于每一组对称点x
i
+x'
i
=0，y
i
+y'
i
=2，
∴


x
i
y
i



x
i


y
i
02
i1i1i1
mmm
m
m
，故选B．
2
4531263
13、解析：∵cosA=，cosC=，sinA=，sinC=，∴s inB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=，
51351365
由正弦定理：
ba21
=，解得b=．
sinB sinA13
14、解析：对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误； 对于②，因为
n

，
所以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c，则n∥c ，因为m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，
由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由 线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.
15、解析：由题意得：丙不拿(2, 3)，若丙(1,2)，则乙(2,3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)

不满足；故甲(1,3)，
1
16、解析：y=lnx+2的切线为 ：y=·x+lnx
1
+1(设切点横坐标为x
1
)
x
1
11
=

xx+1
1x
y=ln(x+1)的切线为：y= ·x+ln(x+1)–，∴


x
x+1x+1

lnx +1=ln(x+1)–
x+1
2
12
2
22
2
1 2
2
11
解得x
1
=，x
2
=–。∴b=lnx< br>1
+1=1–ln2．
22
a
4
–a
1
1 7、解析：(1)设{a
n
}的公差为d，S
7
=7a
4
= 28，∴a
4
=4，∴d==1，∴a
n
=a
1
+(n–1 )d=n．
3
∴b
1
=[lga
1
]=[lg1]=0， b
11
=[lga
11
]=[lg11]=1，b
101
= [lga
101
]=[lg101]=2．
(2)记{b
n
}的前 n项和为T
n
，则T
1000
=b
1
+b
2
+...+b
1000
=[lga
1
]+[lga
2
]+ ...+[lga
1000
]．
当0≤lga
n
<1时，n=1， 2，...，9；当1≤lga
n
<2时，n=10，11，...，99；当2≤lgan
<3时，n=100，101，...，
999；
当lga
n
=3时，n=1000．∴T
1000
=0×9+1×90+2×900+3×1=1893 ．
18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P(A)=1–P(A)=1–(0. 30+0.15)=0.55．
P(AB)0.10+0.053
(2)设续保人保费比基本 保费高出60%为事件B，P(B|A)===．
P(A)0.5511
⑶解：设本年度所交保费为随机变量X．
X 0.85
a
P 0.30 0.15
a 1.25
a
0.20 0.20
1.5a 1.75
a
0.10 0.05
2a
平 均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a× 0.10+2a×0.05=1.23a，
∴平均保费与基本保费比值为1.23．
5AECF
19、解析：(1)证明：如下左1图，∵AE=CF=，∴=，∴EF∥AC．
4ADCD
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥ D'H．
AE
222
∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO⊥OB，∴OB= 4，∴OH=·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|=|OH|+|D'H|，∴D'H
AO
⊥OH．
又∵OH∩EF=H，∴D'H⊥面ABCD．
5515
(2) 方法一、几何法：若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=，AD=AB=5，∴DE= 5–=，
444
DEEHDH154399
∵EF∥AC，∴====，∴EH=， EF=2EH=，DH=3，OH=4–3=1，
ADACOD5442
∵HD’=DH=3 ，OD’=22，∴满足HD’=OD’+OH，则△OHD’为直角三角形，且OD’⊥OH，
即OD’⊥底面ABCD，即OD’是五棱锥D’–ABCFE的高．
222

9
(+6)×1
2
1(EF+AC)·OH12169
底面五边形的 面积S=×AC·OB+=×6×4+=12+=，
222244
1169232
则 五棱锥D’–ABCFE体积V=S·OD’=××22=．
3342
方法二、向量法。建立 如下左2图坐标系H–xyz．B(5,0,0)，C(1,3,0)，D'(0,0,3)，A(1,–3,0 )，
∴向量AB=(4,3,0)，AD'=(–1,3,3)，AC=(0,6,0)，



n
1
·AB=0

4x+3y=0

设面ABD'法向量n
1
=(x,y,z)，由得，取

y=– 4
，∴n
1
=(3,–4,5)．

n
1
·AD '=0

–x+3y+3z=0


z=5
同理可得面AD 'C的法向量n
2
=(3,0,1)，
|n
1
·n
2||9+5|75295
∴|cosθ|===，∴sinθ=。
|n
1
||n
2
|
52·10
2525
xy
20、解析：(1) 当t=4时，椭圆E的方程为+=1，A点坐标为(–2,0)，则直线AM的方程为y=k(x+2)．
43
联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+4k)x+16kx+16k–12=0。
8k–68k–612
22
解得x=–2或x=–1+k·
2
，则| AM|=1+k|–
2
+2|=
2
。
3+4k3+4k3+4k< br>∵AM⊥AN，∴|AN|=
1
2
1212
2
1+(–)·= 1+k·。
k1
2
4
3+4·(1–)3|k|+
k|k|
2
22
2222
22
x=3
∵|AM|=|AN|，k>0，∴1 +k·
1212
22
，整理得(k–1)(4k–k–4)=0，
2
=1+k·
3+4k4
3k+
k
4k–k+4=0无实根，∴k=1． < br>112
2
144
2
1
所以△AMN的面积为|AM|=(1+ 1·)=．
223+449
(2)直线AM的方程为y=k(x+t)，
ttk– 3t
联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+tk)x+2ttkx+tk–3t=0。解得x=– t或x=–，
2
3+tk
22222
2
2
ttk–3t6 t6t
22
∴|AM|=1+k|–+t|=1+k·1+k·
22
，∴| AN|=
3+tk3+tkt
3k+
k
2
2
6t6t6k– 3k
2
∵2|AM|=|AN|，∴2·1+k·1+k·，整理得，t=
3
．
2
=
3+tktk–2
3k+
k
2
2
6k–3k(k+1)(k–2)
3
∵椭圆E的焦点在x轴，∴t>3，即
3
>3，整理得<0，解得23
k–2k–2
x–2
x
4 xe
x
x–2
21、解析：(1)证明：f(x)=e，∴f'(x)=e(+
2
)=
2
。
x+2x+2(x+2)(x+2)
∵当x∈(–∞ ,–2)∪(–2,+∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。
2x
22

x–2
xx
∴x>0时，e>f(0)=– 1，∴(x–2)e+x+2>0。
x+2
x–2
x
(x+2)(·e+a )
x+2
(e–a)x–2x(e–ax–a)x(xe–2e+ax+2a)
(2) g'(x)===，a∈[0,1)。
443
xxx
x2xxx
x–2< br>x
t–2
t
由(1)知，当x>0时，f(x)=e的值域为(–1,+∞)， 只有一解．使得·e=–a，t∈(0,2]。
x+2t+2
当x∈(0,t)时g'(x )<0，g(x)单调减；当x∈(t,+∞)时g'(x)>0，g(x)单调增
t–2
t t
e+(t+1)·e
t
t+2
e–a(t+1)e
h(a)=== 。
22
ttt+2
t
ee(t+1)1e
记k(t)=，在t∈( 0,2]时，k'(t)=
2
>0，∴k(t)单调递增，∴h(a)=k(t)∈(,]．
t+2(t+2)24
DFCF
22、解析：(1)证明：∵DF⊥CE，∴Rt△D EF∽Rt△CED，∴∠GDF=∠DEF=∠BCF，=。
DGBC
DFCF
∵ DE=DG，CD=BC，∴=。∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG。
DGBC
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180° ．∴B，C，G，F四点共圆．
(2)∵E为AD中点，AB=1，
1111
∴D G=CG=DE=，∴在Rt△GFC中，GF=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，∴S
四边形BCGF
=2S
△BCG
=2××1×=．
2222
23、解：(1)整理圆的方程得x+y+12x+11=0，
由ρ=x+ y、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ+12ρcosθ+11=0．
(2)记直线的斜率为k，则直线的方程为kx–y=0，
|–6k|
由垂径定理及 点到直线距离公式知：=
2
1+k
10
2
36k9015
2
5
25–()，即
2
=，整理得k=，则k=±．
21+k433
2
2222
22
tt2
11111111
24、解析：(1 )当x<–时，f(x)=–x–x–=–2x，若–122222222
11
恒成立；当x>时，f(x)=2x，若f(x)<2，22
(2)当a，b∈(–1,1)时，有( a–1)(b–1)>0，即ab+1>a+b，则ab+2ab+1>a+2ab+b，则(ab+1)>(a +b)，
即|a+b|<|ab+1|，
证毕．
222222222222