党员宣誓词-中学德育工作总结

2019
年宁夏银川一中高考数学二模试卷（理科）（全国）

一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
1.

如果复数

（
a
∈
R
，
i
为虚数单位）的实部与虚部相等，则
a
的值为（ ）

9.

已知
α
是第二象限角，且


，
则
的值为（ ）

A.




B.




C.




D.




10.

已知函数
f
（
x
）
=

，则
y=f
（
x
）的图象大致为（ ）
A.
1

B.


C.
3

D.


A.

a
2.

若
A={0
，
1
，
2}
，
B={x=2
，
a
∈
A}
，则
A
∪
B=
（ ）
A.

1
，


B.

1
，
2
，


C.

1
，
2
，


D.

2
，


3.

向量

，

，


，

，若

，


的夹角为钝角，则
t
的范围是（ ）
B.

C.

D.

A.




B.




C.


且



D.


2
11.

已知抛物线
x
=4y
焦点为
F
，经过
F
的直线交抛物线与
A
（
x
1
，< br>y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），点
A
、
B
在抛物线
22
4.

直线
kx-2y+1=0
与圆
x
+
（
y-1
）< br>=1
的位置关系是（ ）
A.
相交
B.
相切
C.
相离
D.
不确定
5.

有
6
名男医生、
5
名女医生，从中选出
2
名男医生、
1
名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有
（ ）
A.
60
种
B.
70
种
C.
75
种
D.
150
种
6.

已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（ ）
准 线上的投影分别为
A
1
，
B
1
，以下四个结论：①
x
1
x
2
=-4
，②
|AB|=y
1
+y
2
+1
，③







，④
AB
的中
点到抛物线的准线的距离的最小值为
2，其中正确的个数为（ ）
A.
1

B.
2

C.
3

12.

已知函数
f
（
x
）
=




D.
4







，
x
∈（
0
，
+∞
），当
x
2
＞
x
1
时，不等式






＜
0
恒成立，则实数
a
的取
值范围为（ ）
A.




B.




C.







D.







二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
533
13.

（
x+y
）（
2x-y
）
的展开式中
xy
的系数为
______
．（用数字填写答案）
14.

在锐角△
ABC
中，
a
，
b，
c
分别为角
A
，
B
，
C
所对的边， 且


a=2csinA
，
c=


，且△
ABC
的面积为



，

A.




B.







C.




D.




7.

下列函数中最小正周期是
π
且图象关于直线
x=

对称的是（ ）
A.





B.





C.







D.





8.

我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万
世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现
将该木棍依此规律截取，如图所 示的程序框图的功能就是计算截取
20
天
后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处 可分别填入的是（ ）
A.




B.




C.




D.












则
a+b=______
．
15.

如图所示：有三根针 和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片
从一根针上全部移到另一根针上．
（
1
）每次只能移动一个金属片；
（
2
）在每次移动过程 中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上
面．将
n
个金属片从
1< br>号针移到
3
号针最少需要移动的次数记为
f
（
n
）；
①
f
（
3
）
=______
；
②
f
（
n
）
=______
．
C1
，
0
）16.

一个四面体的顶点在空间直角坐标系
O-xyz
中的坐标分别是

，

，


，（
0
，，



，

，

，



，

，


，则该四面体的外接球的体积为
______
．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
17.

设数列
{a
n
}
满足
a
n
+1
=




，
a
1
=4
（
1
）求证
{a
n
-3}
是等比数列，并求
a
n
；
（
2
） 求数列
{a
n
}
的前
n
项和
T
n
．







第1页，共9页

18.

为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构 组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科
学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图







21.

已知函数




，






，（
a
∈
R
）．

（
1
）根 据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩
u
0
；（精确到个位） < br>2
（
2
）研究发现，本次检测的理科数学成绩
X
近似服从正态 分布
N
（
u
，
σ
）（
u=u
0
，
σ
约为
19.3
），按
以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招 生分数要求的同学约占
40%
．
（
i
）估计本次检测成绩达到自主 招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）
（
ii
）从该市高三理 科学生中随机抽取
4
人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为
Y
，求
Y
的分布列及数学期望
E
（
Y
）．
（说明：
P

＞








表示
X
＞
x
1
的概率．参考数据
φ
（
0.7257
）
=0.6
，
φ
（
0.6554
）
=0.4
）
（
1
）讨论函数
f
（
x
）的单调性；
（
2
）若函数
g
（
x
）有两个极值点，试判断函数
g
（
x
）的零点个数．







22
x
轴正方向为极轴，
C
2
的方程 为
x+y=3
，
22.

以直角坐标系原点
O
为极 点，已知曲线
C
1
的方程为（
x-1
）
+y=1
，
C
3
是一条经过原点且斜率大于
0
的直线．
（
1
）求
C
1
与
C
2
的极坐标方程；
（2
）若
C
1
与
C
3
的一个公共点为
A
（异于点
O
），
C
2
与
C
3
的一 个公共点为
B
，求
|OA|-

的取值范围．







23.

（
1
）已知
a
，
b
，
c
均为正实数，且
a +b+c=1
，证明






；
（
2
）已知
a
，
b
，
c
均为正实 数，且
abc=1
，证明











．

















PA
⊥矩形
ABCD
所在平面，
PA=AD
，
M
、
N
分别是
AB
、
PC
的中点． 19.

如图，
（
1
）求证：
MN
⊥平面
PCD
；
（
2
）若直线
PB
与平面
PCD
所成角的正弦值为

，求二面角
N-MD-C
的


正弦值．










20.

动点
M
（
x
，
y
）满足
















．
（
1
）求
M
的轨迹并给出标准方程；



且
1
＜
λ
＜
2
，求
k
的取（
2
）已知



，

，直线
y=kx-



k
交
M
的轨迹于
A
，
B
两点，设



值范围．

第2页，共9页

答案和解析

1.
【答案】
D
【解析】
故
选
：
A
．

根据直
线过圆
内的定点（
0
，）可得．

解：复数
==
，复数的
实
部与虚部相等，所以本
题
考
查了直
线
与
圆
的位置关系，属中档
题
．

5.
【答案】
C
【解析】
2
解：根据
题
意，先从
6
名男医生中
选
2
人，有
C
6
=15
种
选
法，

1
再从
5
名女医生中
选
出
1
人，有
C
5
=5
种
选法，

1-a=-2a+1
，解得
a=-3
，

故
选
：
D
．

求出复数的代数形式，根据复数的< br>实
部与虚部相等列出方程，解方程即可得到
a
的
值
．

本
题
考
查
了复数的代数形式的乘除运算，考
查计
算 能力，属于基
础题
．

2.
【答案】
C
【解析】
a
解：
∵
A={0
，
1
，
2}
，
B={x=2
，
a
∈
A}=
（
1
，
2
，
4
），
则
A
∪
B=
（
0< br>，
1
，
2
，
4
）

则
不同的
选
法共有
15×5=75
种；

故
选
：
C
．

根据
题
意，分2
步分析，先从
6
名男医生中
选
2
人，再从
5
名女医生中
选
出
1
人，由
组
合数公式
故< br>选
：
C
．

依次求出每一步的情况数目，由分步
计< br>数原理
计
算可得答案．

求出
A
，
B
，由此利用并集的定
义
能求出
A
∪
B
．

本
题
考
查
分步
计
数原理的
应
用，注意区 分排列、
组
合的不同．

本
题
考
查
并集的 求法，是基
础题
，解
题时
要
认
真
审题
，注 意并集性
质
的合理运用．

3.
【答案】
C
【解析】
6.
【答案】
B
【解析】
解：
∵
∴
∴
∴
与
；

的
夹
角
为钝
角；

，且
；

，且
t≠-6
．

不平行；

解：几何体
为
四棱
锥
P-ABCD
，
PA
⊥
平面
AB CD
，

底面
ABCD
为
直角梯形，
AD
∥
BC
，
AB
⊥
BC
，且
PA=AB=BC=2< br>，
AD=4
．

∴
S
△
PAD
=< br>S
梯形
ABCD
=
=4
，
S
△
PA B
=
=6
，

=2
，

故
选
：
C
．

可先求出
得出
，根 据，的
夹
角
为钝
角即可得出，且不平行，从而
由
PA
⊥
平面
ABCD
可得
PA
⊥
BC
，
PA
⊥
CD
，

又
BC
⊥
AB
，PA∩AB=A
，故
BC
⊥
平面
PAB
，于是
BC
⊥
PB
，

，

∵
PA=AB=2< br>，故
PB=2
∴
S
△
PBC
=
连
接
AC
，
则
AC=2
=2
，

，解出
t
的范
围
即可．

，
∠
CAD=
∠
BAC=45°
，

=2
222
，
∴
AC
+CD=AD
，
< br>考
查
向量数量
积
的
计
算公式，向量
夹
角的概念，向量坐
标
的数量
积
运算，以及平行向量的坐
标
关系．

4.
【答案】
A
【解析】
∴
CD=< br>∴
CD
⊥
AC
，又
CD
⊥
PA
，< br>PA∩AC=A
，

∴
CD
⊥
平面
PAC< br>，于是
CD
⊥
PC
，

）＜
1
，

2
解：因
为
直
线kx-2y+1=0
过
定点（
0
，），且
0+
（
所以点（
0
，）在
圆
内，故直
线
与
圆
恒 相交．

又
PC==2
，
∴
S
△
PCD< br>=
+2=12+2
=2
+2
．

．

故四棱
锥
的表面
积为
S=4+2+6+2
第3页，共9页

故
选
：
B
．

作出直
观图
，根据三
视图
中的尺寸
计
算各个面的面
积
．

则
tan2α=
故
选
：
C
．

==-
．

本
题
考
查
了棱
锥的三
视图
与表面
积计
算，属于中档
题
．

7.
【答案】
B
【解析】
根据
诱导
公式由已知 的等式求出
sinα
的
值
，然后由
α
是第二象限角得到cosα
小于
0
，利用同角
三角函数
间
的基本关系即可 求出
cosα
的
值
，
进
而求出
tanα
的
值
，把所求的式子利用二倍角的正
=4π
，不
满
足条件．< br>
切函数公式化
简
后，把
tanα
的
值
代入 即可求出
值
．

解：
C
的周期
T=
当x=
时
，
A
，
y=2sin
（
2×+=2si nπ=0≠±2
，

此
题
考
查
学生灵活运用
诱导
公式及同角三角函数
间
的基本关系化
简
求
值
，灵活运用二倍角的
B
．
y=2sin
（
2×-
）
=2sin=2
，

正切函数公式化
简
求
值
，是一道基
础题
．

D
．
y=2sin
（
2×-=2sin≠±2
，

故
满
足条件的是
B
，

故
选
：
B
．

则
g′
（
x
）
=
根据函数的周期性和
对
称性分
别进
行判断即 可．

∴
g
（
x
）在（
-1
，
0
）上
为
增函数，在（
0
，
+∞
）上
为减函数

本
题
主要考
查
三角函数的
图
象和性
质
，利用
对
称性和周期性的定
义
和公式是解决本题
的关
键
．

8.
【答案】
D
【解析】
10.
【答案】
B
【解析】
解：
设


∴
g
（
x
）＜
g
（
0
）
=0
∴
f
（
x
）
=
＜
0
解：由题
意可得：由
图
可知第一次剩下，第二次剩下
可得
①
为
i≤20
？

，
…
由此得出第
20
次剩下，

得：
x< br>＞
0
或
-1
＜
x
＜
0
均有
f
（
x
）＜
0
排除
A
，
C
，
又
f
（
x
）
=
故
选
：B
．

中，，能排除
D
．

②
s=
，

③
i=i+1
，

故
选
：
D
．

由
图
可知第一次剩下，第二次剩下
答案．

本
题< br>考
查
了程序框
图
的
应
用
问题
，程序 填空是重要的考
试题
型，准确理解流程
图
的含
义
是解
题
的关
键
，属于基
础题
．

9.
【答案】
C
【解析】
考
虑
函数
f
（
x
）的分母的函数
值
恒小于零，即可排除
A
，< br>C
，由
f
（
x
）的定
义
域能排除
D
，
这
一性
质
可利用
导
数加以
证
明

，
…
由此得出第
20
次剩下，
结
合程序 框
图
即可得出
本
题
主要考
查
了函数解析式与函数< br>图
象
间
的关系，利用
导
数研究函数性
质
的< br>应
用，排除法解
图
象
选择题
，属基
础题

11.
【答案】
C
【解析】
2
解：抛物
线x=4y
焦点
为
F
（
0
，
1
），准< br>线
方程
为
y=-1
，

可
设过
F< br>的直
线
方程
为
y=kx+1
，

2
代入抛物
线
方程可得
x-4kx-4=0
，
< br>解：由
sin
（
π+α
）
=-sinα=-
，得到< br>sinα=
，又
α
是第二象限角，

所以
cosα=-=-
，
tanα=-
，

第4页，共9页

即有
x
1
+x
2
=4k
，
x
1
x
2
=-4
，

|AB|=y
1
+y
2
+2
；

AB的中点
纵
坐
标为
（
y
1
+y
2
）
=[k
（
x
1
+x
2
）
+2]=1+ 2k
2
，

AB
的中点到抛物
线
的准
线< br>的距离
为
2k
2
+2
，
k=0
时
， 取得最小
值
2
；

由
F
（
0
，< br>1
），
A
1
（
x
1
，
-1
），
B
1
（
x
2
，
-1
），

可得
k
即有
•k=
，

•==-1
，

∴
．

故
选
：
D
．

x2
根据
题
意可得函数
g
（
x
）
=xf
（
x
）=e-ax
在
x
∈
（
0
，
+∞
）时
是
单调
增函数，求
导
，分离参数，构造函
数，求出最
值
即可

本
题
考
查
了函数的
单调
性
问题
，考
查
函数恒成立
问题
，考
查转< br>化思想，考
查导
数的
应
用，属于
中档
题
．< br>
13.
【答案】
40
【解析】
综
上可得
①③④
正确，
②
错误
．

故
选
：
C
．

求得人品微信的焦点和准
线
方程，
设过
F
的直
线
方程
为
y=kx+1
，
联
立抛物
线
方程，运用
韦
达定
理，以及 弦
长
公式，以及中点坐
标
公式，两直
线
垂直的条件：斜率之
积为
-1
，二次函数的最
值
求
法，即可判断．
< br>本
题
考
查
抛物
线
的定
义
和方程、性
质
，考
查联
立直
线
方程和抛物
线
方程，运 用
韦
达定理，以及
解：由（
2x-y
）的展开式的通
项为< br>T
r+1
=
55-rr
（
2x
）（
-y），

则
（
x+y
）（
2x-y
）
5
的展开式中
x
3
y
3
的系数
为
-
故答案
为
：
40
．

2
2
+=40
，

由二
项
式定理及分类讨论
思想得：（
2x-y
）的展开式的通
项为
T
r+ 1
=
533
（
2x-y
）的展开式中
xy
的系数< br>为
-
5
（
2x
）（
-y
），
则（
x+y
）
5-rr
2
2
+=40
，得解．< br>
本
题
考
查
了二
项
式定理及分
类讨 论
思想，属中档
题
．

直
线
的斜率公式的运用，考
查
化
简
运算能力，属于中档
题
．

12.
【答案】
D
【解析】
14.
【答案】
5
【解析】
解：
∵
x
∈
（
0
，
+ ∞
），

∴
x
1
f
（
x
1
）＜
x
2
f
（
x
2
）．

x2
即函数
g
（
x
）
=xf
（
x
）< br>=e-ax
在
x
∈
（
0
，
+∞
）< br>时
是
单调
增函数．

解：
∵
a=2csin A
，
∴
=
sinA=2sinCsinA
，
∴
si nC=
ab=
，
∴
ab=6
．

．
∵
S
△
ABC
=
∵△
ABC
是
锐角三角形，
∴
cosC=
，

由余弦定理得：
cosC=
解得
a+b=5
．

故答案
为
：
5
．

===
，
< br>则
g′
（
x
）
=e
x
-2ax≥0
恒成立．

∴
2a≤
令
则
，

，

利用正弦定理将
边
化角求出
sinC
，根据面
积
公 式求出
ab
，代入余弦定理得出（
a+b
）的
值
．

，

本
题
考
查
了正弦定理，余弦定理，三角形的面
积
公式，属于中档
题
．

x
∈
（
0
，
1
）
时
m'
（
x
）＜
0，
m
（
x
）
单调递
减，

x
∈
（
1
，
+∞
）
时
m'
（
x）＞
0
，
m
（
x
）
单调递
增，

∴
2a≤m
（
x
）
min
=m
（1
）
=e
，

第5页，共9页
15.
【答案】
7 2
n
-1
【解析】