天津外国语大学排名-悄悄的提醒

2020
年河北省衡水市武邑中学高考数学一模试卷（二）

一、选择题（本大题共
12
小题，共
60.0
分）
B，
C
满足
A={x|
＞
1}
，
B={y|y= 2
x
，
x
∈
C}
，
1.

知集合
A
，
若
A∩B=A
∪
B
，则集合
C=（ ）
A.
{x|0
＜
x
＜
1}

A.
第一象限
B.
{x|x
＞
0}

B.
第二象限
C.
{x|x
＜
0}

C.
第三象限
D.
{x|x
＞
1}

D.
第四象限
2.

在复平面内，复数
z
满足
z
（
1-i
）
=2
，则
z
的共轭复数对应 的点位于（ ）
3.

如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是（ ）


A.

B.

C.

D.

4.

函数的图象大致为（ ）
A.

B.

C.

D.

5.

函数
y=log
a
（
x+3
）-1
（
a
＞
0
且
a≠1
）的图象恒过定点A
，若点
A
在直线
mx+ny+1=0
上，其中
mn< br>＞
0
，则的最小值为（ ）

D.
3
B，
C
的对边分别别为
a
，
b
，
c
，< br>=c
．
a=1
，6.

已知△
ABC
的内角
A
，且
2cosC
（
acosB+bcosA
）
b =3
则
c=
（ ）
A.
6

B.
7

C.

D.
9

7.

《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”
其大意：“ 已知直角三形两直角边分别为
5
步和
12
步，问其内切圆的直径为多
少？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）
第1页，共16页
A.
3-2

B.
5

C.

A.

B.

C.

D.

8.

已知函数
f
（
x
）
=2 sin
（
ωx+φ
）（
0
＜
ω
＜
l
，
|φ|
＜）的图象经过点（
0
，
1
），且关
于 直线
x=
对称，则下列结论正确的是（ ）
A.
f
（
x
）在
[
，
]
上是减函数
B.
若
x=x
0
是
f
（
x
）的 一条对称轴，则一定有
f'
（
x
0
）
≠0

C.
f
（
x
）
≥1
的解集是
[2kπ< br>，
2kπ+]
，
k
∈
Z

D.
f
（
x
）的一个对称中心是（
-
，
0
）
9.

从
1
，
2
，
3
，
4
，
5
中任取
5
个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位 数
是偶数的概率是（ ）
A.

B.

C.

D.

10.

一个正三棱锥
(
底面 积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心
)
的四
个顶点都在半径为的球 面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的
体积是（

）
A.

B.

C.

D.

的左、右焦点，点
P
在双曲线
C
11.

设
F
1
、
F
2
分别为双曲线
的右支上，若∠
PF< br>1
F
2
=30°
，∠
PF
2
F
1< br>=60°
，则该双曲线的离心率为（ ）

B.

C. D.
12.

对于任意的实数
x
∈
[1< br>，
e]
，总存在三个不同的实数
y
∈
[-1
，
5]
，使得
y
2
xe
1-
y
-ax- lnx=0
成立，则实数
a
的取值范围是（ ）
A.
A.
（
]

B.
[
）
C.
（
0
，
]

D.
[
）
二、填空题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）
13.

向量
14.

在（
-1
）（，，若向量，共线，且，则
mn
的值为
______
．
+1
）
5
的展开式中常数项等于
______
．
15.

数列
{a
n
}
满足
a
1
=1
，
a
n
+1
=2a
n
+1
， （
n
∈
N*
），则数列
{a
n
}
的前n
项和
S
n
=______
．
16.
已知在直三棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
中，∠
BAC=120°
，
AB=AC=AA
1
=2
，若棱
AA
1
在正视图的投影面
α
内，且
AB
与
投影面
α
所成角为
θ
（
30°≤θ≤60°
）．设正视图的面积为
m
，
侧视图的面积为
n
，当
θ
变化时，
m n
的最大值是
______
．
三、解答题（本大题共
7
小题，共
82.0
分）
17.

在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知< br>b=c
（
2sinA+cosA
）．
（Ⅰ）求
sinC
；
（Ⅱ）若



第2页，共16页
，，求△
ABC
的面积．

18.

如图，在四棱锥
P-ABCD中，底面
ABCD
是边长为
2
的菱形，∠
DAB=60°
，∠
ADP=90°
，
平面
ADP
⊥平面
ABCD
，点
F
为棱
PD
的中点．
（Ⅰ）在棱
AB
上是 否存在一点
E
，使得
AF
∥平面
PCE
，并说明理由； < br>（Ⅱ）当二面角
D-FC-B
的余弦值为时，求直线
PB
与平面
ABCD
所成的角．








19.

有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数 的影响，从一季
度中随机选取
5
天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：
C
）

气温
x
（
°
热奶茶销售杯数
y

0

150

4

132

12

130

19

104

27

94

（Ⅰ）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程=x
（精确到
0.1
），若某
C
，预测这天热奶茶的销售杯数； 天的气温为
15°
（Ⅱ）从表中的
5
天中任取一天，若已知所选取该天的热奶 茶销售杯数大于
120
，
求所选取该天热奶茶销售杯数大于
130
的 概率．
132+12×130+19×104+27×94=6602
． 参考数据：
4
2
+12
2
+19
2
+27
2
=12 50
，
4×
参考公式：
=







20.

已知椭圆的离心率，在椭圆上．
，
=
．
（
1
）求椭圆
C
的标准方程；
（
2
）若不过原点
O
的直线
l
与椭圆
C< br>相交于
A
，
B
两点，
l
与直线
OM
相交于点
N
，
第3页，共16页

且
N
是线 段
AB
的中点，求△
OAB
面积的最大值．







21.

已知
f
（x
）
=lnx
，设
A
（
x
1
，
lnx
1
），
B
（
x
2
，
lnx
2
），且
x
1
＜
x
2
，记
x
0
=
（
1
）设
g
（
x
）
=f
（
x+1
）
-ax
，其中
a
∈
R
，试求
g
（
x
）的单调区间；
（
2
）试判断弦
AB
的斜率
k
AB
与
f
′（
x
0
）的大小关系，并证明；
（
3
）证明：当
x
＞
1
时，＞．
；







22.

已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点
O
处，极轴与
x
轴的非负半轴 重合，
且长度单位相同，直线
l
的极坐标方程为，曲线
（
α
为参数）．其中
a
∈
[0
，
2π
）．
（
1
）试写出直线
l
的直角坐标方程及曲线
C
的普通方程；
（
2
）若点
P
为曲线
C
上的动点，求点
P
到直线
l
距离的最大值．







23.

已知
f
（
x
）
=|3x+2|
（
1
）求
f
（
x
）
≤1
的解集；
（
2
）若
f
（
x
2
）
≥a|x|
恒成立，求实数
a
的最大值．






第4页，共16页

-------- 答案与解析 --------

1.
答案：
C

解析：解：∵集合< br>A
，
B
，
C
满足
A={x|
＞
1} ={x|0
＜
x
＜
1}
，
B={y|y=2
x< br>，
x
∈
C}
，
A∩B=A
∪
B
，
0
＜
2
x
＜
1
，解得
x
＜
0
，
∴集合
C={x|x
＜
0}
．
故选：
C
．
求出
A={x|
＞
1}={x|0< br>＜
x
＜
1}
，由
B={y|y=2
x
，x
∈
C}
，
A∩B=A
∪
B
，得到
0
＜
2
x
＜
1
，由此
能求出集合
C={x| x
＜
0}
．
本题考查集合的求法，考查交集、并集、集合相等的定义、不等 式性质等基础知识，考
查运算求解能力，是基础题．
2.
答案：
D

解析：解：由
z
（
1-i
）
=2
，得< br>z=
∴．
，
则
z
的共轭复数对应的点的坐标为（
1
，
-1
），位于第四象限．
故选：
D
．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.
答案：
A

解析：解：由题意可知：
几何体的正视图是矩形，
侧视图是圆，俯视图的矩形如图：
故选：
A
．
依据三视图的画法法则，推出几何体的三视图，即可得到正确选项．
本题是基础题，考查几何体的三视图的作法，常规题型，是送分题．
4.
答案：
A

解析：【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键．
根据函数是否存在零点 ，以及
f
（
1
）的符号，利用排除法进行判断即可．
【解答】 < br>解：
f
（
1
）
=
由
故选：
A
．
5.
答案：
C

＞
0
，排除
C
，
D
，
=0
，则方程无解，即函数没有零点，排除
B
，
第5页，共16页

解析：解：令
x+3=1
，解得
x=-2
，可得y=log
a
1-1=-1
，
即有定点
A
（
-2
，
-1
），
可得-2m-n+1=0
，即
2m+n=1
，（
m
＞
0，
n
＞
0
），
则
=3+2
则
=（
2m+n
）（
，（当且仅当
n=
的最小值为
3+2< br>）
=3++≥3+2
m
时等号成立），
，

故选：
C
．
0
）
-1
）由对数函数的图象恒过点 （
1
，，可得定点
A
（
-2
，，可得
2m+n=1
，则
（），展开后运用基本不等式即可得到所求最小值．
=
（
2m +n
）
本题考查基本不等式的运用：求最值，考查对数函数的图象的特点，以及运算能力，属< br>于中档题．
6.
答案：
C

解析：解：∵
2co sC
（
acosB+bcosA
）
=c
，
由正弦定理得：
2cosC
（
sinA
•
cosB+sinB
•
c osA
）
=sinC
，
∴
2cosC
•
sin< br>（
A+B
）
=sinC
，
∵
A+B+C=π
，
A
、
B
、
C
∈（
0
，
π），
∴
sin
（
A+B
）
=sinC
＞0
，
∴
2cosC=1
，
cosC=
，
∵
a=1
，
b=3
，
∴由余弦定理可得：
c===
．
故选：
C
．
利 用正弦定理结合两角和的正弦函数化简已知条件，然后求
cosC
的值，根据余弦定理
即可计算得解
c
的值．
本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
7.
答案：
C

解析：【分析】
本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．
求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．
【解答】
解：直角三角形的斜边长为，
设内切圆的半径为
r
，则
5-r+1 2-r=13
，解得
r=2
．
∴内切圆的面积为
πr
2
=4π
，
∴豆子落在内切圆外部的概率
P=1-
故选：
C
．
8.
答案：
D

=1-
，
第6页，共16页

解析：解：函数
f
（
x
）
=2sin
（
ωx+φ
）（
0
＜
ω
＜
l
，
|φ|
＜）的图象经过点（
0
，
1
），
可得
f< br>（
0
）
=2sinφ=1
，即
sinφ=
，可得φ=
，
由
f
（
x
）的图象关于直线
x=对称，可得
2sin
（
ω+
）
=kπ+
，
可 得
ω=k+
，由
0
＜
ω
＜
1
，可得
ω=
，
则
f
（
x
）
=2sin
（x+
），
由
x
∈
[
，
]
，可得x+
∈
[
，
]
，显然
f
（
x
）递增，故
A
错；
由
f
（
x
）的导数为
f
′（
x
）
=cos
（
x+
），取
x0
=
，
f
（
x
0
）
=2
为最 大值，
则
f
′（
x
0
）
=cos=0
， 故
B
错；
f
（
x
）
≥1
即
2s in
（
x+
）
≥
，即有
2kπ+≤x+≤2kπ+
，
k
∈
Z
，
化为
4kπ≤x≤4kπ+
，
k
∈
Z
，故
C
错；
由
f
（
-
）
=2sin
（
-+
）
=0
，可得
f（
x
）的一个对称中心是（
-
，
0
），故
D< br>对．
故选：
D
．
由题意可得
f
（
0）
=1
，解得
φ
，由对称轴可得
ω=
，则
f< br>（
x
）
=2sin
（
x+
），由正弦函
数的 单调性可判断
A
；由对称轴特点和导数，可判断
B
；由正弦函数的图象可得< br>x
的不
等式组，解不等式可判断
C
；由对称中心的特点可判断
D
．
本题考查三角函数的图象和性质，考查单调性和对称性的判断和运用，考查化简运算能< br>力，属于中档题．
9.
答案：
D

解析：解：从
1
，
2
，
3
，
4
，
5
中任取5
个数字，组成没有重复数字的五位数，
基本事件总数
n==120
，
=48
， 组成的五位数是偶数包含的基本事件个数
m=
∴组成的五位数是偶 数的概率是
p=
故选：
D
．
先求出基本事件总数
n=
m=
=
．
=120
，再 求出组成的五位数是偶数包含的基本事件个数
=48
，由此能求出组成的五位数是偶数的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基
础题．
10.
答案：
C

第7页，共16页

解析：【分析】
本题考查了棱锥与外接球的关系，棱锥的体积计算，属于基础题．
作棱锥的高
OP< br>，则
OP=OC=1
，利用等边三角形的性质求出底面边长，从而得出棱锥
的体 积．
【解答】
解：由题可知正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的中心，
如图，设正三棱锥的底面中心为
O
，

连接
OP
，延长
CO
交
AB
于
D
，则
CD=
∵O
是三棱锥
P-ABC
的外接球球心，
∴
OP=OC=1
，
∴
CD=
，
BC=,
,
∴
V
P
-
ABC
=S
△
AB C
•
OP
=××
故选
C
．
×1=
．
11.
答案：
A

解析：【分析】
由题意可得∠
F
1
PF
2
=90°
，可得
|PF
2
| =c
，
|PF
1
|=c
，再由双曲线的定义和离心率公式，计
算可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查解直角三角形，以及化简 运
算能力，属于基础题．
【解答】
解：在三角形
PF
1
F
2
中，∠
PF
1
F
2
=30°
，∠PF
2
F
1
=60°
，
=c
， 可得∠F
1
PF
2
=90°
，可得
|PF
2
|=2csin30°
|PF
1
|=2ccos30°=c
，
可得
2a=|PF
1
|-|PF
2
|=
（
-1
）
c
，
即有
e==
故选：
A
．
12.
答案：
B

解析：解：
y
2
xe
1-
y
-ax-lnx=0< br>可化为：
设
g
（
y
）
=
则
g
′（
y
）
=
（
-1≤y≤5
），
，
第8页，共16页
=1+
．
，

即函数
g
（
y
）在（
-1
，
0
），（
2
，
5
）为减函数，在（
0
，
2
）为增函数，
又< br>g
（
-1
）
=e
2
，
g
（
2
）
=
，
g
（
5
）
=
，
设
f
（
x
）
=a+
（
x
∈
[1
，
e]
），
f
′（
x
）
=
，
即函数
f
（
x
）在
[1
，
e]
为 增函数，
所以
a≤f
（
x
）
≤a
，
e ]
，
5]
，对于任意的实数
x
∈
[1
，总存在三个 不同的实数
y
∈
[-1
，使得
y
2
xe
1 -
y
-ax-lnx=0
成立，
即对于任意的实数
x
∈< br>[1
，
e]
，总存在三个不同的实数
y
∈
[-1，
5]
，使得
即
a+
∈
[
，）对于任意的实数
x
∈
[1
，
e]
恒成立，
成立，
即，
即，
故选：
B
．
e]
，由方程有解问题、恒成立问题得 对于任意的实数
x
∈
[1
，总存在三个不同的实数
y
∈[-1
，
5]
，
e]
，使得
y
2
xe
1-
y
-ax-lnx=0
成立，即对于任意的实数
x
∈< br>[1
，总存在三个不同的实数
y
∈
[-1
，
5]，使得成立，先构造函数：
g
（
y
）
=
（
-1 ≤y≤5
），
f
（
x
）
=a+
（
x
∈
[1
，
e]
），再利用导数求函数的单调性及最值得：
a+∈
[
，）对于任意的实数
x
∈
[1
，
e]恒成立，即，即，得解
本题考查了方程有解问题、恒成立问题及利用导数求函数的单调性及最值，属中档题
13.
答案：
-8

解析：解：
由，且
，
，得：
，
，即．
解得：或．
∴
mn=-8
．
故答案为：
-8
．
由题意得到关于
m
，
n
的方程组，求解得到
m
，< br>n
的值，则答案可求．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础题．
第9页，共16页

14.
答案：
9

解析：【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基
础题．
把
【解答】
解：∵
=
（
-1
）•（
+5 x
2
+10+10x+5+1
），
按照二项式定理展开，可得的展开式中常数项．
故它的展开式中常数项等于
10-1=9
，
故答案为：
9
．
15.
答案：
2
n
+1
-2-n

解析：【分析】
本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查分组求和方法， 化简运算
能力，属于基础题．
由等式两边加
1
，结合等比数列的定义和通项 公式，可得
a
n
=2
n
-1
，再由数列的分组求和，
结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】
解：
a
n
+1
=2a
n
+1
，即为
a
n
+1
+1 =2
（
a
n
+1
），
可得数列
{a
n< br>+1}
为首项为
2
，公比为
2
的等比数列，
可得< br>a
n
+1=2
n
，即
a
n
=2
n< br>-1
，
数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
=
（
2+4+
…
+2
n
）< br>-n
=-n=2
n
+1
-2-n
．
故答案为
2
n
+1
-2-n
．
16.
答案：
12


解析：解：
AB
与 投影面
α
所成角为为
θ
时，平面
ABC
如下图所示：

∵∠
BAC=120°
，
AB=AC=2
，
AA
1
=2
，∠
BAD=θ
，
∴
BC=2
，∠
BFD=θ-30°
，
cos
（
θ-30°
∴
BD=2sinθ
，
DE=
），
故
m=4cos
（
θ-30°
），
n=4sinθ
，
∴
mn=16sinθ
（
cosθ+sinθ
）
=24sinθc osθ+8sin
2
θ=12sin2θ+4
（
1-cos2θ
）< br>=12sin2θ-4cos2θ+4=8sin
（
2θ-30°
）
+ 4
，
∵
30°≤θ≤60°
∴
30°≤2θ-30°≤90°
，
故
8≤8sin
（
2θ-30°
）
+4≤
，
故
mn
的最大值为
12
，
故答案为：
12
．
利用
AB
与投影面
α
所成角为
θ
，∠
BAC=120°
，
AB=AC=AA
1< br>=2
，∠
BAD=θ
，建立正视图
第10页，共16页

的面积为
m
和侧视图的面积为
n
的关系，利用
30°≤θ ≤60°
求解
mn
的最大值．
本题考查的知识点是三视图，三角恒等变换， 正弦型函数的图象和性质，是三角函数与
立体几何的综合应用，难度中档．
17.
答 案：解：（Ⅰ）由
b=c
（
2sinA+cosA
），
可得：
sinB=2sinAsinC+sinCcosA
可得：
sin< br>（
A+C
）
=2sinAsinC+sinCcosA
，
所 以：
（Ⅱ）由已知可得：
设
由余弦定理得：
所以
所以△
AB C
的面积
，
．
，可得：
，
，
，
；

解析：（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求
t anC
的值，利用
同角三角函数基本关系式可求
sinC
的值．
（ Ⅱ）由已知得，设，可求
cosA
的值，由余弦定理可
求
k
的值，进 而可求，利用三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同 角三角函数基本关系式，余弦定
理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想 ，属于中档题．
18.
答案：解：（Ⅰ）在棱
AB
上存在点
E，使得
AF
∥平面
PCE
，点
E
为棱
AB的中点．
理由如下：取
PC
的中点
Q
，连接
EQ、
FQ
，
由题意，
FQ
∥
DC
且
FQ=CD
，
AE
∥
CD
且
AE=CD
，
故
AE
∥
FQ
且
AE=FQ
．
所以，四边形
AEQF
为平行四边形
.
所以，
AF
∥
EQ
，
又
EQ
⊂平面PEC
，
AF
平面
PEC
，
所以，
AF
∥平面
PEC
；
（Ⅱ）由题意知△
A BD
为正三角形，所以
ED
⊥
AB
，亦即
ED
⊥< br>CD
，
又∠
ADP=90°
，所以
PD
⊥
AD
，
且平面
ADP
⊥平面
ABCD
，平面
ADP∩
平面
ABCD=AD
，
PD
平面
ADP
，
所以
PD
⊥平面
ABCD
，
故以
D
为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
第11页，共16页

设
FD=a
，则由题意知
D
（
0
，
0
，
0
），
F
（
0
，
0
，
a
），
C
（
0
，
2
，
0
），
B
（
=
（
0
，
2
，-a
），
=
（），
，
1
，
0
），
设平面
FBC
的法向量为
=
（
x
，
y，
z
），
则由，
令
x=1
，则
y=
，
z=
，则
=
（
1
，，），
易知平面
DFC
的法向量
=
（
1
，
0
，
0
），
∵二面角
D-FC-B
的余弦值为，
∴
|cos
＜
=
＞
|=

=
，
解得
a=
．
由于
PD
⊥平面
ABCD
， 所以
PB
在平面
ABCD
内的射影为
BD
，
所以 ∠
PBD
为直线
PB
与平面
ABCD
所成的角，
由题意知在
Rt
△
PBD
中，
tan
∠
PBD== a=
，
从而∠
PBD=60°
，
所以直线
PB
与平面
ABCD
所成的角为
60°
．

解析：本题考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查线面角的求法，考查空
间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（Ⅰ）在棱
AB
上存在点
E
，使得
AF
∥平面
PCE
，点< br>E
为棱
AB
的中点，取
PC
的中点
Q
，连接
EQ
、
FQ
，推导出四边形
AEQF
为平行四边形 ，从而
AF
∥
EQ
，进而
AF
∥平面
PEC
．
（Ⅱ）以
D
为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量法能求出直线
PB
与平面
ABCD
所成的角．
19.
答案：解：（Ⅰ）由表格中数据可得，
=×
（
0+4+12+19+27
）
=12.4
，
=×
（
150+132+130+104+94
）
=122
；…（
2
分）
第12页，共16页

∴
==≈-2.0
，
==122-
（
-2.0
）
×12.4=146.8
；
∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为
=-2.0x+146.8
；…（
6
分）
C
时，由回归方程可以预测热奶茶的销售杯数为 ∴当气温为
15°
=-2. 0×15+146.8=116.8≈117
（杯）；…（
8
分）
（Ⅱ）设
A
表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于
120
”，
B
表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于
130
”，
则“已 知所选取该天的热奶茶销售杯数大于
120
时，销售杯数大于
130
”应为事 件
B|A
；…（
10
分）
∵
P
（
A）
=
，
P
（
AB
）
=
；
∴
P
（
B|A
）
==
；
∴已知所选取该 天的热奶茶销售杯数大于
120
时，销售杯数大于
130
的概率为．…（12
分）

解析：（Ⅰ）由表格中数据计算、，求出回归系数，写出回归方程， 利用方程计算
x=15
时的值；
（Ⅱ）根据条件概率的计算公式，求出所求的概率值．
本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了条件概率的计算问题，是基础题．
20.
答案：解：（
1
）由椭圆
C
：
C
上
的离心率为，点在椭圆
得，解得，所以椭圆
C
的方程为．
（
2
）易得直线
OM
的方程为．
上，故直线
l
的斜率存在．
x
2
+8kmx+4m
2
-12=0
，联立消
y
得（
3+4k
2
） < br>当直线
l
的斜率不存在时，
AB
的中点不在直线
设直线
l
的方程为
y=kx+m
（
m≠0
），与
所以△
=64k
2
m
2
-4
（
3+4k
2
）（< br>4m
2
-12
）
=48
（
3+4k
2
-m
2
）＞
0
．
设
A
（
x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），
则，
.
，
第13页，共16页

所以
AB
的中点
N
（
因为
N
在直线，
上，所以
，
=
，解得
，且
m≠0
，
=
，
=
，

所以△
=48
（
12-m
2
）＞
0
，得
=
又原点
O
到直线
l
的距离
所以
S
△
OAB
=×=
，
，且
m≠0
． 当且仅当
12-m
2
=m
2
，
所以△
OAB
面积的最大值为

解析：（
1
）由椭圆
C
：
时等号成立，符合
． < br>的离心率为，点在椭圆
C
上，
列出方程组，求出
a
，
b
即可得到椭圆方程．
（
2
）易得直线
OM
的方程为AB
的中点不在直线．当直线
l
的斜率不存在时，
联立消
y得上，故直线
l
的斜率存在．设直线
l
的方程为
y=kx+m< br>（
m≠0
），与
（
3+4k
2
）
x
2
+8kmx+4m
2
-12=0
，设
A
（
x1
，
y
1
），
B
（
x
2
，< br>y
2
），利用韦达定理，求出中点
坐标，通过弦长公式以及点到直线的距离，求 解三角形的面积，推出最值．
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
21.
答 案：（
1
）解：
g
（
x
）
=f
（
x+1
）
-ax=ln
（
x+1
）
-ax
（
x
＞
-1
），
g
′（
x
）
=
若
a≤0
，则
g
′（
x
）
=
若
a< br>＞
0
，由
g
′（
x
）
=
当
x
∈（
-1
，
≥0
，
g
（
x
）为 （
-1
，
+∞
）上的增函数，
=0
，解得
x=
．
，
+∞
）时，
g
′（
x
）＜
0
，
，
+∞
）；
．
）时，
g
′（
x
）＞
0
，当
x
∈（
），减区间为（∴
g
（
x
）的增区间为（
-1
，
（
2
）解：
k
AB
＞
f
′（
x
0
）．
证明如下：．
令
t=
＞
1
，则
h
（
t
）
=ln t-2
，
h
′（
t
）
=
＞
0
，
=f
′（
x
0
）； 而
h
（
1
）
=0
．故在（
1
，
+∞
）单调递增，故
k
AB
＞
（
3
）证明：当
x
∈（
1
，
+∞
）时，原不等式等价于
e
x
lnx
＞
x
2< br>-1
，
由（
2
）知
lnx
＞
即证
，
． ＞x
2
-1
，转化为
e
x
＞
第14页，共16页

令，
F
′（
x
）
=e
x
-
（
x+1
）
≥0
，
成立．
∵
F
（
1
）
=e-2
＞
0
，故
x
∈（
1
，
+∞
）时
e
x
＞
即当
x
＞
1
时，

＞．
解析：（
1
）写出
g（
x
）的解析式，可得
g
′（
x
）
=
得
g
（
x
）的单调区间；
k
AB
＞
f< br>′（
2
）（
x
0
）．由
．然后对
a
分类讨论即可求
=lnt-2
．令
t=
＞
1
，可得
h
（
t
），
利用导数证明
h
（
t
）在（< br>1
，
+∞
）单调递增，则结论得证；
+∞
）（
3< br>）当
x
∈（
1
，时，原不等式等价于
e
x
l nx
＞
x
2
-1
，进一步转化为证
即
e
x
＞．令，求导即可证明．
＞
x
2
-1
，
本题考查 利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推
理论证能力，属难题． < br>22.
答案：解：（
1
）直线
l
的极坐标方程为
转化 为直角坐标方程为：
曲线
．
（
α
为参数）．
，
转化为直角坐标方程为：
x
2
+
（
y+2
）
2< br>=2
．
（
2
）由（
1
）可知，曲线
C是以（
0
，
-2
）为圆心，
圆心（
0
，
-2
）到直线
l
的距离
d==5+
．
为半径的圆．

所以：点
P
到直线
l
距离的最大值为．

解析：（
1
）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（
2
）利用点到直线的距离公式求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程 和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离
公式的应用．
23.
答案：解 ：（
1
）由
f
（
x
）
≤1
得
|3 x+2|≤1
，
所以
-1≤3x+2≤1
，解得
所以，
f
（
x
）
≤1
的解集为
，
．…………………………（
5
分）
（
2
）
f（
x
2
）
≥a|x|
恒成立，即
3x
2
+2≥a|x|
恒成立．
当
x=0
时，
a
∈
R
；
当
x≠0
时，
因为（当且仅当
．
，即时等号成立），
第15页，共16页

所以，即
a
的最大值是．……………… …………（
10
分）

解析：（
1
）去掉绝对值，求出不等式的解集即可；
（
2
）问题转化为，根据基本不等式的性质求出
a
的最大值即可．
本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．

第16页，共16页