平乡县政府网-健康教育教案

2016
年四川省成都市高考数学摸底试卷（理科）


< br>一、选择题：本大题共
12
个小题，每小题
5
分，共
60分
.
在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
.

1
．某班
50
名学生中有女生
20
名，按男女比例用分层抽 样的方法，从全班学生中抽取部分
学生进行调查，已知抽到的女生有
4
名，则本次调查 抽取的人数是（ ）

A
．
8 B
．
10 C
．
12 D
．
15
2
．对抛物线
x
2
=12y
，下列判断正确的是（ ）

A
．焦点坐标是（
3
，
0
）
B
．焦点坐标是（
0
，﹣
3
）

C
．准线方程是
y=
﹣
3 D
．准线方程是
x=3
3
．计算
sin5
°
cos55
°
﹣
co s175
°
sin55
°
的结果是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．
4
．已知
m
，
n
是两条不同的直线，
α
，β
是两个不同的平面，若
m
⊥
α
，
n
⊥
β
，且
β
⊥
α
，则
下列结论一定正确的是（ ）

A
．
m
⊥
n B
．
m
∥
n C
．
m
与
n
相交
D
．
m
与
n
异面

5
．若实数
x
，
y
满足条件，则
z=2x
+
y
的最大值是（ ）

A
．
10 B
．
8 C
．
6 D
．
4
6
．曲线
y=xsinx
在点
P
（
π
，
0
）处的切线方程是（ ）

A
．
y=
﹣
π
x
+
π
2
B
．
y=
π
x
+
π
2
C
．
y=
﹣
π
x
﹣
π
2
D
．
y=
π
x
﹣
π
2

7
．已知数列{
a
n
}是等比数列，则
“
a
1
＜< br>a
2
”
是
“
数列{
a
n
}为递增数 列
”
的（ ）

A
．充分不必要条件
B
．充分必要条件

C
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件

8
．
x
2
∈
R
，若定义在
R
上的奇函数
f
（
x
）满足：∀x
1
，且
x
1
≠
x
2
，都有
则称该函数为满足约束条件
K
的一个
“
K
函数
”
． 有下列函数：
①
f
（
x
）
=x
+
1
；
②
f
（
x
）
=
﹣
x
3
；
③
f
（
x
）
=
；
④
f
（
x
）
=x
|
x
|．其中为
“
K
函数
”
的是．

A
．
①
B
．
②
C
．
③
D
．
④
9
．设命题
p
：∃
x
0
∈（
0
，+< br>∞
），
3
x0
+
x
0
=
；命题q
：∀
a
，
b
∈（
0
，+
∞
），
a
+
，
中至少有一个不小于
2
，则下列命题为真命题的 是（ ）

A
．
p
∧
q B
．
D
．（
¬
p
）∧
q C
．
p
∧（
¬
q
）

（
¬
p
）∧（
¬
q
）

10．在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的 对边分别为
a
，
b
，
c
，且
B=2C
，< br>2bcosC
﹣
2ccosB=a
，
则角
A
的大小为 （ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

第1页（共18页）

11
．已知椭圆
C
1
：
=1
（< br>a
＞
b
＞
0
）与双曲线
C
2
：x
2
﹣
y
2
=4
有相同的右焦点
F
2
，点
P
是椭圆
C
1
和双曲线
C
2
的一个公共点，若|
PF
2
|
=2
，则椭圆
C
1< br>的离心率为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

12
．如图
1
，已知正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D1
的棱长为
a
，
M
，
N
，
Q
分别是线段
AD
1
，
B
1
C
，
C
1
D
1
上的动点，

当三棱锥
Q
﹣
BMN
的俯视图如图
2
所示时，三棱锥
Q
﹣
BMN
的体积 为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．



二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
）

13
．
lg4
+
2lg5=
．

14
．函数
f
（
x
）
=x
3
﹣
4x< br>2
+
4x
的极小值是 ．

15
．已知圆
C
：
x
2
+
y
2
﹣
2x
﹣
4y
+
1=0
上存在两点关于直线
l
：
x
+my
+
1=0
对称，经过点
M
（
m
，
m
）作圆
C
的切线，切点为
P
，则|
MP
|
=
．

16
．已知函数
f
（
x
）的 导函数为
f
′
（
x
），
e
为自然对数的底数，若函 数
f
（
x
）满足
xf
′
（
x
）< br>+
f
（
x
）
=
，且
f
（
e
）
=
，则不等式
f
（
x
+
1
）﹣
f
（
e
+
1
）＞
x
﹣
e
的解集是 ．



三、解答题（本大题共
5
小题，共< br>70
分
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
）
17
．已知等差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且
a
2
=2
，
S
11=66
．

（
1
）求数列{
a
n
}的通项公式；

（
2
）若数列{
b
n
}满足
b
n
=
，求证：
b
1
+
b
2
+
…
+
b< br>n
＜
1
．

18
．王师傅为响应国家开展全民健身运 动的号召，每天坚持
“
健步走
”
，并用计步器对每天的
“
健 步走
”
步数进行统计，他从某个月中随机抽取
10
天
“
健步 走
”
的步数，绘制出的频率分布
直方图如图所示．

（
1< br>）试估计该月王师傅每天
“
健步走
”
的步数的中位数及平均数（精确到 小数点后
1
位）；

（
2
）某健康组织对
“
健步走
”
结果的评价标准为：

每天的步数分组

[
8
，
10
）

[
10
，
12
）

[
12
，
14
]

（千步）

评价级别

及格

良好

优秀

现从这
10
天中随机抽取
2
天，求这
2
天的
“健步走
”
结果不属于同一评价级别的概率．

第2页（共18页）

19
．如图，在三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，已知∠
BAC=90
°
，
AB=AC=1
，
BB
1
=2
，∠
A BB
1
=60
°
．

（
1
）证明：
AB
⊥
B
1
C
；

（
2
）若< br>B
1
C=2
，求二面角
B
1
﹣
CC
1
﹣
A
的余弦值．


20
．已知椭圆
C
：
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的焦距为
2
，点
Q
（，
0）在直线
l
：
x=2
上．

（
1
）求椭圆
C
的标准方程；

（
2）若
O
为坐标原点，
P
为直线
l
上一动点，过点
P
作直线
l
′
与椭圆相切于点
A
，求△
POA< br>面积
S
的最小值．

21
．已知函数
f
（
x
）
=
，其中a
∈[﹣
e
2
，+
∞
），
e=2.71828
…
为自然对数的底数．
（
1
）讨论函数
f
（
x
）的单调性；

（
2
）若
a=1
，证明：当< br>x
1
≠
x
2
，且
f
（
x
1
）
=f
（
x
2
）时，
x
1
+x
2
＞
2
．



[选修
4-4
：坐标系与参数方程]

22
．在平面直角坐 标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为（
α
为参数），在以直 角
坐标系的原点为极点，
x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线
l
的极坐标方程为
ρ
sin
（
θ
﹣）
=
．

（
1
）求曲线
C
在直角坐标系中的普通方程和直线
l
的倾斜角；

（
2
）设点
P
（
0
，1
），若直线
l
与曲线
C
相交于不同的两点
A
，
B
，求|
PA
|+|
PB
|的值．



第3页（共18页）

2016
年四川省成都市高考数学摸底试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共
12个小题，每小题
5
分，共
60
分
.
在每小题给出的四个 选项中，只
有一项是符合题目要求的
.

1
．某班
50名学生中有女生
20
名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分
学 生进行调查，已知抽到的女生有
4
名，则本次调查抽取的人数是（ ）

A
．
8 B
．
10 C
．
12 D
．
15
【考点】分层抽样方法．

【分析】根据分层抽样原理，列出算式即可求出结论．

【解答】解：设本次调查抽取的人数是
n
，则

，∴
n=10
．

故选：
B
．



2
．对抛物线
x
2
=12y
，下列判断正确的是（ ）

A
．焦点坐标是（
3
，
0
）
B
．焦点坐标是（
0
，﹣
3
）

C
．准线方程是
y=
﹣
3 D
．准线方程是
x=3
【考点】抛物线的简单性质．

【分析】直接由抛物线的方程得出结论．
< br>【解答】解：抛物线
x
2
=12y
，焦点坐标是（
0
，
3
），准线方程是
y=
﹣
3
．

故选：
C
．



3
．计算
si n5
°
cos55
°
﹣
cos175
°
sin55
°
的结果是（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】两角和与差的正弦函数．


【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
【解 答】解：
sin5
°
cos55
°
﹣
cos175
°
sin55
°

=sin5
°
cos55
°+
cos5
°
sin55
°

=sin
（
5
°
+
55
°
）

=sin60
°

=
．

故选：
D
．



4
．已知
m< br>，
n
是两条不同的直线，
α
，
β
是两个不同的平面， 若
m
⊥
α
，
n
⊥
β
，且
β
⊥
α
，则
下列结论一定正确的是（ ）

A
．
m
⊥
n B
．
m
∥
n C
．
m
与
n
相交
D
．
m
与
n
异面

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】根据线面垂直和面面垂直的性质定理进行判断．

第4页（共18页）

【解答】解：因为
m
，
n
是两条不同的直 线，
α
，
β
是两个不同的平面，若
m
⊥
α
，
n
⊥
β
，且
β
⊥
α
，作图如下：


设
n
∩β
=A
，过
A
作
m
′
⊥
α
，则
m
′
⊂
β
，

∵
n
⊥
β
，

∴
m
⊥
n
；

故选：
A
．



5
．若实数
x
，
y
满足条件，则
z=2x
+
y
的最大值是（ ）

A
．
10 B
．
8 C
．
6 D
．
4
【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平 面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大
值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由
z=2 x
+
y
得
y=
﹣
2x
+
z
，
平移直线
y=
﹣
2x
+
z
，
由图象可知当直线
y=
﹣
2x
+
z
经过点
A< br>时，直线
y=
﹣
2x
+
z
的截距最大，

此时
z
最大．

由，解得，即
A
（
2
，
2
），

代入目标函数
z=2x
+
y
得
z=2
×
2
+
2=6
．

即目标函数
z=2x
+
y
的最大值为
6
，

故选：
C
．


第5页（共18页）

6
．曲线
y=xsinx
在点
P
（
π
，
0
）处的切线方程是（ ）

A
．
y=
﹣
π
x
+
π
2
B
．
y=
π
x
+
π
2
C
．
y=
﹣
π
x
﹣
π
2
D
．
y=
π
x
﹣
π
2

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求得曲线对应的函数的导数， 可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的
方程．

【解答】解：
y =xsinx
的导数为
y
′
=sinx
+
xcosx
，

在点
P
（
π
，
0
）处的切线斜率为
k=sin
π
+
π
cos
π
=
﹣
π
，

即有在点
P
（
π
，
0
）处 的切线方程为
y
﹣
0=
﹣
π
（
x
﹣
π
），

即为
y=
﹣
π
x
+
π
2
．

故选：
A
．



7
．已知数列{
a
n
}是等比数列，则
“
a
1< br>＜
a
2
”
是
“
数列{
a
n
}为递增数列
”
的（ ）

A
．充分不必要条件
B
．充分必要条件

C
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：∵{
a
n
}是等比数列，

∴若
“< br>a
1
＜
a
2
”
，则
“
数列{
a
n
}不一定是递增数列
”

如{﹣
1
，
1
，﹣
1
，
1
}，充分性不成立，

若
“
数列{
a
n
}是递增数列
”
，则
“
a< br>1
＜
a
2
”
成立，即必要性成立，

故“
a
1
＜
a
2
”
是
“
数列{
a
n
}是递增数列
”
的必要不充分条件，

故选：
C
．



8
．
x
2
∈
R
，若定义在
R
上的奇函数
f
（
x
）满足：∀
x
1
，且
x
1
≠
x
2
，都有
则称该函数为满足约束条件
K
的一个
“
K
函 数
”
．有下列函数：
①
f
（
x
）
=x+
1
；
②
f
（
x
）
=
﹣x
3
；
③
f
（
x
）
=
；④
f
（
x
）
=x
|
x
|．其中为“
K
函数
”
的是．

A
．
①
B
．
②
C
．
③
D
．
④

【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．

【分析】由
K函数的定义可知
K
函数满足三个条件：
1
，定义域为
R
，
2
，
f
（
x
）是增函数，
3
，
f
（
x
）是奇函数．

【解答】解：∵∀
x
1，
x
2
∈
R
，且
x
1
≠
x< br>2
，都有
∴
f
（
x
）为定义域为
R
的增函数，且
f
（
x
）为奇函数．

∵
f
（
x
）
=x
+
1
不是奇函数，∴
f
（x
）
=x
+
1
不是
“
K
函数
“
．

∵
f
（
x
）
=
﹣
x
3
在
R
上是减函数，∴
f
（
x
）
=
﹣
x
3
不是
“
K
函数
“
．< br>
∵
f
（
x
）
=
的定义域为{
x< br>|
x
≠
0
}，∴
f
（
x
）
=
不是
“
K
函数
“
．

，

，
第6页（共18页）

∵
f
（
x
）
=x
|
x
|
=
故选：
D
．< br>


，∴
f
（
x
）
=x
|
x
|是
“
K
函数
“
．

9．设命题
p
：∃
x
0
∈（
0
，+
∞< br>），
3
x0
+
x
0
=
；命题
q：∀
a
，
b
∈（
0
，+
∞
），
a
+
中至少有一个不小于
2
，则下列命题为真命题的是（ ）

A
．
p
∧
q B
．
D
．（
¬
p
）∧
q C
．
p
∧（
¬
q
）

（
¬
p
）∧（
¬
q
）

【考点】复合命题的真假．

【分析】构造函数判断函数的单调性，判断命题
p
为假命题，利用反证法判断命题
q
是真命
题，根据复合命题真假关系进行判 断即可，

【解答】解：设
f
（
x
）
=3
x
+
x
﹣；

则
f
（
x
）在（﹣
∞
，+
∞
）为增函数，

∵
f
（
0
）
=3
0
﹣
=1
﹣
=
＞
0，

∴当
x
＞
0
时
f
（
x< br>）＞
f
（
0
）＞
0
；

即∃
x
0
∈（
0
，+
∞
），
3
x0
+
x
0
=
假设
a
+，
b
+都小于
2
，

即
a
+＜
2
，
b
+＜2
，

将两式相加，得
a
++
b
+＜
4
，
又因为
a
+≥
2
，
b
+≥
2
，

两式相加，得
a
++
b
+≥
4
，与
a
++
b
+＜
4
，矛盾．

所以
a
+，
b
+至少有一个不小于
2
．故命题
q
是真命题，

则（
¬
p
）∧
q
为真命题，其余为假命题，

故选：
B


10
．在△
ABC
中，内 角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
B=2C
，
2bcosC
﹣
2 ccosB=a
，
则角
A
的大小为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

为假命题；

【考点】正弦定理．

【分析】由正弦定理，三角函数 恒等变换的应用化简已知等式可得
sinBcosC=3cosBsinC
，又
利用二 倍角的正弦函数公式，可得
2sinCcos
2
C=3cosBsinC
，结 合
sinC
＞
0
，化简解得：
cos2C=
，结合
C
的范围可求
C
，进而可求
B
，利用三角形内角和定理即可求
A
的值．

第7页（共18页）

【解答】解： ∵
2bcosC
﹣
2ccosB=a
，

∴
2si nBcosC
﹣
2sinCcosB=sinA=sin
（
B
+C
）
=sinBcosC
+
cosBsinC
，

∴
sinBcosC=3cosBsinC
，

又∵
B=2C
，可得：
sinB=2sinCcosC
，

∴
2sinCcos
2
C=3cosBsinC
，

∴由
sinC
＞
0
，可得：
2cos
2
C=3c osB
，

∴
1
+
cos2C=3cos2C
，解 得：
cos2C=
，

∵
C
∈（
0
，∴
2C=
，
C=
），
2C
∈（
0
，< br>π
），

，
B=2C=
，
A=
π
﹣ （
B
+
C
）
=
．

故选：
A
．



11
．已知椭圆
C
1
：
=1
（
a
＞
b
＞
0
）与双曲线
C
2
：
x
2
﹣
y
2
=4
有相同的右焦点
F
2
，点< br>P
是椭圆
C
1
和双曲线
C
2
的一个公共点， 若|
PF
2
|
=2
，则椭圆
C
1
的离心率 为（ ）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】利用双曲线、椭圆的定 义，求出
a
，利用双曲线的性质，求出
c
，即可求出椭圆
C
1
的离心率．

【解答】解：由题意，不妨设
P
在第一象限，

∵|
PF< br>2
|
=2
，∴|
PF
1
|
=6
，< br>
∴
2a=
|
PF
2
|+|
PF
2
|
=8
，

∴
a=4
．

∵双曲 线
C
2
：
x
2
﹣
y
2
=4
可化为
∴
c==2
=1
（
a
＞
b
＞
0
）与双曲线
C
2
：
x
2
﹣
y< br>2
=4
有相同的右焦点
F
2
，

=1
，

∵椭圆
C
1
：
∴
c=2
，

∴椭圆
C
1
的离心率为
e==
，

故选：
B
．



12
．如图
1
，已知正方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C1
D
1
的棱长为
a
，
M
，
N
，
Q
分别是线段
AD
1
，
B
1
C
，
C
1
D
1
上的动点，

当三棱锥
Q﹣
BMN
的俯视图如图
2
所示时，三棱锥
Q
﹣
BMN
的体积为（ ）
第8页（共18页）

A
．
B
．
C
．
D
．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】由三棱锥
Q
﹣
BMN
的俯视图可得
Q
在
D
1
，
N
在< br>C
，
M
为
D
1
A
的中点，利用三棱
锥的体积公式即可求出三棱锥
Q
﹣
BMN
的体积．．

【解 答】解：由三棱锥
Q
﹣
BMN
的俯视图可得
Q
在
D
1
，
N
在
C
，
M
为
D
1
A
的中点，

∴
S
△
QBN
==
，

=
，

=
，

M
到平面
QBN
的 距离为：
∴三棱锥
Q
﹣
BMN
的体积为
故选：
D< br>．



二、填空题（本大题共
4
小题，每小题5
分，共
20
分
.
）

13
．
lg4
+
2lg5=

2
．

【考点】对数的运算性质．

【分析】根据对数的性质，把
2l g5
写成
lg25
，再用对数的计算性质，变化成一个对数形式，
得到结果．

【解答】解：
lg4
+
2lg5=lg4
+
lg 25=lg100=2
故答案为：
2
．



1 4
．函数
f
（
x
）
=x
3
﹣
4x
2
+
4x
的极小值是
0
．

【考点】利用导数研究函数的极值．

【分析】求导，令
f
′
（
x
）
=0
，解方程，分析导函数的变化，从而可知函数的极值．

【解答】解：由已知得
f
′
（
x
）
=3x
2
﹣
8x
+
4
，

f
′
（
x
）
=0
⇒
x
1
=
，
x
2=2
，

当＜
x
＜
2
时，
f
′
（
x
）＜
0
函数
f
（
x
）是减 函数，

当
x
＜或
x
＞
2
时，
f
′
（
x
）＞
0
函数
f
（
x
）是增函数，

∴当
x=2
时，函数
f
（
x）取得极小值为
0
．

故答案为：
0
．



第9页（共18页）

15
．已知圆
C
：
x
2
+
y
2
﹣
2x
﹣
4y
+
1=0
上存在两点关于直线
l
：
x
+
my
+
1=0
对称，经过点
M
（
m
，
m
）作圆
C
的切线，切点为
P
，则|
MP
|
=

3
．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】由题意直线
l
：
x
+
my
+
1= 0
过圆心
C
（
1
，
2
），从而得到
m=< br>﹣
1
．利用勾股定理求出
|
MP
|．

【解 答】解：∵圆
C
：
x
2
+
y
2
﹣
2x
﹣
4y
+
1=0
上存在两点关于直线
l
：x
+
my
+
1=0
对称，

∴直线
l
：
x
+
my
+
1=0
过圆心
C
（
1
，
2
），

∴
1
+
2m
+
1=0
．解得
m=
﹣
1
．

圆
C
：
x
2
+
y
2
﹣
2x
﹣4y
+
1=0
，可化为（
x
﹣
1
）
2
+（
y
﹣
2
）
2
=4
，圆心（
1
，
2
），半径
r=2
，

∵经过点
M（
m
，
m
）作圆
C
的切线，切点为
P
，

∴|
MP
|
==3
．

故答案为：
3
．



16
．已知函数< br>f
（
x
）的导函数为
f
′
（
x
），
e
为自然对数的底数，若函数
f
（
x
）满足
xf< br>′
（
x
）
+
f
（
x
）
=
，且
f
（
e
）
=
，则不等式
f
（
x
+
1
）﹣
f
（
e
+
1
）＞
x
﹣
e
的解集是 （﹣
1
，
e
） ．
【考点】导数的运算．

【分析】先求出函数的解析式，再令
y=f
（
x
）﹣
x
，确定函数在定义域内单调递减，即可解
不等式．
【解答】解：∵
xf
´
（
x
）+
f
（
x
）
=
=
∴（
xf
（
x
））< br>´
，

，

两边积分
xf
（
x）
=ln
2
x
+
C
，

∴
f
（
x
）
=
•
（
ln
2
x
+
C
），

∵
f
（
e
）
=
，

∴
f
（
e
）
=
（+
C
）
=
，

∴
C=
﹣，

∴
f
（
x
）
=
•
（
ln
2
x
+），

令
y =f
（
x
）﹣
x
，则
y
′
=
﹣< br>1
＜
0
，

∴函数在定义域内单调递减，

∵
f
（
x
+
1
）﹣
f
（
e
+
1
）＞
x
﹣
e
，

∴
f（
x
+
1
）﹣（
x
+
1
）＞
f
（
e
+
1
）﹣（
e
+
1
），< br>
∴
0
＜
x
+
1
＜
e
+< br>1
，

∴﹣
1
＜
x
＜
e
，

第10页（共18页）

故答案为：（﹣
1
，
e
）．



三、解答题（本大题共
5
小题，共
70
分
.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
）

17
．已知等 差数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且< br>a
2
=2
，
S
11
=66
．

（
1
）求数列{
a
n
}的通项公式；

（
2
）若数列{
b
n
}满足
b
n
=
，求证：
b
1
+
b
2
+
…
+
b< br>n
＜
1
．

【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式．

【分析】（
1
）通过
S
11
=66
可知
a
6
=6
，结 合
a
2
=2
可知公差
d=1
，进而可得结论；

（
2
）通过（
1
）裂项、并项相加即得结论．

【 解答】（
1
）解：∵
S
11
=11a
6
=66，∴
a
6
=6
，

设公差为
d
，则< br>a
6
﹣
a
2
=4d=4
，即
d=1
，

∴
a
n
=a
2
+（
n
﹣2
）
d=2
+（
n
﹣
2
）×
1=n< br>；

（
2
）证明：由（
1
）得：
∴
，

，

∴
b
1
+
b
2
+
…
+
b
n
＜
1
．



1 8
．王师傅为响应国家开展全民健身运动的号召，每天坚持
“
健步走
”
，并用计步器对每天的
“
健步走
”
步数进行统计，他从某个月中随机抽取< br>10
天
“
健步走
”
的步数，绘制出的频率分布
直方图 如图所示．

（
1
）试估计该月王师傅每天
“
健步走
”
的步数的中位数及平均数（精确到小数点后
1
位）；

（
2
）某健康组织对
“
健步走
”
结果的评价标准为：

每天的步数分组

[
8
，
10
）

[
10
，
12
）

[
12
，
14
]

（千步）

评价级别

及格

良好

优秀

现从这
10
天中随机抽取
2
天，求这
2
天的
“健步走
”
结果不属于同一评价级别的概率．


【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．

【分析】（< br>1
）由已知条件可估计中位数为
12
+≈
12.3
，利用平均 数公式能求出王师傅
每天
“
健步走
”
的步数的平均数．


（
2
）利用对立事件的概率公式，即可求这
2
天的
“
健步走
”
结果不属于同一评价级别的概率．
【解答】解：（
1< br>）由频率分布直方图，可估计中位数为
12
+
第11页（共18页）

≈
12.3
（千步），

平均数为
0.2< br>×
9
+
0.2
×
11
+
0.6
×< br>13=11.8
（千步）；

（
2
）设
“
在
10
天是任取
2
天，评价级别相同
”
为事件
A，
“
在
10
天中任取
2
天，评价级别不
相同< br>”
为事件
B
．

则．

∵事件
A
与事件
B
互为对立事件，

∴．



19
．如图，在三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，已知∠
BAC=90
°
，< br>AB=AC=1
，
BB
1
=2
，∠
ABB
1
=60
°
．

（
1
）证明：
AB
⊥
B
1
C
；

（
2
）若
B
1
C=2
，求二面角
B
1
﹣
CC
1
﹣< br>A
的余弦值．


【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（< br>1
）连结
B
1
A
，由勾股定理的逆定理，得△
ABB
1
为直角三角形，
B
1
A
⊥
AB
，再由< br>CA
⊥
AB
，得
AB
⊥平面
AB
1
C
，由此能证明
AB
⊥
B
1
C
．

（
2
）以点
A
为坐标原点，
AB
所在直线为
x< br>轴，
AC
所在直线为
y
轴，
AB
1
所在直线 为
z
轴，建立空间直角坐标系
A
﹣
xyz
．利用向量法能求 出二面角
B
1
﹣
CC
1
﹣
A
的余弦值．< br>
【解答】证明：（
1
）连结
B
1
A
，在△
ABB
1
中，

∵
∴．


又
AB=1
，
BB
1
=2
，

∴由勾股定理的逆定理，得△
ABB
1
为直角三角形．

∴
B
1
A
⊥
AB
．

∵
CA
⊥
AB
，
B
1
A
⊥
AB
，< br>CA
∩
B
1
A=A
，

∴
AB
⊥平面
AB
1
C
．

∵< br>B
1
C
⊂平面
AB
1
C
，∴
AB< br>⊥
B
1
C
．

解：（
2
）在△AB
1
C
中，∵，
AC=1
，

则由勾股定理的逆定理，得△
AB
1
C
为直角三角形，

∴
B
1
A
⊥
AC
．

以点
A
为坐标原点，
AB
所在直线为
x
轴，
AC
所在 直线为
y
轴，
AB
1
所在直线为
z
轴，

建立如图所示的空间直角坐标系
A
﹣
xyz
．

A
（
0
，
0
，
0
），
C
（
0
，
1
，
0
），
C
1
（﹣
1，
1
，），
B
1
（
0
，
0
， ），

第12页（共18页）

则，
．

，，
设平面
ACC
1
的法向量为
由
．

．

令
z
1
=1
，则平面
ACC
1
的一个法向量为
设平面
B
1
CC
1
的法向量为．

．

由．

令
z
2
=1
，则平面
B
1
CC
1
的一个法向量为
设二面角
B
1
﹣
CC
1
﹣
A
的平面角为
θ
，
θ
为锐角．

∴．

．

∴二面角
B
1
﹣
CC
1
﹣
A
的余弦值为．




20
．已知椭圆
C
：
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的焦距为
2
，点
Q
（，
0
）在直线
l
：
x=2
上．

（
1
）求椭圆
C
的标准方程；

（
2）若
O
为坐标原点，
P
为直线
l
上一动点，过点
P
作直线
l
′
与椭圆相切于点
A
，求△
POA< br>面积
S
的最小值．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（
1
）利用椭圆
C
：
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的焦距为
2
，点
Q
（ ，
0
）在
直线
l
：
x=2
上，求出
a，
b
，
c
，即可求椭圆
C
的标准方程；

第13页（共18页）

（
2
）设出切线方程和代 入椭圆方程，求得关于
x
的一元二次方程，△
=0
，求得
A
和
P
点的
坐标，求得丨
OP
丨及
A
到直线
OP
的距离，根据三角形的面积公式求得
S
，平方整理关于
k
的一元 二次方程，△≥
0
，即可求得
S
的最小值．

【解答】解： （
1
）∵椭圆的焦距为
2
，∴半焦距
c=1
．

∵点
又
c=1
，∴
a
2
=2
．

∴
b
2
=1
．

∴椭圆
C
的标准 方程为
在直线
l
：
x=2
上，，∴．

．


（
2
）依题意，直线
l
′
的斜率存在，可设直线
l
′
的方程为
y=kx
+
m
，设
P
（
2
，
y
0
），
A
（
x
1，
y
1
）．
联立消去
y
，可得（
1
+
2k
2
）
x
2
+
4kmx
+
2m
2
﹣
2=0
．

∵△
=0
，∴
m
2
=2k
2
+
1
．

且，，
y
0
=2k
+
m
．

则．

又直线
OP
的方程为，

∴点
A
到直线
OP
的距离，

∴

=
．（取时）

∵
∴．

，∴．

∴（
S
﹣
k
）
2
=1
+
2k
2
⇒
k
2
+
2Sk
﹣
S
2
+
1=0
．

由
同理，取
，当且仅当
时，也可得当
时等号成立．

时
S
的最小值为．

第14页（共18页）

∴△
POA
面积
S
的最小值为


21
．已知函数
f
（
x
）
=
．


，其中
a
∈[﹣
e
2
，+
∞
） ，
e=2.71828
…
为自然对数的底数．
（
1
）讨论函 数
f
（
x
）的单调性；

（
2
）若
a=1
，证明：当
x
1
≠
x
2
，且
f< br>（
x
1
）
=f
（
x
2
）时，
x
1
+
x
2
＞
2
．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（
1
）求出函数的导数，通过讨论
a
的范围，求出函数的单调区间即可；

（
2
）由单调性不妨设：
x
1
∈（
0
，
1
），
x
2
∈（
1
，+
∞
）， 由（
x
1
）
=f
（
x
2
），只需证明f
（
x
2
）
＜
f
（
2
﹣x
2
），只需证明（
2
﹣
x
2
）
ln x
2
+
x
2
ln
（
2
﹣
x
2
）＜
0
，令
h
（
x
）
=
（< br>2
﹣
x
）
lnx
+
xln
（
2﹣
x
），（
1
＜
x
＜
2
），根据函数 的单调性证出结论即可．

【解答】解：（
1
）
f
′
（
x
）
=
，（
x
＞
0
，
a≤﹣
e
2
），

令
g
（
x
）
=alnx
+
x
﹣
a
，（
x
＞
0
，
a
≤﹣
e
2
），

g
′
（
x
）
=
，

①
a
≥
0
时，
g
′
（
x
）＞
0
，
g
（
x
）在（
0
，+
∞
）递增，
故存在
x
0
使得
f
（
x
0
）
=0
，

故
f
（
x
）在（
0< br>，
x
0
）递减，在（
x
0
，+
∞
） 递增；

②
﹣
e
2
≤
a
＜
0时，令
g
′
（
x
）＞
0
，解得：
x< br>＞﹣
a
，

令
g
′
（
x
） ＜
0
，解得：
0
＜
x
＜﹣
a
，

故
g
（
x
）在（
0
，﹣
a
）递减 ，在（﹣
a
，+
∞
）递增，

∴
g
（x
）
min
=g
（﹣
a
）
=aln
（ ﹣
a
）﹣
2a=a
[
ln
（﹣
a
）﹣2
]

∵
ln
（﹣
a
）≤
lne2
=2
，

∴
g
（
x
）
mi n
＜
0
，

∴存在
x
1
，
x2
∈（
0
，+
∞
），

使得在（
0< br>，
x
1
），（
x
2
，+
∞
），g
（
x
）＞
0
，在（
x
1
，
x
2
），
g
（
x
）＜
0
，
∴
f
（
x
）在（
0
，
x
1
） ，（
x
2
，+
∞
）递增，在（
x
1
，x
2
）递减；

（
2
）
a=1
时，< br>f
（
x
）
=
，
f
′
（
x< br>）
=
，

由（
1
）得：
f
（
x
）在（
0
，
1
）递减，在（
1
，+
∞
）递增，

由单调性不妨设：
x
1
∈（
0
，
1
），
x
2
∈（
1
，+
∞
），

①
若
x
2
≥
2
，则有：
x1
+
x
2
＞
2
成立，

②
若 ：
1
＜
x
2
＜
2
，则有
0
＜2
﹣
x
2
＜
1
，

要证
x< br>1
+
x
2
＞
2
，只需证明
x
1＞
2
﹣
x
2
，

由单调性及
0
＜
x
1
＜
1
，
0
＜
2
﹣
x
2
＜
1
，

只需证明
f
（
x
1
）＜
f
（
2
﹣
x
2
），

由
f
（
x
1
）
=f
（
x2
），

只需证明
f
（
x
2
）＜f
（
2
﹣
x
2
），

即只需证明：

＜
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，