徐州建筑职业技术学院-承包经营合同范本

【必考题】高三数学上期末试卷(带答案)

一、选择题

1

1．已知数列

a
n

的前
n项和为
S
n
，且
a
n
4



2

n1
，若对任意
nN
*
，都有
1p

S
n
4n

3
成立， 则实数
p
的取值范围是（ ）

A
．

2,3

B
．

2,3

C
．

2,


2

9


D
．

2,



9
< br>
2

2．若
a0b
,则下列不等式恒成立的是

A
．
11


ab
B
．
ab
C
．
a
2
b
2
D
．
a
3
b
3


xy30

,
则
z3xy
的最小值是

3．设
x,y
满足约 束条件

xy0

x2

A
．
5

A
．一定是锐角三角形

C
．一定是钝角三角形

B
．
4
C
．
3
D
．
11

4．若
ABC
的三个内角满足
sin A:sinB:sinC5:11:13
，则
ABC
（

）

B
．一定是直角三角形

D
．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

3log
2
x,x0
f(x){
5．已知函数，则不等式
f(x)5
的解集为< br> ( )

2
xx1,x0
A
．

1,1

B
．
2,4


C
．

,2

0,4

D
．

,20,4

2

6．在
VABC
中，
A
，
B< br>，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，< br>cos
定是( )

A
．直角三角形
B
．等边三角形

Cab

，则
VABC
的形状 一
22a
D
．等腰直角三角形

C
．等腰三角形


7．在△
ABC
中，若
tanA，C150，BC1
，则△
ABC
的面积
S
是( )

A
．
1
3
33

8
B
．
33

4
C
．
33

8
D
．
33

4
8．“
x0
”是“
x
A
．充分不必要条件

C
．充要条件

1
2
”的

x
B
．必要不充分条件

D
．既不充分也不必要条件

9．等差数列

a
n

中，已知
a
6
a
11
，且公差
d0
，则其前
n
项和取最小值时的
n
的值
为( )

A
．6
B
．7
C
．8
D
．9


10．已知数列

a
n
中，
a
1
1,a
n1
2a
n
1nN

,S
为其前
n
项和，
S
n
5
的值为

（ ）

A
．63
B
．61
C
．62
D
．57

11．一个递增 的等差数列

a
n

，前三项的和
a
1
 a
2
a
3
12
，且
a
2
,a
3
,a
4
1
成等比数
列，则数列

a
n

的公差为
( )

A
．
2
B
．
3
C
．
2
D
．
1
12．已知
x
，
y
均为正实数，且
A
．20
B
．24

111

，则
xy
的最小值为（ ）

x2y26
C
．28
D
．32

二、填空题
*
13．数列

a
n

满足
a
1
1,
前
n
项和为
S
n
，且
S
n
2a
n
(n2,nN)
，则
{a
n
}
的通项公
式
a
n

____
；
14．在等差数列

a
n

中，
a
1
2
，
a
3
a
5
10
，则
a
7


．

15．若正数
a,b< br>满足
abab3
，则
ab
的取值范围
_______ ________
。

16．若关于

x

的不等式


2x1

ax
2

的解集中的整数恰有

3

个，则实数

a

的取值范
围是
________________
．

17 ．已知平面四边形
ABCD
中，
BAD120
，
BCD6 0
，
ABAD2
，则
2
AC
的最大值为
__ ________
．

18．已知递增等比数列

a
n
的前
n
项和为
S
n
，且满足：
a
1
1
，
a
4
a
5
4
，则
a< br>2
a
3
S
1
S
4

_____ _
．

a
4
19．已知
S
n
为数列

a
n

的前
n
项和，且
a
1
3
，
a
n1
3S
n
1
，
nN< br>*
，则
S
5

______
.

2 0．若
ABC
的三个内角
A45
，
B75
，C60
，且面积
S623
，则该三角
形的外接圆半径是
______

三、解答题
21．在
ABC
中，
a,b ,c
分别是角
A,B,C
所对的边，且
2csinB3atanA
.

b
2
c
2
（
1
）求的值；

a
2
（2）若
a2
，求
ABC
面积的最大值< br>.

22．已知
a,b,c
分别为
ABC
三个内角
A,B,C
的对边，且
b
2
c
2
a
2
accosCc
2
cosA
.

（
1
）求
A
；

（
2
）在
ABC
中，
BC3
，
D
为边
AC
的中点，< br>E
为
AB
边上一点，且
DEAC
，
DE
6
，求
ABC
的面积
.

2
23．如图，在四边 形
ABCD
中，
AC7,CD2AD,
ADC
2
.

3

（1）求
CAD
的正弦值；

（2）若
BAC2CAD
，且△
ABC
的面积是△
ACD面积的4倍，求
AB
的长.

24．已知数列

an

的前
n
项和为
S
n
，满足
Sn
2a
n
nnN
（Ⅰ）证明：

a
n< br>1

是等比数列；

（Ⅱ）求
a
1
a< br>3
a
5
a
2n1
的值
.

25．已知函数
f(x)=cosx- sinx+
（1）求
f(x)
的单调递增区间；

（2）设
VABC
为锐角三角形，角
A
所对边
a19
，角
B
所对边
b5
，若
f(A)0
，
求
VABC
的 面积．

26．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋
3
asin C－b－c
＝0.

22

*

.

1
,x?(0,p)
．

2

(1)求A；

(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝
1
129
，AD＝，求△ABC的面积．

7
2

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一、选择题

1．B
解析：
B

【解析】

01n1

1

1
< br>1

S
n
4



4


4




2< br>
2

2



1

1



n
22

1

2
4n4n




1
33< br>
2


1




2

n
Q1p

S
n
4n

3


22

1

n

即1p






3


33

2



对任意
nN*
都成立，

当
n1
时，
1p3

当
n2
时，
2p6

4
p4

3
归纳得：
2p3

当
n3
时，
故选
B

点睛：根据已知条件运用分 组求和法不难计算出数列

a
n

的前
n
项和为< br>S
n
，为求
p
的取
值范围则根据
n
为奇数和
n
为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果

2．D
解析：
D

【解析】

∵
a0b

∴设
a1,b1

代入可知
A,B,C
均不正确

对于
D
，根据幂函数的性质即可判断正确

故选
D

3．C
解析：
C

【解析】

画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．


由
z3xy
可得
y3xz
．平移直线
y3xz
，结合图形可得，当 直线
y3xz
经过可行域内的点
A
时，直线在
y
轴上 的截距最小，此时
z
也取得最小值．

3

x


xy30

33
2
由

，解得

，故点
A
的坐标为
(,)
．

22< br>
xy0

y
3

2

∴< br>z
min
3()
3
2
3
3
．选
C
．

2
4．C
解析：
C

【解析】

【分析】

由
sinA:sinB:sinC 5:11:13
，得出
a:b:c5:11:13
，可得出角
C
为 最大角，并利
用余弦定理计算出
cosC
，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状
.

【详解】

由
sinA:sinB:sinC5:1 1:13
，可得出
a:b:c5:11:13
，

设
a 5t

t0

，则
b11t
，
c13t，则角
C
为最大角，

a
2
b
2
 c
2
25t
2
121t
2
169t
2
23
由余弦定理得
cosC0
，则角
C
为钝角，

2ab25t11t110

因此，
ABC
为钝角三角形 ，故选
C.

【点睛】

本题考查利用余弦定理判断三角形的形状， 只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对
大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题
.

5．B
解析：
B

【解析】

分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．


3log2
x,x0
fx
详解：由于


2
，< br>
xx1,x0

当
x
＞
0
时，3+log
2
x≤5
，即
log
2
x≤2=log2
4
，解得
0
＜
x≤4
，

当
x≤0
时，
x
2
﹣
x
﹣
1≤5
，即（< br>x
﹣
3
）（
x+2
）
≤0
，解得﹣
2≤x≤0
，

∴不等式
f
（
x
）
≤5< br>的解集为
[
﹣
2
，
4]
，

故选
B
．

点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运 算，分段函数的值域是将各段的
值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数 的最值，先取每
段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的
.

6．A
解析：
A

【解析】

【分析】

利用平方化倍角公式和边化角公式化简
cos
2
Cab

得到
sinAcosC=sinB
，结合三角
22a
形内角和定理化简得到< br>cosAsinC0
，即可确定
VABC
的形状．

【详解】

Qcos
2

Ca+b
=
22a
1+cosCsinA+sinB
=
化简得
sinAcosC=s inB

22sinA
QB=p-(A+C)

sinAcosC=sin(A+C)
即
cosAsinC0

QsinC0

cosA0
即
A = 90
0

VABC
是直角三角形

故选
A

【点睛】

本题考查了平方化倍角公式和正弦定理 的边化角公式，在化简
cos
2
Cab

时，将边化
22 a

为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．
7．A
解析：
A

【解析】

【分析】

由正弦定理求出
c
，

【详解】

1
10
，

A
是三角形内角，
tanA
，∴
sinA
3
10
asinC1sin1 5010
ac
c

由正弦定理得
sinA2
，
10
sinAsinC
10
又
c
2
a2
b
2
2abcosC
，即
5
1b
2
2bcos150b
2
13b
，

2
b
2
3b
∴
S
ABC

3
33< br>33
0
，
b
（
b
舍去），

2
2
2
113333
．

absinC1 sin150
2238
故选：
A
．

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查同角间的三角函数关 系．解三角形
中公式较多，解题时需根据已知条件确定先选用哪个公式，再选用哪个公式．要有统筹安< br>排，不致于凌乱．

8．C
解析：
C

【解析】

先考虑充分性
,
当
x>0
时，
x
再考虑必要性，当
x
11
2x2
，当且仅当
x =1
时取等
.
所以充分条件成立
.

xx
1
2
时，如果
x>0
时，
x
2
2x10(x1 )
2
0
成立，当
x
x=1
时取等
.
当< br>x<0
时，不等式不成立
.
所以
x>0.

故选
C.

9
．
C
解析：
C

【解析】

a
6
a
11
，所以
a
6
0,a
11
0,a
6
a
11
,a
1

因为等差数列

a
n

中，
15
d
，有
2

S
n

d
[(n8)
2
64]
，

所以当
n8
时前
n
项和取最小值
.
故选
C.

2
10．D
解析：
D

【解析】

解： 由数列的递推关系可得：
a
n1
12

a
n
1

,a
1
12
，

据此可得：数列

a
n
1

是首项为
2
，公比为
2
的等比数列，则：

a
n
122
n1
,a
n
2
n
1
，

分组求和有：
S
5
本题选择D选项.

212
5
12

557
.

11．C
解析：
C

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵
a
2
,a< br>3
,a
4
1
成等比数列，

∴，

∵数列

a
n

为递增的等差数列，设公差为
d
，

∴
即，

，

，即，

，

又数列

a
n

前三项的和
∴
即
d
＝
2
或
d
＝
−2
（舍去） ，

则公差
d
＝
2
．

故选：
C
．

12
．
A
解析：
A

【解析】

分析：由已知条件构造基本不等式模 型
xy

x2



y2
4
即可得出
.

详解：
Qx,y
均为 正实数，且
111

11


，则
6

1


x2y26

x2y2
xy(x2)(y2)4

6(
11
)[(x2)(y2)]4

x2y2
6(2
号
.

y2x2y2x2
)46(22)420

当且仅当
xy10
时取等
x2y2x2y2

xy
的最小值为
20.


故选
A.

点睛：本题考查了基本不等式的性质，
“
一正、二定、三相等
”.

二、填空题

13．【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得：即可知从第 二项起数
列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二
项起是等 比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式

1,n1
< br>解析：
a
n


n2
2,n2

【解析】

【分析】

根据递推关系式
S
n
2 a
n
n2,nN


*

可得
Sn1
2a
n1
n3,nN
*
，两式相减得：

a
n
2(n3,nN

)
，可知从第二项起数列 是等比
a
n
2a
n
2a
n1
(n3,n N)
，即
a
n1
数列，即可写出通项公式
.

【详解】

因为
S
n
2a
n
n2,n N

*


*
所以
S
n1
 2a
n1
n3,nN



两式相减得：
a
n
2a
n
2a
n1
(n3,nN)

即
a
n
2(n3,nN

)

a< br>n1
所以
{a
n
}
从第二项起是等比数列，
又
S
2
2a
2
1+a
2
，所以
a
2
1

n2
*
故
a
n
2(n2,

nN)
，又
a
1
1

所以
a
n



1,n1
.

n2
2,n2


【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题
.
14
．
8
【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为
8
解析：8

【解析】

【分析】

【详解】

设等差数列

a
n

的公差为
d
，

则
a
3
a
5
a
1
a
7
2a
1
6d10
，

所 以
a
7
10a
1
1028
，故答案为
8 .

15．【解析】【分析】先根据基本不等式可知a+b≥2代入题设等式中得关于不等式a+b的方程进而求得a+b的范围【详解】∵正数ab满足a+b≥2∴ab≤又ab=a+b+3∴a+b+3≤即（a+b）2﹣4（a
解析：

6,


【解析】

【分析】

先根据基本不等式可知
a+b≥2
ab
，代入题设等式中得关于不等式
a+b
的方程，进而求得
a+b
的范围．

【详解】

2

ab

．∵正数a，b满足
a+b≥2
ab
，∴
ab≤


2


ab

，即（
a+b
）
2
﹣
4
（
a+b
）﹣
12≥0
．又ab=a
+b+3
，∴
a+b+ 3≤




2

解得
a+b≥6
．

故答案为：
[6
，
+∞
）．

【点睛】

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生对基本不等式的整体把握和
灵活运 用．

2
16．【解析】试题分析：关于x的不等式（2x－1）2不等式的解集为所以解集中一定含有123可得所以解得考点：含参数的一元二
次方 程的解法

2549

解析：

,



916

【解析】

试题分析：关于
x
的不等式（
2x
－
1
）
2
2
等价于
(a4)x4x10
，其中
2

4a0
且有
4a0
，故有
0a4
，不等式的解集为
111

解集中一定含有
1,2,3
，可得
4
2a
2
2549
a
.

916
考点：含参数的一元二次方程的解法
.

11
x
，所以
2a2a
a
5
3
，所以
{
， 解得
7
a
4
17
．
4
【解析】【分析】由题知： 四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接
圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故 的最大值为四边形
外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定

解析：4

【解析】

【分析】

由题知：四边形
ABCD
为圆内接四边形，
AC
的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定< br>理即可求出
AC
的最大值.

【详解】


因为
BAD120
，
BCD60
，所以

故
AC
的最大值为四边形外接圆的直径.

当
AC
为四边形外接圆的直径时，

得到：
ADCA BC90
，又因为
ABAD2
，
BCD60
，

所以
ACDACB30
.

在
VABC
中，由正弦定理得：

ACAB

，解得：
AC4
.

sin90sin30
故答案为：
4

【点睛】
本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形
ABCD
为圆内接四边形是解题的关键，属于中
档题.

18．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】 设等

比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题
解析：2

【解析】

【分析】

利用已知条件求出公比
q
，再求出
S
1
,S
4
,a
4
后可得结论．

【详解】

设等比数列
{a
n
}
公比为
q
，则
a4
a
5
a
4
(1q)
q
2
 4
，又数列
{a
n
}
是递增的，∴
a
2
 a
3
a
2
(1q)
q=2
，

S
1
S
4
115
12
4
3
2
．

∴
S
4
15
，
S
1
a< br>1
1
，
a
4
28
，
a
48
12
故答案为：
2
．

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和前
n
项和公式，属于基础题．

19 ．853【解析】【分析】由与的关系可得即进而得到是以为首项为公比的等比
数列可得令即可得到的值 【详解】由题即则是以为首项为公比的等比数列即当
时故答案为：853【点睛】本题考查等比数列通项 公式考查由与的关
解析：853

【解析】

【分析】

由
S
n
与
a
n
的关系可得
,
S< br>n1
S
n
3S
n
1
,
即
S
n1
4S
n
1
,
进而得到

Sn


是以
首项
,
4
为公比的等比数列
,
可得
S
n

【详解】

由题
,
a
n1
S
n1
S
n
3S
n
 1
,
即
S
n1
4S
n
1
,
则
S
n1


4

S
n
< br>




1

3

10
为
3
10
n1
1
4
,
令
n 5
,
即可得到
S
5
的值

33
1

3
1110
Qa
1
3
,
S
1
a
1

,

333
S
n1
4S
n
3

,


1
10


S
n


是以为首项
,
4
为公比的等比数列
,

3

3


S
n

110
n1
1014
,
即
S
n
4
n1


3333
10
51
1101
4256853

3333
当
n5
时
,
S
5
