迎接新年-教师节对老师说的话

绝密★考试结束前
2016年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）
数 学
（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页， 非选择题部分4至5页
．
满
分150分，考试时间120分钟
．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上
．
选择题部分
（共50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名 、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题
纸规定的位置上
．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上
．

参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 柱体的体积公式
P

AB

P

A

P

B


VSh

如果事件A，B相互独立，那么 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
P

AB

P
A

P

B

锥体的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么
V
1
Sh

3
n次独立重复试验中事件
A
恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
kk
P
n

k

C
n
p

1p

nk
,

k0,1,2,,n

球的表面积公式
台体的体积公式
S4πR
2

1
VhS
1
S
1S
2
S
2
球的体积公式
3

其中
S
1
,S
2
分 别表示台体的上底、下底面积，
V
4
3
π
R

3
h表示台体的高 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选 项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x
2
－2x－3≤0}，则A∩(
C
R
B)＝
A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)
【解 析】A＝(1，4)，B＝(－3，1)，则A∩(
C
R
B)＝(1，4)．
【答案】A

2．已知i是虚数单位，则
3+i
＝
1i
A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i
【解析】
3+i

3 +i

1+i

2+4i
＝＝＝1＋2i．
1i2
2
【答案】D

3．设a

R，则“a ＝1”是“直线l
1
：ax＋2y－1＝0与直线l
2
：x＋(a＋1)y＋ 4＝0平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【 解析】当a＝1时，直线l
1
：x＋2y－1＝0与直线l
2
：x＋2y＋4 ＝0显然平行；若直线l
1
与直线l
2
平行，则有：
【答案】A

4．把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 然后向左
平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
a2

，解之得：a＝1 or a＝﹣2．所以为充分不必要条件．
1a1

【解析】把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)
得：y
1
＝cosx＋1，向左平移1个单位长度得：y
2
＝cos(x
—
1)＋1，再向下平移1个单位长度
得：y
3＝cos(x
—
1)．令x＝0，得：y
3
＞0；x＝
【答案】 B
5．设a，b是两个非零向量．
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

1
，得：y
3
＝0；观察即得答案．
2

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
【解析】利用排除法可得 选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存
在实
数λ，使得a＝ λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：
若a⊥b，由 正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b
可为同向 的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
【答案】C

6．若 从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共
有
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的
数其和为偶数，则取法有：
4个都是偶数：1种；
2个偶数，2个奇数：
C
5
2
C
4
2
60
种；
4个都是奇数：
C
5
4
5
种．
∴不同的取法共有66种．
【答案】D

7．设S
n
是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a
n
}的前n项和，则下列命题错误的是
．．
A．若d＜0，则数列{S
n
}有最大项
B．若数列{S
n
}有最大项，则d＜0
C．若数列{S
n
}是递增数列，则对任意的n

N*，均有S
n
＞0

D．若对任意的n

N*，均有S
n
＞0，则数列{S
n
}是递增数列
【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S
n
}是递增数
列，但是S
n
＞0不成立．
【答案】C

x
2
y
2
8．如图，F
1
，F
2
分别是双曲线C：
2

2
1
(a，b＞ 0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线
ab
F
1
B与C的两条渐近线分别交 于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若
|MF
2
|＝|F
1
F
2
|，则C的离心率是
A．
23
6
B．
2
3
C．
2
D．
3

【解析】如图：|OB|＝b，|O F
1
|＝c．∴k
PQ
＝，k
MN
＝﹣．
b
y＝(x＋c)

bacbc
b

c
直线P Q为：y＝(x＋c)，两条渐近线为：y＝x．由

，得：Q(，)；
acac a
c
b

y＝x

a

b
y＝(x＋c)

acbcbcbac

c
由
< br>，得：P(，)．∴直线MN为：y－＝﹣(x－)，
cacacacca
b

y＝-x

a

b
c
b
cc
3
c
3
c
2
3
2
令y＝0得：x< br>M
＝
22
．又∵|MF
2
|＝|F
1
F2
|＝2c，∴3c＝x
M
＝
22
，解之得：
ea

，
2
cacaa
即e＝
6
．
2
【答案】B

9．设a＞0，b＞0．
A．若
2
a
2a2
b
3b
，则a＞b
B．若
2
a
2a2
b
3b
，则a＜b
C．若
2
a
2a2
b
3b
，则a＞b
D．若
2
a
2a2
b
3b
，则a＜b b
【解析】若
2
a
2a2
b
3b
，必有
2
a
2a22b
．构造函数：
f

x

2
x
2x
，则
f


x

2
x
ln220
恒成立，故有函数
f

x

2
x
2x
在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其
余选项用同样方法排除．
【答案】A

10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC ＝
2
．将

ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，

在翻着过程中，
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
【解析 】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可
知选项C是正确的．
【答案】C

绝密★考试结束前
2016年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）
数 学
（理科）
非选择题部分
（共100分）
注意事项：
1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上
．

2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑
．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三
棱锥的体积等于___________cm
3
．
【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角
形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于
11
3121
．
23
【答案】1

12．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是
______________．
【解析】T，i关系如下图：
T
i
【答案】

13．设公比为q(q＞0)的等比数列{a
n
}的前n项和为{S
n
}．若
S
2
3a2
2
，
S
4
3a
4
2
，则q＝ ______________．
1
2
1

120
1

2
1

6
1

24
1

120
3 4 5 6
【解析】将
S< br>2
3a
2
2
，
S
4
3a
4< br>2
两个式子全部转化成用
a
1
，q表示的式子．
即


a
1
a
1
q3a
1
q2，两式作差得：
a
1
q
2
a
1
q
3
3a
1
q(q
2
1)
，即：
2q
2< br>q30
，
233

a
1
a
1
qa
1
qa
1
q3a
1
q2

解之得：
q
3
orq1
(舍去)．
2
3
2
【答案】

14．若将函数
f

x

x
5
表示为
f

x

a
0
a
1

1x

a
2

1x


2
a
5

1x


5
其中
a
0
，
a
1
，
a
2
，…，
a
5< br>为实数，则
a
3
＝______________．
【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．

a
5
1

a
3
10
． 即：

C
5
4
a
5
a
4
0< br>
C
3
aC
1
aa0
443

55
法二：对等式：
f

x

x
5
 a
0
a
1

1x

a
2

1x


2
a
5

1x

两边连续对x求导三次得：
5
60x
2
6a
3
 24a
4
(1x)60a
5
(1x)
2
，再运用赋值 法，令
x1
得：
606a
3
，即
a
3
10
．
【答案】10

15．在

ABC中，M是 BC的中点，AM＝3，BC＝10，则
ABAC
＝______________．
【解析】此题最适合的方法是特例法．
假设

ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，
AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝
34
．
cos∠BAC＝
3 4341029

．
ABAC
＝
ABACcosBAC 29

23434
【答案】29

16．定义：曲线C上的点到 直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C
1
：
y＝x
2
＋a到直线l：y＝x的距离等于C
2
：x
2
＋(y＋4)
2
＝2到直线l：y＝x的距离，
则实数a＝______________．
【解析】C
2
：x
2
＋(y＋4)
2
＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：< br>d
0(4)
2
22
，故曲线C
2
到直线l： y＝x的距离为
d

drd22
．
1
，曲线C
1
：y＝x
2
＋a到直线l：
2
另一方面：曲线C
1
：y＝x
2＋a，令
y

2x0
，得：
x

1 11
(a)a
11
244
y＝x的距离的点为(，
a
)，
d

2
24
22
a
7
．
4
【答案】

17．设a

R，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x
2
－ax－1)≥0，则a＝______________．
【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：
(A)

(B)


(a－1)x－10
， 无解；
2
x－ax－10

7
4

(a－1) x－10
， 无解．
2

x－ax－10
因为受到经验的影响 ，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区间
上，我们可以将其分成两个区间(为 什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)
我们知道：函数y
1
＝(a－1)x－1，y
2
＝x
2
－ax－1都过定点P(0，1)．
考查函数y
1
＝(a－1)x－1：令y＝0，得M(
2
1
，0)，还可分析得：a＞1；
a1
2
1
a

1

考查函数y
2
＝x－ax－1：显然过点M(，0)，代入 得：

10
，解之

a1

a1

a1
得：
a2
，舍去
a2
，得答案：
a2
．

【答案】
a2

三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18 ．(本小题满分14分)在

ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos A＝，
sinB＝
5
cosC．
(Ⅰ)求tanC的值；
(Ⅱ)若a＝
2
，求

ABC的面积．
【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。
(Ⅰ )∵cosA＝＞0，∴sinA＝
1cos
2
A
2
3
2
3
5
，
3
又
5
cosC＝sinB＝sin( A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA
＝
2
5
cosC＋sinC．
3
3
整理得：tanC＝
5
．
(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝
又由正弦定理知：
故
c3
． (1)
b
2
c
2
a
2
2
对角A运用 余弦定理：cosA＝

． (2)
2bc3
5
．
6
ac

，
sinAsinC
解(1) (2)得：
b3
or b＝
∴

ABC的面积为：S＝
【答案】(Ⅰ)

5
；(Ⅱ)
3
(舍去)．
3
5
．
2
5
．
2
19．(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5 个黑球，且规定：取出一个白球的2分，
取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的 机会均等)3个球，记随
机变量X为取出3球所得分数之和．
(Ⅰ)求X的分布列；
(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．新课 标 第一 网
【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。
(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．
31
C
5
C
5
2C
4
520

P(X3)
3

；
P(X4)
3

；
42
C
9
42
C
9

12
3
C
5
C
4
15
C
4
2
； ．
P(X5)P(X6)
33
4242< br>C
9
C
9
故，所求X的分布列为
X
P
3
5

42
4
2010


4221
5
155


4214
6
21


4221
(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为：
E(X)＝

iP(Xi)
i4
6
91
．
21
91
．
21
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)
20．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P
—
ABCD中，底面是边长为
23
的菱形，且∠BAD
＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝
26
，M， N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；xkb 1.c om
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A
—
MN
—
Q 的平面角的余弦值．
【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。
(Ⅰ)如图连接BD．
∵M，N分别为PB，PD的中点，
∴在

PBD中，MN∥BD．
又MN

平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD；
(Ⅱ)如图建系：
A(0，0，0)，P(0，0，26
)，M(

N(
3
，0，0)，C(
3
， 3，0)．
CP(3，3，26)
． 设Q(x，y，z)，则
CQ(x 3，y3，z)，
3

，26

)
，∴
Q(3 3

，33

，26

)
． ∵
CQ 

CP(3

，
3
3
，，0)，
2
2
由
OQCPOQCP0
，得：


1
2326
． 即：
Q(，2，)
．
3
33
对于平面AMN：设其法向量为
n(a，b，c)
．
∵
AM(
33
，，0)，AN=(3，0，0)
．
22


3

a
3

1

31
． ∴
n(，，0)
．

b
3
33


c0




AMn0
则



ANn0

33
ab0




22

3a0


16)
． 同理对于平面AMN得其法向量为
v( 3，，
记所求二面角A
—
MN
—
Q的平面角大小为

，
则
cos


nv
nv

10
．
5
10
．
5
∴所求二面角A
—
MN
—
Q的平面角的余弦值为
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)

10
．
5
x
2
y
2
21．(本小题满分 15分)如图，椭圆C：
2
+
2
1
(a＞b＞0)
ab< br>的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为
10
．不
过原点O的直线l与 C相交于A，B两点，且线段AB
被直线OP平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求

ABP的面积取最大时直线l的方程．
【解析】
(Ⅰ)由题：
e
c1

； (1)
a2
12
左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：
d(2c)
2
 1
2

10
． (2)
由(1) (2)可解得：
a2
4，b
2
3，c
2
1
．
x
2
y
2
∴所求椭圆C的方程为：
+1
． 43
(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(x
A
，y
A
) ，B(x
B
，y
B
)，R(x
0
，y
0
) ．其中y
0
＝x
0
．

∵A，B在椭圆上，
< br>x
A
2
y
A
2
+1


43
∴

22

x
B
+
y
B1

3

4
y
A
y
B
3
x
A
x
B
3
2x
0
3
 
．
x
A
x
B
4y
A
y
B
42y
0
2
1
2
1
2
k
AB


3
2
设直线AB的方程为l：y＝﹣
xm
(m≠0)，

x
2
y
2
+1


43
代入 椭圆：


y＝-
3
xm

2
3x
2
3mxm
2
30
．
显然
(3m)
2
43(m
2
3)3(12m
2
)0
．
∴﹣
12
＜m＜
12
且m≠0．
m
2
3
由上又有：
x
A
x
B
＝m，
y
A
y
B
＝．
3
∴|AB|＝
1k
AB
|
x
A
x
B
|＝
1k
AB
∵点P(2 ，1)到直线l的距离为：
d
(x
A
x
B
)4xA
x
B
＝
1k
AB
31m
1kAB

m2
1k
AB
2
m
2
．
4
3
．
11
m
2
∴S

AB P
＝d|AB|＝|m＋2|
4
，
22
3
1
m
2
当|m＋2|＝
4
，即m＝﹣3 or m＝0(舍去)时，(S

ABP
)
max
＝．
2
3
此时直线l的方程y＝﹣
x
3
2
1
．
2
31
x
2
y
2
【答案】 (Ⅰ)
+1
；(Ⅱ) y＝﹣
x
．
22
43
21．(本小题满分14分)已知a＞0，b

R，函数
f

x

4ax
3
2bxab
．
(Ⅰ)证明：当0≤x≤1时，
(ⅰ)函数
f

x

的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ)
f

x

＋|2a－b|﹢a≥0；
(Ⅱ) 若﹣1≤
f

x

≤1对x

[ 0，1]恒成立，求a＋b的取值范围．
【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。
(Ⅰ)
(ⅰ)
f


x

12ax
2
2b
．
当b≤0时，
f


x

1 2ax
2
2b
＞0在0≤x≤1上恒成立，
此时
f
< br>x

的最大值为：
f

1

4a2b ab3ab
＝|2a－b|﹢a；

当b＞0时 ，
f


x

12ax
2
2b
在0≤x≤1上的正负性不能判断，
此时
f

x

的最大值为：

ba，b2a
＝|2a－b|﹢a；
f
max
< br>x

max{f(0)，（）f1}max{(ba)，(3ab)}

b2a

3ab，
综上所述：函数
f

x

在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a；
(ⅱ) 要证
f

x

＋|2a－b|﹢a≥0，即证
g

x
< br>＝﹣
f

x

≤|2a－b|﹢a．
亦即证
g

x

在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a， < br>∵
g

x

4ax
3
2bxab
，∴令
g


x

12ax
2
2b0x
当b≤0时，
g


x

 12ax
2
2b
＜0在0≤x≤1上恒成立，
此时
g

x

的最大值为：
g

0

ab3 ab
＝|2a－b|﹢a；
当b＜0时，
g


x
12ax
2
2b
在0≤x≤1上的正负性不能判断，
g
max

x

max{g(
b
)，（）g1}

6a
b
．
6a
4b
max{bab，b 2a}
36a

4b
b6a
ab，

b< br>

36a
b6a

b2a，


≤|2a－b|﹢a；
综上所述：函数
g

x

在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．
即
f

x
＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数
f

x

在0≤x≤1上的最大值为|2a－b|﹢a，
且函数f

x

在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大． < br>∵﹣1≤
f

x

≤1对x

[0，1]恒 成立，
∴|2a－b|﹢a≤1．
取b为纵轴，a为横轴．
则可行域为：

作图如下：


b2a
< br>b2a
和

，目标函数为z＝a＋b．
ba13ab1


由图易得：当目标函数为z＝ a＋b过P(1，2)时，有
z
max
3
．
∴所求a＋b的取值范围为：

，3

．

【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ)

，3

．