温暖的句子-邵阳职业技术学院

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一
些简单的三角形度量问题．
2．能够运用 正弦定理、余弦定理等知识和
方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问
题．
主要 考查有关定理的应用、三角恒等变换
的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角
形常常作为解 题工具用于立体几何中的计算或
证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度
以及角度等问题， 且多以应用题的形式出现．

1．正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它
所对角的正弦的比相等，即 ．其
中
R
是三角形外接圆的半径．
(2)正弦定理的其他形式：
①
a
＝2
R
sin
A
，
b
＝ ，
c
＝ ；
②sin
A
＝
a
2
R
，sin
B
＝ ，
sin
C
＝ ；
③
a
∶
b
∶
c
＝______________________.
2．余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等
于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹
角的余弦的积的两倍．即
a
2
＝ ，
b
2
＝ ，
c
2
＝ .
若令
C
＝90°，则
c
2
＝ ，即为勾
股定理．
(2)余弦定理的变形：cos
A
＝ ，cos
B
＝ ，
cos
C
＝ .
若
C
为锐角，则cos
C
>0，即
a
2
＋
b
2
______
c
2
；
若
C
为钝角，则cos
C
<0，即
a
2
＋
b
2
______
c
2
.故
由
a
2
＋
b2
与
c
2
值的大小比较，可以判断
C
为锐

——王彦文 青铜峡一中
角、钝角或直角．
(3)正、余弦定理的一个重要作用 是实现边
角____________，余弦定理亦可以写成sin
2
A
＝s in
2
B
＋sin
2
C
－2sin
B
si n
C
cos
A
，类似地，
sin
2
B
＝_ ___________；sin
2
C
＝
________________ __.注意式中隐含条件
A
＋
B
＋
C
＝π.
3．解斜三角形的类型
(1)已知三角形的任意两个角与一边，用
____________定理．只有一解． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的
对角，用____________定理，可能有
___________________．如在△
ABC
中，已知
a
，< br>b
和
A
时，解的情况如表：
A
为锐角
A
为钝角
或直角
图
形





关
系
a
＝
b
sin
A
<
a
式

b
sin
A
<
b
a
≥
b a
>
b

解
的
个
① ②

③



④
数

(3)已知三边，用____________定理．有
解时，只有一解．
(4)已知两边及夹角，用____________定
理，必有一解．
4．三角形中的常用公式或变式
(1)三角形面积公式
S
△
＝ ＝
＝____________＝____________＝
______ ______．其中
R
，
r
分别为三角形外接圆、
内切圆半径． < br>(2)
A
＋
B
＋
C
＝π，则
A
＝_ _________，
A
2
＝__________，从而sin
A
＝
____________，
cos
A
＝____________，tan
A
＝
1

____________；
sin＝__________，cos＝__________，
AA
－tan(
B
＋
C
) cos
B
＋
C
2
sin
B
＋
C
2

22
tan
A
2
＝________.tan
A
＋tan
B
＋tan
C< br>＝
__________.
(3)若三角形三边
a
，
b，
c
成等差数列，则
2
b
＝____________⇔2si n
B
＝____________⇔
2sin
BA
－
CA< br>＋
CA
－
CA
2
＝cos
2
⇔2cos2
＝cos
2
⇔tan
2
tan
C
1
2
＝
3
.

【自查自纠】
1．(1)
abc< br>sin
A
＝
sin
B
＝
sin
C
＝ 2
R

(2)①2
R
sin
B
2
R
sin
C
②
b
2
R

c
2
R

③sin
A
∶sin
B
∶sin
C

2． (1)
b
2
＋
c
2
－2
bc
cos
A

c
2
＋
a
2
－2
ca
co s
B

a
2
＋
b
2
－2
abcos
C

a
2
＋
b
2

b
2
＋
c
2
－
a
2
c
2
＋
a
2
－
b
2
a
2
＋
b
2
－
c
2
(2)
2
bc

2
ca

2
ab
>
<
(3)互化 sin
2
C
＋sin
2
A
－2sin
C
s in
A
cos
B

sin
2
A
＋sin< br>2
B
－2sin
A
sin
B
cos
C

3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解
①一解 ②二解 ③一解 ④一解
(3)余弦 (4)余弦
4．(1)
1
2
ab
sin
C

1
2
bc
sin
A

1
abc
2
ac
sin
B

4
R

1
2
(
a
＋
b
＋
c
)
r

(2)π－(
B
＋
C
)
π
B
＋
C
2
－
2

sin(
B
＋
C
) －cos(
B
＋
C
)

1
tan
B
＋
C

2
tan
A
tan
B
tan
C
(3)
a
＋
c
sin
A
＋sin
C



在△
ABC
中，
A
>
B
是 sin
A
>sin
B
的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解： 因为在同一三角形中，角大则边大，
边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故
选C
.

在△
ABC
中，已知
b
＝6，
c
＝10，
B
＝
30°，则解此三角形的结果有( )
A．无解 B．一解
C．两解 D．一解或两解
解：由正弦定理知sin
C
＝
c
·sin
B
5
b
＝
6
，又由
c
>
b
>
c
sin
B
知，
C
有 两解．也可依已知条件，画
出△
ABC
，由图知有两解．故选C
.

(
2013·陕西
)设△
ABC
的内角
A, B, C
所对的边分别为
a, b, c,
若
b
cos
C
＋
c
cos
B
＝
a
sin
A,
则△
ABC
的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定
解：由已知和正弦定理可得sin
B
cos
C
＋
sin
C
cos
B
＝sin
A
·sin
A
，即sin(
B
＋
C
)＝< br>sin
A
sin
A
，亦即sin
A
＝sin
A
sin
A
.因为0<
A
<π，
所以sin
A＝1，所以
A
＝
π
2
.所以三角形为直角
三角形．故选 B
.

(
2012·陕西
)在△
ABC
中，角< br>A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
.若
a
＝2，
B
＝
π
6，
c
2

＝23，则
b
＝________．
解：由余弦定理知
b
2
＝
a
2
＋
c
2
－2
ac
cos
B
＝
2＋
(
23)
22
2sin(90°＋2
C
)＝2sin2(45°＋
C< br>)．
∴2sin(45°＋
C
)＝22sin(45°＋
π
－2×2×23×cos＝4，
b
＝2.
6
C
)cos(45°＋< br>C
)，
1
即cos(45°＋
C
)＝.
2
又∵0°＜
C
＜90°，∴45°＋
C
＝60°，
C
故填
2.

在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别
为
a
，
b
，
c
，若
a
＝2，
b
＝2，sin
B
＋cos
B＝2，
则角
A
的大小为________．
解：∵sin
B
＋cos
B
＝2，
∴2sin


π

π


B
＋
4


＝2，即sin


B
＋
4


＝1.
又∵
B
∈(0，π)，∴
B
＋
π4
＝
π
2
，
B
＝
π
4
. < br>根据正弦定理
a
sin
A
＝
b
sin
B，可得sin
A
＝
a
sin
B
1
b
＝
2
.
∵
a
＜
b
，∴
A
＜
B
.∴
A
＝
π
6
.故填
π
6
.


类型一 正弦定理的应用
△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别
为
a
，
b
，
c
，已知
A
－
C
＝90°，
a
＋
c
＝2
b
，
求
C
.
解：由
a
＋
c
＝2
b
及正弦定理可得sin
A
＋sinC
＝2sin
B
.
又由于
A
－
C
＝ 90°，
B
＝180°－(
A
＋
C
)，
故cos< br>C
＋sin
C
＝sin
A
＋sin
C
＝2s in(
A
＋
C
)＝

＝15°.
【评析】利用正弦定理将边边关系转化为
角角关系，这是解此题的关键．

(
2012·江西
)在△
ABC
中，角
A
，
B，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
.已知
A
＝
π
4
，
b
sin


π
＋
C


－
c
sin

< br>π


4

4
＋
B


＝
a
.
(1)求证：
B
－
C
＝
π
2
；
(2)若
a
＝2，求△
ABC
的面积．
解：(1)证明： 对
b
sin


π


4
＋C


－
c
sin


π

4
＋
B



＝
a
应用正弦定理 得
sin
B
sin


π


4
＋
C


－sin
C
sin


π


4
＋
B


＝sinA
，
即sin
B


22

2
sin
C
＋
2
cos
C


－
sin
C


22


2
s in
B
＋
2
cos
B

2

＝< br>2
，整理得sin
B
cos
C
－sin
C
c os
B
＝1，即sin
(
B
－
C
)
＝1.
由于
B
，
C
∈



0，
3π

4


，∴
B
－
C
＝< br>π
2
.
3

(2)∵
B
＋
C
＝π－
A
＝
3π
4
，又由(1)知
B
－
C
＝
π
2
，
∴
B
＝
5π
8
，
C
＝
π
8
.
∵
a
＝2，
A
＝
π
4
，∴由正弦定理知
b
＝
a
sin
B
sin
A
＝2sin
5π
8
，
c
＝
a
sin
C
sin
A
＝2sin
π< br>8
.
∴
S
115ππ
△
ABC
＝
2
bc
sin
A
＝
2
×2sin
8
×2s in
8
×
2
2

＝2sin
5π
8
sin
π
8
＝2cos
ππ2
8
sin
8
＝
2
sin
π
4
＝
1
2
.
类型二 余弦定理的应用
在△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是角
A
，
B
，
C
的对 边，且
cos
B
cos
C
＝－
b
2
a＋
c
.
(1)求
B
的大小；
(2)若
b< br>＝13，
a
＋
c
＝4，求△
ABC
的面积．
解：(1)由余弦定理知，cos
B
＝
a
2
＋
c
2
－
b
2
2
ac
，
cos
C
＝< br>a
2
＋
b
2
－
c
2
cos
Bb
2
ab
，将上式代入
cos
C
＝－
2
a
＋
c
得

a
2
＋
c
2
－
b
2
2
ac
·
2
abb
a
2
＋
b
2
－
c
2
＝－
2
a
＋
c
，
整理得
a
2
＋
c
2
－< br>b
2
＝－
ac
.
∴cos
B
＝
a
2
＋
c
2
－
b
2
－
ac
1
2
ac
＝
2
ac
＝－
2
.
∵
B
为三角形的内角，∴
B
＝
2
3
π.
(2)将
b
＝13，
a
＋
c
＝4，
B＝
2
π代入
b
2
3
＝
a
2
＋
c
2
－2
ac
cos
B
，得13＝4
2< br>－2
ac
－2
ac
cos
2
3
π，解得ac
＝3.
∴
S
133
△
ABC
＝
2
ac
sin
B
＝
4
.
【评析】①根据所给等式 的结构特点利用
余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的
关键．②熟练运用余弦定理及其推 论，同时还
要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运
用．

若△ABC
的内角
A
，
B
，
C
所对的边
a
，
b
，
c
满足(
a
＋
b
)
2
－
c
2
＝4，且
C
＝60°，则
ab
的值为( )
A.
4
3
B．8－43 C．1
D.
2
3

解：由余弦定理得
c
2
＝< br>a
2
＋
b
2
－2
ab
cos
C＝
a
2
＋
b
2
－
ab
，代入(
a
＋
b
)
2
－
c
2
＝4中得(
a
＋
b
)
2
－(
a
2
＋
b
2
－
ab
)＝4，即3
ab
＝4，∴
ab
＝4
3
.故选
A
.

类型三 正、余弦定理的综合应用
(
2013·全国新课标Ⅱ
)△
ABC
的内
4