科普知识宣传资料-武昌分校教务系统

[重点保分 两级优选练]
A级
一、选择题
1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( )
1323
A.
2
B.
3
C.
2
D.
2

答案 A
解析 原式＝sin43°cos13°－cos43° sin13°＝sin(43°－13°)＝
1
sin30°＝
2
.故选A.
sin47°－sin17°cos30°
2.＝( )
cos17°
3113
A．－
2
B．－
2
C.
2
D.
2

答案 C
解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°， sin30°cos17°1
∴原式＝
cos17°
＝sin30°＝
2
.故选C.
3．(2017·云南一检)已知过点(0,1)的直线l：xtanα－y－3 tanβ＝0
的斜率为2，则tan(α＋β)＝( )
775
A．－
3
B.
3
C.
7
D．1
答案 D
1
解析 由题意知tanα＝2，tanβ＝－
3
.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
1

1－tanαtanβ
1－2×

－


3

tanα＋tanβ
1
2－
3

故选D.
4．cos
π2π


23π

9·cos
9
·cos

－
9


＝( )
A．－
1111
8
B．－
16
C.
16
D.
8

答案 A
解析 cos
π 2π

23π

9
·cos
9
·cos


－
9



＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80° < br>＝－
sin20°·cos20°·cos40°·cos80°
sin20°

1
＝－
2
sin40°·cos40°·cos80°
1
4
sin80°·cos80°
sin20°
＝－
sin20°
1
＝－
8
sin160°
1
8
sin20°
＝ －
1
sin20°
＝－
sin20°8
.故选A.
5．( 2017·衡水中学二调)
31
cos10°
－
sin170°
＝( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
答案 D
解析
313 1
cos10°
－
sin170°
＝
cos10°
－
sin10°

＝
3sin10°－cos10°2sin10°－30°－2sin20°
sin10°cos10°
＝
1
＝
1
＝－4.
2
sin20°
2
sin20°
故选D.
6． 若0<α<
ππ

π

1

π
β

3
2
，－
2
<β<0，cos


4< br>＋α


＝
3
，cos


4
－

2


＝
3
，则
co s


β

α＋

2


＝( )

33536
A.
3
B．－
3
C.
9
D．－
9

答案 C
β

π

π
β

解析 cos

α＋
2

＝cos

4
＋α

－

4
－
2


< br>
π

π
β

π

π
β

＝cos

4
＋α

cos
4
－
2

＋sin

4
＋α

sin

4
－
2

，


π

22
πππ3π
由0<α<
2
，得
4
<α＋
4
<
4
，则sin

4
＋α< br>
＝
3
.


π
β

πππβπ
6

由－
2
<β<0，得
4
<
4
－
2
<
2
，则sin
4
－
2
＝
3
，代入上式，得

β

53

< br>cos
α＋
2

＝
9
.故选C.
1sin2α
7．(2018·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝2
，则
sin2β
的值为( )
11
A.
3
B．－
3
C．3 D．－3
答案 A
sin2α
sin[α＋β＋α－β]
解析
sin2β
＝

sin[α＋β－α－β]
＝
si nα＋βcosα－β＋cosα＋βsinα－β
sinα＋βcosα－β －cosα＋βsinα－β

tanα＋β＋tanα－β
1
＝＝
3
.故选A.
tanα＋β－tanα－β
8．(2017·山西八校联考)若将函数f(x)＝sin( 2x＋φ)＋3cos(2x＋

π

π
φ)(0<φ<π)的图象 向左平移
4
个单位长度，平移后的图象关于点

2
，0
< br>

ππ

对称，则函数g(x)＝cos(x＋φ)在

－
2
，
6

上的最小值是( )


1321
A．－
2
B．－
2
C.
2
D.
2

答案 D
π
解析 ∵f(x)＝sin(2x＋φ)＋3cos(2x＋φ)＝2sin
(
2x＋φ＋
3
)
，∴将函
π
数f(x)的图象向左平移< br>4
个单位长度后，得到函数解析式为y＝
π

π

π


π



x＋
2 x＋φ＋
，0
2
＋φ＋
2sin
4

3

的图象．∵该图象关于点

2

3

＝2cos< br>


ππ

π


对称 ，对称中心在函数图象上，∴2cos
2×
2
＋φ＋
3
＝2cos< br>π＋φ＋
3

＝

ππ5π
0，解得π＋φ＋
3
＝kπ＋
2
，k∈Z，即φ＝kπ－
6
，k∈Z. π

π
∵0<φ<π，∴φ＝
6
，∴g(x)＝cos

x＋
6

，


ππ

π

ππ

∵x∈

－
2
，
6< br>
，∴x＋
6
∈

－
3
，
3

，

π

1


∴co s
x＋
6

∈

2
，1

， < br>

ππ

1

则函数g(x)＝cos( x＋φ)在
－
2
，
6
上的最小值是
2
.故选D.

9．(2018·兰州检测)在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosB·cosC，
且tanBtanC＝1－2，则角A的值为( )
πππ3π
A.
4
B.
3
C.
2
D.
4

答案 A
解析 由题意知，－2cosBcosC＝sinA＝s in(B＋C)＝sinBcosC＋
cosBsinC，等式－2cosBcosC＝sinBcos C＋cosBsinC两边同除以
cosBcosC，得tanB＋tanC＝－2，又tan(B＋C )＝
＝－1
1－tanBtanC
tanB＋tanC

π＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝
4
.故选A.
π

14

10．(2018·河北模拟)已知θ∈
0，
4
，且si nθ－cosθ＝－
4
，则

2cos
2
θ－1
等于( )

π

cos

4
＋θ


2433
A.
3
B.
3
C.
4
D.
2

答案 D

π

147
解析 由sinθ－cosθ＝－
4
，得sin

4
－θ

＝
4
，
π

π

π

∵θ∈
0，
4
，∴
4
－θ∈
0，
4

，

π

3
∴cos

4
－θ

＝
4
，


π


－2θ
sin
2cos
θ－1
cos2θ

2

∴＝< br>π
＝


π

π

cos< br>
4
＋θ

sin

4
－θ
sin

4
－θ

2


π

sin

2

4
－θ


π

3


－θ
＝＝2cos
4

＝
2
.故选D.

π


sin

4
－θ


二、填空题
1
11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝
3
，则cos
2
α－sin
2
β＝________.
1
答案
3

1
解析 ∵(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝
3
，
1
∴cos
2
αcos
2
β－sin
2
α sin
2
β＝
3
.
1
∴cos
2
α(1 －sin
2
β)－(1－cos
2
α)sin
2
β＝
3
.

1
∴cos
α－sinβ＝
3
.
22
11
12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝
2
，tanβ＝－
7
，则2α－β 的
值为________．
3π
答案 －
4

11
tanα－β＋tanβ
2
－
7
解析 ∵tanα ＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝
11
1－tanα－βtanβ
1＋ ×
27
1
π
3
>0，又α∈(0，π)，∴0<α<
2，
1
2×
3
2tanα3
又∵tan2α＝＝＝
>0， 2
14

1－tan
α
1－

2

3

π
∴0<2α<
2
，
31
tan 2α－tanβ
4
＋
7
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
311＋tan2αtanβ
1－×
47
1
π
∵tanβ＝－
7
<0，∴
2
<β<π，－π<2α－β<0，
3π
∴2α－β＝－
4
.
1
13．(2017·江苏模拟 )已知α，β为三角形的两个内角，cosα＝
7
，
53
sin(α＋β)＝
14
，则β＝________.
π
答案
3

1
解析 因为0<α<π，cosα＝
7
，所以sinα＝
43π
1－cos
α＝
7
，故
3
2

π
533
π2π
<α<
2
，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β )＝
14
<
2
，所以0<α＋β<
3
或
3
<α
＋β<π.
ππ2π
由
3
<α<
2
，知3
<α＋β<π，
11
所以cos(α＋β)＝－1－sin
α＋β＝－
14
，
2
所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]
1
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝
2
，
π
又0<β<π，所以β＝
3
.
π

1cos 2α
14．已知sinα＝
2
＋cosα，且α∈

0，
2

，则
π

的值为


sin

α－
4


________．
14
答案 －
2

11
解析 ∵sinα＝
2
＋cosα，∴sinα－cosα＝
2
，
1
∴(sinα－cosα)＝1－2sinαcosα＝
4
，
2
3
∴2sinαcosα＝
4
.
π


0，
∵α∈
2

，

∴sinα＋cosα＝
＝
sin
2
α＋cos
2
α＋2sinαcosα
37
1＋
4
＝
2
，
cosα＋sinαcosα－sinα
cos2α
∴

π

＝

2
sin

α－
4

2
sinα－cosα

14
＝－2(sinα＋ cosα)＝－
2
.
B级
三、解答题
15．(2017·合肥 质检)已知a＝(sinx，3cosx)，b＝(cosx，－cosx)，
3
函数f(x) ＝a·b＋
2
.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
1
(2)若方程f(x)＝
3
在(0，π)上的解为x
1
，x
2，求cos(x
1
－x
2
)的值．
33
解 (1)f (x)＝a·b＋
2
＝(sinx，3cosx)·(cosx，－cosx)＋
2< br>＝
π

313
sinx·cosx－3cos
2
x ＋
2
＝
2
sin2x－
2
cos2x＝sin
< br>2x－
3

.

ππ5π
kπ
令2x－
3
＝kπ＋
2
(k∈Z)，得x＝
12
＋
2
(k∈Z)，
5π
kπ
即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝
12
＋
2
(k∈Z)．
π

π

1

5π

(2)由条件知sin
2x
1
－
3
＝sin
2x
2
－
3
＝
3
>0，设x< br>1
2
，则01
<
12
2π5π5π
2
<
3
，易知(x
1
，f( x
1
))与(x
2
，f(x
2
))关于直线x＝
1 2
对称，则x
1
＋x
2
＝
6
，
π

π

5π



5π


2x
－
－x
2x
－
∴c os(x
1
－x
2
)＝cosx
1
－
6
1
＝cos
1
6

＝cos


1
3

－
2


π

1


＝sin
2x
1
－
3

＝
3< br>.

7π

16．(2017·黄冈质检)已知函数f(x)＝ 2cosx－sin

2x－
6

.

2
(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；
(2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)
3
＝2
，b＋c＝2.求实数a的取值范围．

7π

解 (1)f(x)＝2cosx－sin

2x－
6



2
7π7π

＝(1＋cos2x)－

sin2xco s
6
－cos2xsin
6



π
 
31

＝1＋
2
sin2x＋
2
cos2x＝1 ＋sin
2x＋
6

.

∴函数f(x)的最大值为2.
π

πππ
< br>当且仅当sin
2x＋
6
＝1，即2x＋
6
＝2kπ＋
2
(k∈Z)，即x＝kπ＋
6
，

k∈Z时取到．
π

∴函数f(x)的最大值为2时x的取值集合为
{
x

x＝kπ＋
6
，k∈Z

.

π

3
(2)由题意，f(A)＝sin

2A＋
6

＋1＝
2
，

π

1

化简得sin

2A＋
6

＝
2
.

π

π
13π

∵A∈(0，π)，∴2A＋
6
∈

6
，
6

，

π5ππ
∴2A＋6
＝
6
，∴A＝
3
.
在△ABC中，根据余弦定理，
π
得a＝b＋c－2bccos
3
＝(b＋c)
2
－3bc .
222

b＋c


22
由b＋c＝2，知b c≤


2

＝1，即a
≥1.

∴当且仅当b＝c＝1时，取等号．
又由b＋c>a得a<2.所以a的取值范围是[1,2)．
17．(2017·青岛诊断) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且asinB＋3acosB＝3c.
(1)求角A的大小；

A

(2)已知函数f(x)＝λ cos
ωx＋
2

－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将
< br>2

3
y＝f(x)的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的
2倍后便得到函数y
π

＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)的最小正周期为 π.当x∈

0，
2

时，求

函数f(x)的 值域．
解 (1)∵asinB＋3acosB＝3c，
∴sinAsinB＋3sinAcosB＝3sinC.
∵C＝π－(A＋B)，
∴sinAsinB＋3sinAcosB＝3sin(A＋B)
＝3(sinAcosB＋cosAsinB)．
即sinAsinB＝3cosAsinB.
π
∵sinB≠0，∴tanA＝3，∵03
.
π

π
2

(2)由A＝
3
，得f(x)＝λc os
ωx＋
6

－3＝λ·

π

λ< br>
cos

2ωx＋
3

＋
2
－3 ，

π


1＋cos
2ωx＋
3


2
λ
－3＝
2
∴λ－3＝2，λ＝5.
π

π

1

5

∴f(x)＝5cos< br>2

ωx＋
6

－3＝
2
cos

2ωx＋
3

－
2
，

π

15

4

从而g(x)＝
2
cos
3
ωx＋
3

－
2
，

2π
3
∴
4
＝π，得ω＝
2
， 3
ω
π

15


3x＋
∴f(x )＝
2
cos
3

－
2
.
