上海中考论坛-寻人启事范文

2020-2021高三数学下期中试卷(附答案)(14)

一、选择题
1．已知数列
1,a
1
,a
2
,4
成等差数列，< br>1,b
1
,b
2
,b
3
,4
成等比数列，则
A
．
a
2
a
1
的值是 ( )

b
2
D
．
1

2
B
．

1

2
C
．
1
1
或


2
2
1

4
3
，
2
2
． 在
ABC
中，
a,b,c
分别为角
A,B,C
的对边，若
A
则
a
的值为（

）

A
．
2
B
．
3
C
．

3
,b1,
ABC
的面积为
3

2
D
．
1

x
2
y
2
m
，则
m
的最大值为（ ）

3．已知正数
x
、
y
满足
xy1
，且
y1x1
A
．
16

3
B
．
1

3
C
．
2
D
．
4

4．已知数列

a
n

的首项
a
1
0,a
n1
a
n
2a
n
11
，则
a
20

（ ）

A
．
99
B
．
101
C
．
399
D
．
401

5．数列
< br>a
n

,

b
n

为等差数列，前
n
项和分别为
S
n
,T
n
，若
A
．
a
7
S
n
3n2


（ ）

，则
T
n
2n
b
7
D
．
41
26
B
．
23

14
C
．
11

7
11

66
．已知等差数列

a
n

满足
a
2
a
4
4
，
a
3
a
5
10
，则它的前
10
项的和
S
10

（

）

A
．
138 B
．
135 C
．
95 D
．
23

7
．已知数列
{a
n
}
满足
a
1
=1
，且
a
n

式为（

）

11
a
n1
()
n
(n2
，且
n
∈
N*
），则数列
{a
n
}
的通项公
33
3
n
A
．
a
n


n2
A
．
7

B
．
a
n

n2

3
n
C
．
a
n
=n+2 D
．
a
n
=
（
n+2
）
·3
n

8．已知
{a
n
}为等比数列
,
a
4
a
7
2
,
a< br>5
a
6
8
,
则
a
1
a
10

（

）

B
．
5
C
．
5
D
．
7

9．等比数列
< br>a
n

中，
a
1

A
．±4

1
,q2
，则
a
4
与
a
8
的等比中项是（ ）

8
1
1
B
．4
C
．

D
．

4
4
10．已知
ABC
的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的
2
倍，则最小角的余弦值为（

）

A
．
3

4
B
．
5

6
C
．
7

8
D
．
2

3
11．已知正数
x
、
y
满足
xy1
，则
A
．
2
B
．
14

的最小值为（ ）

x1y
C
．
9

2
14

3
D
．
5

x0
(k
为常数
)
，若目标函数
z
＝
x
＋
3y
的最大值为
8
，12．已知
x
，
y
满足条件
{yx
2xy k0
则
k
＝
(

)

A
．－
16
B
．－
6

8
C
．
-

3
D
．
6

二、填空题
13．已知
a0
，
b0
，当
< br>a4b


2
2
1
取得最小值时，
b< br>__________
．

ab
14．要使关于
x
的 方程
xa1xa20
的一根比1大且另一根比1小，则
a
的取值范围是
__________
．

15．已知平面四边形
AB CD
中，
BAD120
，
BCD60
，
AB AD2
，则

2

AC
的最大值为
______ ____
．

16．若无穷等比数列
{a
n
}
的各 项和为2，则首项
a
1
的取值范围为
______
.
17．已知数列

a
n

是递增的等比数列，
a
1
a
4
9,a
2
a
3
8
，则数列

a
n

的前
n
项和等
于
.

18．若
a>0,b>0,a+b=2
，则下列不等式对一切满足条件的
a
，
b
恒成立的是
(
写出所有正
确命题的编号
)
．①
ab≤1
；

②
a
+
b
≤
2
；

③
a
2
+b
2
≥2
；④
a
3
+b
3< br>≥3;
⑤
19．已知等比数列
{a
n
}
的首项为2
，公比为
2
，则
20．已知数列

a
n
的通项
a
n

11
2
.
ab
a
a
n1
a
a
1
a
a
2
La
a
n

_______________
．< br>
1
，则其前
15
项的和等于
_______
.

n1n
三、解答题
21．已知
a,b,c
分别为
A BC
三个内角
A,B,C
的对边，且
b
2
c
2< br>a
2
accosCc
2
cosA
.

（
1
）求
A
；

（2
）在
ABC
中，
BC3
，
D
为边
AC
的中点，
E
为
AB
边上一点，且
DEAC
，
DE
6
，求
ABC
的面积
.

2< br>2a
n
2
,a
n1
,n1,2,3,...
.

3a
n
1
22
．已知数列

a
n

的首项
a
1

（
1
）证明
:
数列


1

1

是等比数列；< br>

a
n

（
2
）数列


n


的前
n
项和
S
n
.
a

n

23．已知

a
n

为等差数列，且
a
3
6
，
a
6
 0
．

（1）求

a
n

的通项公式；

（2）若等比数列

b
n

满足
b1
8
，
b
2
a
1
a
2
a
3
，求数列

b
n

的前
n
项和公式．

24．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状 为如图所示
的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝
5
百米，且△BCD是以D 为直角顶点的等腰直角
三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝

，


(

，

)
．

2

（1）当cos

＝

5
时，求小路AC的长度；

5
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

25．若 数列

a
n

是递增的等差数列，它的前
n
项和为
T
n
，其中
T
3
9
，且
a
1< br>,
a
2
,
a
5
成等
比数列.

（1）求

a
n

的通项公式；

（2） 设
b
n

1
2
，数列

b
n
的前
n
项和为
S
n
，若对任意
nN
*
，
4S
n
aa
恒成
a
n
a
n1
立，求
a
的取值范围.

26．已知函数
f(x) msinx2cosx(m0)
的最大值为
2.

（
Ⅰ
）求函数
f(x)
在
[0,]
上的单调递减区间；

（
Ⅱ
）
ABC
中
,
f(A

)f(B )46sinAsinB
,
角
A,B,C
所对的边分别是
44< br>
a,b,c
，且
C60
0
,c3
，求
ABC
的面积．


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一、选择题

1．A
解析：
A

【解析】

由题意 可知：数列
1,a
1
,a
2
，
4
成等差数列，设公 差为
d
，

则
4=1+3d
，解得
d=1
，

∴
a< br>1
=1+2=2
，
a
2
=1+2d=3.

∵数列
1,b
1
,b
2
,b
3
，
4
成等比数列，设公比为
q
，

则
4=q
4
,解得
q
2
=2
，

∴
b
2
=q
2
=2.

a
2
a
1
211

.

则
b
2
22
本题选择
A
选项
.

2．B
解析：
B

【解析】

试题分析：由已知 条件及三角形面积计算公式得
得
1

3
1csin,c2 ,
由余弦定理
232

考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．

3
．
B
解析：
B

【解析】

【分析】

x
2
y
2

由已知条件得
x1



y1

3
，对代 数式变形，然后利用基本不等式求出
y1x1
x
2
y
2

的最小值，即可得出实数
m
的最大值
.

y1x1
【详解】

正数
x
、
y
满足
xy1
，则

x1



y1< br>
3
，


1y



1x



y1



x1


x
2
y
2


y1

2






x1
2



y1x1y1x1y1x1y1 x1
444444
y14x14xy65
y1 x1x1y1x1y1
2222
22

414

4

y1x1



x1y152< br>


5


x1y1
< br>3

3x1y1

4

x1y1
1


225
，



3

y1x13

x
2
y
2
1
1
1

当且仅当
xy
时，等号成立，即的最小值为 ，则
m
.

y1x1
3
3
2
因此， 实数
m
的最大值为
故选：
B.

【点睛】

本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能
1
.< br>
3

力，属于中等题
.

4
．
C
解析：
C

【解析】

【分析】

【详解】

由
a
n1
a< br>n
2a
n
11
，可得
a
n1
1

a
n
11，a
n1
1a
n
 11
，


2

a
n
+1
是以
1
为公差，以
1
为首项的等差数列.


2
2
∴
a
n
1n,a
n
n1
，即
a
20
201399
.

故选
C.

5．A
解析：
A

【解析】

a
1a
13
13
S2a
7
41
2

13

依题意，.

2b
7
b
1
b13
13
T
13
26
2
6．C
解析：
C

【解析】

a
1
4
a
1
2d2
试题分析：∵
{
，∴
{
，∴{
，

d3
a
3
a
5
10a
1
3d5
∴
S
10
10a
1

a
2
a
4
4
109
d40135 95
．

2
考点：等差数列的通项公式和前
n
项和公式．

7
．
B
解析：
B

【解析】

试题分析：由题可知，将
a
n

11
a
n1
( )
n
(n2
，两边同时除以
33
，整理得
a
n< br>
，得出
，运用累加法，解得
考点：累加法求数列通项公式

n2
；

3
n
8
．
D
解析：
D

【解析】

【分析】

a
7
2
a
4
2
由条件可得
a
4< br>，a
7
的值，进而由
a
10

和
a
1

可得解
.

a
4
a
7
【详解】

a
5
a6
a
4
a
7
8Qa
4
a
7< br>2a
4
2,a
7
4
或
a
4
4,a
7
2
.

由等比数列性质可知

a
7
2
a
7
2
a
4
2
a
4
2
a
10
8,a
1
1
或
a10
1,a
1
8

a
4
a
7
a
4
a
7
a
1
a
10
 7

故选
D.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题
.

9．A
解析：
A

【解析】

【分析】

利用等 比数列

a
n

的性质可得
a
6
＝a4
a
8
，即可得出．

2
【详解】

设
a
4
与
a
8
的等比中项是
x
．

由等比数列

a
n

的性质可得
a
6
＝a
4
a
8
，
xa
6
．

2
∴
a
4
与
a
8
的等比中项
x a
6
24．


故选
A
．

【点睛】

本题考查了等比中项的求法，属于基础题．

1
8
5
10．A
解析：
A

【解析】

【分析】

设三角形的三边分别为
n,n1, n2(nN*)
，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后
再由正弦定理求得最小角的余弦 值，进而得到
n
的值，于是可得最小角的余弦值．

【详解】
由题意，设
ABC
的三边长分别为
n,n1,n2(nN*)
， 对应的三角分别为
A,B,C
，

由正弦定理得
所以
cos A
nn2n2n2

，

sinAsinCsin2A2sinAcosA
n2
．

2n< /p>

(n2)
2
(n1)
2
n
2
n5

又根据余弦定理的推论得
cosA
．

2(n 2)(n1)2(n2)
所以
n2n5

，解得
n4，

2n2(n2)
453

，

2(4 2)4
所以
cosA
即最小角的余弦值为
故选A．

【点睛】

3
．

4
解答本题的关键是求出三角形 的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，
使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及 变形、计算能力，属于基础题．

11．B
解析：
B

【解析】

【分析】

由
xy1
得
x (1y)2
，再将代数式
x(1y)
与
求出

1 4

相乘，利用基本不等式可
x1y
14

的最小值．< br>
x1y
【详解】

Qxy1
，所以，
x(1y)2
，

14144 x1y4x1y
)[x(1y)]()5
…
2
g
59
，

则
2(
x1yx1y1yx1yx
所以，
149

…
，

x1y2
2
< br>
4x1y
x




3
x< br>，即当

当且仅当

1y
时，等号成立，

1

y

xy1


3

14
9

因此，的最小值为，

x1y
2
故选
B
．

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等
题．

12．B

解析：
B

【解析】

【分析】

【详解】

x0
1
z
{由
z
＝
x
＋
3y
得
y
＝－
x
＋，先作出的图象，如图所示，
yx
3
3

因为目标函数
z
＝
x
＋
3y
的最大值为
8
，所以
x
＋
3y
＝
8
与直线
y
＝
x
的 交点为
C
，解得
C(2,2)
，代入直线
2x
＋
y
＋
k
＝
0
，得
k
＝－
6.

二、填空题

13．【解析】【分析】根据均值不等式知即再由即可求解注意等号成 立的条件
【详解】（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）（当且仅当等号成立）
故答案为 【点睛】本题主要考查了均值不等式不等式等号成立的条件属于中
解析：
1

4
【解析】

【分析】

根据均值不等式知，
a 4b24ab4ab
，即

a4b

16ab
，再 由
2
16ab
44
216ab8
即可求解，注意等号成立的 条件
.

a4ba4b
【详解】

Qa4b24ab4ab
（当且仅当
a4b
等号成立），



a4b

16ab
（当且仅当
a4b< br>等号成立），



a4b




2a


2
2
2
4
4
216ab8
（当且仅当
a4b
等号成立），

a4b
a4b
4
8a1
.

2
a
故答案为
b
【点睛】

1
.

4
本题主要考查了均值不等式，不等式等号成立的条件，属于中档题
.

14．【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小转化
为 即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小
根据二次函数的图象与性质 则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛
解析：
2a1

【解析】

【分析】

22
设
f

x

x(a1)xa2
，要使得关于
x
的方程
x(a1)xa20
的一根笔
22
译1大且另一根比1小，转化为
f

1

0
，即可求解.

【详解】

由题意，设
f

x

x(a1)xa2
，

22
要使得关于
x
的方程
x(a1)xa2 0
的一根笔译1大且另一根比1小，

22
根据二次函数的图象与性质，则满 足
f

1

0
，即
a
2
a 20
，

即
(a1)(a2)0
，解得
2a 1
，即实数
a
的取值范围是
2a1
.

【点睛】

本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于
x
的方程
x
2
(a
2
1)xa20的一根笔译1大且另一根比1小，转化为
f(1)0
是解得的关
键，着重考查了 转化思想，以及推理运算能力.

15．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的 最大值为四边形外接
圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形
外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定
解析：4

【解析】

【分析】

由题知：四边形
ABCD
为 圆内接四边形，
AC
的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定
理即可求出
A C
的最大值.

【详解】


因为
BAD120
，
BCD60
，所以

故
AC
的最大值为四边形外接圆的直径.

当
AC
为四边形外接圆的直径时，

得到：
ADCABC90
，又因为
ABAD2
，
BCD60< br>，

所以
ACDACB30
.

在
VABC
中，由正弦定理得：

ACAB

，解得：
AC4
.

sin90sin30
故答案为：
4

【点睛】
本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形
ABCD
为圆内接四边形是解题的关键，属于中
档题.

16．【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比 满
足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果
【详解】因为无 穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所
解析：
(0,2)U(2,4)
.

【解析】

【分析】

首先根据无穷等比数列
{a
n
}
的各项 和为2，可以确定其公比满足
0q1
，利用等比数列
各项和的公式得到
a
1
2
，得到
a
1
22q
，分
0q 1
和
1q0
两种情况求得
a
1
1q
的取 值范围，得到结果.

【详解】

因为无穷等比数列
{a
n
}
的各项和为2，

所以 其公比
q
满足
0q1
，且
所以
a
1
 22q
，

当
0q1
时，
a
1
(0,2)
，

当
1q0
时，
a
1
(2,4)
，

所以首项
a
1
的取值范围为
(0,2)U(2,4)
，
故答案是：
(0,2)U(2,4)
.

【点睛】

该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条
件，各项 和的公式，注意分类讨论，属于简单题目
.

a
1
2
，

1q
17
．【解析】【分 析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以
即所以因而数列的前项和故答案为考点：1
等比数列的性质；
2
等比数列的前项
和公式

解析：
2
n
1

【解析】

【分析】

【详解】

由题意，


a
1
a
4
9
，解得
a
1
 1,a
4
8
或者
a
1
8,a
4
1< br>，


a
2
a
3
a
1
a
4
8
而数列

a
n

是递增的等比 数列，所以
a
1
1,a
4
8
，

3< br>即
q
a
4
8
，所以
q=2
，

a
1
a
1
(1q
n
)
12
n
2
n
1
，故答案为
2
n
1
.
因而数列

a
n

的前
n
项和S
n

1q12
考点：
1.
等比数列的性质；2.
等比数列的前
n
项和公式
.

18．①③⑤【解析 】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确
；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利 用特殊值代入②中式子也
可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故
④项错误
解析：①③⑤

【解析】

【分析】

【详解】

对于①：因为
项错误；

而利用特殊值
对于③：因为
故③项正确；

对于④：
ab(ab)aabb
④项错误；

对于⑤
11
ab2
+==≥2，故⑤项正确；

aa
abab
33
，，所以，所以，故①项正确；

，所以，故②对于②：左边平方可得：
，代入②中式子，也可得出②错误的结论；
< br>，由①知，所以，

22

2


(a b)
2
3ab


86ab86
2
,故
故本题正确答案为：①③⑤.

19．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求 出计算即可得解【详解】由题
故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和 关键
在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简
解析：【解析】

【分析】

根据等比数列通项公式，求出
aa
1
a
2
La
n
2
n1
 
n1
212
n

12

2
， 计算

2
a
n1
a
n1

a
1
a
2

L
a
n


a
1
a
2
2
即可得解
.

a< br>n
a
a
1
a
a
2

L
 a
a
n
22
L
2
【详解】

由题
a
n
2
，

aa
1
a
2
La
n
2
n1
n
a
a
n1

n1
212
n

12

2

2
a
n1
a
n1


a
1
a
2

L
a
n

< br>a
1
a
2
2

a
a
1
 a
a
2

L
a
a
n
22
L
2
a
n
a
a
n1
2
n1
a

a
1
a
2

L
a
n< br>
2
2
4
.

故答案为：
4

【点睛】

此题考查等比数列通项公式的应用，涉及等比数列求和，关键在于熟练掌握 等比数列的通
项公式和求和公式，准确进行指数幂的运算化简
.

20
．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前
15
项的和【详解】 利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前
15
项的和为：
即：故答案为：
3
【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还

解析：
3

【解析】

【分析】

将
a
n

1
通过分母有理化，化简得出
n1n
，再利用裂项相消法求出前
n1 n
15
项的和.

【详解】

1

利用分 母有理化得
a
n

n1n


n1nn1n


n1n

n1n
，

设数列

a
n

的前
n
项的和为S
n
，所以前
15
项的和为：

S
15
a
1
a
2
La
15


2132L15141615


161


413

即：
S
15
3
.

故答案为：
3.

【点睛】

本题考查利用裂项相消法求数 列的前
n
项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基
础题.

三、解答题

21．(1)
A
【解析】

【分析】

（
1
）由余弦 定理得
2bcosAacosCccosA
，再由正弦定理得

3
(2)
33

4
2sinBcosAsin(AC)
，进而得
cosA
（
2
）在
RtAED
中，求得
AD
合三角形的面积公式，即可求解
.

【详解】

1
，即可求解

2

2
，
AC2
，再
ABC
中由正弦定理得
B
，结
4
2
（< br>1
）由余弦定理有
2bccosAaccosCc
2
cosA，

化简得
2bcosAacosCccosA
，

由正弦定理得
2sinBcosAsinAcosCcosCsinAsin(AC)< br>
∵
ABC

，∴
2sinBcosAsinB< br>，

1


，又由
0A

，∴
A
.

23（
2
）在
AEC
中，
D
为边
AC
的 中点，且
DEAC
，

∵
0B

，∴
sinB0
，∴
cosA
在
RtAED
中，
DE

62
，
A
，所以
AD
，
AC2< br>，

3
22
ABC
中由正弦定理得
所以
S
ABC

【点睛】


5

ACBC< br>2

，得
sinB
，
B
，
C
，

2
sinBsinA
124
133

AC BCsinC
24
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以 很好地解决三
角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边< br>的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运
用余弦定 理求解
.

n
2
n4n2
22
．（
1
）证明见解析；（
2
）
S
n

n
.< br>
22
【解析】

试题分析：（
1
）对
a< br>n1

2a
n
a
n
1
1111

，化简得两边取倒数得
a
n
1a
n1
2an
22a
n



1

1
11

1
1

1

，所以数 列

1

是等比数列；（
2
）由（
1
）

1

是等比数
a
n1
2

a
n


a
n

a
n

列
.
，求得
11

n
1
，利用错位相减法和分 组求和法求得前
n
项和
a
n
2
n
2
n 4n2
S
n

n
.

22
试题解析：

（
1
）
Q
a
n 1


2a
n
a1
111111

1
,
n
?,1

1

，又

a
n
1a
n1
2a
n
22a
n
a
n1
2

a
n

a
1
< br>211

1

11
,1
，

数列

1

是以为首项，为公比的等比数列
.

3a
1
2
22

a
n

（
2）由（
1
）知，
111111
1?
n1

n
，即

n
1
，设
a
n1
222< br>a
n
2
123n

2

3
... 
n
，
①

2222
112n1n
则
T
n

2

3
...
n

n 1
，
②
由
①-②
得

22222
T
n

1

1
1

1111n
2

2
n
T
n

2
...
n

n1

1
22222
1
2
又
123...n




n
1
1

n
，
T2
1

n
.
< br>n
2
n1
2
n
2
n1
2
n2
n1
n

n1

2
.

数列


n


的前
n
项和

a
n

2n
n

n1

n< br>2
n4n2
S
n
2
n

n< br>.

2222
考点：配凑法求通项，错位相减法
.

n
23．(1)
a
n
2n12
;(2)
S
n< br>4(13)
.

【解析】

【分析】

【详解】

本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前
n项和的综合运用．、

（
1
）设

a
n

公差为
d
，由已知得

a
1
10
a2d6
{
1
,
< br>解得
{
d2
a
1
5d0
a
n
2n12

（
2
）
Qb
2
a
1a
2
a
3
3a
2
24
，


等比数列

b
n

的公比
q
b
2
24
3

b
1
88(13
n
)
利用公式得到和
S
n
4(1 3
n
)
．

13
24．（1）
AC
【解析】

【分析】

（1）在△
ABD
中，由余弦定理可求
BD
的值，利用同角三角函数 基本关系式可求sinθ，根
据正弦定理可求sin∠
ADB

37
；（
2
）
BD26

3
，进而可求cos∠
AD C
的值，在△
ACD
中，利用余弦定理可求
5
AC
的值．< br>
（2）由（1）得：
BD
2
＝14﹣6
5
cosθ ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用
可求．
S
ABCD
＝7
15

sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ

时，四边形< br>ABCD
的面积最
22
21


大，即θ＝φ< br>
，此时cosφ，sinφ，从而可求
BD
的值．

55
2
【详解】

（1）在
ABD
中，由
BD
2
AB
2
AD
2
2ABADcos

，

得
BD
2
1465cos

， 又
cos


5
，∴
BD25
．

5
2




5

2
∵



,


∴
sin

1cos
2

1






2

5

5

253
BDAB3

sinADB
由得：
2
，解得：，
< br>sinADB
sinBADsinADB5
5
∵
BCD
是以
D
为直角顶点的等腰直角三角形 ∴
CDB
∴
cos ADCcos

ADB

2
且
CDBD25




3
sinADB



2

5
在
ACD
中，
AC
2
AD
2
DC
2
2ADDCcosADC



5



25

22< br>
3

2525



37，


5

解得：
AC37


（2）由（1）得：
BD
2
1465cos

，

11
35
S
ABCD
S
ABD
S
BCD
35sin

BD
2

7sin

35cos


22
2

21
3515
sin

cos

，此时，，且
7

sin

2cos


7sin





55
22


0,





< br>2

当





2
时， 四边形
ABCD
的面积最大，即





2
，此时
sin


1
，
5
cos

2
2

5
∴
BD1465cos< br>
1465




2


26
，即
BD26


5

答：当< br>cos


5
时，小路
AC
的长度为
37
百米；草坪
ABCD
的面积最大时，小路
5
BD
的长度为< br>26
百米．

【点睛】

本题主要考查了余弦定理，同角三角 函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角
函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解 三角形中的综合应用，考查了计算能
力和转化思想，属于中档题．

25．(1)

a
n
2n1
(2)

a1或a2

【解析】

试题分析：（
1
） 根据题目中所给的条件，用基本量来表示数列中的项，求出基本量，即可
得到通项；（
2
）由第一问可得，
b
n

1

11



，进而裂项求和，得到
2

2n12n1

n
a
2
a
恒成立，求左式的最大值即可．

2n1
解析：

（1）
QT
3
a
1< br>a
2
a
3
9
，
a
1
d 3

2
又
Qa
1
,a
2
,a
5< br>成等比数列
a
2
a
1
a
5

a
1
1
`,
d2a
n
2n1

（2）
b
n

111

11

 




a
n
a
n1
2n1

2n1

2

2n12n1

S
n

1

11111

11n< br>1-++
1-）





（
2

3352n12n1

22n12n1
2
对任意的
nN
*
,
4S
n
aa
恒成 立

1
a
2
a
只需
S
n
的最大 值小于或等于，而
S
n


2
4
a
2
a2

a1
或
a2

26．（
Ⅰ
）
【解析】

【分析】

【详解】

(1)
由题意，
f(x)
的最大值为
m
2
2，
所以
m
2
22.
而
m>0< br>，于是
m=
2
，
f(x)=2sin(x+
（
Ⅱ）



3

).
由正弦函数的单调性可得
x
满足
2k

x2k

(kZ)，< br>即
242
4

5


2k

x2k

(kZ).
所以
f(x)
在［
0,π
］上的单调递减区间为
［,

］.

444
(2)
设△
ABC
的外接圆半径为
R
，由题意，得
2R
c3
23.
化简
sin?Csin60
f(A)f(B)46 sinAsin?B，
得
sin A+sin B=2
6
sin Asin B.
由正弦定理，得
44

2R

ab
26ab,ab2ab.
①

由余弦定理，得
a
2
+b
2
-ab=9
，即
(a+b)
2
-3ab-9=0< br>②

将①式代入②，得
2(ab)
2
-3ab-9=0
，解得
ab=3
或
ab
3
(
舍去
)
，故
2
S
ABC

133
absinC.

24