短的现代诗-保护母亲河倡议书

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本大 题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）

A．A∩B={x|x＜} B．A∩B=∅ C．A∪B={x|x＜} D．A∪B=R

2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单
位： kg）分别是x
1
，x
2
，…，x
n
，下面给出的指标中可 以用来评估这种农作物亩产量稳定
程度的是（ ）

A．x
1
，x
2
，…，x
n
的平均数 B．x
1
，x
2
，…，x
n
的标准差

C．x
1
，x
2
，…，x
n
的最大值 D．x
1
，x
2
，…，x
n
的中位数

3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）

A．i（1+i）
2
B．i
2
（1﹣i） C．（1+i）
2
D．i（1+i）

4．（5分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑
色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称． 在正方形内随机取一点，则此点取自
黑色部分的概率是（ ）


A． B． C． D．

5．（5分）已知F是双曲线C：x
2
﹣=1的右焦点， P是C上一点，且PF与x轴垂直，
点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）

A． B． C． D．

6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体 的两个顶点，M，N，Q为所在
棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）

第1页（共25页）

A． B． C． D．

7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

的部分图象大致为（ ）

8．（5分）函数y=
A． B．
C． D．

9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）

A．f（x）在（0，2）单调递增

B．f（x）在（0，2）单调递减

C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称

D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称

10．（5分）如图程序框图是为了 求出满足3
n
﹣2
n
＞1000的最小偶数n，那么在
和两个空白框 中，可以分别填入（ ）

第2页（共25页）

A．A＞1000和n=n+1
C．A≤1000和n=n+1
B．A＞1000和n=n+2

D．A≤1000和n=n+2

11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣co sC）
=0，a=2，c=
A． B．
，则C=（ ）

C． D．

12．（5分）设A，B是椭圆C：+
则m的取值范围是（ ）

A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0，
∪[4，+∞）



=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，
]∪[9，+∞） C．（0，1]∪[4，+∞） D．（0，]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= ．

14．（5分）曲线y=x
2
+在点（1，2）处的切线方程为 ．

15．（5分）已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）= ．

16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径． 若
平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积
为 ．



三、解答题：共70分。解答应写出文字说明 、证明过程或演算过程．第17～21题为必
第3页（共25页）

选题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必
考题：共60 分。

17．（12分）记S
n
为等比数列{a
n
}的前n 项和．已知S
2
=2，S
3
=﹣6．

（1）求{a
n
}的通项公式；

（2）求S
n
， 并判断S
n
+
1
，S
n
，S
n
+
2
是否成等差数列．

18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD ，且∠BAP=∠CDP=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧< br>面积．


19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验 员每隔30min从该生产
线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天 内依次抽取
的16个零件的尺寸：

抽取次序

1

2

3

4

5

6

7

8

零件尺寸

9.95

10.12

9.96

抽取次序

9

10

11

9.96

10.01

9.92

12

13

14

9.98

10.04

15

16

零件尺寸

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

经计算得 =x
i
=9.97，s==≈0.212，
≈18.439，
尺寸，i=1， 2，…，16．

（x
i
﹣）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x
i
为抽取的第i个零件的
（1）求（x
i
，i）（i=1，2，…，16）的 相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零
件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若| r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸
不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3s）之外的零件，就认为这条
第4页（共 25页）

生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产 过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当
天生产 的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本（x
i
，yi
）（i=1，2，…，n）的相关系数r=，
≈0.09．

20．（12分）设A，B为曲线C：y=
（1）求直线AB的斜率；

（2 ）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB
的方程．

21．（12分）已知函数f（x）=e
x
（e
x
﹣a）﹣a
2
x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．



（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做
的第一题计分。[选修4-4： 坐标系与参数方程选讲]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
线l的参数方程为 ，（t为参数）．

，（θ为参数），直
上两点，A与B的横坐标之和为4．

（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为


[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数f（x）=﹣x
2
+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．



第5页（共25页）

，求a．

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（ ）

A．A∩B={x|x＜} B．A∩B=∅ C．A∪B={x|x＜} D．A∪B=R

【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．

【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜}，

∴A∩B={x|x＜}，故A正确，B错误；

A∪B={x||x＜2}，故C，D错误；

故选：A．

【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．



2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单< br>位：kg）分别是x
1
，x
2
，…，x
n
，下面给出 的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定
程度的是（ ）

A．x
1
，x
2
，…，x
n
的平均数 B．x
1
，x
2
，…，x
n
的标准差

C．x
1
，x
2
，…，x
n
的最大值 D．x
1
，x
2
，…，x
n
的中位数

【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解．

【解答】解 ：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势
的一项指标，

故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；

在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量
稳定程度；

在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；

在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，

第6页（共25页）

故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．

故选：B．

【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断， 是基础题，解
题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．



3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）

A．i（1+i）
2
B．i
2
（1﹣i） C．（1+i）
2
D．i（1+i）

【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．

【解答】解：A．i（1+i）
2
=i•2i=﹣2，是实数．

B．i
2
（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数．

C．（1+i）
2
=2i为纯虚数．

D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数．

故选：C．

【点评】本 题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属
于基础题．



4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切 圆中的黑
色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自
黑色部分的概率是（ ）


A． B． C． D．

【分析】 根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即
可．

【 解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正
方形的边长为2，< br>
第7页（共25页）

则黑色部分的面积S=，

则对应概率P=
故选：B．

=，

【点评】本题主要考查 几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解
决本题的关键．



5．（5分）已知F是双曲线C：x
2
﹣=1的右焦点，P是C上一点，且 PF与x轴垂直，
点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）

A． B． C． D．

【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代 入即可求得P点
坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积．

【解答】解：由双曲线C：x
2
﹣=1的右焦点F（2，0），

PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，

则P（2，3），

∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，

∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，

同理当y＜0时，则△APF的面积S=，

故选：D．

第8页（共25页）

【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．



6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在< br>棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．

【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；

对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；

对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；

所以选项A满足题意，

故选：A．

【点评】本题考查空间中线面 平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关
键，注意解题方法的积累，属于中档题．



7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．

第9页（共25页）

【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：

，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，

由解得A（3，0），

所以z=x+y 的最大值为：3．

故选：D．


【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行 域，判断目标函数的最优
解是解题的关键．



8．（5分）函数y=的部分图象大致为（ ）

A． B．
C． D．

【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．

【解答】解：函数y=

，

第10页（共25页）

可知函数是奇函数，排除选项B，

当x=时，f（）==，排除A，

x=π时，f（π）=0，排除D．

故选：C．

【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及 函数的特殊点
是判断函数的图象的常用方法．



9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）

A．f（x）在（0，2）单调递增

B．f（x）在（0，2）单调递减

C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称

D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称

【分析】由已知中函数f（x）=l nx+ln（2﹣x），可得f（x）=f（2﹣x），进而可得函数图
象的对称性．

【解答】解：∵函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），

∴f（2﹣x）=ln（2﹣x）+lnx，

即f（x）=f（2﹣x），

即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，

故选：C．

【点评 】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，熟练掌握函数图象的对称性是解
答的关键．



10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3
n
﹣2
n
＞1000的最小偶数n，那么在
和两个空白框中，可以分别填入（ ）

第11页（共25页）

A．A＞1000和n=n+1
C．A≤1000和n=n+1
B．A＞1000和n=n+2

D．A≤1000和n=n+2

【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“ 否”时输出确定“
＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．

【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，

”内不能输入“A
所以“”内不能输入“A＞1000”，

又要求n为偶数，且n的初始值为0，

所以“”中n依次加2可保证其为偶数，

所以D选项满足要求，

故选：D．

【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．


< br>11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC ﹣cosC）
=0，a=2，c=
A． B．
，则C=（ ）

C． D．

【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，

第12页（共25页）

∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAco sC=0，

∴cosAsinC+sinAsinC=0，

∵sinC≠0，

∴cosA=﹣sinA，

∴tanA=﹣1，

∵
∴A=
＜A＜π，

，

=，

由正弦定理可得
∴sinC=
∵a=2 ，c=
∴sinC=
∵a＞c，

∴C=，

，

，

==，

故选：B．

【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题



12．（5分）设A，B是椭圆C：+
则m的取值范围是（ ）

A．（0，1]∪[9，+∞） B．（0，
∪[4，+∞）

【分析】分类 讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO
≥60°，当 假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO=
在y轴上时，m＞3，tan∠AMO=≥tan60°=
≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点
]∪[9，+∞） C．（0，1]∪[4，+∞） D．（0，]
=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，
，即可求得m的 取值范围．

【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，

第13页（共25页）

设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设A（ ﹣a，0），B（a，0），M（x，y），y＞0，

则a
2
﹣x
2
=，

，tanβ=，
< br>=﹣=﹣=
∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα=
则tanγ=ta n[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣
﹣=﹣，

∴tanγ=﹣，当y最大时，即y=b时，∠AMB取最大值，

∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，

∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=
解得：0＜m≤1；

≥tan60°=，


当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，

当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，

∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=
∴m的取值范围是（0，1]∪[ 9，+∞）

故选A．

≥tan60°=，解得：m≥9，

第14页（共25页）

故选：A．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结
合思想的应用，考 查计算能力，属于中档题．



二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= 7 ．

【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出
的条件能求出m的值．

【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），

∴=（﹣1+m，3），

，再由向量+与垂直，利用向量垂直
∵向量+与垂直，

∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，

解得m=7．

故答案为：7．

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注 意平面向量坐标运
算法则和向量垂直的性质的合理运用．



14．（5分）曲线y=x
2
+在点（1，2）处的切线方程为 x﹣y+1=0 ．

第15页（共25页）

【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可．

【解答】解：曲线y=x
2
+，可得y′=2x﹣
切线的斜率为：k=2﹣1 =1．

切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．

故答案为：x﹣y+1=0．

【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．



15．（5分）已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）= ．

，再根据两角差的余弦
，

【分析】根据同角的三角函数的关系求出sinα=
公式即可求出．

【解答】解：∵α∈（0，
∴sinα=2cosα，

∵sin
2
α+cos
2
α=1，

解得sinα =
∴cos（α﹣
故答案为：
，cosα=
）=cosαcos

，cosα=
），tanα=2，

，

+sinαsin=×+×=，

【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦 公式，考查了学生的运算能力，属
于基础题．



16．（5分） 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若
平面SCA⊥平面SCB， SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为
36π ．

【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．
【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面
SCA⊥ 平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，

可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，

可得

，解得r=3．

第16页（共25页）

球O的表面积为：4πr
2
=36π．

故答案为：36π．


【点评】本题考查球的內接体，三棱锥的体积以及球 的表面积的求法，考查空间想象能
力以及计算能力．



三、解答 题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必
选题，每个试题考生都 必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必
考题：共60分。

17．（12分）记S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和．已知S
2
=2，S
3
=﹣6．

（1）求{a
n
}的通项公式；

（2）求S
n
， 并判断S
n
+
1
，S
n
，S
n
+
2
是否成等差数列．

【分析】（1）由题意可知a
3
=S
3
﹣S
2
=﹣6﹣2=﹣8，a
1
==，a
2
== ，由a
1
+a
2
=2，
列方程即可求得q及a
1
， 根据等比数列通项公式，即可求得{a
n
}的通项公式；

（2）由（1）可 知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S
n
，分别求得S
n
+
1
，S
n
+
2
，显
然S
n
+
1+S
n
+
2
=2S
n
，则S
n
+1
，S
n
，S
n
+
2
成等差数列．

【解答】解：（1）设等比数列{a
n
}首项为a
1
，公比为q，< br>
则a
3
=S
3
﹣S
2
=﹣6﹣2=﹣8， 则a
1
==，a
2
==，

由a
1
+a< br>2
=2，+=2，整理得：q
2
+4q+4=0，解得：q=﹣2，

则a
1
=﹣2，a
n
=（﹣2）（﹣2）
n
﹣1
=（﹣2）
n
，

∴{a
n
}的通项公式a
n
=（﹣2）
n
；

第17页（共25页）
< /p>

（2）由（1）可知：S
n
===﹣[2+（﹣2）
n
+
1
]，

则S
n
+
1
=﹣[2+（﹣2 ）
n
+
2
]，S
n
+
2
=﹣[2+（﹣2 ）
n
+
3
]，

由S
n
+
1+S
n
+
2
=﹣[2+（﹣2）
n
+
2
]﹣[2+（﹣2）
n
+
3
]，

=﹣[4+（﹣2）× （﹣2）
n
+
1
+（﹣2）
2
×（﹣2）
n
+
1
]，

=﹣[4+2（﹣2）
n
+
1
]=2×[﹣（2+（﹣2）
n
+
1
）]，

=2S
n
，

即S
n
+
1
+S< br>n
+
2
=2S
n
，

∴S
n
+
1
，S
n
，S
n
+
2
成等差数列．< br>
【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算
能力，属于中档题．



18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中 ，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠AP D=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧
面积．


【 分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证
明平 面PAB⊥平面PAD．

（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO， 则PO⊥底面ABCD，且AD=
PO=
，
，由四棱锥P﹣ABCD的体积为，求出a =2，由此能求出该四棱锥的侧面积．

【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，

∴AB⊥PA，CD⊥PD，

又AB∥CD，∴AB⊥PD，

∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，

第18页（共25页）

∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．

解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，

∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，

∴PO⊥底面ABCD，且AD=
∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，

由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，

∴V
P
﹣
ABCD
=
==

=，PO=，

==，

，PO=，

解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2
∴PB=PC==2，

∴该四棱锥的侧面积：

S
侧
=S
△
PAD
+S
△
PAB
+S
△
PDC
+S
△
PB C

=
=
=6+2．

+++



【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线
面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，
考查数形结合 思想、化归与转化思想，是中档题．



19．（12分）为了监控某种零 件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产
线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单 位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取
的16个零件的尺寸：

抽取次序

1

2

3

4

5

6

7

8

第19页（共25页）

零件尺寸

9.95

10.12

9.96

抽取次序

9

10

11

9.96

10.01

9.92

12

13

14

9.98

10.04

15

16

零件尺寸

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

经计算得 =x
i
=9.97，s==≈0.212，< br>≈18.439，
尺寸，i=1，2，…，16．

（x
i
﹣ ）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x
i
为抽取的第i个零件的
（1）求（x
i
，i）（i=1，2，…，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零
件尺 寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸
不随生产过程 的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（﹣3s，+3 s）之外的零件，就认为这条
生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行 检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在（﹣3s，+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当
天生产的零件 尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本（x
i
，y
i
）（i=1，2，…，n）的相关系数r=，
≈0.09．

【分析】（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论；

（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；

（ii）代入公式计算即可．

【解答】解：（1）r===﹣0.18．

∵|r|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变
小．

（2）（i）=9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10 .606），

第20页（共25页）

显然第13号零件尺寸不在此范围之内，

∴需要对当天的生产过程进行检查．

（ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为< br>=16×0.212
2
+16×9.97
2
=1591.134，
∴剔除离群值后样本方差为
∴剔除离群值后样本标准差为
（1591.134﹣ 9.22
2
﹣15×10.02
2
）=0.008，

≈0.09．

=10.02，

【点评】本题考查了相关系数的计算，样本均值与标准差的计算，属于中档题．



20．（12分）设A，B为曲线C：y=
（1）求直线AB的斜率；
< br>（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB
的方程 ．

【分析】（1）设A（x
1
，
得到所求；

（ 2）设M（m，），求出y=的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜
），B（x
2
，），运用直线的斜率公式，结合条件，即可
上两点，A与B的横坐标之和为4．
< br>率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x
1
，
x
2
的关系式，再由直线AB：y=x+t与y=
得t的值，即可得到所求直 线方程．

【解答】解：（1）设A（x
1
，），B（x
2
，）为曲线C：y=上两点，

联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解
则直线A B的斜率为k==（x
1
+x
2
）=×4=1；

，

（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=
可得x
2
﹣4x﹣4t=0，即有x
1
+x
2
=4，x
1
x
2
=﹣4t，

第21页（共25页）

再由y=的导数为y′=x，

），可得M处切线的斜率为m，

设M（m，
由C在M处的切线与直线AB平行，可得m=1，

解得m=2，即M（2，1），

由AM⊥BM可得，k
AM
•k
BM
=﹣1，

即为•=﹣1，

化为x
1
x
2
+2（x
1
+x
2
）+20=0，

即为﹣4t+8+20=0，

解得t=7．

则直线AB的方程为y=x+7．

【点评】本题考 查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用
韦达定理，考查直线的斜率公式的 运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．



21．（12分）已知 函数f（x）=e
x
（e
x
﹣a）﹣a
2
x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，

（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．

【解答】解 ：（1）f（x）=e
x
（e
x
﹣a）﹣a
2
x=e
2x
﹣e
x
a﹣a
2
x，

∴f′（x）=2e
2x
﹣ae
x
﹣a
2
=（2e
x
+a）（ e
x
﹣a），

①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在R上单调递增，

②当a＞0时，2e
x
+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，

当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

③当a＜0时，e
x
﹣a＜0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），

第22页（共25页）

当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，

当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
< br>当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递
增 ，

（2）①当a=0时，f（x）=e
2x
＞0恒成立，

②当a＞0时，由（1）可得f（x）
min
=f（lna）=﹣a
2
ln a≥0，

∴lna≤0，∴0＜a≤1，

③当a＜0时，由（1）可得：

f（x）
min
=f（ln（﹣））=
∴ln（﹣）≤，

∴﹣2≤a＜0，

，1]

﹣a
2
ln（﹣）≥0，

综上所述a的取值范围为[﹣2
【点评】本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考
查了运算能力和化 归能力，属于中档题．



（二）选考题：共10分。请考生在第22、2 3题中任选一题作答。如果多做，则按所做
的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（1 0分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
线l的参数方程为 ，（t为参数）．

，（θ为参数），直
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．

【分析】（1）将曲线C的参数方程 化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联
立两方程可以求得焦点坐标；

（ 2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距离公式
可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为
第23页（共25页）

进行分析，可以求出a的值．

【解答】解：（1）曲线C的参数方程 为（θ为参数），化为标准方程是：+y
2
=1；

a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；

联立方程，

解得或，

所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣
（2）l的参数方程
，）．

（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，

椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），

所以点P到直线l的距离d为：

d==，φ满足tanφ=，且的d的最大值为．

①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，

|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17

解得a=8≥﹣4，符合题意．

②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时

|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17

解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．

【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直 线距离和三角函数的最值，难点在于如
何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a．



[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数f（ x）=﹣x
2
+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．

【 分析】（1）当a=1时，f（x）=﹣x
2
+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|=
第24页（共25页）

，分x

＞1、x∈[﹣1，1]、 x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可
求得f（x）≥g（x）的解集 为[﹣1，]；

（2）依题意得：﹣x
2
+ax+4≥2在[﹣1，1]恒 成立⇔x
2
﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，
只需，解之即可得a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x
2
+x+4，是开口向下 ，对称轴为x=的二次函数，

g（x）=|x+1|+|x﹣1|=，

当 x∈（1，+∞）时，令﹣x
2
+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单调递 增，
]；

f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为 （1，
当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．

当x∈ （﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．

综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；

（2）依题意得：﹣x
2
+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x
2
﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒 成立，
则只需，解得﹣1≤a≤1，

故a的取值范围是[﹣1，1]．
< br>【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与
等价转化思 想的综合运用，属于中档题．



第25页（共25页）