中华民族的传统美德-2014年元旦

向 量
1.向量的概念
(2)向量的表示：几何表示法
AB
；字母表示：a；





x
1
x
2


y
1
y
2
(1)向量的基本要素：大小和方向.
坐标表示法 a＝
ｘｉ
＋
ｙj
＝（
ｘ
，
ｙ
）.
(3)向量的长度：即向量 的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量a＝O

｜a｜＝O.
单位 向量a
O
为单位向量

｜a
O
｜＝1.
(5)相等 的向量：大小相等，方向相同
(6) 相反向量：a=-b

b=-a

a+b=0
(
ｘ
1
，
ｙ
1
)＝（
ｘ
2
，
ｙ
2< br>）


(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量. 记作a∥
b
.平行向量也
称为共线向量.
2..向量的运算
运算类< br>几何方法
型
向量的 1.平行四边形法则

加法
向量的
三角形法则
减法
数
乘
向
量 < br>r
1.

a
是一个向量,满
rr
足:
|
a||

||a|

rr
2.

>0时,

a与a
同向;

rr

<0时,

a与a
异向;
rr

=0时,

a0
.


坐标方法 运算性质

2.三角形法则

uuuruuur
ABBA
,
OBOAAB

向
量
的
数
量
积
3.向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
rr
a•b
是一个数
rrrr
1.
a0或b0
时，
rr
a•b0
.
rrrr
a0且b0时，
2.
rrrr

a
g
b|a||b|cos(a,b)

r
r
r
r
r
r
⑶三角形不等式：
ababab
．
r
rr
r
⑷运算性质：①交换律：
abba
； r
r
r
rr
rr
r
r
rr
②结合律：
abcabc
；③
a00aa
．
r
r
r
r
⑸坐标运算：设
a

x
1
,y
1

，
b

x
2
,y2

，则
ab

x
1
x
2,y
1
y
2

．
4.向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
r
r
r
r
⑵坐标运算：设
a

x
1
,y
1

，
b

x
2
,y
2

，则ab

x
1
x
2
,y
1
y< br>2

．
uuur
设

、

两点的 坐标分别为

x
1
,y
1

，

x
2
,y
2

，则


x
1
x
2
,y
1
y
2

．
5.向量数乘运算：
r
r
⑴实数

与向量
a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作

a
．
①

a

a
；
rr
r
rrr
rr
②当

0
时，

a
的方向 与
a
的方向相同；当

0
时，

a
的方 向与
a
的方向相反；当

0
时，

a0
．
r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律：①



a





a
；②< br>




a

a

a
；③

ab

a

b
．

⑶坐标运算：设
a

x,y

，则
a


x,y




x,

y

．
r
r
r
r
r
rr< br>r
6.向量共线定理：向量
aa0
与
b
共线，当且仅当有唯 一一个实数

，使
b

a
．

r< br>r
r
r
r
rr
r
设
a

x
1
,y
1

，
b

x
2,y
2

，其中
b0
，则当且仅当
x
1y
2
x
2
y
1
0
时，向量
a、
bb0
共线．

uruur
r
7.平面向量基 本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量
a
，有且

uruur
uruu r
r
只有一对实数

1
、

2
，使
a

1
e
1


2
e
2．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量 的一组基底）
uuuruuur
8.分点坐标公式：设点

是线段

1

2
上的一点，

1
、

2
的坐标分别是

x
1
,y
1

，

x
2
,y
2

，当

1
< br>

2
时，
点

的坐标是

< br>x
1


x
2
y
1

< br>y
2

,


．（当

1时，就 为中点公式。）
1

1


9.平面向量的数量积：
r
r
r
r
r
r
r
r
oo
⑴
ababcos

a0,b0,0

180
．零向量与任一向量的数量积为
0
．

r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
abab 0
．②当
a
与
b
同向时，
abab
；当
a
与
b
反向时，
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
abab
；
aaaa
或
aaa
．③
abab
．
r
r
rr
r
r
r
r
r
rr
r
rrr
r
r
⑶运算律：①
abba
；②


a

b

aba
< br>b
；③
abcacbc
．


r
r
r
r
⑷坐标运算：设两个非零向量
a

x
1
,y
1

，
b

x
2
,y
2

，则
abx
1
x
2
y< br>1
y
2
．
r
r
rr
r
2
r
r
22
22
若
a

x,y

，则
axy
，或
axy
． 设
a

x< br>1
,y
1

，
b

x
2
,y
2

，则
abx
1
x
2
y1
y
2
0
．
r
r
r
r
r
x
1
x
2
y
1
y
2
abr
r
r
设
a
、
b
都是非零向量，
a

x
1
,y
1

，
b

x
2
,y
2

，

是
a
与b
的夹角，则
cos


r
r

．
2222
ab
x
1
y
1
x
2
 y
2
⑤线段的定比分点公式：（

0
和
1
）
y
1


y
2

y



1

（x
1
,y
1
）,(x,y) ,(x
2
,y
2
)
，设
P
1
P
=

PP
2
（或
P
2
P
=
1P
P
1
），且
P
1
,P,P
2
的坐标 分别是则




x
x
1


x
2

1


B
M

推广
yy
2

y
1
A

2
1：当

1
时，得线段
P
1
P
2
的中点 公式：



x
x
1
x
2

2


则
PM
P
推广2：
AM
MB
PA

PB
1

（

对应终点 向量）．
三角形重心坐标公式：△
ABC
的顶点
A

x< br>1
,y
1

,B

x
2
,y
2

,C

x
3
,y
3

，重 心坐标
G

x,y

：
x
1
x
2
x
3

x


3


y
y
1
y
2
y
3

3

注意：在△ABC中，若0为重心，则
OAOBOC0
，这是充要 条件．
⑥平移公式：若点

P

x,y

按向量
a
=

h,k

平移到
P
‘
< br>'


xxh
x,y
，则

'


yyk
''


4．（1）正弦定理：设△
ABC
的三边为
a
、
b
、
c
，所对的角为
A、B、C
，则
abc

2R
．
sinAsinB sinC


a
2
b
2
c
22bccosA
AB

tan

222
2
（2）余弦定理：

bac2accosB
（3）正切定理：< br>ab

AB
ab

222
tan
c ba2abcosC

2


（4）三角形面积计算公式：
设△
ABC
的三边为
a，b，c，< br>其高分别为
h
a
，h
b
，h
c
，
半 周长为
P
，外接圆、内切圆的半
径为
R，r
．
①
S
△
=
12
ah
a
=
12
bh
b
=
12
ch
c


②
S
△
=Pr
③
S
△
=abc
4
R
④
S
△< br>=
12sin
C·ab=12ac·
sin
B=12cb·
s in
A
⑤
S
△
=
P

Pa
 
Pb

Pc

[海伦公式]
⑥
S< br>△
=
12（
b+c-a
）
r
a
[如下图]= 12
（
b+a-c
）
r
c
=12
（
a+c -b
）
r
b

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心．
如图：图1中的
I
为
S
△
ABC
的内心，
S
△
=Pr
，图2中的
I
为
S
△
ABC< br>的一个旁心，
S
△
=12
（
b+c-a
）
r
a

附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点．
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点．
内心：三角形三内角的平分线相交于一点．
垂心：三角形三边上的高相交于一点．
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点．
（5）已知⊙
O
是△ABC的内切圆，若
BC
=
a
，
AC
=
b
，
AB
=
c
[注：
s
为△
ABC< br>的半周长,即
abc
2
图5
B
B
E
A< br>A
F
N
C
D
C
]，则：①
AE=
s a
=
12（
b+c-a
）
②
BN=
sb
=
12（
a+c-b
）
③
FC=
sc
=
12（
a+b-c
）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）． 特例：已知在
Rt
△
ABC，c
为斜边，则内切圆半径
r
=
abc

2
ab
abc
（如图3）． （6）在△ABC中，有下列等式成立
tanAtanBtanCtanAtanBtanC
．
证明：因为
AB

C,
所以
tan
AB

tan


C

，所 以
（7）在△
ABC
中，
D
是
BC
2
ta nAtanB
tanC
，

结论！
1tanAtanB< br>AC
2
BDAB
2
BC
上任意一点，则
ADB DDC
．
BC
证明：在△
ABCD
中，由余弦定理，有
AD
2
AB
2
BD
2
2ABBDcosB①
在△ABC
AB
2
BC
2
AC
2中，由余弦定理有
cosB
2ABBC
2
②，
AC2
BDAB
2
BC
②代入①，化简可得，
ADBDDC
（斯德瓦定理）
BC
①若
AD
是
BC
上的中线，
m
a
②若
AD
是∠
A
的平分线，
t
a
③若
AD
是
BC
上的高，
h
a
（8） △ABC的判定：

2
a


1
2b
2
2c
2
a
2
2
；
2
bcp

pa

，其中
p
为半周长；
bc
p
pa

pb

pc

，其中p
为半周长．
c
2
a
2
b
2

△
ABC
为直角△

∠A + ∠B =

2
c
2
＜
a
2
b
2

△< br>ABC
c
2
＞
a
2
b
2

△
ABC
为钝角△

∠A + ∠B＜


2
2
为锐角△

∠A + ∠B＞


2
附：证明：
cosC
ab
2
c
2
2ab，得在钝角△
ABC
中，
cosC0a
2
b
2< br>c
2
0,a
2
b
2
c
2

（9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和．
09-13高考真题
09.7. 函数
ycos(2x

6
)2
的图像F 按向量a平移到F

，F

的解析式y=f(x),当y=f(x)为
奇 函数时，向量a可以等于



A.
(,2)
B.
(,2)
C.
(,2)
D.
(,2)

6666
【答案】D
09.1. 若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=
A. 3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b

【答案】B
uuuruuuruuuuruuuuruuuruuuur
10.8. 已知
AB C
和点M满足
MAMBMC0
.若存在实
m
使得
AM ACmAM
成立，则
m
=B
A.2 B.3 C.4 D.5
11.2． 若向量
a(1,2)
，
b(1,1)
， 则
2ab
与
ab
的夹角等于
A．


B．

C．
4
6

D．
3


4
4
【详细解析】 分别求出
2ab
与
ab
的 坐标，再求出
a
，
b
，带入公式求夹角。
【考点定位】 考查向量的夹角公式cosθ=
12.13 .已知向量
a

1,0

,b

1,1

,则
(1)与
2ab< br>同向的单位向量的坐标表示为___
(
(2)向量
b3a
与向量a
夹角的余弦值为____

31010
,)
；
1010
ab
,属于简单题.
ab
25
5