坐飞机能带化妆品吗-海南洋浦经济开发区

2019
年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1
．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2
．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3
．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目
要求的。

1
．已知集合
A{1,0,1, 2}，B{x|x
2
1}
，则
AIB

A
．

1,0,1


【答案】A
【难度】容易
3
．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学 瑰宝，并称为中国古典小说四大名著
.
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了
100
位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼
梦》的学生共有
90
位，阅读过《红楼梦》的学生共有
80
位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的
学 生共有
60
位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A
．
0.5
【答案】C
【难度】容易

4
．（
1+2x
2
）（
1+x
）
4的展开式中
x
3
的系数为

A
．
12
【答案】A
【难度】容易
5
．已知各项均为正数的等比数列
{a
n
}
的前
4
项和为
15
，且
a
5
=3a
3
+4a
1
，则
a
3
=
A
．
16
【答案】C
【难度】容易
6
．已知 曲线
yae
x
xlnx
在点（
1
，
ae
）处的切线方程为
y=2x+b
，则

B
．
8 C
．
4 D
．
2
B
．
16 C
．
20 D
．
24
B
．
0.6 C
．
0.7 D
．
0.8
B
．

0,1

C
．

1,1

D
．

0,1,2


A
．
ae，b1

【答案】D
【难度】容易
B
．
a=e
，
b=1 C
．
ae
1
，b1
D
．
ae
1
，
b1

2x
37
．函数
y
x
在

6,6

的图 像大致为

x
22
A
．
B
．

C
．
D
．

【答案】B
【难度】容易
8
．如图，点
N
为正方形
ABCD
的中心，△
ECD为正三角形，平面
ECD
⊥平面
ABCD
，
M
是线段< br>ED
的中点，
则


A
．
BM=EN
，且直线
BM
，
EN
是相交直线

B
．
BM≠EN
，且直线
BM
，
EN
是相交直线

C
．
BM=EN
，且直线
BM
，
EN
是异面直线

D
．
BM≠EN
，且直线
BM
，
EN
是异面直线

【答案】B
【难度】中等

9
．执行下边的程序框图，如果输入的

为
0.01
，则输出
s的值等于


A
．
2
1

2
4
B
．
2
1

2
5
C
．
2
1

2
6
D
．
2
1

2
7
【答案】C
【难度】容易


x
2
y
2
10
．双曲线
C
：

=1
的右焦点为
F
，点
P
在
C
的一条渐近线上，
O为坐标原点，若
PO=PF
，则△
42
PFO
的面积为

A
．
32

4
B
．
32

2
C
．
22
D
．
32

【答案】A
【难度】容易
11
．设
f

x
是定义域为
R
的偶函数，且在

0,+

单调递减，则

1
A
．
f
（
log
3）＞
f
（
4
2
3
1
B
．
f< br>（
log
3
）＞
f
（

3
）＞f
（

2
）

22
4
2
3< br>1
C
．
f
（

2
）＞
f
（

3
）＞
f
（
log
3
）
< br>22
4
2
3
1
D
．
f
（

3
）＞
f
（

2
）＞
f
（
log
3
）

22
4
【答案】C
【难度】容易

2

3
2
）＞
f
（
2
）


2
3

12
．设函数
f

x

=sin
（

x

）
(

＞0
)
，已知
f

x

在
0,2

有且仅有
5
个零点，下述四个结论：

5< br>①
f

x

在（
0,2
）有且仅有
3
个极大值点

②
f

x

在（
0,2
）有且仅有
2
个极小值点


）单调递增

10
1229
④

的取值范围是
[
，
)
510
③
f

x

在（
0,
其中 所有正确结论的编号是

A
．①④

【答案】D
【难度】中等
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分， 共
20
分。

13
．已知
a
，
b
为单位向量，且
a
·
b=0
，若
c2a5b
，则
cosa,c
___________.
B
．②③
C
．①②③
D
．①③④

2
【答案】
3

【难度】容易

S
10

___________. 14
．记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，
a< br>1
≠0，a
2
3a
1
，则
S
5
【 答案】4
【难度】容易
x
2
y
2
15
．设F
1
，F
2
为椭圆
C:
+1
的两个焦点，< br>M
为
C
上一点且在第一象限
.
若
△MF
1< br>F
2
为等腰三角形，
3620
则
M
的坐标为
___________.
【答案】
(3,15)

【难度】容易
16
．学生到工厂劳动实践，利用
3D
打印技术制作模型
.
如图， 该模型为长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
挖去四棱
锥
O
—
EFGH
后所得的几何体，其中
O
为长方体的中心，
E
，
F
，
G
，
H< br>分别为所在棱的中点，
AB=BC=6cm, AA
1
=4cm
，
3D
打印所用原料密度为
0.9 gcm
3
，不考虑打印损耗，制作该模型所
需原料的质量为
___________ g.

【答案】118.8
【难度】中等
三、解答题： 共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21
题为必 考题，每个试题考生
都必须作答。第
22
、
23
题为选考题，考生根 据要求作答。

（一）必考题：共
60
分。

17
．（
12
分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残 留程度，进行如下试验：将
200
只小鼠随机分成
A
，
B
两 组，每
组
100
只，其中
A
组小鼠给服甲离子溶液，
B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、
摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学 方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比
.
根据试验数据分
别得到如下直方图：


记
C
为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于
5.5”，根据直方图得到
P
（
C
）的估计值为
0.70
．< br>
（
1
）求乙离子残留百分比直方图中
a
，
b
的值；

（
2
）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据 用该组区间的中点值为代表）．

【答案】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．
b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+ 5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为 < br>3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．

【难度】容易

18
．（
12
分）

△
ABC
的内角A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b，
c
，已知
asin
（
1
）求
B
；< br>
（
2
）若△
ABC
为锐角三角形，且
c=1
，求△
ABC
面积的取值范围．

【答案】（1）由题设及正弦定理得sinAsin
AC
bsinA
．

2
AC
sinBsinA
．
2
因为sinA

0，所以
sin
AC
sinB
．
2
AC B
BBB
cos
，故
cos2sincos
．
22< br>222
由
ABC180
，可得
sin

因为< br>cos
BB1
0
，故
sin
，因此B=60°．
222
3
a
．
4
（2）由题设及（1）知△ABC的面积
S
△ABC


csinA
sin

12 0C

31
由正弦定理得
a
．
sinCsin C2tanC2
由于△ABC为锐角三角形，故0°1
a2
，
2
从而< br>33
S
△ABC

．
82
因此，△ABC面积的取值范围是


【难度】中等
19
．（
12
分）


33


8
,
2


．

图
1
是由矩形
ADEB
，
Rt
△
ABC
和菱形
BFG C
组成的一个平面图形，其中
AB=1
，
BE=BF=2
，∠
FBC=60°
，
将其沿
AB
，
BC
折起使得
B E
与
BF
重合，连结
DG
，如图
2.
（
1
）证明：图
2
中的
A
，
C
，
G
，
D
四点共面，且平面
ABC
⊥平面
BCGE
；

（
2
）求图
2
中的二面角
B−CG−A的大小
.

【答案】（1）由已知得AD
P
BE，CG
P
BE，所以AD
P
CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点< br>共面．
由已知得AB

BE，AB

BC，故AB

平面BCGE．
又因为AB

平面ABC，所以平面ABC

平面BCGE． （2）作EH

BC，垂足为H．因为EH

平面BCGE，平面BCG E

平面ABC，所以EH

平面ABC．
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=
3
．
uuur
以H为坐标原点，
HC
的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系H–xyz，

uuuruuur
则A（–1，1，0），C（1，0， 0），G（2，0，
3
），
CG
=（1，0，
3
），
AC
=（2，–1，0）．
设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则
uuur


CGn0,


x3z0,
即


r

uuu


2xy0.< br>
ACn0,

所以可取n=（3，6，–
3
）． 又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以
cosn,m
因此二面角 B–CG–A的大小为30°．

【难度】难
nm3
．
< br>|n||m|2

20
．（
12
分）

已知函数
f(x)2xaxb
.
（
1
）讨论
f(x)
的单调性；

（
2< br>）是否存在
a,b
，使得
f(x)
在区间
[0,1]
的最小值为
1
且最大值为
1
？若存在，求出
a,b
的所有 值；
若不存在，说明理由
.
【答案】（1）
f

(x)6x2ax2x(3xa)
．
令
f

(x)0
，得x=0或
x
2
3 2
a
.
3

a

a

,

时，
f

(x)0
；当
x

0,

时，
f

(x)0
．故
f(x)
在

3

3

若a>0，则当
x(,0 )
U


a

a

(,0),
,

单调递增，在

0,

单调递减；

3


3

若a=0，
f(x)
在
(,)
单调递增；
若a<0，则当
x

 ,


a

a


U
(0, )
x
时，；当
f(x)0

,0

时，
f

(x)0
．故
f(x)
在
3

3

a

a

,,(0,)< br>单调递增，在

,0

单调递减.
3


3

（2）满足题设条件的a，b存在.
（i）当a≤0时，由（1）知，
f(x)
在[0，1]单调递增，所以
f(x)< br>在区间[0，l]的最小值为
f(0)=b
，
最大值为
f(1)2 ab
.此时a，b满足题设条件当且仅当
b1
，
2ab1
，即a=0，
b1
．
（ii）当a≥3时，由（1）知，
f(x)< br>在[0，1]单调递减，所以
f(x)
在区间[0，1]的最大值为
f(0)= b
，
最小值为
f(1)2ab
．此时a，b满足题设条件当且仅当2ab1
，b=1，即a=4，b=1．
a
3

a< br>
b
，最大值为b或
2ab
．（iii）当0f(x)
在[0，1]的最小值为
f


< br>27

3

a
3
b1
，b=1，则< br>a3
3
2
，与0
27
a3
b1
，
2ab1
，则
a33
或
a33
或a=0，与0
27

综上 ，当且仅当a=0，
b1
或a=4，b=1时，
f(x)
在[0，1]的 最小值为-1，最大值为1．

【难度】难
1
x
2
21
．已知曲线
C
：
y=
，
D
为直线
y=
上的动点，过
D
作
C
的两条切线，切点分别为
A，
B.
2
2
（
1
）证明：直线
AB
过定点：
< br>（
2
）若以
E(0
，
5
)
为圆心的圆与直线
AB
相切，且切点为线段
AB
的中点，求四边形
ADBE
的 面积
.
2


1


,
2
A

x
1
,y
1

，则
x
1
2
2y
1
.
【答案】
（1）设
D< br>
t,
1
2
x
. 由于
y'x
，所 以切线DA的斜率为
x
1
，故
1
x
1
t
y
1

整理得
2 tx
1
2 y
1
+1=0.

设
B

x
2
,y
2

，同理可得
2tx
2
2 y
2
+1=0
.
故直线AB的方程为
2tx2y10
.
1
所以直线AB过定点
(0,)
.
2
（2）由（1）得直 线AB的方程为
ytx
1

ytx


2
2
由

，可得
x2tx10
.
2

y
x

2
1
.
2于是
x
1
x
2
2t,x
1
x
2< br>1,y
1
y
2
t

x
1
 x
2

12t
2
1
，
|AB|1t< br>2
x
1
x
2
1t
2

x
1
x
2

2
4x
1
x
2
2

t
2
1

.
2
t 1
2
设
d
1
,d
2
分别为点D，E到直线AB的距 离，则
d
1
t
2
1,d
2

因此，四 边形ADBE的面积
S
1
|AB|

d
1
d< br>2



t
2
3

t
2
1
.
2
.
1

设M为线段AB的中点，则
M

t,t
2


.
2
< /p>

uuuuruuur
uuur
uuuur
2
由于
EMAB
，而
EMt,t2
，
AB
与向量
(1, t)
平行，所以
t

t
2
2

t0
.解得t=0或

t1
.
当
t
=0时，S=3；当
t1
时，
S42
.
因此，四边形ADBE的面积为3或
42
.

【难度】难
（二）选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任 选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22
．
[
选修< br>4−4
：坐标系与参数方程
]
（
10
分）

如图，在极坐标系
Ox
中，
A(2,0)
，
B(2,)
，< br>C(2,

4

»
，
CD
»
所在 圆
)
，
D(2,)
，弧
»
AB
，
BC< br>4
»
，曲线
M
3
是弧
CD
»
. < br>的圆心分别是
(1,0)
，
(1,)
，
(1,)
， 曲线
M
1
是弧
»
AB
，曲线
M
2
是弧
BC
（
1
）分别写出
M
1
，
M
2
，
M
3
的极坐标方程；

（
2
）曲线
M
由
M
1
，
M
2
，
M
3
构成，若点
P
在
M
上，且
|OP|

2
3
，求
P
的极坐标
.

»
,CD
»
所在圆的极坐标方程分别为

2cos

，

2sin

，【答案】（1）由题设可得，弧
»
AB,BC
< br>2cos

.
所以
M
1
的极坐标方程为

2cos


0




π

3π

π
M

2sin



，的极坐标方程为
2

，
4

44


3π

M
3
的极坐标方程 为

2cos




π

.

4

（2）设
P(

,

)
，由题设及（1）知
ππ
，则
2cos

3
，解得


；
46
π3ππ
2π
若



，则
2sin

3
，解得


或


；
4433
3π5π
若.



π
，则
2cos

3
，解得< br>

46
若
0



综上， P的极坐标为

3,
【难度】难


π
π

2π

5π


或

3,

或

3,

或

3,

.
6

3

3

6
< br>23
．
[
选修
4−5
：不等式选讲
]
（10
分）

设
x,y,zR
，且
xyz1
.
222
（
1
）求
(x1)(y1)(z1)
的最小值；

（
2
）若
(x2)(y1)(za)
222
1
成立，证明：
a3
或
a1
.
3
2
【答 案】（
1
）由于
[(x1)(y1)(z1)]

(x 1)
2
(y1)
2
(z1)
2
2[(x1) (y1)(y1)(z1)(z1)(x1)]

222

 3

(x1)(y1)(z1)

，

故由已 知得
(x1)(y1)(z1)
当且仅当
x=
222
4
，

3
511
，
y=
–，
z
时等号成立．

333
4
222
所以
(x1)(y1)(z1)
的最小值为
.
3
（
2
）由于

[(x2)(y1)(za)]
2

(x2)
2(y1)
2
(za)
2
2[(x2)(y1)(y1 )(za)(za)(x2)]

222

3

(x2)(y1)(za)

，

(2a)
2
故由已知
(x2)(y1)(za)
，

3
222< br>当且仅当
x
2
4a1a2a2
，
y
，z
时等号成立．

333
22
(2a)
2
因此
(x2)(y1)(za)
的最小值为．

3
(2 a)
2
1
由题设知

，解得
a3
或
a 1
．

33
【难度】难