会计继续教育时间-非主流语句

全国高中数学联赛 金牌教练员讲座
兰州一中数学组
第十二讲：联赛训练之直线 圆 圆锥曲线 平面向量
一,基础知识导引
<一>,直线与圆
1,两点间的距离公式:设
P
22
1
( x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
,则
PP
12
(x
1
x
2
)(y
1
y
2
)
;
2,线段的定比分点坐标公式: 设
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
( x
2
,y
2
)
,点
P(x,y)
分
P1
P
2
的比为

,则

x
x
1


x
2

,
y
y
1


y
2
11

(

1)

3,直线方程的各种形式
(1),点斜式:
yy
0
k(xx
0
)
; (2),斜截式:
ykxb
; (3),两点式:
yy
1
xx
1
yy


2

1
x
2
x
1
(4),截距式: < br>x
a

y
b
1(a,b0)
;(5),一般式:
AxByC0(A,B
不同为零);
(6)参数方程:


xx
0
tcos

(t
为参数,

为 倾斜角,
t
表示点
(x,y)
与

yy
(x0
,y
0
)
之间的距离)
0
tsin

4,两直线的位置关系
设
l
1< br>:A
1
xB
1
yC
1
0,l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0
(或
l< br>1
:yk
1
xb
1
,l
2
:yk2
xb
2
).则
(1),
l
1
l
2
A
1
B
2
A
2
B
1
0< br>且
A
1
C
2
A
2
C
1
 0
(或
k
1
k
2
且
b
1
b< br>2
);
(2),
l
1
l
2
A
1
A
2
B
1
B
2
0
(或
k< br>1
k
2
1
).
5,两直线的到角公式与夹角公式:
(1),到角公式:
l
1
到
l
2
的到角为

,则
tan


k
2
k
1
0
1k
,(
0

180
0
);
1< br>k
2
(2),夹角公式:
l
1
与
l
2
的夹角为

,则
tan


k
2
k< br>1
1k
,(
0
0


90
0< br>).
1
k
2
6,点
P
0
(x
0< br>,y
0
)
到直线
l:AxByC0
的距离:
d 
Ax
0
By
0
C
A
2
B
2
.
7,圆的方程
(1),标准方程:
(xa)
2
 (yb)
2
R
2
,其中
(a,b)
为圆心坐标,R为圆 半径;

25

(2),一般方程:
x
2
y
2
DxEyF0
,其中
D
2
E
2< br>4F0
,圆心为
(
D
2
,
E
2)
,
半径为
1
2
D
2
E
2
4F
.
(3),参数方程:


xaRcos


ybRsin

,其中圆心为
(a,b)
,半径为R.
<二>,圆锥曲线

椭圆 双曲线 抛物线
定义 与两个定点的距离的 与两个定点的距离的 与一个定点和一条定
和等于常数 差的绝对值等于常数 直线的距离相等


x
2
y
2
x
2y
2
2px

标准方程
a
2

b
2
1

a
2

y
2
b
2
1

(或
x
2
2py
)
x
2
(或
y
2
b
2

a
2
1
), (或
y
2
x
2
a
2

b
2
1
)




xacos


x2pt
2

参数方程

ybsin



xasec


ybtan


y2pt


(或


xbsin


yacos

) (或


xbtan

yasec

) (或


x2pt

y2pt
2
)
焦点
(c,0)
或
(0,c)

(c,0)
或
(0,c)

(
p
2
, 0)
或
(0,
p
2
)


c
2
a
2
b
2

c
2
a
2
b
2


正数a,b,c,
p的关系
(
ab0
)
(
a0,b0
)
离心率
e
c
a
1

e
c
e1

a
1


准线
x
a
2
x 
pp
c
(或
y
a
2
c
)
x
a
2
c
(或
y
a
2
c
)
2
(或
y
2
)
渐近线
y
b
a
x
(或
x
b

a
y
)


PF
p
1
aex
0

PF
1
ex
0
a

PFx
0

2



PF
2
aex
0

PF
2
ex
0
a

(或
PFy
p
0

2
)
焦半径

(或
PF
1
aey
0
(
PF
1
ey
0
a
,

26

PF
2
aey
0
)
PF
2
ey
0
a
),
(点
P
在左或下支)
统一定义 到定点的距离与到定 ,(注:焦点要与对应
直线的距离之比等于定值 的点的集合 准线配对使用)
二,解题思想与方法导引.
1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,参数法. 5,整体处理
三,习题导引
<一>,选择题
1,在平面直角坐标系中,方程
xy
2a

xy
2b< br>1(a,b
为相异正数),所表示的曲线是
A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形
2,平面上整点(坐标为整数的点)到 直线
y
5
3
x
4
5
的距离中的最小值是
A,
34
170
B,
34
1
1
85
C,
20
D,
30

3,过抛 物线
y
2
8(x2)
的焦点F作倾斜角为
60
0
的直线,若此直线与抛物线交于A,B
两点,弦AB的中垂线与
x
轴交于P点,则线段PF的长等于
A,
16
3
B,
8
16
3
C,
3
3
D,
83

4, 若椭圆
x
2
36

y
2
20
1
上一点P到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P点坐标为
A,
(3,15)
B,
(3,15)
C,
(3,15)
D,
(3,15)
5,过椭圆
x
2
y
2
a
2

b
2
1
(ab0)
中心的弦AB,
F(c,0)
是右焦点,则
AFB
的最大面积为
A,
bc
B,
ab
C,
ac
D,
b
2

已知P为双曲线
x
2
y
26,
a
2

b
2
1
上的任意一点,
F
1
,F
2
为焦点,若
F
1
PF
2

,则
S
F
1
PF
2


A,
b
2
cot

2
B,
1
absin

C,
b
2
a
2
tan

D,
(a
2
22
b
2
)sin


<二>,填空题
7,给定点
P(2,3),Q(3,2)
,已知直线axy20
与线段PQ(包括P,Q在内)有公共点,
则
a
的取值范围是 . 8,过定点
F(a,0)(a0)
作直线
l
交
y
轴于 Q点,过Q点作
QTFQ
交
x
轴于T点,

27

延长TQ至P点,使
QPTQ
,则P点的轨迹方程是 .
x
2
a

y
2
9,已知椭圆
2
b
2
1(ab0)
与直线
xy1
交于M,N两点,且< br>OMON
,(
O
为
原点),当椭圆的离心率
e[
3
3
,
2
2
]
时,椭圆长轴长的取值范围是 .
F
x
2
10,已知
y
2
1
,F
2
是椭圆
16

12
1
的两个焦点,M是椭圆上一点, M到
y
轴的距离为

MN
,且
MN
是
M F
1
和
MF
2
的等比中项,则
MN
的值等于 .
11,已知点A为双曲线
x
2
y
2
1
的左 顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,
ABC
是
等边三角形,则
ABC
的面积等于 .
12,若椭圆
x
2
m

y
2
n
1
(
mn0
)和双曲线
x
2
a

y
2
b
1(a0,b0)
有相同的焦点
F
1
,


F
2
,P为两条曲线的一个交点,则
PF
1
PF
2
的值为 .
<三>,解答题 < br>13,设椭圆
x
2
2

y
2
6
1
有一个内接
PAB
,射线OP与
x
轴正向成

3
角,直线AP,BP的斜率
适合条件
k
AP
k
BP
0
.
(1),求证:过A,B的直线的斜率
k
是定值;
(2),求
PAB
面积的最大值.
14,已知
AOB

(

为常数且
0



2
),动点P,Q分别在射线OA,OB上使得
POQ

的面积恒为36.设
POQ
的重心为G,点M在射线OG上,且满足
OM
3
2
OG
.
(1),求
OG
的最小值;
(2),求动点M的轨迹方程.
15,过抛物线
y
2
2px
(
p
为不等于2的素 数)的焦点F,作与
x
轴不垂直的直线
l
交抛物线
于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交
x
轴于Q点.
(1),求PQ中点R的轨迹L的方程;
(2),证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.
四,解题导引
1,D 令
yx
,得
yxa
,令
yx
得
xyb
,由此可见,曲线必过四个点:
(a,a )
,

28

(a,a)
,
(b,b )
,
(b,b)
,从结构特征看,方程表示的曲线是以这四点为顶点的四边形,易 知
它是非正方形的菱形.
2,B
d
25x
0
1 5y
0
125(5x
0
3y
0
)12
850

534
,当
5x
0
3y
0
2(可取
x
0
y
0
1
)时,

d
min

34
85
(其中
(x
0
,y< br>0
)
为平面上任意整点).
3,A 此抛物线的焦点与原点重合,得直线AB的方程为
y3x
,因此A,B两点的横坐标
满足方程:
3x
2
8x160
.由此求得弦AB中点的横坐标
x
4
3
,纵坐标
y
4
0

0
3
,进而
求得其中垂线方程为
y
4
3

1< br>3
(x
4
3
)
,令
y0
,得P点的横坐 标
x4
4
3

16
3
,
即PF=
16
3
.
4,C 设
P(x
0
,y
0
)
,又椭圆的右准线为
x9
,而
PF
1
2PF
2
,且
PF
1
PF
2
12< br>,
得
PF
PF
2
2
4
,又
2< br>9x
e
,得
x
0
3
,代入椭圆方程得
y
0
15
.
0
3
5,A (1)当
AB x
轴时,
S
1
AFB

2
(2b)cb c
;

ykx
22
(2)当AB与
x
轴不垂直 时,设AB的方程为
ykx
,由



x
2y
2
消去
x
得
y
2

kab
2
222
.

a
2

b
2
1
bka
设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,则
y
1

k ab
b
2
k
2
a
2
,
y
2
kab
b
2
k
2
a
2
, S
AFB

1
2
c(y
12abk
2
1
1
y
2
)
2
c
b
2
k
2
a
2
kabc
b
2
k
2
a
2
abc
b
2
bc
.
2
k
2
a
6,A 由
F
222
1F
2
PF
1
PF
2
2PF
1
P F
2
cos


(PF
1
PF
2
)
2
2PF
1
PF
2

(1cos

)
,得
PF
2b
2
1
2
sin

1
PF
2

1cos

,
S
F
1
PF
2

2
PF
1
PF
2
sin

b
1cos

b
2
co t
2
.
7,
[
4
,
1
]
设线段PQ上任意一点
M(x
PM
52
0
,y
0
)
且令
PQ
t(0t1)
,则
x
0
(1t )23t


29

=
2t
,
y
0
(1t)(3)t235t
,故
a(2t)(3 5t)20
,
t
12a
a5
,
由
0 t1
得
0
12a
a5
1
,解得
4
5
a
1
2
.
8,
y
2
4ax
设直线
l
的方程为
yk(xa)
,则Q点坐标为
(0,ka)
,直线QT的方程为
< br>y
1
xka
,所以T点坐标为
(k
2
a,0 )
,从而P点坐标为
(k
2
k
a,2ka)
,设P的坐标 为
(x,y)
,则


xk
2
a
,消 去
2

y2ka
k
可得P点轨迹方程为
y4ax.

x
2
y
2
9,
[5,6]
由


a
2

b
2
1
,可得< br>(a
2
b
2
)x
2
2a
2
x a
2
a
2
b
2
0
①

xy1
OMON
得
x10
,将
x
2a
2
由
1
x
2
y
1
y
20
,即
2x
1
x
2
(x
1
x< br>2
)
1
x
2

a
2
b
2
,
x
a
2
a
2
b
2
11 11
3c2
1
x
2

a
2
b
2
代入得
a
2

b
2
2
,即
b< br>2
2
a
2
,因为
3

a
2
,得
1b
2
1
1b
2
2
3
3
1
a

2
,得
2

a

3
,有
2
a
2
(2
1
2
2
a
2
)2
,解得
52a6
.
10,
85
x
2
y
2
5
延长NM与椭 圆
16

12
1
的右准线
l
:
x8< br>相交于D,设
M(x,y)
,则
MD8x
,因
e1111
2
,2a8
,得
MF
2

2
MD
2
(8x)
,
MF
1
8MF
2
2
(8x)
,
又
MN
2
MF
1
MF
2
,得
x
2

64
5
,故
MN
85
5
.
11,
33
设点C在
x
轴上方,由
ABC
是等边三角形得直线AB的斜率
k
33
,又直线
过
A(1,0)
点,故方程为
y
3
3
x
3
3
,代入双曲线方程
x
2
y< br>2
1
,得点B的坐标为
(2,3)
,同理可得C的坐标为
(2,3)
,所以
ABC
的面积为
[2(1)]333
.
12,
ma
不妨设P为第一象限的一点,则
PF
1
 PF
2
2m
,
PF
1
PF
2
2a< br>,.得
PF
1
am
,
PF
2
ma
,于是
PF
1
PF
2
ma
.

30

13,:(1)证明:易知直线OP的方程为
y3x
,将此方程代入
3x
2
y
2
6
,可求得交点
P(1,
3)
.由题意可设直线PA,PB的方程分别为
y3k(x 1)
和
y3k(x1)
,
分别与椭圆方程联立,可求得A,B的横 坐标分别为
x
k
2
23k3
k
2
23k3
A

3k
2
,
x
B

3k< br>2
.
从而
y
k6)
A

k(233k
2
3,y
k(23k6)
B

3k2
3
,
所以
k
y
B
y
A
12k3
AB
xx
2

k
2

43 k
3
(定值).
B

A
3k
(2)不妨设直 线AB的方程为
y3xb
,与椭圆方程联立,并消去
y
得
6x< br>2
23bx
+
(b
2
6)0
,有
A B
2
(x
A
x
B
)
2
(y
A
y
B
)
2
4(x
A
x
B
)
2
4[(x
A
x
B
)
2
4x
A
x
B
]

=
4[(
3
b)
2

2
3
(b
2
6)]
4
3
b
2
3
16

点P到 战线AB的距离
d
33b
2

b
2
,所以< br>S
2

1
PAB

b
2
(16 
4
3
b
2
44
)
=
b
21b
2
(12b
2
12
(12b
2
)
12
[
)
2
]
2
3
,当且仅当
b
2
12b
2
,即
b6
时,
(S
PAB
)
max
3
.
14,解(1), 以O为原点,
AOB
的平分线为
x
轴建立直角坐标系,则可设
P( acos

,asin

22
)

Q(bcos< br>
2
,bsin
2
)
.于是
OPQ
的 重心
G(x
G
,y
G
)
的坐标为

x
1

1

G

3
(acos
2
bcos
2
0)
3
(ab)cos
2< br>,

y
1

1
< br>G

3
(asin
2
bsin
2
0)
3
(ab)sin
2

OG
2
x
2< br>y
2
1
2
2

12
GG
9
(a
2
b)
9
ab(cos
2
2
sin
2
2
)
=
9
(a
2
b
2
)
9
abcos



1
9
2ab
24

9
abcos


9
abcos
2
2
.
又已知
S
172
4
 OPQ

2
absin

36,
得
ab
sin

,于是
OG
9

72
sin

cos
2

2


31

16cot

2
4cot

2
,且当
a b
72
sin

时等号成立,故
OG

min< br>4cot
2
.
(2),设
M(x,y)
,则由
O M
3
2
OG
得,
x
3
2
x
1
2
(ab)cos

2
0
,
y
3
2
y
1
GG
=
2
(a
b)
s in

xy
2
,得
a
cos



,
b
xy



,代入
ab72
sin

,并整理得
2
sin
2
cos
2
sin
2
x
22

y
36cot

1(x0)
,这就是所求动点M的轨迹方程.
2
36tan2
15,解:(1)抛物线
y
2
2px
的焦点为
(< br>p
2
,0)
,设
l
的直线方程为
yk(x
p
2
)
(k0)
.

y
2
由

2px

得
k
2
x
2
(pk2
2p)x
1
p
2
k
2
0
,设 M,N的横坐标分别为
x


yk(x
p
2
)
4
1
,x
2

则
x
pk
2
2p
1
x
2

k
2
,得
x
P

x
1
x
2
2

pk
22p
2k
2
,
y
P
k(
pk
2< br>2p
2k
2

pp
2
)
k
,
而
PQl
,故PQ的斜率为

1
p1pk
22p
k
,PQ的方程为
y
k

k
(x
2k
2
)
.
代入
y
pk
2
2 p
Q
0
得
x
Q
p
2k
2

3pk
2
2p
2k
2
.设动点R的坐标
(x,y )
,则



x
1
(x
p

2
P
x
Q
)p
k
2
(xp)< br>p
2
,因此
p
2
2
4y(y0)
, < br>
y
1
(yy)
p
k


2
PQ
2k
故PQ中点R的轨迹L的方程为
4y
2
p(x p)(y0)
.
(2),显然对任意非零整数
t
,点
(p(4t
2
1),pt)
都是L上的整点,故L上有无穷多个整点.
反设L上有一 个整点(x,y)到原点的距离为整数m,不妨设
x0,y0,m0
,则
< br>

x
2
y
2
m
2
(i)
p(xp)(ii)
,因为
p
是奇素数,于是
py
,从
(ii)
可推出
px
,再由
(i)
可推出

4y
2
pm
,令
xpx


x
222
1
y
1
m
1
(iii)
1
, ypy
1
,mpm
1
,则有


,

4y
2
1
x
1
1(iv)

32

由
(iii)
,
(iv)
得
x
1

2
x
1
1
m
1
2,于是
(8x
1
1)
2
(8m
1
)
2
17
,即
4
(8x
1
18m
1
)(8x
1
18m
1
)17
,于是
8x
1
18m
1
17
,
8x
1
18m
1
1
,
得
x
1
m
1
1
, 故
y
1
0
,有
ypy
1
0
,但L上 的点满足
y0
,矛盾!
因此,L上任意点到原点的距离不为整数.

33