王维简介-上海美术学院

2012年第10届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷
（五年级第2试）


一、填空题（每题5分共60分）
1．（5分）计算：3.6×（2.45﹣1.9）÷0.4= _________ ．

2．（5分）已知甲乙两数的和是231，已知甲数的末位是0，如果把甲数末位的0去掉，正好等于乙 数，那么，甲数
是 _________ ，乙数是 _________ ．

3．（5分）如图，当n=1时，图中有1个圆；当n=2时，图中有7个圆；当n=3时，图中有19个圆；… ，按此规律，
当n=5时，图中有 _________ 个圆．


4 ．（5分）54个小朋友排队做游戏，每轮游戏有12个小朋友参加，游戏结束后，这12个小朋友按原来的先后 顺序
排到队尾，如果游戏开始时，小亮站在队首，当小亮再次站在队首时，已经做了 _________ 轮游戏．

5．（5分）有一列数，第1个是1，从第2个数起，们 每个数比它前面相邻的数大3，最后一个数是100，将这列数
相乘，则在计算结果的末尾中有 _________ 个连续的零．

6．（5分）公元纪年法中，每四年含一个闰年，每 个平年有365天，每个闰年有366天，2012年是闰年，元旦是星
期日，那么，下一个元旦也是星 期日的年份是 _________ 年．

7．（5分）在平面上有7个点，其中任意3 个点都不在同一条直线上，如果连接这7个点中的每两个点，那么最多
可以得到 _________ 条线段；以这些线段为边，最多能构成 _________ 个三角形．

8．（5分） 如图所示，在一个圆周上放了1枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子．若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下 _________ 枚白子．


9．（5分）正方体木块被砍掉了一个角（这里的角，指三条线相交处），剩余部分最多有 _________ 个角，最少
有 _________ 角．

10．（5分 ）如图所示，两个形状和大小都相同的直角△ACB和△EDF的面积都是10cm，每个直角的直角顶点都恰< br>好落在另一个直角三角形斜边上，这两个直角三角形的重叠部分是一个长方形．那么四边形ABEF的面积 是
2
_________ cm．
2

11．（5分）某次数学竞赛以后52 人参加，共考5道题，每道题做错的人数统计如下：
1 2 3 4 5
题号
6 10 20 39
做错人数
4
如果每人都至少做对1道题，只做对1题有7人， 5道题都做对的有6人，只做对2道题和只做对3道题的人数相
同，那么做对4道题的有 _________ 人．

12．（5分）在长、宽、高分别是10cm、10cm、6 cm的长方体的容器中盛有深4cm的水，在向容器中放入棱长5cm
的正方体铁块，则水深变为 _________ cm．

二．解答题：（每小题15分共60分）每题都要写出推算过程．
13．（15分）将图分割成两部分，两部分恰好能拼成一个正方形．
（1）若图中每个小正方形的边长是1，拼成的正方形的边长是多少？
（2）用粗线表示分割的路线．


14．（15分）甲乙丙三辆汽车从 A地去B地，甲车的速度是60千米时，乙车的速度是48千米时，与此同时，一
辆卡车从B地去A地， 卡车在出发后6小时、7小时、8小时的时刻分别与甲乙丙三车相遇，求：
（1）甲车与卡车相遇时，甲车与乙车的距离；
（2）求卡车的速度；
（3）求丙车的速度．

15．（15分）某快递公司对从A地发往B地的快件的 运费收费标准是：快件重量不超过10千克，每千克收费8元；
如果超过10千克，超出部分按每千5元 收费，已知甲乙二人向该公司各投递一个快件，甲比乙多交了34元，求甲
乙的快件的重量．（甲乙的快 件的重量都是整千克数）

16．（15分）已知
+
﹣
×
求（


，，，各代表一个自然数，观察下面三个算式呈现的规律：
﹣
+
×
+
=6
=3
=140
）÷的值．

2012年第10届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷
（五年级第2试）

参考答案与试题解析


一、填空题（每题5分共60分）
1．（5分）计算：3.6×（2.45﹣1.9）÷0.4= 4.95 ．

考点： 小数四则混合运算．
专题： 运算顺序及法则．
分析： 先算括号内的，再算除法和乘法．
解答： 解：3.6×（2.45﹣1.9）÷0.4，
=3.6×0.55÷0.4，
=1.98÷0.4，
=4.95；
故答案为：4.95．
点评： 此题考查了小数四则混合运算，注意运算顺序和运算法则．

2．（5分）已知甲乙两数的和是231，已知甲数的末位是0，如果把甲数末位的0去掉 ，正好等于乙数，那么，甲数
是 210 ，乙数是 21 ．

考点： 和倍问题．
专题： 和倍问题．
分析： 根据“甲数的末位是0，如果把甲数末位的0去掉 ，正好等于乙数，”知道甲数是乙数的10倍，再根据题意
知道甲乙两数的和是231，由此利用和倍公 式解决问题．
解答： 解：乙数：231÷（10+1），
=231÷11，
=21，
甲数：231﹣21=210，
答：甲数是210，乙数是21．
故答案为：210，21．
点评： 解答本题的关键是根据题意找出甲数与乙数的倍数关系， 再利用和倍问题的公式{和÷（倍数+1）=小数，小
数×倍数=大数，（或者 和﹣小数=大数）}解决问题．

3．（5分）如图，当n=1时，图中有1个圆；当n= 2时，图中有7个圆；当n=3时，图中有19个圆；…，按此规律，
当n=5时，图中有 61 个圆．


考点： 数与形结合的规律．
专题： 探索数的规律．
分析： 所构成的图形是轴对称图形，沿中间的一列分开，两边对称，最左边的一行是n个圆，后面每一 列比前面
的每一列多一个，直到中间的一列，中间的一排是2n﹣1个．中间的后面的每排依次减少．
解答： 解：最左边的一列是n，第二列是n+1，第三列是n+2，…，第n列是2n﹣1；

第n列以后，各列的个数分别是2n﹣2，2n﹣3…，n．
则第n个图形的圆的个数是：
n+（n+1）+…（2n﹣1）+（2n﹣2）+（2n﹣3）+…+n
=2[n+（n+1）+（n+2）+…+（2n﹣2）]+（2n﹣1）
=（n﹣1）[n+（2n﹣2）]+（2n﹣1）
=3n﹣3n+1．
2
所以当n=5时，图中有圆：3×5﹣3×5+1，
=3×25﹣15+1，
=75﹣15+1，
=61（个），
答：当n=5时，图中有圆61个．
故答案是：61．
点评： 本题考查了图形的变化规律，可以用圈数表示为：1+6×1+6 ×2+6×3+…+6×（n﹣1））解决问题．

4．（5分）54个小朋友排队做游戏 ，每轮游戏有12个小朋友参加，游戏结束后，这12个小朋友按原来的先后顺序
排到队尾，如果游戏开 始时，小亮站在队首，当小亮再次站在队首时，已经做了 9 轮游戏．

考点： 排队论问题．
专题： 数学游戏与最好的对策问题．
分析： 54和12的最小公倍数为108，也就是说共移动了108人次，做了108÷12=9轮游戏．
解答： 解：54=2×3×9，
12=2×2×3，
因此54和12的最小公倍数为：2×2×3×9=108；

做了：
108÷12=9（轮）．
答：已经做了9轮游戏．
故答案为：9．
点评： 此题的关键是运用求最小公倍数的方法解决问题，

5．（5分）有一列 数，第1个是1，从第2个数起，们每个数比它前面相邻的数大3，最后一个数是100，将这列数
相乘 ，则在计算结果的末尾中有 9 个连续的零．

考点： 数字问题．
专题： 综合填空题．
分析： 由于从第2个数起，每个数比它前面相邻的数大3，则此数列为1，4，7，1 0，…100．则一个它们积的末尾
有多个数零是由其中因数2与5的个数决定的，而其中因数2的个数 一定大于5个的个数，因此只要找出
1×4×7×10×…×100中因数的个数即可．这一数列的数可 表示为1+3（n﹣1），则5的倍数有10，25，40，55，
70，85，100共7个，由于2 5=5×5，25和100是25的倍数，则1×4×7×10×…×100中共有7+2=9个因数5，
则计算结果的末尾中有9个连续的零．
解答： 解：积的末尾有多个数零是由其中因数2和5的个数决定的，
由题意可知，这一数列中5的倍数有10，25，40，55，70，85，100共7个，
由于25=5×5，25和100是25的倍数，
则1×4×7×10×…×100中共有7+2=9个因数5．
所以计算结果的末尾中有9个连续的零．
故和案为：9．
点评： 明确的末尾有多 个数零是由其中因数2与5的个数决定的，并根据数列的特点求出这一数列中因数5的个
数是完成本题的 关键．

2

6．（5分）公元纪年法 中，每四年含一个闰年，每个平年有365天，每个闰年有366天，2012年是闰年，元旦是星
期日 ，那么，下一个元旦也是星期日的年份是 2017 年．

考点： 平年、闰年的判断方法．
分析： 一星期有7天，这是定数，闰年有366天，平年有365天，36 6÷7=52个…2天，365÷7=52个…1天，只要余
数加起来是7，就是这年的元旦是星期日．
解答： 解：2012年366天，是52个星期余2天，然后是3个平年52个星期余1天，接着是闰 年，又余2天，2+1+1+1+2，
即经过所以5年后即，2012+5=2017年的元旦是星期日 ；
故答案为：2017．
点评： 本题主要考查年月日的知识，注意一星期有7天，闰年是52个星期余2天，平年是52个星期余1天．

7．（5分）在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，如果连接这7个点 中的每两个点，那么最多
可以得到 21 条线段；以这些线段为边，最多能构成 35 个三角形．

考点： 组合图形的计数．
专题： 操作、归纳计数问题．
分析： 根 据两点确定一条线段即可计算出线段的条数．顺次连接不在同一直线上的三个点可作1个三角形；当有4
个点时，可作4个三角形；当有5个点时，可作10个三角形；依此类推当有n个点时，可作
个三角形．
解答： 解：在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，连接其中任意两个点，最多能画
6+5+4+3+2+1=21条线段．
以这些线段为边，最多能构成=35个三角形．
答：最多可以得到21条线段；以这些线段为边，最多能构成35个三角形．
故答案为：21，35．
点评： 数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法，如果平面上 有n个点，其中任意三点都不在同一条直线上，
那么就有条线段，得到个三角形．

8．（5分）如图所示，在一个圆周上放了1枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子．若从黑子开始，按顺 时针方向，
每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下 503 枚白子．


考点： 哈密尔顿圈与哈密尔顿链．
专题： 综合填空题．
分析： 从 黑子的右面第一枚白子开始编号为1，2，3，…2012，则黑子为2013；从黑子计数，按顺时针方向，每 隔
1枚，取走1枚，首先取走的依次是2、4、6、8…2012号，到此时剩余奇数号；继续取，取走 的依次是1、
5、9、…4n﹣3号（n=1、2、3…），因为2013=4×504﹣3，所以20 13此时被取走；余下的是3，7，11，15，…2011，
规律是4n﹣1，n=1，2，3…，求 出3到2011以4为等差的等差数列的个数，即可得解．
解答： 解：（2011﹣3）÷4+1=503（枚），
答：若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下 503枚白子．
故答案为：503．
点评： 此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链问题，锻炼了学生的认真分析问题的能力．

9．（5分）正方体木块被砍掉了一个角（这里的角，指三条线相交处），剩余部分最多有 10 个角，最少有 7 角．

考点： 图形的拆拼（切拼）．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 把正方体木块被砍掉了一个角，如果如果砍切点在组成这个顶点的这 三条棱上，将会增加一个三角形，即
增加三个顶点，剩余部分用原来的正方体的8个顶点减去一个顶点， 再加新增加的3个顶点，此时剩余部
分角最多；如果砍切点在另外三个角（顶点）上，这时将比原正方体 减少一个角（顶点）．据此解答．
解答： 解：正方体木块被砍掉了一个角（这里的角，指三条线相交处），剩余部分最多有10个角，最少有7角；
故答案为：10，7．
点评： 此题是考查图形的切拼问题，关键是砍切点的选取．最好是动 手操作一下，既可解决问题，又锻炼了动手
操作能力．

10．（5分）如图所示 ，两个形状和大小都相同的直角△ACB和△EDF的面积都是10cm，每个直角的直角顶点都恰
好落 在另一个直角三角形斜边上，这两个直角三角形的重叠部分是一个长方形．那么四边形ABEF的面积是 20
cm．
2
2


考点： 重叠问题．
专题： 平面图形的认识与计算．
分析： 因为重叠部分是一个长方形，所以∠1=∠3，2=∠1，可得∠2 =∠3，因此AB∥EF，又因为AB=EF，所以四边形
ABEF是平行四边形，那么直角△ACB和 △EDF的面积都与四边形ABEF等底等高，直角△ACB和△EDF的面
2
积都是四边形A BEF的面积的一半，那么四边形ABEF的面积是：10×2=20cm．

解答： 解：根据分析可得：直角△ACB和△EDF的面积都是四边形ABEF的面积的一半，
2
那么四边形ABEF的面积是：10×2=20（cm）．
故答案为：20．
点评： 本题关键是能够看出四边形ABEF是平行四边形，然后利用等底等高的三角形与平行四边形的 面积关系解
答即可．

11．（5分）某次数学竞赛以后52 人参加，共考5道题，每道题做错的人数统计如下：
1 2 3 4 5
题号
6 10 20 39
做错人数
4
如果每人都至少做对1道题，只做对1题有7人， 5道题都做对的有6人，只做对2道题和只做对3道题的人数相
同，那么做对4道题的有 31 人．

考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．

分析： 总共有52×5=260道题，做错的题目数为4+6+10+20 +39=79道，所以做对的题目为260﹣79=181道，又只
做对1题有7人，5道题都做对的有 6人，则做对2道题、3道题、4道题的题目总数为181﹣7﹣5×6=144
道，由于做对2道题和 3道题的人数一样多，即可以看作是一样的人数做对了5道题，由此可设做对四道
题的有x人，只做对2 道题和只做对3道题的一样的人数为y，则4x+5y=144①，又只做对1题有7人，5
道题都做对 的有6人，则做对2、3、4道题的共有x+2y=52﹣1﹣7人②，整理①②即能得出做对道题的有多少人．
解答： 解：做对的题目有：
260﹣（4+6+10+20+39）
=60﹣79，
=181（道）；
做对做对2道题、3道题、4道题的题目总数为181﹣7﹣5×6=144道，
设做对四道 题的有x人，只做对2道题和只做对3道题道的一样的人数为y，即共做对了（2+3）y题，可
得：
4x+5y=144①，
x+2y=52﹣1﹣7=39②，
由②得：x=39﹣2y，
由①得：
4（39﹣2y）+5y=144，
156﹣8y+5y=144，
3y=12，
y=4．
则x=39﹣2×4=31．
即做对4道题的有31人．
故答案为：31．
点评： 根据容斥原理求出共做对多少道题的基础上通过设未知数，根据人数与做各题的数量列出等量关 系式进行
分析是完成本题的关键．

12．（5分）在长、宽、高分别是10cm 、10cm、6cm的长方体的容器中盛有深4cm的水，在向容器中放入棱长5cm
的正方体铁块，则 水深变为 5.25 cm．

考点： 长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
专题： 立体图形的认识与计算．
分析： 首先根据长方体的容积（体积）公式：v=abh ，求出容器中水的体积是多少立方厘米，根据正方体的体积公
3
式：v=a，再求出棱长5厘米 的正方体的体积，用容器中水的体积加上这个正方体铁块的体积，除以容器
的底面积就是现在水的深（高 ）．由此列式解答．
解答： 解：容器中水的体积：
10×10×4=400（立方厘米），
正方体铁块的体积：
5×5×5=125（立方厘米），
水深：
（400+125）÷（10×10），
=525÷100，
=5.25（厘米）；
答：水深5.25厘米．
故答案为：5.25．
点评： 此题属于长方体、正方体的容积（体积）的实际应用，长方体的高=体积÷底面积，关键是求出 容器中水和
铁块的体积之和．再根据体积除以底面积等于高，列式解答．

二．解答题：（每小题15分共60分）每题都要写出推算过程．

13．（15分）将图分割成两部分，两部分恰好能拼成一个正方形．
（1）若图中每个小正方形的边长是1，拼成的正方形的边长是多少？
（2）用粗线表示分割的路线．


考点： 图形划分．
专题： 几何形体的分、合、移、补的问题．
分析： （1）通过观察，图中小正方形的个数是36个，由正方 形的面积公式，面积=边长×边长，6×6=36，所以拼
成的正方形的边长是6；
（2）如 下图所示，第一行右边留两个，向下分割，沿水平向左两个小正方形边长分割；第二行右边留4个
向下分 割，沿水平向左两个小正方形边长分割，第三行，留6个向下分割，分割后，左部分向右两个，向
上一个 小正方形，即可得解．
解答： 解：（1）6×6=36，
答：拼成的正方形的边长是6；
（2）

点评： 此题考查了图形划分，锻炼了学生的空间想象力和几何直观．

14．（15分）甲乙丙三辆汽车从A地去B地，甲车的速度是60千米时，乙车的速度是 48千米时，与此同时，一
辆卡车从B地去A地，卡车在出发后6小时、7小时、8小时的时刻分别与甲 乙丙三车相遇，求：
（1）甲车与卡车相遇时，甲车与乙车的距离；
（2）求卡车的速度；
（3）求丙车的速度．

考点： 相遇问题．
专题： 综合行程问题．
分析： （1）甲车与卡车相遇时行了6小时，由于甲乙两车的速度差为每小时60﹣48=12千米， 则此时甲乙两车相
距12×6=72千米；
（2）由于卡车与甲车相遇时甲乙两车相距72千 米，即此时卡车与乙车相距也是72千米，由于卡车又经过
了7﹣6=1小时与乙车相遇，则卡车的速度 为每小时72÷1﹣48=24千米；
（3）由于卡车与乙车相遇时，三车已行了7小时，此时乙车已 行48×7=336千米，又过了8﹣7=1小时，卡
车与丙车相遇，从与乙车相遇到与丙车相遇，卡车 行了24千米，即丙车在8小时内行了336﹣24=312千米，
则丙车的速度为每小时：312÷8 =39千米．
解答： 解：（1）（60﹣48）×6
=12×6，
=72（千米）．
答：甲车与卡车相遇时，甲车与乙车的距离为72千米．

（2）72÷1﹣48
=72﹣48，
=24（千米小时）．
答：卡车每小时行24千米．

（3）[48×7﹣24×（8﹣7）]÷8
=[336﹣24]÷8，
=312÷8，
=39（千米小时）．
答：丙车每小时行39千米．
点评： 首先根据速度差×行驶时间=路程差求出甲车与卡车相遇时，甲车与乙车的距离，进而求出卡车 的速度是完
成本题的关键．

15．（15分）某快递公司对从A地发往B地的快 件的运费收费标准是：快件重量不超过10千克，每千克收费8元；
如果超过10千克，超出部分按每千 5元收费，已知甲乙二人向该公司各投递一个快件，甲比乙多交了34元，求甲
乙的快件的重量．（甲乙 的快件的重量都是整千克数）

考点： 整数、小数复合应用题．
分析： 因为3 4不是8的倍数，也不是5的倍数，所以多付的34元有8元每千克的，也有5元每千克的；然后找
出3 4可以是几个5与几个8的和，由此求出甲比乙多的重量，进而求出甲乙原来的重量．
解答： 解：34元=8元×3千克+5元×2千克；
那么甲比乙多的分成2部分：
10千克以上的有2千克；10千克以下的有3千克；
甲的重量就是：10+2=12（千克）；
乙的重量就是：10﹣3=7（千克）；
答：甲的快件的重量是12千克，乙的重量是7千克．
点评： 本题关键是根据重量都是整千克数，把34分解，找出有几个8元和几个5元即可求解．

16．（15分）已知
+
﹣
×
求（
﹣
+
×
+
=6
=3
=140
）÷
，，，各代表一个自然数，观察下面三个算式呈现的规律：
的值．

考点： 简单的等量代换问题．
专题： 消元问题．
分析：
我们把图变 成字母，=a，=b，=c，=d，所以a+d﹣c=6，c﹣b+a=3，d×a×c=140，求（d+c）
÷b值是多少．
解答： 解：因为d×a×c=140，
140=1×10×14，
140=2×7×10，
140=4×5×7，
又因a+d﹣c=6，

所以a+d=6+c，
所以只有140=4×5×7，适合题意．
在4、5、6、7，
所以①c=5，a=4，d=7；
②c=5，a=7，d=4．
当①c=5，a=4，d=7时．
c﹣b+a=3，
5﹣b+4=3，
9﹣b=3，
b=6；
则（d+c）÷b值是：
=（7+5）÷6，
=2；
当②c=5，a=7，d=4；
c﹣b+a=3，
5﹣b+7=3，
12﹣b=3，
b=9，
则（d+c）÷b值是：
=（4+5）÷9，
=9÷9，
=1；
答：（+）÷的值是2或1．
点评： 本题是一道复杂的等量代换，考查了学生的等量的代换的意识．