西班牙留学机构-消防演习总结报告

初中列方程解应用题（行程问题）专题
行程问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的问题。我们常用的基本公
式是:
路程＝速度×时间；速度＝路程÷时间；时间＝路程÷速度.
行程问题是个非常庞大的类型, 多年来在考试中屡用不爽,所占比例居高不
下。原因就是行程问题可以融入多种练习,熟悉了行程问题的 学生,在多种类型的
习题面前都会显得得心应手。下面我们将行程问题归归类，由易到难，逐步剖析。
1. 单人单程：
例1：甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速< br>度从
80kmh
提高到
100kmh
,运行时间缩短了
3h< br>。甲，乙两城市间的路程是多
少?
【分析】如果设甲，乙两城市间的路程为
x
km
,那么列车在两城市间提速前的
xx
运行时间为
h
，提 速后的运行时间为
h
.
80100
【等量关系式】提速前的运行时间—提速后的运行时间=缩短的时间.
xx
【列出方程】
3
.
80100

例2 ：某铁路桥长1000
m
，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始
上桥到完全过 桥共用了1
min
，整列火车完全在桥上的时间共
40s
。求火车的速
度和长度。
【分析】如果设火车的速度为
x
ms
，火车的长度为
y
m
，用线段表示大桥
和火车的长度，根据题意可画出如下示意图：

1000


60x

1000


y 40x


【等量关系式】火车
1min
行驶的路程=桥长+火车长；
火车
40s
行驶的路程=桥长-火车长
y

60x1000y
【列出方程组】


0y

40x100

2.单人双程（等量关系式：来时的路程=回时的路程）：

例1：某校组织学生乘汽 车去自然保护区野营，先以
60kmh
的速度走平路，
后又以
30kmh的速度爬坡，共用了
6.5h
;返回时汽车以
40kmh
的速度下坡，又
以
50kmh
的速度走平路，共用了
6h
.学校距自然保护区有多远 。
【分析】如果设学校距自然保护区为
x
km
，由题目条件：去时用了6.5h
，则
x
有些同学会认为总的速度为
kmh
，然后用去时 走平路的速度+去时爬坡的速
6.5
x
度=总的速度，得出方程
6030
，这种解法是错误的，因为速度是不能相
6.5
x
加的。不妨设平路的长度为
x
km
，坡路的长度为
y
km
，则去时走平路用了
h
，
60
y
去时爬坡用了
h
，而去时总共用了
6. 5h
，这时，时间是可以相加的；回来时
30
y
x
汽车下坡用了h
，回来时走平路用了，而回来时总共用了
6h
.则学校到自然
4050
保护区的距离为
(xy)km
。
【等量关系式】去时走平路用的时间+去时爬坡用的时间=去时用的总时间
回来时走平路用的时间+回来时爬坡用的时间=回来时用的
总时间
xy
6.5
6030
【列出方程组】
xy
6
5040

3.双人行程:
（Ⅰ）单块应用：只单个应用同向而行或背向而行或相向而行或追
击问题。
1)同时同地同向而行：A,B两事物同时同地沿同一个方向行驶
例：甲车的速度为
60kmh
，乙车的速度为
80kmh
，两车同时同地出发，
同向而行。经过 多少时间两车相距
280km
。
【分析】如果设经过
x
h
后两车相距
280km
，则甲走的路程为
60xkm
，乙走
的路程为
80xkm
，根据题意可画出如下示意图：
80x km
乙
甲 60x km 280km
【等量关系式】甲车行驶的距离+280=乙车行驶的距离
【列出方程】
60x280280x

2）同时同地背向而行：A，B两事物同时同地沿相反方向行驶
例：甲车的速度为
6 0kmh
，乙车的速度为
80kmh
，两车同时同地出发，
背向而行。经过多 少时间两车相距
280km
。
【分析】如果设经过
x
h
后 两车相距
280km
，则甲走的路程为
60xkm
，乙走
的路程为< br>80xkm
，根据题意可画出如下示意图：
甲 乙
60x km 80x km

280 km
【等量关系式】甲车行驶的距离+乙车行驶的距离=280
【列出方程】
60x80x280


3）同时相向而行（相遇问题）:
例:甲，乙两人在相距
10km
的A,B 两地相向而行，乙的速度是甲的速度的2
倍，两人同时处发
1.5h
后相遇，求甲，乙 两人的速度。
【分析】如果设甲的速度为
xkmh
，则乙的速度为
2xkm h
，甲走过的路程
为
1.5xkm
，乙走过的路程为
1.52xk m
，根据题意可画出如下示意图：

甲 1.5x km 1.5×2x km 乙
A B
10 km
280 km
【等量关系式】甲车行驶的距离+乙车行驶的距离=10
【列出方程】
1.5x1.52x10


4）追及问题：
例：一对学生从学校步行去博物馆，他们以
5kmh
的速度行进
24min< br>后，一
名教师骑自行车以
15kmh
的速度按原路追赶学生队伍。这名教师从出 发到途中
与学生队伍会合共用了多少时间？
【分析】如果设这名教师从出发到途中与学生队伍 会合共用了
x
h
，则教师
走过的路程为
15xkm
，学生走 过的路程为教师出发前走过的路程加上教师出发
24
后走过的路程，而学生在教师出发前走过的 路程为
5km
，学生在教师出发后
60
走过的路程为
5xkm，又由于教师走过的路程等于学生走过的路程。根据题意可
画出如下示意图：

24
5km
学生 5x km
60
教师 15x km
【等量关系式】教师走过的路程=学生在教师出发前走过的路程+学生在教
师出发后走过的路程
24
【列出方程】
15x55x

60

5）不同时同地同向而行（与追击问题相似）：
例:甲，乙两人 都从A地出发到B地，甲出发
1h
后乙才从A地出发，乙出
发
3h
后 甲，乙两人同时到达B地，已知乙的速度为
50kmh
，问，甲的速度为多
少？ 【分析】如果设甲的速度为
x
kmh
，则乙出发前甲走过的路程为
xkm
，乙
出发后甲走过的路程为
3xkm
，甲走过的路程等于乙出发前甲 走过的路程加上乙
出发后甲走过的路程，而乙走过的路程为
503km
，甲走过的路 程等于乙走过的
路程。根据题意可画出如下示意图：

甲 x km 3x km

乙 50×3 km

【等量关系式】乙走过的路程=乙出发前甲走过的路程加上乙出发后甲走过
的路程
【列出方程】
503x3x


6）不同时相向而行
例：甲，乙两站相距
448km
，一列慢车从甲站出发，速度为
60kmh
；一列
快车从乙站出发，速度为
100kmh
。两车相向而行，慢车先出发
3 2min
，快车开
出后多少时间两车相遇？
【分析】如果设快车开出后
x< br>h
两车相遇，则慢车走过的路程为
32
60x60
km
， 快车走过的路程为100
x
km
。根据题意可画出如下示意图：
60

32
慢车
60
60x 100x 快车

60

448km
【等量关系式 】总路程=快车出发前慢车走过的路程+快车出发后慢车走过
的路程+快车走过的路程
32
【列出方程】
4486060x100x

60
注：涉及此类问题的还有同时不同地同向而行、不同时不同地背向而行、不
同时不同地同向而行、不同 时不同地背向而行，与上面解法类似，只要画出示意
图问题就会迎刃而解，就不再一一给出解答了，此类 问题会在后面练习中给出习
题。


（Ⅱ）结合应用：把同向而行、背向而行、相向而行、追击问题
两两结合起来应用。

1） 相向而行+背向而行
例：A，B两地相距
36km
， 小明从A地骑自行车到B地，小丽从B地骑自行
车到A地，两人同时出发相向而行，经过
1h< br>后两人相遇；再过
0.5h
，小明余下
的路程是小丽余下的路程的2倍。小明和 小丽骑车的速度各是多少？
【分析】如果设小明骑车的速度为
x
，小丽骑车的 速度为
y
，相遇前小明走
过的路程为
x
，小丽走过的路程为
y
；相遇后两人背向而行，小明走过的路程为
0.5x
，小丽走过的路程为
0 .5y
。根据题意可画出如下示意图：
小明 小丽
相遇前 x y
A B
36km
x-0.5y 0.5y 0.5x y-0.5x
小丽 小明
【等量关系式】相遇前小明走过的路程+相遇前小丽走过的路程=总路程
相遇后小明余下的路程=2×相遇后小丽余下的路程

xy36
【列出方程组】


y0.5x2(x0.5y)


2)同向而行+相向而行
例：一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米时的速度前进，
突然，1号队员以45千米 时的速度独自行进，行进10千米后掉转车头，仍以
45千米时的速度往回骑，直到与其他队员会合。1 号队员从离队开始到与其他
队员重新会合，经过了多长时间？
【分析】由题意“1号队员以4 5千米时的速度独自行进，行进10千米后
10
掉转车头”可知1号队员从离队到调转车头前的 时间为
h
，不妨设1号队员从
45
调转车头到与其他队员重新回合的时间为< br>x
h
。根据题意可画出如下示意图：

所有队员
10

1号队员 35x 45x
35

45

10km
【等量关系式】1号队员从离 队到调转车头这段时间所有队员走的路程+1号
队员从调转车头到与其他队员重新回合这段时间内所有队 员走的路程+1号队员
从调转车头到与其他队员重新回合这段时间内1号队员走的路程=10。
10
35x45x10
【列出方程】
35
45
4.行程问题中的工程问题：

乍一 看，题目中就时间已知，速度、路程都未知，此类问题同学们做起来觉
得无从下手。其实只要把路程看做 单位“1”（至于为什么，结合以下例题讲解），
这就相当于把行程问题转化为工程问题。
例 ：甲开汽车从A地到B地需要
6h
，乙开汽车从A地到B地需要
4h
，如果< br>甲，乙两人分别从A，B两地出发，相向而行，经过多少小时后两车相遇。
【分析】题目中就时 间已知，速度、路程都未知，有些同学想如果知道A与
B的距离，就可以得出A与B的速度，那么问题就 迎刃而解了，可是路程未知呀！
是不是路程无论取什么值，都经过相同的时间两车相遇呢？为此，我们不 妨设A
与B的距离为
a
,经过
xh
后两车相遇。我们可以立马得出关 系式：
aaxx12
xxa
，可以把两边的
a
消去，得到方 程
1
，立马得出
x
。
64645
说明路程无论取什么 值，都经过相同的时间两车相遇。遇到类似问题，我们往往
把路程看做单位“1”。
5.环形跑道问题：
环形跑道问题也是形成问题的一种，环形跑道问题就是闭路线上的追击问
题。在环形问题中，若两人所走同时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两
人所走路程差为 一周长；相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为一周长。

5
例1：运动场跑 道周长
400m
，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一
3
地点沿跑道的同 一方向同时出发，
5min
后小红第一次追上了爷爷。你知道他们
的跑步速度吗？那是 不是再过
5min
两人第二次相遇呢？如果不是，请说明理由；
如果是，用方程式表示 。
5
【分析】不妨设爷爷的跑步速度为
x
mmin
，则小红的跑步 速度为
x
mmin

3
【等量关系式】小红跑的路程—爷爷跑的路程=400m
5
【列出方程】
5x5x400

3
注：再过
5min
两人第二次相遇，用上面那个方程式就可以表示出来。

例2：甲，乙两车分别以均匀的速度在周长为
600m
的圆形轨道上运动。 甲
车的速度较快，当两车反向运动时，每
15s
相遇一次;当两车同向运动时，每1min
相遇一次，求两车的速度。
【分析】设甲，乙两车的速度分别为
xms
和
y
ms
。
【等量关系式】同向而行甲所走的路程- 同向而行乙所走的路程=一周长
反向而行甲所走的路程+同向而行乙所走的路程=一周长

15x15y600
【列出方程组】


60x60y600

6.水流问题
一般是研究船在“流水”中航行的 问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，

它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的 不同作用。基本概念和公式有：
船速：船在静水中航行的速度
水速：水流动的速度
顺水速度：船顺流航行的速度
逆水速度：船逆流航行的速度
顺速=船速＋水速
逆速=船速－水速
船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2
流水速度=（顺流速度—逆流速度）÷2
路程=顺流速度× 顺流航行所需时间
路程=逆流速度×逆流航行所需时间

例1：某船在
80km
的航 道上航行，顺流航行需
1.6h
，逆流航行需
2h
。求船
在静水中航 行的速度和水流的速度。
【分析】设船在静水中航行的速度和水流的速度分别为
x
和
y
，顺流的速度
为
8080
kmh
，逆流的速度为
kmh
，再利用上面的公式。

1.62
【等量关系式】顺速=船速＋水速
逆速=船速－水速
80
xy
1.6
【列出方程】

80
xy
2

例2：甲，乙两艘货船，甲船在前 30千米处逆水而行，乙船在后追赶。甲
乙两人的静水速度分别是36千米小时和42千米小时,水流速 度是4千米小时，
求甲船行多少时间被乙船追上？
【分析】已知甲乙两人的静水速度和水流速 度，可以分别求出甲乙两人的逆
水速度，分别为32千米小时和38千米小时。不妨设甲船行
x
小时后被乙船追
上，再根据公式路程=逆流速度×逆流航行所需时间，则甲行驶的路程为
32x
千
米，乙行驶的路程为
38x
千米，这样就可以把此问题转化为追击 问题。
【等量关系式】甲行驶的路程+30=乙行驶的路程
【列出方程】
32x3038x