聊城公务员考试-优秀毕业生主要事迹

实际问题与二元一次方程组经
典例题(学生版)

实际问题与二元一次方程组经典例题
列方程组解应用题中常用的基本等量关系

1.行程问题：
(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，
它的 特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图
便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝ 开始
时两者相距的路程； ；；
(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一< br>种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而
也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等 量关系是：
双方所走的路程之和＝总路程。

“相向而遇”和“同向追及”是行程问题 中最常见的两
种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个
关系涉及到两者的速度、原 来的距离以及行走的时间，
具体表现在：

“相向而遇”时，两者所走的路
程之和等于它们原来的距离；

“同向追及”时，快者所走的路
程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．
(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺
水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的
逆水速度；

2

③船的顺水速度－船的逆水速度＝
2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航
行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.
3．商品销售利润问题：
(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)
(3)利润＝成本（进价）×利润率；

( 4)
；
标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价
×打折率；
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，
是盈利；为负时，就是亏损。打几折就 是按标价的十分
之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分
之八即五分之四或者百分 之八十）
4．储蓄问题：
(1)基本概念
①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 ②利息：
银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和：本金与利息的和叫做本息和。 ④期
数：存入银行的时间叫做期数。
⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利
率。 ⑥利息税：利息的税款叫做利息税。

3

(2)基本关系式
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×
期数＝本金× (1＋利率×期数)
③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期
数×利息税率。
④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率
＝月利率×12 ⑥
5．配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的
比例=每一套各部分之间的比例。
6．增长率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长
率)＝增长后的量；
原量×(1－减少
率)＝减少后的量.
7．和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋
多余量，总量＝倍数×倍量.
8．数字问题：
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶

4
。
注意：免税利息=利息

数等有关概念、特征及 其表示。如当n为整数时，奇数
可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两
位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位
数字
9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.
10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几
何图形的性质、周长、面积等计算公式
11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年
龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的
12．优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案
中 ，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票
等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，
阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤

列二元一次方程组解应用题的一般 步骤可概括为“审、
设、找、列、解、检、答”七步.即：

（1）
审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，
设：根据题意设元

分析已知数和未知数；

（2）
（3）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（4）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，

5

从而列出方程组；

（5）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（6）检：检查所求的解是否符合实际问题;

（7）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断
的基础上，写出答案.
要点诠释：
(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前
要根据应用题的实际意 义，检查求得的结果是否合理，
不符合题意的解应该舍去；
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并
组成方程组.
解答步骤简记为：问题
答
(4)列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中基本量之间的关系； ②审题
时，注意从文字，图表中获得有关信息； ③注意用方
程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案
都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；
④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； ⑤在寻
找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； ⑥列方程组
解应用题一定要注意检验。
经典例题透析


6
方程组解

类型一：列二元一次方程组解决——行程问题

1．甲、乙两地相距160千米， 一辆汽车和一辆
拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.
相遇后，拖拉机继续 前进，汽车在相遇处停留1小时后
调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖
拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？



2在某条高速公路 上依次排列着A、B、C三个加油
站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120
千 米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团
伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场 ，
正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立
即以相同的速度分别往A、C两个加油站 驶去，结果往
B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡
逻车堵截住，而另一团伙经 过3小时后才被另一辆巡逻
车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多
少？





【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；

7

如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相
遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？





【变式2】两地相距280千米，一艘 船在其间航行，
顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度
和水流速度。





跟踪训练

1、
甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西
边300米，若甲、乙两人同 时向东走30分钟后，甲正
好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟后相遇，
问甲、乙两 人的速度是多少？

甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每
隔两分钟 相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已
知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？





类型二：列二元一次方程组解决——工程问题



1一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙
8

加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，
甲加入合做， 那么再做9天才能完成，问两人每天各做
多少个机器零件？





2某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在
规定期限内完成，按照这个服装 厂原来的生产能力，每
天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要
4
求的 期限内只能完成订货的
5
；现在工厂改进了人员组
织结构和生产流程，每天可生产这种 工作服200套，这
样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25
套，求订做的工作服 是几套？要求的期限是几天？





举一反三：
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两
个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万 元；若甲公司单
独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需
工钱4.8万元.若只选 一个公司单独完成，从节约开支
的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明
理由.



9

跟踪训练

1、
〈〈一千零一夜〉〉中有这样一段文字：有一群鸽子，
其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的
一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞 上来一
只，则树下的鸽子就是整个鸽群的13，若从树上飞下
去一只，则树上、树下的鸽子就一 样多了。”你知道树
上、树下各有多少只鸽子吗？
类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题



1一 件商品如果按定价打九折出售可以盈利
20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价
是多少？


2有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙
商品的利润 率为4%,共可获利46元。价格调整后，甲商
品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利4 4
元，则两件商品的进价分别是多少元？
思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利
润率




举一反三：

10

【变式1】（20 11湖南衡阳）李大叔去年承包了10
亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种
蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李
大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩 ？





【变式2】某商场用36万元购进A、B两 种商品，
销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：


进价（元件）
售价（元件）
B两种商品各多少件；




A
1200
1380
B
1000
1200
（注：获利 = 售价 — 进价） 求该商场购进A、
跟踪训练

1、< br>打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，
买50件A商品和10件B商品用了8 40元，打折后，买
50件A商品和50件B商品用了960元，比不打折少花
多少钱？
2、

有甲、乙两种债券，年利率分别是10％与12％，现

11
有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多
少？

类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题

4．小明的妈妈为了准备小明 一年后上高中的费
用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是
年利率为2.25％ 的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％
的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种
储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，
教育储蓄没有利息所得税）


举一反三：
【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和
1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息
43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3. 24%，问这两种
储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得
税=利息金额×20% ）
思路点拨：扣税的情况：本金×年利率×(1-20%)
×年数=利息（其中，利息所得税=利息
金额 ×20%）.不扣税时：利息=本金×年利率×年数.





【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，

12

在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年
期整存整 取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这
种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整
取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得
利息303.75元(不计利息税 )，问小敏的爸爸两种存款
各存入了多少元？





类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题

1．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每
2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计
划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损
耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身 和衣袖恰好配
套？






2某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺
栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母 配成一
套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产
螺母，才能使每天生产出来的产品 配成最多套？



13

举一反三：
【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8
个盒身或22个 盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完
整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，
可 以正好制成一批完整的盒子？


【变式2】某工厂有工人60人，生产某 种由一个
螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个
或螺母20个，应分配多少人生 产螺栓，多少人生产螺
母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。





【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如
果1立方米木料可以 做桌面50个，或做桌腿300条。
现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，
用多 少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配
成方桌？能配多少张方桌？







类型六：列二元一次方程组解决——数字问题

8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右
14

边接着写较小的 两位数，得到一个四位数；在较大的两
位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已
知 前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位
数。





举一反三：
【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的
3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，
商是5，余数是1，这个两位数是多少 ？




【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位< br>上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交
换位置，那么得到的新两位数比原来的两位 数的一半还
少9，求这个两位数？




【变式 3】某三位数，中间数字为0，其余两个
数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，
求原三位数。

15

跟踪训练

1、 一个两位数字，个位数字比十位数字大5，如果把
这两数字的位置对换，那么所得的新数 与原数的和是
143，求这个两位数．



3、
甲乙两盒 中各有一些小球，如果从甲盒中拿出10个
放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中
拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多
10个，求甲乙两盒原来的球数各是多少？



类型七：列二元一次方程组解决——增长率问题

6. 某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200
万元，今年总产值比去年增加了20 %，总支出比去年减
少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总
支出各是多少万 元？




举一反三：
【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出

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各是多少万元？




【变式2】某城市现有人口4 2万，估计一年后城镇
人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增
加1%，求 这个城市的城镇人口与农村人口。





类型八：列二元一次方程组解决——年龄问题


少？



1．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲
的年龄是儿子的3倍，求 现在父亲和儿子的年龄各是多
总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年
龄变化（增大 、减小）了，其他人也一样增大或减小，
并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。
举一反三：
【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.
小李发现， 12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.
试求出今年小李的年龄.



类型九：列二元一次方程组解决——和差倍分问题


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1.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”
帐篷厂和 “温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，
现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶< br>制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐
篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数 分别达到了
原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求
在赶制帐篷的一周内，“ 爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷
厂各生产帐篷多少千顶？







举一反三：
【变式1】 (2011年北京门头沟区中考一模试题)
“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一< br>项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后
一个星期六20时30分—21时30分熄 灯一小时，旨在
通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气
候变化，倡导低碳生活． 中国内地去年和今年共有119
个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比
去年的3 倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多
少个城市参加了此项活动．





18

【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳
帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看 到蓝色与红色
的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色
的多1倍，你知道男孩与女 孩各有多少人吗？





类型十：列二元一次方程组解决——几何问题

10．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长
方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？

举一反三：

【变式1】用长 48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将
此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一
个正 方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？






【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，
它的周长是132m，则长和宽分别为多少？




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类型十一：列二元一次方程组解决——优化方案问题：

12．某地生产一种绿 色蔬菜，若在市场上直接销
售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润
可达450 0元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.
当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公 司加工
厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加
工16吨；如果进行细加工，每天 可加工6吨. 但两种
加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须
在15天之内将 这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公
司研制了三种加工方案
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及
加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗
加工，并恰好在15天完成
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？













20

举一反三：
【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台
电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价
分别为：甲种每台1500元，乙种每台 2100元，丙种每
台2500元。
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50
台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利
150元、200元、250元，在以 上的方案中，为使获利最
多，你选择哪种进货方案？


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