央视元宵晚会节目单-小学运动会班级口号

工程问题（二）


教学目标


1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；
2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；
3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；
4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．


工 程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养
学生抽象逻辑思维能力的重 要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，
它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教 学中，让学生建立正确概念是解决工程
应用题的关键。
知识精讲
一． 工程问题的基本概念
定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问
题。
工作总量：一般抽象成单位“1”
工作效率：单位时间内完成的工作量
三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间，
工作时间=工作总量÷工作效率；
二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：
① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、
公式等广 泛应用于分数、百分数应用题；
② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；
③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，
发现量与百分率之间 的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进
行分析、综合、判断和推理；
④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关
系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善
于掌握对应、 假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．
三、利用常见的数学思想方法：
如代换法、比例法、列表法、方程法等
抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效 率之间的数量关系，转化出与所
求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位” ，求得问题答案．一
般情况下，工程问题求的是时间．
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例题精讲

模块一、工程问题——变速问题
【例 1】 甲打一篇文稿，打完一半后吃晚饭，晚饭后每分 钟比晚饭前多打32个字．前后
共打50分钟，前25分钟比后25分钟少打640个字．文稿一共（ ）字．




【例 2】 工厂生产一批产品，原计划15天完 成，实际生产时改进了生产工艺，每天生产
产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件，结果提前 4天完成了生产任
务，则这批产品有 件。







【例 3】 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工 资．按两队原计划的工作
效率，乙队应获5040元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍 ，
这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少
天？

【例 4】 甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高
1
，乙的
10
1
2
工作效率比单独做时提高．甲、乙两人合作
6
小时，完成全部工作的，第二
5
5
天乙又单独做了
6
小时 ，还留下这件工作的
甲一人单独来做，需要多少小时？





【巩固】 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要
13
尚未完成，如果这件工作始终由
30
49
，乙只能完成原来的． 现在要8天完成这项工程，两
510
人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天?
降低，只能完成原来的
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【巩固】 要发一份资料，单用 A传真机发送，要10分钟；单用B传真机发送，要8分钟；
若A、B同时发送，由于相互干扰，A、B 每分钟共少发0.2页。实际情况是由A、
B同时发送，5分钟内传完了资料（对方可同时接收两份传真 ），则这份资料有
________页。






【例 5】 甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行 各
1
自进行工作，最初，甲清理的速度比乙快，中途乙曾用10分钟去换工具，而
3< br>后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积
雪的工作，并且两 人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？








【例 6】 甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时 加工40个，当甲完成任务的
乙完成了任务的
1
时，
2
1
还 差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了
7.5
小时完成了
2
全部加工任 务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零
件多少个？






【例 7】 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴 天，一队完成甲工作要12天，二
队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降
40 %
，二队的工作效率
要下降
10%
．结果两队同时完成工作，问工作时间内下 了多少天雨？
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【例 8】 一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现1
时，突然遇到了地下水，影
4
响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土， 结果共用了10天完成工程．问整
工程要挖多少方土?
在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成







【例 9】 甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程 需要10天，乙完成工
程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的
30%
和
80%
．实际情
况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是 天．






1
【例 10】 一 批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的
1
倍，
2
5
在乙工地
12
工作。一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再 做一天。
这批工人有 人。
上午在甲工地工作的人数是乙工地人数的3倍，下午这批工人中的
模块二、工程问题方法与技巧
整体分析法
【例 11】 甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个 数之和的
1
，
2
1
乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的，丙生 产了50个。这批玩具共有
3
_________________个.



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【例 12】 几个同学去割两块草地的草 ，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地
割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割 乙地的草，这样又割了半天，
甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？





【巩固】 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量 是乙工地的工作量的
17
上午去甲工地的人数是去乙工地人数的
3
倍，下午这 批工人中有的人去
1
倍．
212
甲工地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工 地的工作已做完，乙工地的工作还
需
4
名工人再做
1
天，那么这批工 人有多少人？






【例 13】 有两 个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，
丙需要14小时．甲、乙同 时开始各搬运一个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬
运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬 完．则丙帮甲 小
时，帮乙 小时．




【巩固】 搬运一个仓库的货物，甲需
10
小时，乙需
12
小时，丙需
15
小时．有同样的仓库
A
和
B
， 甲在
A
仓库，乙在
B
仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？


【例 14】 甲、乙、丙三队要完成
A
，
B
两项工程，
B
工程的工作量是
A
工程工作量再增加
1
，如果让甲、乙、丙三队单独 做，完成
A
工程所需要的时间分别是
20
天，
24
天，4
30
天．现在让甲队做
A
工程，乙队做
B
工程，为了 同时完成这两项工程，丙队
先与乙队合做
B
工程若干天，然后再与甲队合做
A
工程若干天．问丙队与乙队合
做了多少天？



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【例 15】 甲、乙、丙三人同时分别在 3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10
小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人 又到两个大仓库工作，这两个仓
库的工作量相同．甲在
A
仓库，乙在
B
仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时
将两个仓库同时搬完．丙在
A
仓库搬了多长 时间？







【例 16】 一项工程，乙单独做要
17
天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流
做， 那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，
那么比上次轮流的做法多用半 天完工．问：甲单独做需要几天？






【例 17】 一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。甲乙合做1小时后，
由甲单独做1小时，再由乙单独做1小时，……，甲、乙如此交替下去，则完成
该工程共用_____ ___小时。






【例 18】 一项 工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1
小时，然后乙接替甲做1小时， 再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替
工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？




【巩固】 一件工程，甲单独做要
6
小时，乙单独做 要
10
小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺
序交替工作，每次
1
小 时，那么需要多长时间完成？

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【巩固】 规定两人轮流做一个 工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小
时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由 第二个人做1个小时，如此反复，
做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要
9.8
小 时，而乙、甲轮流做同样的工程
只需要
9.6
小时，那乙单独做这个工程需要多少小时 ？






【例 19】 公园水池每周需 换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、
丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开 1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满
空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打 开1小时，灌满
一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺
序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满
一池水用了2小时20分 ，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________
小时．





【例 20】 为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜 水来浇花草的水池，
要求单独打开进水管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水 。
水池建成后，发现水池漏水。这时，若同时打开进水管和出水管14小时才能把水池注
满。则 当池水注满，并且关闭进水管与出水管时，经过 小时池水就会漏完。





【例 21】 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单 开进水管需
5
小时；排光
一池水，单开排水管需
3
小时．现在池内有 半池水，如果按进水，排水，进水，
排水……的顺序轮流各开
1
小时．问：多长时间后 水池的水刚好排完？(精确到分
钟)






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3
【巩固】 一项工程，甲、乙合作
12
小时可以完成，若第
1
小时甲做，第
2
小时乙做，这样
5
交替轮流做，恰好整数小时做完；若第
1
小时乙做，第
2
小时甲做，这样交替 轮流
1
做，比上次轮流做要多小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完
3
成？






【例 22】 甲、 乙、丙3队要完成
A
，
B
两项工程．
B
工程的工作量比A
工程的工作量多
1
．甲、
4
乙、丙3队单独完成
A< br>工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成
这两项工程，先派甲队做
A
工程，乙、丙两队共同做
B
工程；经过几天后，又调
丙队与甲队共同完成A
工程．那么，丙队与乙队合作了多少天?






【例 23】 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需
3
小
时，单开丙管需要
5
小时，要排光一池水，单开乙管需要
4
小时，单开丁管需要
6
1
小时，现在池内有的水，若按甲、乙、丙、丁、 甲、乙、丙、丁……的顺序轮
6
流打开
1
小时，问多少时间后水开始溢出水池 ？






【例 24】 一件工程甲单独 做
50
小时完成，乙单独做
30
小时完成．现在甲先做
1
小 时，然后
乙做
2
小时，再由甲做
3
小时，接着乙做
4
小时……两人如此交替工作，完成任
务共需多少小时？






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【例 25】 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人 一天轮流去做，恰
好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、
甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要
10
天，且三个 人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要
用多少天才能完成？


【例 26】 甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天， 正
好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用
1
天；< br>2
1
若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天．已知甲单独完
3
成这件工作需
10.75
天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少 天？
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