月光恋-庆祝元旦的诗歌

扶梯问题


教学目标

1．对扶梯问题中顺(逆)扶梯速度、扶梯速度、人的速度的理解。
2．在扶梯的相遇与追及问题中引入消元思想。
3．解决行程问题时画线段图可以帮助解题。
知识精讲

一、扶梯问题说明
扶梯问题与流水行船问题十分相像，区别只 在与这里的速度并不是我们常见的“千米每小时”，
或者“米每秒”，而是“每分钟走多少个台阶”，或 是“每秒钟走多少个台阶”。从而在扶梯问题中
“总路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米” ，而是求扶梯的“静止时可见台阶总数”。
二、扶梯问题解题关键
1、当人顺着扶梯的运动 方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自
身的台阶运行速度。有：人的 速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度
扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+时间×扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数
2、当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度
扶梯静止可见台阶总数=时间×人速-时间×扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数。

【例 1】 小明站着不动乘电动扶梯上楼需
30
秒，如果在乘电动扶梯的 同时小明继续向上走需12秒，那
么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 电梯每秒完成
11111
，电梯加小明徒步上楼每秒完成，小明徒步上楼每 秒完成

，所

3012123020
1
20
( 秒)
20
以小明徒步上楼需
1
【答案】
20
秒

【巩固】 如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的 同时小明逆着
向下走需
24
秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小明 徒步沿扶梯上楼需多少秒？
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】3星 【题型】解答
1111
【解析】 小明徒步走的速度是
()2
，所以小明徒步上楼需
116
(秒).
12241616
【答案】
16
秒

【例 2】 在地铁 车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级
台阶，那么他走过
20
级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过
30
级台阶到达 地
面．从站台到地面有 级台阶．
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 小强每秒走一阶，需要
20 120
秒；每秒走2阶，需要
30215
秒．
3-2-7.扶梯问题.题库 教师版 page 1 of 4

设电梯每秒钟需要走
x
阶，由电梯长度可得：
20(1x)15(2x)
，解得
x2
．
那么扶梯长度为
20(12)60
（阶）．
本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：
“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上 的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级
台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上 迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：
从站台到地面有多少级台阶？”
采用牛吃草问题 的方法，电梯
20155
秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：
21512 010
阶，电梯的速度为
1052
阶秒，扶梯长度为
20(12) 60
（阶）．
【答案】
60
阶

【巩固】 在地铁车 站中，从站台到地面架设有向上的自动扶梯．小强想逆行从上到下，如果每秒向下迈两
级台阶，那么他走 过
100
级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过
75
级台阶 到
达站台．自动扶梯有多少级台阶?
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】3星 【题型】解答
xx
级．由扶梯长度可得
100
x
75

．
22
解得
x50
．扶梯长
1005050
(级)。
【答案】
50
级

【例 3】 小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼． 如果他向下走
14
阶，则需时
30
秒即可由电扶梯顶到达底部；
如果 他向下走
28
阶，则需时
18
秒即可由电扶梯顶到达底部．请问这座电扶梯有 几阶？
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】台湾小学数学竞赛，决赛
【解析】 首先从题中可以看出两种情 况下小丁的速度是不相同的，否则两次走过的阶数之比为
1:2
，时间
之比也应该为< br>1:2
才对．
既然小丁的速度有变化，那么应该考虑其中的不变量，也就是电扶梯的速 度不变．假设这座电扶
【解析】 设50秒扶梯向上走
x
级，则25秒走
梯有
x
阶，那么在第一种情况下电扶梯走了
(x14)
阶，第二种情况下电扶梯 走了
(x28)
阶，根
据电扶梯的速度相同可得
x14x28
，解得
x49
．

3018
即这座电扶梯有49阶．
【答案】49阶

【例 4】 在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下< br>120
级台阶到达底部，然后从底部上
90
级台
阶回到顶部．自动楼梯 从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他
上的台阶数的
2
倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为 ．
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 本题要知道向上与向下的时间之比(即 是电梯运行时间的比)，可用量化思
想．
12090
:60:902:3
，设该自动楼梯从底到顶的台阶数为
x
级，自动楼梯的速度为
y
级单
21

x2y120

x108
位时间．则有：
< br>，解得

．即该自动楼梯从底到顶的台阶数为108级．
y6
x3y90


【答案】108级
3-2-7.扶梯问题.题库 教师版 page 2 of 4

【巩固】 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在 行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男
孩由上往下走，结果女孩走了
40
级到达 楼上，男孩走了
80
级到达楼下．如果男孩单位时间内走
的扶梯级数是女孩的
2
倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 当电梯静止时，无论是由下往上，还是 由上往下，两个孩子走的阶数都是电梯的可见阶数．当电
梯运行时，女孩所走的阶数与电梯同时间内所走 的阶数之和等于电梯可见阶数，男孩所走的阶数
与电梯同时间内所走的阶数之差也等于电梯可见阶数.
因为男孩的速度是女孩速度的2倍，所以男孩走80阶到达楼下与女孩走40阶到达楼上所用时间
相同，则在这段时间内，电梯所走的阶数也相同.有：
40
电梯走的阶数
80
电梯走的阶数，
可得电梯走的阶数为
(8040)220
（阶），所以电梯可见阶数为
402060
（ 阶）.
【答案】
60
阶

【巩固】 商场的自动扶梯以匀速由下 往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男
孩由上往下走，结果女孩走了40级 到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内
走的扶梯级数是女孩的3倍，则当该扶梯静止 时，可看到的扶梯梯级有多少级？
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
8040
:2:3
．
31
所以有
80
电梯可见部分级数
2
电梯运行速度
40
电梯可见部分级数
3
电梯运行速度
解得 电梯运行速度
8
(级)．
所以电梯可见部分级数为：
802864
(级)．
【点评】本题的关键是求出 男孩和女孩走完电梯的时间比，另外结合二元一次方程比较容易理解数量关
系．请对比原例题，体会其中 的数量关系．
【答案】
64
级

【巩固】 自动扶梯以均匀的速 度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走
20
级，
女孩每分 走
15
级，结果男孩用了
5
分到达楼上，女孩用了
6
分到达 楼上．问该扶梯露在外面的部
分共有多少级？
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 男孩与女孩走完电梯的时间比为：
111
【解析】 男孩每分钟比女孩每分钟多行扶梯级数的< br>
，相差
20155
级，因此自动扶梯露在外面
5630
的部分共有
5
1
150
级．
30
【答案】
150
级

【例 5】 小志与小刚两个孩 在电梯上的行走速度分别为每秒
2
个台阶和每秒
3
个台阶，电梯运行后，他俩
沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时
28
秒和
20
秒，那么如果小志攀登静止的
电梯需要用时多少秒？
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 小志和小刚顺向攀登运行的电梯分别都 攀登了
28256
级和
20360
级，小刚比小志多走了
6 0564
级，这4级台阶实际上是小志多走的8秒钟内，电梯“缩”进去的，因此电梯的运行
速度为每秒半个台阶，那么在小刚登梯的20秒内，电梯也“缩”了10级，所以电梯所能见到的
部分 是60+10=70级，所以，小志攀登静止的电梯分别需要用时70÷2=35秒．
3-2-7.扶梯问题.题库 教师版 page 3 of 4

【答案】35秒

【例 6】 小淘气乘正在下降的 自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走
36
级．如果小淘气沿 原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时
5
倍的
速度走< br>60
级才能走到上端．请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级?
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 小淘气上楼走60级的时间，下楼只能走
60512
(级)．而下楼走 了36级，所以下楼用的时间
是上楼时间的
36123
(倍).
设小淘气上楼的时间自动扶梯走了
x
级，则下楼的时间内自动扶梯走了
3x
级 ．
根据自动扶梯的级数可列方程：
363x60x
，解得
x6(级)，
自动扶梯有
60x54
(级)．
【答案】
54
级

【例 7】 甲在商场中乘自动扶梯从一层到二 层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并
排扶梯从二层到一层．当甲乙处于同一高度时 ，甲反身向下走，结果他走了60级到达一层．如
果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走80 级．那么，自动扶梯不动时甲从下到上要
走多少级？
【考点】行程问题之扶梯问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 首先，由于第一种情况下甲往下走时走 的总台阶数是第二种情况下的
6080
同时间内，自动扶梯由上往下走了两层高度的
3
，也就是说在相
4
13
，而甲和自动扶梯共同走了两层高度的，说明44
3
．那么可知甲和自动扶梯的速度和与自
4
第一种情况下，甲乙相遇 时甲的高度是两层之间高度的
3

3

动扶梯的速度之比是
:

1

3:1
，说明甲走动的速度是扶梯速度的2倍． 4

4

1
如果甲沿着扶梯向下走，那么整体的速度就和自动扶 梯的速度一样，是整体向上走时速度的，
3
所用的时间就是向上走所用时间的3倍，那么甲所走 的台阶数就是向上时所走台阶数的3倍．因
此甲向上走时实际走了
803
8080 40
级台阶．甲走
级台阶的同时自动扶梯向上移动了级台阶，
333
8040
40
级台阶．
33
因此如果扶梯不动，甲从下到上要走
【答案】
40
级



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