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小学奥数专题
第1讲 计算综合（一）
繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．
1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：
甚至可以简单地说：“先算短分数线 的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，
其下视为分母．
2． 一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化
为假分数．
3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．
4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．
5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级
[第1讲 循环小数与分数]．
711
4
26
2
7
1．计算 ：
18
135
8
133
3416
71

46
2
7

【分析与解】原式=
1
8
131 2
3
2．计算：
【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含 有
19
23
12

23
4
17

4
8128
3
5
．于是，我们想到改变运算顺
9
序，如果 分子与分母在
19
后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如< br>果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．
而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5．
具体过程如下：
5
9

59
19(35.22 )
19930.41.6
910
原式=
()

527
19950.51995
19(65.22)
950
5
19 1.32
19930.440.40.5
=
9
()
5
19950.419950.5
191.32
9
=
1 (
199320.40.4
1
=
1

)
=1
19950.50.5
4
3．计算：
1
1
1< br>1
1
1
1987

【分析与解】原式=
1
19861987
1
=
1
=
1987
3973397 3
1
1986
4．计算：已知=
1
1+
2+
1< br>1
x+
1
4

8
，则x等于多少?
11< br>【分析与解】方法一：
1
1+
2+
1
1
x+
1
4

1
1
1
2
4
4x1

18x68


4x1
12x711
1
8x6
交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．
方法二：有
1 
1
2
1
x
1
4

13
18 2
113

2
；所以
x
，那么
x1.25．
1
，所以
2
1
3
42
388
x
4
5．求
4,43,443,...,44...43
这10个数的和．
9个4
【分析与解】方法一：
=
4(441)(4441)...(44...41)

10个4

=
444444...44... 49
=
10个4
4
(999999...999...9)9

9
10个9
=
4
[(101)(1001 )(10001)...(1000...01)]9

9
10个0
4
111.1009=4938271591
.
9
9个1
=
方法二：先计算这10个数的个位数字和为
39+4=31
；
再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为
36339
；
再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为
32335
；
再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为
28331
；
再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为
24327
；
再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为
20222
；
再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为
16 218
；
再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的 1，为
12113
；
再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为
819
；
最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为
4
．
6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?
【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：
7.我们规 定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”< /p>

23155
)(0.4)
33384
表示选择两数 中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：
1235
(0 .3)(2.25)
3104
(0.625
【分析与解】原式
8．规 定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果那么方框内应填的数是多少?
111

(16)(17)(17)
，
【分析与解】
(
111(17)
1617181
) 1
=
1
.
(16)(17)(17)(16)
1516175
9．从和式
111111

中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?
24681012
111111111

，所以,,,的和为l，因此应去掉与.
6
【分析与解】 因为
10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时 针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，
例如1.8是多少?
【分析与解】 有 整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918……较大，于是最大的为
9.291892915
．
11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个
分数的分母谁也不是谁的约数”.
【分析与解】 有
114111111

，

，


6110
评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢?
注意到
11ca11ca1

，当
acb
时，有．
abcbabcabcbabcac
当a、b、c两两互质时，显然满足题意．
显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质 数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不
妨设a为2，那么有
2cb
，显 然b、c为一对孪生质数．
即可得出一般公式：
111

，c与c+2均为质数即可.
2(c2）c(c2)2c

12．计算：
(1
【分析与解】
原式=
111
）（1）...(1)

223310 10
(21)(21)(31)(31)(101)(101)

...
22331010
=
1324354657 6879810911

223344...101012334455...991011

223344...991010
12101111
=.
22101020
=
=
13．已知
a=
1166 1267136814691570
100
.问a的整数部分是多少
11651266136714681569
【分析与解】
=
11(651)12(661)13(671)14(681)15（6 91）
100

11651266136714681569
=
（1
1112131415
）100

11 651266136714681569
1112131415
 100
.
1165+1266136714681569
=
100
因为
11121314151112131415100

100
＜
100
1165+126613671468 1569（11121314+15）6565
所以
a
＜
100+
10035
101
.
6565
同时
111213 14151112131415100

100
＞
100< br>11651266136714681569（11121314+15）6 969
10031
＝101
.
6969
所以a＞
100
综上有
101
3135
＜a＜
101
．所以a的整数部分为 101．
6965
14．问
1357991
与相比，哪个更大，为什么?
...
246810010
00
...＝A
，
...＝B
，
24681003579101
【分析与解】方法一：令

有
AB＝...
1357
2468
9924681001
.
...＝
1
而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是 B＞A，
有A×A＜4×B
（＝
1111111
＜
）＝
，所以有A×A＜

，那么A＜．
1010
即
13579911
与相比，更大．
...< br>24681001010
1357
2468
9799
，
< br>98100
方法二：设
A＝...
则
A＝.. .
2
113355
224466
9999


1 00100
=
1335577...979799991
，
2244668...969898100100
显然
1 3355797999911
2
、、、…、、都是小于1的，所以有A＜，于是A＜.
224466989810010010
15．下面是两个1989位整数相乘：111...11111...11
．问：乘积的各位数字之和是多少?
1989个1 1989个1
【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为
111...11< br>能被9整除，所以将一个
111...11
1989个11989个1
乘以9， 另一个除以9，使原算式变成：
=
（1000......001）123456790 ......012345679

1989个0共1988位数
=
1234 56790............00123456790......012345679
< br>共1988位数1989个0共1988位数
=
123456790......456 789876543209......98765432

共1988位数共1980位数
“
+
（12345678） （987654321）17901

M×
999.. .9
的数字和为9×k．(其中M≤
999...9
)．可以利用上面性质较快的获得 结果．
k个9k个9