2009学而思(一试)
托物寓意的作文-几号高考
2010年学而思杯数学试题——解题精讲
【题目1】a=10.8+10.98+
10.998+10.9998+10.99998，a的整数部分是 。
解：
a
=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-
0.22222
所以
a
的整数部分是54。
【题目2】四个质数2、3、5、7的乘积为
，经验证200到220之间仅有一个质数，
请问这个质数是
。
解：四个质数乘积2*3*5*7=210；200到220的质数，所以偶数不用看，只看奇数
201，203，205，207，209，211，213，215，217，219
排除能被5整除的205、215
排除能被3整除的201，207，213，219
剩下203、209、211、217
注意210能被7整除，所以和210相差7的203和217都能被7整除
剩下209和211，根据能被11整除的特征，209肯定能被11整除
所以只能211是质数。
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【题目3】如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的三个正方体紧
贴在一起，则所得到的
立体
图形的表面积是
平方厘米。
解：把顶面往下补，把最下面的这个正方体补全了，上面两个正方体各剩4个侧面，
表面积一共是：3*3*6+2*2*4+1*1*4=54+16+4=74
【题目4】12个人围成一圈，从中选出3个人，其中恰有两个人相邻，共有 种不同的选
法。
解：分两步，第一步：选出两个相邻的人有12种选法
第二步：再选一个和他们两个不相邻的，有8种选法
根据乘法原理，共有12*8=96种
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解：由于分子和分母相差7，所以当分子是7的倍数时，改分数就不是最简分数，
1到2002中7的倍数的数共有286个，故最简分数有2002-286=1716个。
【题目7】放满一个水池，如果同时打开1，2号阀门，则12分钟可以完成；如果同时
打开1，3号阀门，则15分钟可以完成；如果单独打开1号阀门，则20分钟可
以完成；那么，如果同时打开1，2，3号阀门， 分钟可以完成。
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【题目8】6支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场
得1分，负一场不得分。全部比赛结束后，发现共有4场平局，且其中5支球队
共
得了31分，则第6支球队得了 分。
解：6支球队共比赛C
6
2
=15场，由于有4场平局，故共产生
41分，其中5支球队共
得31分，则第6支球队得了41-31=10分。
【题目9】如果一个至少两位的自然数N
满足下列性质：在N的前面任意添加一些数字，
使得
得到的新数的数字和为N，但无论如何添加，这样得到的新数一定不能被N整
除，
则称N为“学而思数”。那么最小的“学而思数”是 。
解：求最小的“学而思数”N，而且N至少是两位数，故从最小的两位数10开始
考虑，显然10不满足条件，接着考虑11，在11前面添加一些数字构成一个
数字和是11的多位数，这个多位数的奇数位与偶数位的数字和不可能相等，
也不可能相差11的倍数，11是满足要求的最小的学而思数。
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【题目10】仅用下图这把刻度尺，最少测量
次，就能得出三角形ABC和三角形BCD
的面积比。
解：连接DA并延长交BC边的延长线于E点，然后测出EA和ED的长度，由于EA与
ED在
一条直线上，所以测一次就能EA和ED长度，根据共边定理可知，三角形ABC
与
三角形BCD的面积比就等于EA比ED，故最少测量1次就可解决问题。
【共边定理易趣数学《几何专题班》第二讲重点讲过】
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【题目11】将一个立体纸盒沿着棱切开，使它展开成下图所示的图形，一共要剪开
条棱。
解：容易看出这个展开图可以拼成一个封闭的立体图形，展开图外围一共有12条
边；这个封闭的立体图像要展开成图中的展开图，每剪开一条棱，就会产生
外围的2条边；所以需要剪开122=6条棱
【题目12】学学和思思各开一艘游艇，静水中学学每小时行3.3千米，思思每小时行2.1
千米。现在两游艇于同一时刻相向出发，学学从下游上行，思思从相距27千
米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，学学到达思思的出发地。
水流速度是每小时 千米。
解：相遇时间和水流速度无关，所以相遇时间=27(3.3+2.1)=5小时
所以学学走27千米共用了5+4=9小时，所以学学的逆水速度=279
=3千米小时水流速度=3.3-3=0.3千米小时
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【题目13】三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4，那
么
符合
条件的三位数中最小的数最大是 。
解：有两种方法：
方法一：三个连续三位数的和能被13整除，这三个数除以13的余数只能分别
是12，0，1，所以最大的数除以13余1，所以最大的数要满足两个条件：
①除以13余1
②除以9余4
要满足第一个条件可以假设最大数为a=13K+1，要使13K+1为三位数
得K≤76，要使最大数a=13K+1除以9余4，则9|13K+1-4，化简得
9|4K-3，要求最大的数，所以K从大往小试，当K=75时满足条件
此时最大数a=13*75+1=976，最小数是976-2=974
综上所述：符合条件的三个数中最小的数最大值是974
方法二：设中间数是a，三个连续自然数的和是中间数的3倍即3a，
由13|3a得13|a，所以中间数能被13整除，从1000往下试能被
13整除的数为988，975，„，此时对应的最大数分别为989，
976，„ ，经检验，976除以9余4满足条件，此时最小数是974
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【题目14】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有 个。
解：用排除法，四位数总共有9×10×10×10=9000个，其中能被3整除的
四位数有3000个，排除掉能被3整除且不含有数字6的四位数之后剩下
的所有的四位数都满足条件！
设能被3整除且不含有数字6的四位数为abcd，最高位千位a有8
选法（不能选0或6），百位有9种选法（不能选6），十位也有9种选法
（也不能选6），若前三位的数字和（a+b+c）若除以3余0则个位d有3种
选法（可选0，3，9）；若前三位的数字和（a+b+c）除以3余1，则个
位d有3种选法（可选2，5，8）；若前三位的数字和（a+b+c）除以3余2，
则个位d还是有3种选法（可选1，4，7）；无论前面几位如何，对应的个
位都是3种选择，故能被3整除且不含有数字6的四位数有8×9×9×3=1944个。
从而得到能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有3000-1944=1056个。
【题目15】有77个人站成一排，每个人要么是总说实话的老实人，要么是总说谎话的骗
子。
从第5个人开始，问每一个人：“你前面的四个人里面的骗子人数是奇数还是
偶数？”结果，这73个人全部回答“偶数”。那么这77个人中，老实人和骗
子
人数较少的那一类最多有 人。
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解：为了表述方便，我用骗表示骗子，用实表示老实人，前面四个人有五种可能：
①
骗骗骗骗，②骗骗骗实，③骗骗实实，④骗实实实，⑤实实实实
第五个人是老实人还是骗子与前面骗实的顺序无关，通过找规律很容易发现，
这5种情况都是5个一周期5个一周期这样循环：
①
骗骗骗骗实骗骗骗骗实骗骗骗骗实骗骗骗骗实------这种情况中老实人
有15个，骗子有62个；
②
骗骗骗实骗骗骗骗实骗骗骗骗实骗骗骗骗实骗------这种情况中老实人
有15个，骗子有62个；
③
骗骗实实实骗骗实实实骗骗实实实骗骗实实实------这种情况中老实人
有45个，骗子有32个；
④
骗实实实骗骗实实实骗骗实实实骗骗实实实骗------这种情况中老实人
有46个，骗子有31个；
⑤
实实实实实实实实实实实实实实实实实实实实------这种情况全是老实
人，没有骗子；
综上所述，很容易发现老实人和骗子人数较少的那一类最多有32人，即我们
讨论的第三种情况！
注解：如果改变前面四个人奇偶的顺序，还是有类似的规律，答案依然为32.
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