应对突发事件-托班班务计划

数学辅导材料（1）
一、选择题
1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数
为（ ）
A、20
0
B、120
0
C、20
0
或120
0
D、36
0

2、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′ 等于（ ）
A、30° B、45° C、60° D、75°
A
D
E
D
′
C
3、 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A、对角线相等 B、对角线互相垂直平分 C、对角线平分一组对角 D、四条边相等
（第2题）
B
4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）
②矩形 ③正方形 ④等腰三角形，一定可以拼成的图形的是（ ）
A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②④
5、已知菱形的边长为6cm，一个内角为60
0
，则菱形较短对角线长是（ ）
A、6cm B、
63
cm C、3cm D、
33
cm
6、将边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A
1、A
2
、A
3
、A
4
分别是正方形的中心，则前5个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）
A、
1
4
A
2

A
1

A
3

A
4

B、
1
2
C、1 D、2
（第18
（第6题图）

7、在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝12，BD＝
题 ）
9.，则梯形两腰中点的连线
EF长是（ ）
A、10 B、
21
2
C、
15
2
D、12
8、如图，正方形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，连接BE、BF、DE、DF， 则添加下列哪
一个条件可以判定四边形BEDF是菱形（ ）
A、∠1＝∠2 B、BE＝DF C、∠EDF＝60
0
D、AB＝AF
A
C
D
D
1
E




B
2
E
F
C
N
M
F
B
A
F
D
A
B
E
(第9题图)
（第8题图）
9、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC、
交于M、N两点，若EF＝18cm,MN=8cm,则AB的长等于（ ）
1
C
第10题图
BD

A、10cm B、13cm C、20cm D、26cm
10、如图 ，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF
的长是 ( )
A．
3
B．
23
C．
5

二、填空题
D．
25

1、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是____。
2、如图所示，把两个等宽的纸条按图示放置，如果重叠部分的四边形的
A
两条对角 线的长分别是
51
，
51
则重叠的部分的四边形面积是 。
D
3、如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过P作PCOA交OB于点C．
若∠AOB＝60°， OC=4，则点P到OA的距离PD等于____ ．
4、
如图，在△ABC中， AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的
P
O
CB

中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值为 。
5、用等腰直角 三角板画
∠AOB45

，并将三角板沿
OB
方向平移到如图所示 的
虚线处后绕点
M
逆时针方向旋转
22

，则三角板的斜 边与射线
OA
的夹角

为______

．
A






B
M


6、如图在△AＢC中，AB=6cm，AC=5cm，∠ABC与∠ACB的平分线交于O ，过O作DEBC，交AB
与D，交AC与E，则△ADE的周长=_____。
O
7、如图，铁路AC与铁路AD相交于车站A,B区在∠CAD的平分线上，且距车站A为20千米，
0
∠DAC＝60，则B区距铁路AC的距离为 千米。
C


22


8、矩形ABCD中，若AD＝1，AB＝
3
，则这个矩形的两条对角线
所成的锐角是 。
9、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤：
·
B
A
D
（第9题图）
① 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图Ⅰ），使AB＝CD，EF＝GH；
② 摆放成如图Ⅱ的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学原理是 。
③将直角尺靠窗框的一个角如图Ⅲ，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗杠无缝隙时
如 图Ⅳ，说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： 。


2

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
三、解答题
1、如图，AB=CD=ED，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．
(1)求证：△ABD≌△EDB
(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形.
请加以证明.



2、
如图，把边长为2cm的正方形剪成四个大小、形状完全 一样的三角形。请用这四个直角三
角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并 把你的拼法画图示意。
⑴不是正方形的菱形： ⑵不是正方形的矩形：⑶不是矩形和菱形的平行四边形：





3、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC
外角 ∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．




B

D C
原图
M
A
E
N
C

4、梯形ABCD纸片AD∥BC，AD＞CD，折叠使 C点落在AD边
A

的C处，连结CE.
（1）说明四边形CDC

E是菱形.
（2）若BC=CD+AD，试判断四边形ABED的形状.

B
E




5、如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF＝AE．
（1）若把
△ADE
绕点
D
旋转一定的角度时，能否与
△CDF< br>重合？请说明理由．
（2）现把
△DCF
向左平移，使
DC
与
AB
重合，得
△ABH
，
AH
交
ED
于 点
G
．
求证：
AHED
，并求
AG
的长． A D



G
E
3
D
C
B H C F

6、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，
AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

D F
C



A

B



G
7、如图甲，四边形AＢCD是等腰梯形，AＢ∥DC，由4个这样 的等腰梯形可以拼出图乙所示的
平行四边形。
（1）求四边形AＢCD四个内角的度数；
（2）试探究四边形AＢCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由。
（3）现有图甲中的 等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意
图。
D
C





8、为创建绿色校园，学 校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案
要求只能用圆弧在正方形内加以 设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是
中心对称图形．种植花草部分用阴影表示 ．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图
案．（图①②不能再作为设计方案）
提 示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一
种．
A
图甲
图乙
B

C
E
B
F

D

9、如图1，沿着等腰Rt△ABC的中位线DE剪开，可以重新拼成一个平行四边形ABFD
A
⑴将图

2中的等腰Rt△ABC剪拼成一个与图1不同的平行四边形.
图1

⑵你还能拼出不同于上述2种方法的其它特殊的四边形吗？试试看！
4

请注意剪拼要求：①方法不限，但只准剪一刀；②给所拼成的四边形标上 字母,并在相应的图
下写明是什么特殊的四边形（图3、4、5、6供画图时使用）

CCCC



BABABA

A




10、如图,在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．
（1）试判断ΔBEC是否为等腰三角形？请说明理由． （2）若AB=l，∠ABE=45
0
，求BC的长；
（3）在原图中画ΔFCE，使它与ΔBEC关于CE的中点O成中心对称，此时四边形 BCFE是什么
特殊平行四边形？请说明理由．







11、如图E、F是正方形ABCD的边AD，AB上的点,∠ECF=45°.
（1）画出△BCF绕C点顺时针旋转90°后的图形；
E
D
A
（2）若AB=6,EF=5,试求△ECF面积,并简述你的理由.






B
F
B
C
12、已知等腰
△ABC
中，AB=AC，AD平分
∠BAC
交BC 于D点，在线段AD上任取一点P（A点除
外），过P点作
EF∥AB
，分别交AC， BC于E，F点，作
PM∥AC
，交AB于M点，连结ME。
（1）求证：四边形AEPM为菱形；
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？


P

D

F


E





M



13、已知：一张正方形纸片ABCD.
(1)把正方形纸片ABCD对折后再展开，折痕为 EF，E在AD上；（2）
将点A翻折到EF上P处，且使折痕过点B;(3)连接PC，得△PBC.
5

解决下列问题：
1）按上述操作过程画出折痕；
2）判断△PBC的形状，并证明你的结论；



14、已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有
D
一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，
(1) 求证：△CPB≌△AEB；
(2) 试说明PB与BE的关系；
(3) 若PA∶PB＝ 1∶2，∠APB＝135°,试求
AP
AE
A
P
E
的值.
C

图 7
B


15、
已知：如图四边 形ABCD中，∠C=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，P是BD上一点，PE
⊥BC，PF ⊥CD，垂足分别为E、F。
（1）求证PA=EF。
（2）若BD=10，P是BD的中点，





16、用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成如图的菱形ABCD.现把一个含60°角的三角板与这个< br>菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角板绕点A逆时针方向旋转.
（1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（图a）
①猜想BE与CF的数量关系是__________________；
D
A
②证明你猜想的结论.





E
B
C

（2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相F
图a
交于点E、F时（图b）,连结EF，判断△AEF的形状，并证
A
D
明你的结论.


6
B C E
图b
PE
PA

3
5
，求四边形PECF面积。

17、四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两 端点的距离不相等，但到另一对
角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l ，点P为四边形ABCD
对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形AB CD的准等距点．
(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)． < br>(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP< br>交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．（9分）














18、已知Rt△ABC 中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；
（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。












7

19、
在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的 延长线于点G，一等腰直角三角尺按如图1所
示位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰
好经过点B。（12分）
⑴在图1中请你通过观察、测量B F与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关
系，然后证明你的猜想；
⑵当三角尺沿 AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边
仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D ，过点D
作DE⊥BA于点E，此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长
度，猜想并写出 DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你
的猜想；
⑶当三角尺在（2）的基础上沿 AC方向继续平移到图3所示
的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中
的猜想是否仍然成立？若不成立，直接写出你猜想的式子（不用说
明理由）。












20、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0） ，（3，4）。
动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M沿OA向终 点A运
动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥AC，交AC于P，连结MP。已知动点运动了x
秒。
（1）P点的坐标为（ ， ）；（用含x的代数式表示）
（2）试求 △MPA面积的最大值，并求此时x的值。
（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？
你发现了几种情况？写出你的研究成果。


y

C
N
B




P

O
M
Ax
8

参考答案
6解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．
11
∵点E 、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝
2
AB ，CF＝
2
CD ．
∴AE＝CF ．∴△ADE≌△CBF ．
（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．∵AG∥BD ，
∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形，
∴DE＝BE ．∵AE＝BE ，∴AE＝BE＝DE ．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．∴四边形AGBD是矩形．
1
7、（1）
AB60
，
CD120
(2)AD=CD=BC=
2
10、(1)是等腰三角形; (2)BC=
2
; (3)菱形.
12、
(2)P在EF的中点

13、
(2)等边三角形

AB
(3) 2′
17、解：(1)如图2，点P即为所画点． (答案不唯一．画图正确，无文字说明不扣
分；点P画在AC中点不给分)

(2)如图3，点P即为所作点． (答案不唯一．作图正确，无文字说明不扣分；无痕迹或痕迹不清
晰的酌情扣分)
(3)连结DB，
在△DCF与△BCE中，DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，
∠ CF=CE. ∴△DCF≌△BCE(AAS)，
∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD. ∴∠PDB=∠PBD，
∴PD=PB， ∵PA≠PC
∴点P是四边形ABCD的准等距点．
18、提示：（1）证明略（证出BM=DM，BM⊥DM）
（2）过点B作BG⊥AC,连 接MG,过点D作DH⊥AE,连接
MH,证得四边形MGAH为平行四边形，证△BGM与△
MHD全等即可。
9

19、提示：①BF=CG 证△BFA≌△CGA
②DE+DF=CG 作DH垂直于CG，垂足为H，
利用DE=GH DF=CH
③仍成立 本题也可用面积法
20、（1）P点的坐标为（
1
2
3－x
，
x
）；（用含x的代数式表示）……4分
3
1
2
4
（2）∵S
△
MPA
=
1
2
AM·PQ=
4
3
4
3
(
3－x
) ·
4
3
x
∴(
3－x
) ·x=解得：
x
1
=1,x
2
=2
……7分

4
3
∴当x为1或2时， △MPA面积为平方单位。……8分
（3）有三种情况。……9分
1°当MP=AP时MQ=AQ有x=3－2x得x=1
2°当MP=MA时有（
3-2x
）
2
+（
5
3< br>4
3
9
8
x
）=（
3－x
）得x=0
(不合),x
2
=

22
1
54
43

3°当AP=MA时有




x=3－x得x= ……12分（写出一解加一分）












10