一元二次不等式的解法是借助初中学过的一元二次函数的图象讨论它的解集，二次项系
数 是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式、的主要结论与三者之间的密切
联系如下：
判别式
△>0

△
=
0

△<0

△=b
2
-4ac


二次函数
y=ax
2
+bx+c

(a>0)的图象


一元二次方程
ax
2
+bx+c=0

没有实数根

(a≠0)的根


一
元
二
次
不
ax
2
+bx+c>0
{x|x1,或


x>x2}
{x|x≠x
1
}

R


(a>0)

等
式
的
解
集




ax
2
+bx+c<0

{x|x
1
2
}

(a>0)
2.

如果a<0，可以先用不等式基本性质，在不等式两边同乘以 -1，将二次项系数改为“+”
号；
3.

例题分析
（1）解不等式：(x+4)(x-1)<0，{x|-4（2）解不等式：2x
2
-3x-2>0，{x|x<

,或x>2}
（3）解不等式：-3x
2
+6x>2
（4）解不等式：4x
2
-4x+1>0
（5）解不等式：-x
2
-x+2<0
（6）解不等式：x
2
+mx-6m
2
<0
4.

不等式(2a-b)x+3a-4b<0的解集为{x|x<

},解不等式(a-4b)x+2a-3b>0；
解：



∴原不等式的解集为
5.

不等式ax
2
+bx+2>0的解集为{x|

},求bx
2
+ax+2<0的解集；
解：a<0


∴原不等式的解集为
6.

解不等式：


解：


∴原不等式的解集为
二十三、

作业布置
11、

课后完成：优化P
13
-强化训练1-6；
12、

书面作业：习题1.5-1、2、3、4，优化P
13
-强化训练7、8、9；
13、

提高内容：

7.

复习（1）不等式组的解集问题

（2）如果

，则a、b满足_______;（3）如果

,则a、b满足_________;
8.

继续研究不等式的解集：（1）(x+4)(x-1)<0；（2）

；
9.

练习（1）解关于x的不等式(x-a)(x-b)>0 (a（2）解下列不等式：
① ；
②

；
③

；
④
10.

若4y
2
+4xy+x+6=0，对于实数y成立，求x的取值范围；
11.

若不等式x
2
-ax-b<0的解集是22
-ax-1>0的解集；
12.

已知关于x的一元二次方程x
2
-2mx+9=0的两个实数根分别是α、β，
且

，求m的取值范围;
13.

已知不等式m x
2
+m
2
x+n>0的解集为1二十四、

作业
14、

课后完成：习题1.5-7优化P
14
-随堂训练1、2、3、5；强化训练1、2、 3、4、6；
15、

书面作业：习题1.5-5,6,8;优化P
15
-强化训练8、9；

课题：§1.6逻辑联结词

（一）课题教材分析：

（二）素质教育目标：
1.

知识目标：
（1）了解“或”“且”“非”的复合命题的构成；
（2）理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；
（3）判断复合命题的真假。
2.

能力目标：
（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生 能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决
问题；
（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；
3.

德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔
的意志，实 事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
（三）课型课时计划：
1.

课题类型：新授课；
2.

教具使用：多媒体电脑、实物投影仪；
3.

课时计划：本课题共安排2课时；
（四）教学三点解析：
1.

教学重点：判断复合命题的真假；
2.

教学难点：对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解；
3.

教学疑点：
（五）教学过程设计
一.

温故知新，引入课题
1.

命题：可以判断真假的语句叫命题。
2.

真命题，假命题
3.

例如：判断下列语句是否是命题，如果是，是真命题还是假命题？
①12>5 ②3是12 的约数 ③0.5是整数 ④3是12 的约数吗？⑤x>5
4.

再看下面的例子：
⑥10可以被2或5整除；
⑦菱形的对角线互相垂直且平分；
⑧0.5是非整数
5.

这里的“或”“且”“非”叫做什么呢？
二.

新课教学
(一) 逻辑联结词
1.

逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词。

2.

简单命题：不含逻辑联结词的命题。如①②③
3.

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。如⑥⑦⑧
常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题
故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p
4.

逻辑联结词“或”“且”“非”与集合的“交”“并”“补”的关系：
例如：指出下列命题是 简单命题还是复合命题？若是复合命题，指出它的形式及构成它
的简单命题。
①24既是8的倍数，也是6的倍数；
②李强是篮球运动员或跳高运动员；
③平行线不平行。
5.

练习：教材P
26
1，2
（二）判断复合命题的真假
6.

“非p”形式的复合命题真假：
显然，当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。
例：如果p表示“2是10的约数”，则表示“2不是10的约数”为假
7.

“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p

真

假

非p

假

真

8.

“p且q”形式的复合命题真假：
例：如果p表示“5是10的约数”，q表示“5是15的约数”，
r表示“5是8的约数”，那么，
p且q即“5是10的约数且是15的约数”为真（p、q为真）；
p且r即“5是10的约数且是8的约数”为假（r为假）
所以得：
当p、q为真时，p且q为真；
当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p

真

真

假

假

q

真

假

真

假

p且q

真

假

假

假

9.

“p或q”形式的复合命题真假：
例：如果p表示“5是12的约数” q表示“5是15的约数”
r表示“5是8的约数”，那么，
p或q即“5是12的约数或是15的约数”为真（q为真）；
p或r即“5是12的约数或是8的约数”为假（p、r为假）
所以得：
当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；
当p、q都为假时，p或q为假。
10.

“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p

真

真

假

假

q

真

假

真

假

P或q

真

真

真

假

11.

注：
1°像上面表示命题真假的表叫真值表；
2°由真值表得：
“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；
“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；
“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；
3°真值表是根据简单命题 的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不
涉及简单命题的具体内容。如：p表示“圆周 率π是无理数”，q表示“△ABC是直角
三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用 真值表判断其命题p或q 的
真假。
4°由教材P
28
介绍“或门电路”“ 与门电路”。说明数学在实际生活中的应用。计算机
的“智能”装置是以数学逻辑为基础设计的。
12.

例题分析：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真
假：
（1）p：2+2=5； q：3>2
（2）p：9是质数； q：8是12的约数；
（3）p：1∈{1，2}； q：{1}

{1，2}
（4）p：

{0}； q：

{0}
13.

例题分析：判断下列命题的真假：
（1）3≥3
（2）3≥2
（3）对一切实数


以（3）为例：
第一步：把命题写成“对一切实数

或

”是p或q形式

第二步：其中p是“对一切实数

”为真命题；q是“对一切实数

”是假命题。
第三步：因为p真q假，由真值表得：“对一切实数

”是真命题。
14.

说明：判断复合命题真假的步骤
（1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式；
（2）判断简单命题的真假；
（3）根据真值表判断复合命题的真假。
15.

课堂练习： P
28
练习：1，2
三.

归纳小结，强化思想
本节课学习了以下内容：
（1）简单命题，复合命题，真值表；
（2）复合命题真假的判断方法。
四.

作业布置
16、

读书部分：

17、

课后思考：

18、

书面作业：教材P
29
1，2，3，4
19、

提高内容：
五.

板书设计：
课题
一、知识点
（一）

（二）

（三）

例题：
1．

2．

3．



4．

（六）教学反馈

课题：§1.7四种命题

课 型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教学目的：（1）初步掌握四种命题的关系；
（2）初步掌握反证法；
教学重点：四种命题的关系；互为逆否命题同真同假；反证法的证明格式；
教学难点：四种命题的关系，反证法的格式；
教具使用：常规教学
教学过程：
二十五、

第一课时
1.互逆命题、互否命题、互为逆否命题的概念；
（1）如果第一个命题的条件（或题设）是 第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第
二命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；
（2）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么这两
个命题叫做互否 命题；
（3）如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这
两个命题叫做逆否命题；
2.换一种表述：
（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题；
3.
互否

原命题
若p则q

逆命题
若q则p

否命题
若┓p则┓q

逆否命题
若┓q则┓p

互否

互逆

互逆

逆 逆

否 否



四种命题之间的相互关系如下：





4.例题分析：把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否
命题
①负数的平方是正数；
②正方形的四条边相等；
③若a=0，则ab=0；
④当c>0时，若a>b，则ac>bc；
⑤全等三角形一定相似；
⑥末位数字是零的自然数能被5整除；
⑦对顶角相等；
⑧过半径的端点不与半径垂直的直线，不是这个圆的切线；
5.四种命题的真假有如下三条关系：
（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真；

（2）原命题为真，它的否命题不一定为真；
（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；
二十六、

第二课时
1.反证法的一般步骤：
（1）假设命题的结论不正确，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确；
即：否定结论→推出矛盾→肯定结论
2.例题分析：用反证法证明
（1）已知a和b均为正有理数，且

和

都是无理数，证明：

+

是无理数：
（2）若

，则

且

；
二十七、

归纳小结，强化思想
本节主要学习四种命题的关系和反证法证明命题；
二十八、

作业布置
20、

第一课时：习题1.7-4
21、

第二课时：习题1.7-5
二十九、

教学反馈
课题：§1.8充分条件与必要条件

教材分析：
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排1课时
教学目的：（1）初步学习充分条件与必要条件的判别；
（2）
掌握充要条件的意义；

教学重点：关于充要条件的判断；
教学难点：关于充要条件的判断；
教具使用：常规教学

教学过程：
三十、

温故知新，引入课题
1.判断复合命题的真假
（1）不存在实数x，使的

且


（2）对实数x，若

，则


解：（1）假命题，因为当x=3时，

真，

真，该命题为假命题；
（2）真命题，

真，则

假，

真，所以p或q：

为真；
2.写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断他们的真假：
（1）如果两圆外切，那么圆心距等于两圆半径之和；
逆命题：如果圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切；真命题.
否命题：如果两圆不外切，那么圆心距不等于两圆半径之和；真命题.
逆否命题：如果圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切；真命题.
（2）若

，则


逆命题：若

，则

；假命题.
否命题：若

，则

；假命题.
逆否命题：若

，则

；真命题.
三十一、

新课教学
前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假，“若 p
则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，记做

；
1.如果已知

，那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件；
2.如果已知

，那么我们说，p是q的充要条件；
3.例题分析：指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
（1）在三角形ABC中，p：A>B；q：BC>AC；
（2）p：a=3；q：(a+2)(a-3)=0；
（3）p：a>2；q：a>5；
（4）p：

；q：

；
4.思考：指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
（1）p：

；q：

；
（2）p：

；q：

；
（3）p：

；q：

；
（4）p：

；q：

；
三十二、

归纳小结，强化思想
学习本节内容，四种命题的形式是基础，因为条件的充分性和必要性和命 题的四种形式
有着密切的联系。

在判断复合命题真假时，需要涉及复合命题真 假判别的方法；对于一些直接利用定义较
难作出判断的命题的充要条件问题，可利用互为逆否命题的等价 作出判断。
三十三、

作业布置
22、

书面作业：优化P21-8、9；P23-10；
23、

提高内容：课后完成课本P43-B组练习，星期四讲评；
三十四、

教学反馈

课题：§2.1映射

教材分析：
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排1课时
教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；
（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念；
教学重点：映射的概念；
教学难点：映射的概念；
教具使用：常规教学
教学过程：
三十五、

温故知新，引入课题
复习初中已经遇到过的对应：
1.

对于任何一个实数a，数轴上都有惟一的点P和它对应；
2.

对于坐标平面内任何一个点A，都有惟一的有序实数对(x,y)和它对应；
3.

对于任意一个三角形，都有惟一确定的面积和它对应；
4.

班级里的每一位学生都有惟一确定的座号与他对应；
三十六、

新课教学

1.

我们已经知道，包含是反 映了两集合的整体间的联系，今天我们转入学习两集合元素
与元素间的某种联系，两个集合之间，按照某 种法则可以建立起元素之间的对应关系，
这种特殊的对应就叫映射（板书课题）。
2.

先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系
（1）开平方；
（2）求正弦
（3）求平方；
（4）乘以2；
3.

什么叫做映射？
一般地，设A、B是两个集合，如 果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元
素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对 应（包括集合A、B以及A到B
的对应法则f）叫做从集合A到集合B的映射。
记作“f：A

B”
4.

说明： < br>（1）这两个集合A、B，它们可以是数集，也可以是点集或其它集合，这两个集合有
先后顺序， A到B的映射与B到A的映射是截然不同的。其中f表示具体的对应法则，
可以用汉字叙述；
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
（3）什么叫做象与原象？
如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么，和A中的元素a对 应的B中元素b叫
做a的象，a叫做b的原象；
（4）集合A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的；
（5）不要求结合B中每一个元素都有原象，即B中可能有些元素不是集合A中的元
素的象；
5.

一一映射是一种特殊的映射，定义如下：
一般地，设A、B是两个集合，f：A

B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射 下，
对于集合A中不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那
么这个 映射叫做A到B上的一一映射；
6.

例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射（一一映射）？为什么？
（1）A={1，2，3，4}，B={3，5，7，9}；f：b=2a+1
（2）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}；f：b=2a+1
（3）A={-2，-1，0，1，2}，B={0，1，2，3，4}；f：b=a
2

（4）A={-2，-1，0，1，2}，B={

}；f：


（5）A={3，5，7，9}，B={1，2，3，4}；f：
7.

完成课本练习
三十七、

作业布置

24、

书面作业：试卷后三题
25、

提高内容：优化P27-8
课题：§2.2函数

教材分析：
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教学目的：（1）理解函数的概念；明确函数的三要素；
（2）掌握函数的三种主要的表示方法，即解析法、列表法、图象法；
（3）能够正确使用“区间”等符号表示某些函数的定义域；
教学重点：在映射的基础上理解函数的概念；
教学难点：函数的概念；
教具使用：常规教学
教学过程：
三十八、

温故知新，引入课题
1.

映射是一种特殊的对应，对于映射f：A

B，我们允许集合A中的不同元素在集合B 中
有相同的象；也允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象；
例如：集合A={1，2}，B={a，b}，则集合A到集合B可以建立4个映射关系；
2.

练习：设A=R，B=R，

是A到B的映射
（1）设

，则a在B中的象是什么？
（2）设

，则

，那么t在B中的象是什么？
（3）在映射f下，3的原象是多少？
（4）若s-1在映射f下的象为5，则s是多少，s在f下的象是多少？
3.

什么叫函数？
我们在初中已经学过函数：如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于 x在某
个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么
y 就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做定义域，和x对应的y的值叫做函
数值，函数值的集合 叫做值域。
从映射的概念可以知道，函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f：A
B，其中A、
B都是非空的数集，对于自变量在定义域A内的任何一个值x，在集合B中都有唯一< br>的函数值和它对应；自变量的值是原象，和它对应的函数值是象；原象的结合A就是

函数的定义域，象的集合C就是函数的值域，很显然，

；
三十九、

新课教学
1.

明确决定函数的三要素：定义域、值域和对应法则；
4.

从映射的概念可以知道，函数实际就是非空数集A到数集B的映射；
记作：y=f（x），其中

；原象集合A叫做函数f（x）的定义域，象集合C叫做 函数f（x）
的值域，很显然，

；
5.

例题分析
1）判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数：
（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）|

}，对应法则是：A中的点与B中的（x，
y）对应；
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；
（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数
（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：


（5）A={0，1，2}，B={0，1，

}，对应法则是f：


2）下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）

；


（2）

；


（3）

；


（4）

；
6.

函数的表示：
（1）解析法就是将两个变量的函数关系，用一个等式表示；
（2）列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法就是用图象两表示两个变量的函数关系；
7.

例举函数的表示方法：
（1）一次函数：

，

0；
（2）二次函数：

，

0；
（3）反比例函数：

0；
8.

函数的定义域，区间的概念；
9.

函数的值域
10.

求下列函数的定义域
（1）


（2）


（3）


（4）


（5）


（6）

11.

已知
四十、

归纳小结，强化思想

四十一、

作业布置
26、

书面作业：

27、

提高内容：

四十二、

教学反馈
课题：§2.3函数的单调性和奇偶性

教材分析：
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排3课时
教学目的：（1）使学生理解函数单调性的意义，判断在某区间函数是增函数还减函数。
（2）使学生理解函数的奇偶性的概念，并能判断简单函数的奇偶性；
教学重点：单调性的证明；定理的证明
教学难点：意义及证明;概念和判断
教具使用：常规教学
教学过程：
四十三、

温故知新，引入课题
1、复习幂函数的图象及性质
2、从一次函数、二次函数、幂函数的图象引入增函数和减函数的定义。
四十四、

新课教学

1.一般地，对于给定区间上的函数f（x）如果对于属于这个区间 的任意两个自变量的值x
1
x
2
，
当x
1
2
时，都有f（x
1
）2
），那么就说f（x）在这个 区间上是增函数。
2.如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x
1
x
2
，当x
1
2
时，都有f（x
1
）>f（x< br>2
），那
么就说f（x）在这个区间上是减函数。
3.如果函数y=f（x） 在某个区间上是增函数（或减函数），就说f（x）在这一区间上具有（严
格的）单调性，这一区间叫做 f（x）的单调区间。
4.

例题分析
(1)根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上的单调性。
(2)证明：函数

上是增函数。
(3)证明：函数

上是减函数。
(4)提高


四十五、

温故知新，引入课题
1.已知f（x）=-x
4
+x
2
-2，求f（-x）
2.已知g（x）=

，求g（-x）
3.当自变量互为相反数时，两函数 值之间有何关系？从上面两题的结果，我们可以得到什么
启示呢？
4.f（-x）=f（x）、g（-x）=-g（x）
5.还必须注意到：上述等式是对定义 域内任意的一个x而言的。其中f（x）的定义域是R、
g（x）的定义域是x≠0的全体实数。 6.这是函数关系中一个很重要的性质，由它就可以从自变量取正值的变化情况推断出函数在
整个定 义域内的变化情况。具有这个性质的函数当然不止这两个，因此有必要对这类函数
作进一步的讨论。
四十六、

新课教学
7.学生看书后回答：前面所提函数就奇偶性来说，分别是什么函数？
显然，反过来，如果函 数f（x）是奇函数，那么对定义域内的任意一个x，都有f（-x）=
f（x）；如果函数g（x）是 偶函数，那么对定义域内的任意一个x，都有g（-x）=-g（x）。
8.如何判断一个函数是奇函数还偶函数呢？（函数的奇偶性的基本特征是什么？）
9.判断下列函数是否具有奇偶性：
（1）

（偶函数）
（2）

（奇函数）

（3）

（非奇非偶函数）f（-2）=-f（2）
（4）

（非奇非偶函数）
10.

如何判断一个函数不是奇函数，也不是偶函数？
（1）定义域是否对称于原点。
（2）只要在定义域内找到一个x
0
，使得 f（-x
0
）≠±f（x
0
）；
11.

练习：判断下列函数的奇偶性
（1）


（2）


（3）f（x）=0
f（x）=0既是奇函数，又是偶函数，那么还能不能举出既 是奇函数又是偶函数的函数呢？
（只能考虑定义域不同）

12.

判断函数

的奇偶性；（奇函数）对一个较复杂的表达式，应先将表达式化简后再判断。
13.

已知函数f（x）是奇函数，而且在（0，+∞）上是增函数，f（x）在（-∞，0）是增函
数还是减函数？
14.

定理：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。
15.

已知函数f（x）是偶函数，它在y轴右边的图象如图所示，画出函数在y轴左边的图象。
16.

判断一个函数的奇偶性，要注意什么？怎样判断一个函数的奇偶性？
四十七、

作业布置
28、

书面作业：

29、

书面作业：

30、

书面作业：

课题：§2.4反函数

教材分析：使学生理解反函数的定义，加深对 一一映射及其逆映射的认识，使学生初步掌握
由原来函数求其反函数的方法，为今后学习与反函数有关的 知识打下基础。
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排3课时
教学目的：（1）了解反函数的概念，会求一些简单的反函数；
（2）了解互为反函数的函数图象间的关系；
（3）函数性质综合问题的解决；
教学重点：（1）反函数的概念；
（2）互为反函数的函数图象间的关系；
（3）函数的单调性、奇偶性、反函数的综合问题的解决；
教学难点：（1）反函数的概念；
（2）互为反函数的函数图象间的关系；
（3）函数的单调性、奇偶性、反函数的综合问题的解决；
教具使用：常规教学
教学过程：
四十八、

了解反函数的概念，会求一些简单的反函数
1.

（回顾知识）若函数

对任意

，都有

，且当

时，都有

，

；
（1）证明：

是奇函数；
（2）证明：

在R上是减函数；
（3）求

在

上的最大值和最小值；
2.

考虑以下几个具体问题：
3.

若y=f（x）=2x，x∈R，写出确定此函数的映射。
写出由y的代数式表示x的形式。
4.

反函数的定义：
一般地，式子y=f（x）表示y是 自变量x的函数，设它的定义域为A，值域
为C，从式子y=f（x）解出x，得到式子x=φ（y）。 如果对于y在C中的
任意一个值，通过式子x=φ（y），x在A中都有唯一确定的值和它对应，
那么式子x=φ（y）就表示x是自变量y的函数，这样的函数x=φ（y），
叫做函数y=f（x） 的反函数。记作y=f
-1
（x）。

5.

求下列函数的反函数
（1）


（2）


（3）


（4）
四十九、

互为反函数的函数图象间的关系
6.

什么叫反函数？
7.

如何求一个函数的反函数？
8.

求出下列函数的反函数：

9.

已知函数

，求
10.

比较函数

及其反函数的图象，猜测图象的特征。
11.

坐标平面内两点间的距离公式：

的简单推导。
12.

定理的证明：
函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f
-1
（x）的图象关于直线y=x对称。
大致分为三个步骤：
设M（a，b）是图象上的任意一点，则M’（b，a）必在反函数y= f-1（x）
的图象上；
就a=b与a b两种情形，证明点M（a，b）与点M’（b，a）关于直线y=x
对称；
以上两点说明，y=f（x）的图象上的任意一点关于直线y=x的对称点必在
y=f
-1
（x）的图象上，由于f（x）与f
-1
（x）的互逆性，所以反过来也对。
13.

例题分析
（1）一次函数y=ax+b的图象关于直线y=x对称，求函数的表达式。
（2）画出函数

的图象，再利用对称关系画出它的反函数图象，并求出反函
数的解析式。
五十、

函数性质综合问题的解决
14.

求函数

定义域；
15.

判断函数的奇偶性
（1）

（考虑

）
（2）
16.

函数

在

上单调递增，求

的单调区间；

17.

若

的定义域为R，

为奇函数，

为偶函数，
且

，求

的表达式；
18.

已知

是奇函数，当

时，

，求当

时，

的表达式；
19.

定义在R上的偶函数

时在

上的增函数，
若

，求a的取值范围；
20.

求证：函数

是非奇非偶函数；
五十一、

作业布置
31、

优化训练P37-7、8、9
补充：设

是定义在

上的增函数，且对定义域内任意x 、y，都有
，求使不等式

成立的x取值范围；
32、

优化训练P38-7、9
补充：
已知定义在R上的函数

满足条件：
对于任意

，都有


（1）求证：

；
（2）求证：

是偶函数；
求证：函数在
R
上是非单调性函数；


33、

优化训练P40-7、8、9
的奇偶性；
补充：判断函数


五十二、

教学反馈

课题：§2.5指数

教材分析：
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排3课时
教学目的：（1）掌握根式、分数指数幂的概念；
（2）利用分数指数的运算性质进行指数的运算；
教学重点：理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；

教学难点：根式的概念和分数指数幂的概念；
教具使用：常规教学
教学过程：
五十三、

温故知新，引入课题
1.

复习初中整数指数幂的运算性质；

2.

引入根式的概念；
我们知道，如果一个数的平方等 于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方
等于a，那么这个数叫做a的立方根；
五十四、

新课教学
3.

引入根式的概念；
如果一个数的n次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根；

当n是奇数时，


当n是偶数时，
4.

例题1——讲评
5.

分数指数幂


0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义；
6.

例题2——讲评
7.

例题3——讲评
8.

例题4——讲评：数字归数字，字母归字母
9.

例题5——讲评
10.

补充：
（1）把下列根式用指数形式表示出来，并化简
=



（2）当

时，


（3）已知

，求

的值；（答案：

）
（4）计算：


说明：式子中既有分数指数幂，又有根式，则可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的

运算性质进行计算；
答案：


（5）计算：


（6）已知

，求

的值
五十五、

归纳小结，强化思想

五十六、

作业布置
34、

读书部分：
P70-73
35、

书面作业：
P74-习题2.5
1、2、3、4、5、6、7
36、

提高内容：

五十七、

教学反馈

课题：§2.6指数函数

教材分析：
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排3课时
教学目的：（1）认知目标：理解指数函数的定义，步掌握指 数函数的图象、性质及其简单应
用；
（2）能力目标：通过指数函数的图象和性质的教学，培 养学生观察、分析、归纳
等思维能力和数形结合的数学思想方法；
（3）情感目标：利用教学 软件《几何画板》探讨支书函数的图象和性质，激发学
生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识；
教学重点：性质的理解和记忆；

教学难点：性质的理解和记忆；
教具使用：常规教学
教学过程：
五十八、

温故知新，引入课题
1.

课前准备：
（1）复习零指数、负指数、分数指数；
（2）幂的意义及运算；
2.

背景（实际问题）：某种细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第二次由2个分裂成
4个，第 三次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞
个数y与次数x的函数关系 式是什么？
答案：
3.

背景（实际问题）一种放射性 物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来
的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的 函数关系式是什么？
答案
4.

象

、

这样的函数，我们称为指数函数；
5.

用2，x，y能构造一个函数吗？
五十九、

新课教学
1.

一般地，函数

叫做指数函数，其中x是自变量；
2.

在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）


（2）


（3）


（4）


（5）
3.

我们通过观察函数的图象的特征来研究函数的性质：
图象特征

函数性质


向x、y轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0，1）


函数的定义域为R

非奇非偶函数

函数的值域为R
+

自左向右看，
图象逐渐上升

在第一象限内的图
象纵坐标都大于1

在第二象限内的图
象纵坐标都小于1

图象上升趋势是越
来越陡

自左向右看，
图象逐渐下降

在第一象限内的图
象纵坐标都小于1

在第二象限内的图
象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越
来越缓

增函数

减函数



函数值开始增长较
慢，到了某一值后
增长速度极快；



函数值开始减小极
快，到了某一值后
减小速度较慢；

4.

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，

值域是

或

；
（2）若

，则

；

取遍所有正数当且仅当

；
（3）对于指数函数

，总有

；
（4）当

时，若

，则

；
5.

例题分析
（1）求下列函数的定义域和值域
①


②


③


④


（2）比较大小
①


②


③


④


（3）当x为何值时，
6.

求下列函数的定义域和值域
（1）


（2）
7.

求函数

的定义域；
8.

判断函数

的奇偶性；
9.

根据下列条件确定正数a的取值范围
（1）


（2）


（3）


（4）
10.

函数

的值域；

11.

比较

与

的大小；
12.

已知函数

，
（1）求

的定义域；
（2）讨论函数的奇偶性；
（3）证明

；
13.

将下列各数从小到大排列：

六十、

作业布置
37、

习题2.6-1、2、3；补充：优化设计P45-9

六十一、

教学反馈

2.6指数函数教学纲要

14.

一般地，函数

叫做指数函数，其中x是自变量；
15.

观察函数的图象的特征来研究函数的性质：
图象特征

函数性质


向x、y轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0，1）

自左向右看，
图象逐渐上升

自左向右看，
图象逐渐下降

在第一象限内的图
象纵坐标都小于1

在第二象限内的图
象纵坐标都大于1


函数的定义域为R

非奇非偶函数

函数的值域为R
+


增函数

减函数

在第一象限内的图
象纵坐标都大于1

在第二象限内的图
象纵坐标都小于1






16.

求下列函数的定义域和值域
①

②


③

④
17.

比较大小
①

②


③

④
18.

将下列各数从小到大排列：

19.

根据下列条件确定正数a的取值范围
（1）

(2)


（3）

（4）
20.

当x为何值时，
21.

比较

与

的大小；
22.

求下列函数的定义域和值域
（1）

（2）

23.

求函数

的定义域；
24.

函数

的值域；
25.

判断函数

的奇偶性；
26.

已知函数

，
（1）求

的定义域；
（2）讨论函数的奇偶性；
（3）证明

；
27.

优化设计需完成的部分
P44-随堂1、2、3、4、5、6
P44-强化3、4、5、7、8、9
P45-随堂1、3、4、5
P46-强化1、2、3、6、7
P47-随堂1、2、3、4、5
P47-强化1、2、3、4、7、8

课题：§2.7对数

教材分析：本小节内容包括对数的定义、对数式与指数式互化、对数的运算性质；
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排3课时
教学目的：（1）理解对数的概念，能够进行对数式与指数式互化；
（2）掌握对数的运算性质；
（3）掌握好积、商、幂、方根的对数运算法则，能根据公式法 则进行数、式、方
程的正确运算及变形，进一步培养学生合理的运算能力；
教学重点：对数的定义、对数的运算性质；
教学难点：对数的概念；
教具使用：常规教学
教学过程：（一）
六十二、

温故知新，引入课题

1.

P70-2求下列函数的定义域及值域：（1）

；（2）

。
2.

背景（实际问题）
一片树林中现有木材30000 米
3
，如果每年增加5%，经过x年，树林中有木材y米
3
，
写出x 、y间的函数关系式：

，经过6年木材的总量是多少？要经过多少年，木材可以
增加 到40000米
3
。
假设1995年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长 8%那么经过多少年国民生
产总值是1995年时的2倍？
六十三、

新课教学
3.

这个已知底数和幂的值，求指数的问题，也是我们今天学习的对数问题（板书课题：
对数）
一般地，如果

的b次幂等于N，就是

，那么，数b就叫做以a为底N的对数，记作：

。
A—底数，N—真数，

—对数式。
对数的定义：

。
4.

，且
5.


6.

；
7.

对数的性质：
（1）负数和零没有对数；
（2）1的对数是零；
（3）底数的对数等于1；
8.

例题1-2
9.

练习P81-1、2、3、4
10.

求

。
六十四、

归纳小结，强化思想
11.


12.

，且
13.


14.

；
15.

对数的性质：
（1）负数和零没有对数；

（2）1的对数是零；
（3）底数的对数等于1；
六十五、

作业布置
38、

书面作业：
优化设计P48-强化训练6、7
39、

提高内容：
优化设计P48-强化训练8
六十六、

教学反馈



教学过程：（二）
六十七、

温故知新，引入课题
1.

对数的定义：

。
2.

；
3.

对数恒等式：

;
4.

性质：
(1)负数和零没有对数；
(2)1的对数是零；
(3)底数的对数等于1；
5.

优化设计P48-强化训练8：求

的值


6.

指数运算性质：
六十八、

新课教学
（板书课题：对数运算法则）

7.

计算：

并比较。
8.

对数运算法则
（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

（2）两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；

（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数。

9.

练习巩固
（1）例题分析：用

表示下列各式

（2）计算：

（P83-练习1、2、3）
（3）已知：


（4）试求：

的值。（对换5与2，再试一试）
（5）


（6）若方程

的两根是a，b，求ab的值。
六十九、

归纳小结，强化思想
1.

对数的性质：
（1）负数和零没有对数；
（2）1的对数是零；
（3）底数的对数等于1；
2.

对数运算性质
（1）


（2）


（3）
七十、

作业布置
1.

书面作业：P84-1、2、3、4、5、6
2.

（1）求函数

的反函数。
（2）若

的最大值和最小值。
（3）求函数

的定义域。
（4）

比较

和

的大小。
3.

（1）

（答案：

）
（2）

； （答案：14）
（3）

（答案：-7）

（4）求函数

的定义域、值域和单调区间。
（5）求

反函数；
课题：§2.8对数函数

教材分析 ：本节是学生已经学过对数与常用对数、反函数以及指数函数的基础上引入对数函
数的概念。
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排3课时
教学目的：（1）学习对数函数的图象和性质及应用
（2）理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质；
教学重点：掌握对数函数的图象和性质
教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用
教具使用：常规教学
教学过程：
七十一、

温故知新，引入课题
1.

指数函数的图象和性质：
2.

由指数函数得到对数函数：
七十二、

新课教学
（板书课题：对数函数）
3.

定义：函数

叫做对数函数。
4.

图象
5.

性质；


指数函数y=a
x

a>1

0
对数函数y=log
a
x

a>1

0

性
质

象


定义域

值域

关键点

单调性

图








R

R
+

（0，1）

R上增函数

x>0,y>1;
x<0,0
R上减函数

x>0,0x<0,y>1.

R
+

R

（1，0）

R
+
上增函数

R
+
上减函数

x>1,y>0;
0
x>1;y<0;
00.

6.

例题分析：
（1）求下列函数的定义域：

（2）比较下列各组中两个值的大小：

安排看书。
（3）若

，求x的取值范围。
求对数函数定义域，首先要求真数为正数，还要考虑式子的要求。
7.

已知

，求证：
8.

求函数

的定义域。
9.

求函数

的定义域和值域。
10.

已知函数

，试求它的反函数以及反函数的定义域和值域。
11.

求下列函数的定义域
（1）

（2）
12.

已知函数

；
（1）求反函数


（2）判断函数

是奇函数还是偶函数；
13.

已知函数


（1）求

的定义域；
（2）判断函数

的奇偶性，并予证明；
（3）当

时，求使

的x的取值范围；如果没有限制a的范围呢？

14.

作业讲评：
P89-2 求下列函数的定义域
（1）

； （2）
15.


七十三、

归纳小结，强化思想

七十四、

作业布置
40、

读书部分：
对数函数
41、

书面作业：
习题2.8-课本P89-1、2、3、4、5
42、

求下列函数的定义域及单调区间
（1）


（2）


（3）
43、

优化设计P53-7
44、

课本P106-15、16、17、18
45、

课本P105-5、6、7、8、9
七十五、

教学反馈





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课题：
有约束条件的二次函数的最值问题

教材分析：问题提出的基础是初中 学过的二次函数的最值，学生已知道，给
定一个二次函数，如果二次项的系数为正，其图象开口向上，函
数有最小值，没有最大值；反之，函数有最大值，没有最小值；

最值是在抛物线 的顶点取得的，学生考虑的自变量取值范围是全
体实数。而有些二次函数仅需要我们求出在某个给定的闭 区间内
的最大值或最小值,这就是这节课的教学任务;通过这一节课，我们
要学会利用图形来讨 论有关二次函数在有约束条件下的最值问
题，如果给定的是具体的二次函数，我们可以求出图象的对称轴 ，
然后判断在给定的区间里，函数是递增的，还是递减的，或是先
递增再递减、先递减再递增， 从而判断出在何处取得最值，如果
给定的二次函数含有参数，而参数又影响到图象的对称轴，那就
需要对参数进行分类讨论，分类的标准是对称轴与给定区间的位
置关系，一样考虑函数在给定区间的单 调性，从而将问题解决。
利用图象的直观性质，是解决这类问题的关键。
课 型：练习课
课时计划：本课题共安排1课时
教学目的：（1）复习二次函数的性质，讨论有约束条件的二次函数的最值问题；
（2）培养学生全面的分析能力，渗透数形结合的思想。
教学重点：演示分类的过程及对题意的分析
教学难点：如何讨论含字母系数的二次函数在约束条件下的最值问题及为何如此
分类。
教具使用：投影仪、电脑、幻灯机等。
教学过程：
七十六、

温故知新，引入课题
1、

复习二次函数有关性质
（1） 课前：[板书]：有约束条件的二次函数的最值问题
[演示画板01]：片头演示课题
（2）上课过程：
师：在初中，我们就学过二次函数，二次函数有最大或最小值（统称最值） ，在
上新课之前，我们先作个简单的回顾，给定二次函数：
y=f（x）=2x
2
-8x+1，我们怎么求它的最值。
[板书]：y=f（x）=2x
2
-8x+1

师：一般先画 出函数图象，函数图象的画法步骤是列表、描点、连线，对于一个
函数，给定一个x的值，就有唯一的y 的值与之对应，将所列的有序实数对对应
到直角坐标平面，就得到函数图象上的一个点。
[演示画板02]边演示描点过程，边讲
师：当所描的点越密，画出的图象就越精确。
[显示图象]
师：在画板上，我们可以看到画法步骤的一般过程。从图象中我们很清楚地看到
该二次函数的图象是一条开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为P
（2，-7） ;
当x=2时，y有最小值，y
min
=f（2）=-7，没有最大值。
[走到黑板前]
师：实际上，将函数化为顶点式。
[板书]：y=f（x）=2（x-2）
2
-7
师：得到y=f（x）=2（x-2）
2
-7，观察式子，我们就可以得到上述结论。
[板书]：对称轴x=2，顶点P(2，-7)，当x=2时，y
min
=f（2）= -7
[板书]：y=f(x)=ax
2
+bx+c （a≠0）
师：再看一般的情况，对于函数y=f(x)=ax
2
+bx+c 。当a≠0时，在平面直角坐
标系中，它的图象是一条抛物线。
[演示画板03]
师：将它配方，得
[演示图象]
师：同学们观察几何画板，我们画出了特定a、b 、c值下的函数图象，现在由负
到正改变a的值，请同学们思考它的变化对图象的影响：
a值的变化，对图象的开口大小和方向有何影响？
a值不变，b值的变化，对图象的开口方向有没有影响？
c值的变化，对图象开口方向有没有影响？对称轴有没有影响？
当a>0时，抛物线开口方向？有最大还是最小值？有最大值吗？

当a<0时，抛物线开口方向？有最大还是最小值？有最小值吗？
在哪里取到最值，最值是什么？
从图象上可以看出，当a>0时，函数有最小值，y
min
=f(

)=
当a<0时，函数有最大值，y
max
=f(

)=
函数有最大还是有最小值完全由a的符号确定;
[板书] 当a>0时，函数有最小值，y
min
=f(

)=
当a<0时，函数有最大值，y
max
=f(

)=
七十七、

新课教学
1、提出问题
（师）现在我们来看一个实际的问题：
行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，要继续往前滑 行一段才停，在某段路面，
一辆汽车刹车距离S（米）与车速x（千米时）有如下关系：S=f（X）=

，当车
速x在[60，80]时，求刹车距离的最小值。
[画板04]理解题意，演示车速变化，得到不同的刹车距离
师：不同的车速对应不同的刹车 距离，在如此众多的刹车距离中，怎样找到最小
值呢？我们当然可以通过尝试得到，但是无法说明理由， 实际上这个问题转化为
数学模型就是：
求函数y=f（x）=

在x∈[60，80]时的最小值；
师：这是一个二次函数，画出它的图象是一条抛物线，把它转化为标准式得：
y=f（x）=
这条抛物线的对称轴为直线x=-4
顶点坐标为（-4，

）
请同学们思考：当x=-4时，y
min
=

，是不是说刹车距离的最小值是

？
学生：不是！
师：因为受到条件的约束，函数的最小值就不是

了，其实，在约束条件下的函
数图象不再是整条抛物线，而只是抛物线的一部分，是哪部分？

（停顿）只有AB两点间的那部分了。
（注意：受条件约束，y
min
≠

）
请同学们观察这部 分图象的单调性，思考当x∈[60，80]时，函数的最小值，因
为x∈[60，80]时，y随x的 增大而增大，所以当x=60时，y有最小值，y
min
=f
（60）=25.5
也就是说，刹车距离的最小值是25.5米。
[画板演示]解题过程：
师：同学们再思考，在这个约束条件下函数有最大值吗？是多少？
学生：当x=80时，y有最大值，y
max
=f（80）=44。
师：这 个实际问题告诉我们，当给定的二次函数受条件约束时，函数的最小值，
不再是在顶点取得，开口向上的 抛物线也可能有最大值。
师：我们来做一个练习：当x∈[3，4]时，求函数y=f（x）=2x< br>2
-8x+1的最小值。
[展台]演示学生作业。
2、引申问题
[画板05]：当x∈[3，4]时，求函数y=f（x）=x
2
-2ax+a
2-a+1的最小值。
[演示画板05]
师：当x∈[3，4]时，求函数y=f（x） =x
2
-2ax+a
2
-a+1的最小值。
师：将函数配方，得到：顶点式为y=f（x）=（x-a）
2
+1-a
对称轴为直线x=a
顶点坐标为（a，1-a）
问：1、当x取全体实数时，函数 y=f（x）有最小值y
min
=f（a）=1-a，是不是说：
当x∈[3，4] 时，函数y=f（x）=x
2
-2ax+a
2
-a+1的最小值是1-a？
在约束条件下的函数的最小值是不是在x=3时取得？
学生：不一定！
师：为什么不一定？本题与上题有没有区别？区别在哪儿？

学生：因为多了变量a。
师：对！我也这么想，参数a的变化可能对图象有所 影响，下面就请同学们互相
讨论，并找到解决的办法。
教师适时点拨：变化a值，可观察到图象的变化。（点明几何画板上要观察的位
置）
师：最小值一会儿是f（3），一会儿是f（4），一会儿又是f（a），到底哪个
才是最小值呢？因为 a值的不同，最小值的位置发生了变化，对于这类问题，我
们一般采用什么方法？
学生：分类讨论。
师：对！怎样分类？分几类？
师：从分析中，我们已经有了解题的思路，我将解题过程板书出来。
（1）当a≤3时，y随x的增大而增大y
min
=f（3）= a
2
-7a+10
（2）当3＜a＜4时，y有最小值，y
min
=f（a）=1-a
（3）当a≥4时，y有最小值，y
min
=f（4）= a
2
-9a+17
师：同学们有兴趣，回去也可以用几何画板画出图象，仔细分析并 思考：当条件
不变，如何求函数的最大值？
[演示]当x∈[3，4]时，求函数y=f（x ）=x
2
-2ax+a
2
-a+1的最大值
师：下面我们将问题引申……
3、进一步思考
[画板05]：a为何值时，函数y =f（x）=x
2
-2ax+a
2
-a+1在x∈[3，4]时的值恒大于0？
问：
没有x∈[3，4]这个条件，本题怎么解？
判别式小于0，说明什么？判别式小于0，函数值显然恒大于0。
判别式大于0时，在x∈[3，4]时的函数值可能恒大于0？
上题的结论对本题有用吗？如何把握恒大于0？

[控制时间]请同学们思考：
a为何值时，函数y=f（x）=x
2
-2ax+a
2
-a+1在x ∈[3，4]时的值恒小于0？
七十八、

归纳小结，强化思想
通过这一节课，我们学会了利用图形来讨论有关二次函数在有约束条件下 的
最值问题，如果给定的是具体的二次函数，我们可以求出图象的对称轴，然
后判断在给定的区 间里，函数是递增的，还是递减的，或是先递增再递减、
先递减再递增，从而判断出在何处取得最值，如 果给定的二次函数含有参数，
而参数又影响到图象的对称轴，那就需要对参数进行分类讨论，分类的标准
是对称轴与给定区间的位置关系，一样考虑函数在给定区间的单调性，从而
将问题解决。利用图 象的直观性质，是解决这类问题的关键。
七十九、

作业布置
46、

读书部分：
代数课本P51-53
47、

书面作业：
(1)求函数y=x
2
-5x+6当自变量x在下列范围变化时的最值，并求出函数取 最值
时，对应的x的值（1）[0，2]； （2）[3，5]。
(2)函数y=x(2a-x)在x∈[0，2]时有最大值a
2
，求a的取值范围。
(3)已知函数y=x
2
+2x+a(-3≤x≤2)的最小值是4，求a的值。 < br>(4)当a为何值时，函数y=f（x）=x
2
-2ax+a
2
-2a +6在x∈[3，4]时的值恒大于0？
48、

提高内容：
已知3x
2
+2y
2
=9x,求x
2
+y
2
的最大值和最小值。（选做题）
八十、

板书设计

六、教学反馈(略)
一、知识要点
1.

复合函数的概念
若y是t的一个函数

，而t又是x的一个函数

，则y也是x的一个函数，
称复合函数，记作

，当

时，函数y的值记作

；

2.

复合函数的定义域求法
从集合的观点看，对于复合函数

，令

，
集合

，

，

，则

的定义域Z=

；
3.

复合函数的值域求法
从集合的观点看，若复合函数

的定义域为M，令

，
集合

，则

的值域为
4.

复合函数的单调区间求法
设函数

在区间M上有定义，又函数

在区间N上有定义，且当

，时，

.
（1）如果

在区间M上是增函数，

在区间N上是增函数，则

在区间M上
是 增 函数；
（2）如果

在区间M上是增函数，

在区间N上是减函数，则

在区间M上
是 减 函数；
（3）如果

在区间M上是减函数，

在区间N上是增函数，则

在区间M上
是 减 函数；
（4）如果

在区间M上是减函数，

在区间N上是减函数，则

在区间M上
是 增 函数；怎么证明？
二、例题解析
5.

已知

，求：
（1）

（2）
6.

，则

=

；

=

；
7.

求下列函数的定义域：
（1）


（2）


8.

函数

的值域是

；
9.

求下列函数的单调区间
（1）


增


（2）


（3）


减


（4）


增


（5）


（6）

-5 增

和

减

和
三、作业
减


在R上是减函数
增


减

10.

,

，则

=

；
=

；
11.

若函数

的定义域是

，则函数

的定义域是

；
12.

函数

的定义域是

；
13.

函数

的值域是

；
14.

函数

的值域是

；
15.

在R是减函数，则

的增区间是

，减区间是

；
16.

函数

的增区间是

，减区间是

；
17.

函数

的增区间是

，减区间是

；
18.

若

，解不等式


19.

（1）证明函数

在

上是减函数，在

上也是减函数，
（2）求函数

的单调区间；
课题：对数换底公式

课 型：综合课
课时计划：本课题共安排1课时
教学目的：（1）理解对数的概念，能够进行对数式与指数式互化；
（2）掌握对数的运算性质；
（3）掌握好积、商、幂、方根的对数运算法则，能根据公式法 则进行
数、式、方程的正确运算及变形，进一步培养学生合理的运算能力；
教学重点：对数的定义、对数的运算性质；
教学难点：对数的概念；
教具使用：常规教学
教学过程：
八十一、

温故知新，引入课题

3.

对数的性质：
（1）负数和零没有对数；
（2）1的对数是零；
（3）底数的对数等于1；
4.

对数运算性质
（1）


（2）


（3）
5.

已知x的对数，求x
（1）


（2）


（3）

（4）
6.

已知

，求

的值；
7.

更一般地，我们有

，如何证明？
八十二、

新课教学
16.

证明：


（由脱对数

取对数引导学生证明）
证明：设

，则


两边取c为底的对数，得：


，即


注：公式成立的条件：

；
17.

公式的运用：
利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思
想方法；
例题1：求

的值；
分析：利用换底公式统一底数；
解法（1）：原式=


解法（2）：原式=


例题2：计算

的值
分析：先利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再求值；
解：原式=
18.

由换底公式可推出下面两个常用公式：
（1）


（2）


并应注意其在求值或化简中的应用：

19.

求证：


分析（1）：注意到等式右边是以x为底数的对数，故将

化成以x为底的对
数；
证明：


分析（2）：换成常用对数
证明：（略）
注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还要能逆用换底公式，如：
就是换底公式的逆用；
20.

已知

，求

的值（用a，b表示）
分析：已知对数和幂的底数都是18，所以先将需求值的对数化为与已知对数
同底后再求解；
解：

，一定要求



21.

强化练习
（1）


（2）


（3）


（4）已知

，试用a表示

；
八十三、

归纳小结，强化思想
8.

对数运算性质
（1）


（2）


（3）
22.

换底公式：
23.

（1）


（2）
24.

利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在 求值
或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：
（1）针对具体问题，选择好底数；
（2）注意换底公式与对数运算法则结合使用；
（3）换底公式的正用与逆用；
八十四、

作业布置
49、

书面作业：
优化设计P50-强化训练6、7、8、9

50、

补充：
（1）


（2）


（3）已知

，求
八十五、

教学反馈

课题：§3.1数列

教材分析：数列是中学数学的一项重要内容，它不仅有着广泛的 实际应用，而且
是对学生进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材和进一步学
习高等数 学的重要的基础知识。
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教学目的：（1）通过实例学习数列的意义及有关数列的项、通项公式等概念；
（2）加深学 生对由具体到抽象、由特殊到一般以及由一般到特殊的认
识规律的认识，发展学生的逻辑思维能力。
教学重点：已知数列的通项公式或递推公式写出数列或数列的某几项；
已知数列或数列的某几项写出数列的通项公式；
教学难点：已知数列或数列的某几项写出数列的通项公式；
教具使用：常规教学
教学过程：
八十六、

温故知新，引入课题
1、

我们学过自然数，由小到大把它们排成一列
1，2，3，4，5，……
这就是自然数列。
2、

看课本P
111
的几个例子，引入数列的定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列。
八十七、

新课教学

1、

指导学生看书，熟悉有关数列的几个概念：
（1）数列的项-数列中的每一个数都叫做这个数列的项；
（2）通项公式-如果数列{a< br>n
}与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这
个公式就叫做这个数列的通项公式；
（3）数列可以用图形来表示；
（4）有穷数列-项数有限的数列叫做有穷数列；
（5）无穷数列-项数无限的数列叫做无穷数列；
2、

几个注意点： < br>（1）数列中的数的有序性：如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那
么它们就是不同的数 列（与集合的无序性不同）；
（2）在数列中，同一个数可以重复出现（与集合的互异性不同）
注：集合的另一个性质是确定性；
3、

可以把数列当作一种特殊函数的一 列函数值，因为数列是按一定次序排列的
一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三 个数，等等。
于是，数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每个序号也都对应于数
列中的 一个数。因此，数列就是定义在自然数集N（或它的有限子集{1，2，
3，……，n}上的函数f（n ）当自变量从1开始取自然数时，相对应的一列函
数值
f(1)，f(2)，f(3)，……，f(n)，……
通常用a
n
代替f（n），于是数列的一般形式常记为
a
1
，a
2
，a
3
，……，a
n
，……
或简记为{ a
n
}，其中a
n
表示数列{a
n
}的通项。
4、

{a
n
}与a
n
有何不同？
{a
n
}表示数列a
1
，a
2
，a
3
，……， a
n
，……
a
n
仅表示这个数列的第n项；
5、

数列的项与项数有何不同？
数列的项是指数列中某一个确定的数，它是一个函数值；
数列的项数是指数列的项的位置序号，它是自变量的值；
6、

例题分析
〖例一〗

根据下面数列{a
n
}的同项公式，写出它的前5项：
（1）


（2）a
n
=（-2）
n

〖例二〗

写出数列的通项公式：
（1）3，5，7，9，11，……
（2）

，……
（3）2，22，222，2222，22222，……
（4）1，0，1，0，1，……
（5）

，……

〖例三〗

已知数列的递推关系，写出它的前5项：
（1）a
1
=1，a
n+1
=1+

；
（2）a
1
=1，a
2
=1，a
n
=a
n-1+a
n-2
；（这个数列叫做裴波拉契数列，在优选法
中有着重要的应用）
7、

练习P
112
-1、2、3、4
8、

已知数列a
n
=n+

，求证它是一个递增数列；

八十八、

归纳小结，强化思想
1、

不是所有的数列都能写出它的通项公式；
2、

有些数列只给出前面几项， 并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归
纳出来的所谓“通项公式”常常不是唯一的，例如 2，4，8，……可以归纳为a
n
=2
n
，也可以归纳为a
n< br>=n
2
-n+2，等等。由它们写
出的后继的项就不一样了，因此只从数列的有 限项来归纳通项公式是不一定
可靠的。
八十九、

作业布置
51、

读书部分：
52、

课后思考：已知数列a
n
=2n-n-55，问从第几项开始，它的值为正？
53、

书面作业：P
114
1、2、3、（4）优化设计-数列第一课时（第二课时）
54、

提高内容：
已知数列a
n< br>=2
n
+2
-n
，求证它是一个递增数列；
九十、

教学反馈
2
课题：§3.2等差数列

教材分析：本节学习等差数 列的通项公式及等差数列的有关性质，这些公式的导
出都离不开等差数列的定义，因此教学时，首先要讲 清等差数列的定义，
并自始至终扣住这个定义；
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教学目的：（1）等差数列的概念、通项公式及性质和判定；

（2）知二求一；
教学重点：等差数列的定义及其通项公式；
教学难点：等差数列与函数性质；
教具使用：常规教学
教学过程：
九十一、

新课教学（1）
1.

前面我们提过数列4，5，6，7，8，9，10，这个数列有这样的特点：从第
2项起，每一 项与前一项的差都等于1。
2.

一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个
常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公 差；公差通常
用字母d表示。
3.

举例说明等差数列：d=1，d=-2，d=0；
4.

如何证明一个数列是等差数列？
只需证明对于任意自然数n，差a
n+1
- a
n
都是同一个常数就可以了。
例如：证明通项公式为a
n
=2n+3的数列是等差数列；
已知{ a
n
}是等差数列，证明{ b×a
n
}、{ a
n
+c}也是等差数列；
5.

用不完全归纳法证明，等差数列的通 项公式：a
n
=a
1
+（n-1）d
6.

通项公式整理成a
n
=d×n+（a
1
-d），这表明d≠0时，a
n
是关于n的一次式，
由次可见，以自然数集为定义域的函数f（n）= a
n
的图象是一条直线上那些
n为自然数的点的集合，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a
1
-d。
7.

公式涉及三个量，如果知道两个，就可以求第三个
（1）求等差数列8，5，2，…，的第20项.
（2）等差数列-5，-9，-13，…的第几项是-401？
（3）等差数列中，a
5
=11，a
8
=5，求等差数列的通项公式；
8.

作业：习题3.2-1、2
优化设计：3.2等差数列第一课时；

九十二、

新课教学（2）

9.

复习等差数列的定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的
差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列；
是与n无关的常数）
10.

复习等差数列的通项公式：a
n
=a
1
+（n-1）d
的得出；
11.

练习：
（1）数列

的各项的倒数组成一个等差数列，若

，求

；
考查学生对数列概念的灵活运用及运算能力
解：设等差数列为{bn}，公差为d
由已知




小结：一道题中涉及两个或两个以上的数列 时，审题需要特别细心，否则会
出现失误，本题中数列

并不是等差数列；
（2）已知等差数列的第10项为23，第25项是-22，求通项公式；

小结： 等差数列是一类特殊的数列，反映出的特殊规律是定义，等差数列的
通项公式涉及到四个量：，用方程的 观点知三求一，列方程组求基本量是解
决数列问题的常用方法；
另解：由a
n
=a
m
+（n-m）d，得

，具体地，

，那么a
n
=a
10
+（n-10） ×（-3）=
-3n+53；
同样a
p
=a
q
+（p-q ）d，则a
n
-a
m
=（n-m）d，a
p
-a
q
=（p-q）d，如果n-m=p-q，
那么a
n
-a
m
= a
p
-a
q
，即如果n+q=m+p，那么a
n
+a
p
=a
m
+a
q
。
12.

等差数列中，a
2
+a
3
+a
10
+a
11
=48，求a
6
+a
7
的值（24）
13.

是等差数列，且a
1
-a
4
-a
8
-a
1 2
+a
15
=2，求a
3
+a
13
=-4
不用性质也可以利用通项公式求得a
1
=7d，继续求a
3
+a
1 3
=-4，但计算量较大；
14.

满足

的数列

是等差数列吗？
15.

考虑等差数列的单调性；按d分类，知道等差数列不会是摆动数列；
16.

证明：

是等差数列。
如果在a、b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b
的等差中项；
A是a、b的等差中项的充要条件是2A=a+b，两个数的等差中项又叫做这两
个数的算术平 均数；
容易看出，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）
都是它的 前一项和后一项的等差中项；
证明三个数成等差数列等价于证明第2个数是第1和第3两个数的等差中项。

17.

已知

成等差数列，求证：

也成等差数列；
证明：由已知得b（a+c）=2ac，

所以

也成等差数列；
证明三个数a，b，c成等差数列，可以等价证明

，即证明b是a，c的等差
中项；当已知a，b，c成等差数列时，通常采用

作为解决问题的出发点；
此外：如果

是等差数列，则

也是等差数列（k、b是常数）
另证：由

成等差数列，知

也成等差数列，即得证明。
18.

证明数列是等差数列的方法：定义法，通项公式法；
19.

证明并小结等差数列的性质，如果

是等差数列，则：
（1）


（2）


（3）

是等差数列（k、b是常数），公差为kd；
（4）

是等差数列，公差为2d；
（5）

是等差数列，则

是等差数列；
（6）表示数列

的点在一条直线上；
（7）

，下标和相等，则项的和相等；
20.

作业：习题3.2-3、4、5、6、7、8、9、10、11

九十三、

教学反馈
课题：§3.3等差数列的前n项和

教材分析：本节学习等差数列的前n项和公式及等差数列的有关性质；
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教学目的：（1）前n项和的求法
（2）知三求二；
教学重点：等差数列的前n项和；
教学难点：前n项和的求法及实际应用（知三求二），等差数列与函数性质；
教具使用：常规教学
教学过程：

九十四、

新课教学
21.

复习引入
（1）


（2）


（2）


（3）


（4）

是

的等差中项
22.

思考：1+2+3+4+…+100=？
23.

思考：一堆钢管共有9层，它的每层钢管数成等差数列分布，求钢管总数；
24.

一般地，设有等差数列{a
n
}，它的前n项和是s
n
，即
s
n
=

；
根据等差数列通项公式，上式可以写成： < br>s
n
=a
1
+（a
1
+d）+（a
1
+2d）+…+[a
1
+（n-1）d]；
又可以写成：
s
n
=a
n
+（a
n
-d）+（a
n
-2d）+…+[ a
n
-（n-1）d]；
两式相加即得

（公式说明知道首项和第n项及项数就可以求前n项和）
25.

因为a
n
=a
1
+（n-1）d，所以公式还可以写成：
；
公式说明知道首项和项数及公差就可以求前n项和
26.

例题分析
（1）若等差数列-10，-6，-2，…中，前n项和

=54，求n及通项公式；
（2）等差数列

中，

，求


（3）已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是220，求前n项和；
（4）等差数列

中，

，求


（5）某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50米，最
远一根电线杆距离电站 1550米，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施
工，若汽车往返运输总行程为17500米，试求 ：（1）共竖立多少根电线杆？
（2）第一根电线杆距离电站多少米？
解：由题意汽车逐趟往返运输行程组成一个等差数列，记为

，则

n取10，
27.

补充：等差数列{ a
n
}中，
（1）a
2
=18，a
10
+ a< br>12
=0，求a
1
，d和S
n
的最大值（20，-2，110 ）
（2）d=2，a
n
=11，S
n
=35，求a
1；（3或-1）
（3）d=

，S
100
=145，求a1
+a
3
+a
5
+…+a
99
的值；（60）
（4）Sn=3n
2
+2n，求d（=6）
（5）a
1
= 13，S
3
=S
11
，求S
n
的最大值；（S
7< br>=49）

28.

设等差数列

中的前n项和为

，已知


（1）求公差d的取值范围；


（2）指出

中哪个值最大？

最大
29.

等差数列前12项和为84，前20项和为460，求前28项和；
30.

一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和；
九十五、

作业布置
习题3.3-1、2、5、6、7—3、4、8、9、10
优化设计3.3-课时1、课时2
九十六、

教学反馈
课题：§3.4等比数列

教材分析：与上节课一样，本节教材的重点也是等比数列的 定义，及其通项公式，
前n项和的公式，其中等比数列的定义是推导两个公式的基础；
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教学目的：（1）等比数列的定义及其通项公式，前n项和公式；
（2）灵活使用等比数列的定义解决实际应用；
教学重点：定义、通项公式、前n项和公式；
教学难点： 前n项和的公式及应用；
教具使用：常规教学
教学过程：
九十七、

温故知新，引入课题
我们与等差数列比较，来学习等比数列：
1、

什么叫做等比数列？ 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数
列就叫做等比数列，这个 常数就叫做公比，公比通常用字母q来表示；

2、

你来举一个例子：2，4，8，16，…
3、

由定义知道
a
2
=a
1
q
a
3
=a
2
q=a
1
q
2

……
从而
a
n
=a
1
q
n-1

4、

思考几个问题：
等比数列首项能为零吗？公比能为零吗？可能存在等于零的项吗？
我们知道等差数列在公差为正时，是递增数列，为负就是递减数列，等比数
列有这个性质吗？划分单调性 的标准是什么？
公比能为负数吗？公比是负数时，等比数列的各项符号怎样？
5、

我们知道，如果从函数的角度看数列，等差数列在公差d≠0时是一个关于n
（定义域为自然数 ）的一次函数，并且一次项系数就是公差，那么等比数列
在q≠1时是怎样的一个函数？
6、

看书了解图形表示等比数列；
7、

什么叫做等比中项？
如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b
的等比中项；
2
你能写出G是a与b的等比中项的一个次要条件吗？G=ab
从中我们发现a与b 两个数有何限制？任意两个同号的数的等比中项都有两
个，它们互为相反数，等比中项也叫几何平均数（ 等差中项也叫代数平均数）
8、

最后来研究前n项和的公式；即求
S< br>n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+… +a1q
n-1

S
n
=
9、


练习：
（1）P58-7（2）P59-13（3）P56例6
要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意自然数n（大于1），

是同
一个常数就行了；
给出的数列，各项近似于1，1.6，2.5，4.0，6. 3，10，…常被选用作各种产
品尺寸型号的分级参数，例如卡车载重设计成1，1.6，2.5，4. 0，6.3，10，…
（吨），火车一节车厢载重设计成25，40，63，100，…，仓库容量设计 成1
00，250，400，630，1000，…，
上述数列的特点：（1）相临两项的比值均匀（都约

）；（2）任一项后面的
第五项都约等于这一项的1倍；（3）必要时数列各项可向前或向后无限延伸；
（4）有利于国民经济 各部门之间产品尺寸规格的互相配合，如10辆卡车的

载重量恰好装满火车一节车厢，1 0节车厢恰好装满一个仓库，等等；
作业（P57-59习题十八：1-14（除7，13）

九十八、

新课教学
1、

试卷讲评：已知S
n
是数列{a
n
}的前 n项和且a
1
=1，{

}是首项为1，公差为2
的等差数列，求数列{a
n
}的通项公式；
2、

已知数列{a
n
}中，a
1
=-2，且a
n+1
=S
n
求a
n
和S
n
；

即S
n
是公比为2的等比数列，S
1
=a
1
=2， S
n
=-2
n
，

3、

求数列1， 1+2，1+2+2
2
，…，1+2+2
2
+…+2
n-1
，…的前99项之和（2
100
-1
01）
先求通项公式a
n
=2
n
-1；
4、

对于数列{a
n
}，若a
1
，a
2
-a
1
，a
3
-a
2
，…，a
n
-a
n-1
， …是首项为1，公比为

的
等比数列，求（1）a
n
；（2）a1
+a
2
+a
3
+…+a
n
；
a
n
= a
1
+a
2
-a
1
+a
3
-a
2
+…+a
n
-a
n-1
=



九十九、

作业布置
（P57-59习题十八：15-20
课题：等差数列与等比数列

课 型：习作课
课时计划：本课题共安排2课时

教学过程：
百、例题分析
1、

求数列p，q，p，q，p，q，……的一个通项公式。

2、

3x，4y，5z成等比数列，1x，1y，1z成等差数列，则zx+xz=3415
3、

某等差数列的第1，2，4项成等比数列，试证该数列的第4，6，9项也成等
比数列；
4、

三个数成等差数列，前两个数的和的3倍等于第三个数的2倍，若第二个数减去2仍作第2项，则成等比数列，求着3个数；
1，5，9，或14，54，94
5、

等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，
求证：
6、

已知数列{a
n
}是等差数列（d≠0）， {a
n
}中部分项组成数列a
k1
，a
k2
，…，a
kn
，…
恰成等比数列，其中k
1
=1，k
2
=5，k< br>3
=17，求k
1
+k
2
+k
3
+…+k< br>n
；
7、

已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于17；
S
8
=S
4
+q
4
S
4
；
8、

设a为常数，求数列a，2a
2
，3a
3
， …，na
n
，…的前n项和；
（1）a=0时，S
n
=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=


若a≠1， S
n
-aS
n
=a（1+a+…+a
n-1
-na
n
），Sn=
9、

设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
.已知a
3
=12, S
12
＞0,S
13
＜0.
(Ⅰ)求公差d的取值范围；
(Ⅱ)指出S
1
,S
2
,…,S
12
,中哪一个值最大, 并说明理由.
解： (Ⅰ)依题意,有
，即


由a
3
=12,得 a
1
=12－2d
(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，∴

.
(Ⅱ)由d＜0可知 a
1
＞a
2
＞a
3
＞…＞a
12
＞a
13
.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得a
n
＞0,a
n+1
＜0,
则S
n
就是S
1
,S
2
,…,S
12
中的最大值.
由于 S
12
=6(a
6
+a
7
)＞0, S
13
=13a
7
＜0，即 a
6
+a
7
＞0, a
7
＜0.
由此得 a
6
＞－a
7
＞0.因为a
6
＞0, a
7
＜0,故在S
1
,S
2
,…,S
12
中S
6的值最大.

10、

已知数列{a
n
}满足a
n＋1
=2a
n
＋3，
(1)求证：数列{a
n
＋3}成等比数列；(2)若a
1
=5，求 a
n
，S
n
；
解：(1)

；(2)
11、

已知数列{a
n
}满足a1
=1，a
n＋1
=S
n
＋(n＋1)，(1)用a
n
表示a
n＋1
；(2)证明
数列{a
n
＋1}成等比数列； (3)求a
n
与S
n
；
解：(1)

； (2)略；(3) .
12、

已知数列{a
n
}的前n项之和S
n
与a
n
之间满足2S
n
2< br>＝2a
n
S
n
－a
n
，(n≥2)，
且a< br>1
=2(1)求证：数列

是以2为公差的等差数列；(2)求S
n
和a
n
。
(1)略； (2)

.
13、

已知数列{a
n
}满足a
1
=

，S
n< br>=n
2
a
n
（S
n
是前n项之和），求a
n
；

14、

求和：

…

.
解：

，

.
15、

设数列{a
n
}前n项之和为 S
n
，且lg(S
n
＋1)=n，求数列{a
n
}的通项。
a
n
=9·10
n

1

16、

求数列1，3＋

，3
2
＋

，……，3
n
＋

的各项的和。
n
解：其和为(1＋3＋……＋3)＋(

＋……＋

)
=

=

(3
n＋1
-3
-n
)
17、

已知满足{a
n
}满足an＋1
=3
n
a
n
，且a
1
=1，求a
n
；
18、

已知一个等比数列的首项为1 ，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数
项的和为170，求这个数列的公比及项数。q=2，n=8 ；
19、

将自然数按下表排列：
1 2 5 10 17 …
4 3 6 11 18 …
9 8 7 12 19 …
16 15 14 13 20 …
25 24 23 22 21 …
……
(1)第1列中第m个数是多少？第1行中第n个数是多少？
(2)若m≥n，则第m行（自上而下）、第n列（自左而右）的数是多少？若m
＜n呢？
(3)99在上起第几行、左起第几列？
(1)

；(2)

，若m＜n，为

；

(3)解不等式(m－1)
2
＜99＜m
2
，得m=10，因此99在上起第10行，左起第2
列。
20、

设数列{a
n
}的通项公式是a
n
=

，求其前n项的和S
n
. S
n
=3-
21、

某林场原有森林木材存量为a，木材以每年25％的增长率生长，而每年
冬天要砍伐的木材量是 一个常量，为了实现经过20年达到木材存量到少翻两
番的目标，求每年至多砍伐多少木材（计算时取l g2=0.30）？
解：设每年冬天砍伐木材量为x，则每年木材存量组成数列{a
n
}，
令a
0
=a，则a
1
=

a－x，a
2
=(

)
2
a－(

＋1)x，…a
n＋1
=

a
n
－x，即a
n＋1
－4x=

(a
n
－4x).数列{a
n
－4x}是公比为

的等比数列，首项a
1
－4x=

a－5x. a
n
－4x=
(

－5x)·(

)
n－1
.欲使a
n
≥4a，则(

)
n
a－(

)
n－1
·5x≥4a＋4x.

，其中n=20,
20
令A＝(

)，lgA＝20(lg5－lg4)=2，

，于是

.答：每年至少砍伐木材量为

.
22、

某工厂产量第一年比上一年增加a％，第二年又增加b％，为使连续三
年的平均增产率为c％， 问第三年比第二年应再增加百分之几？
解：
23、

从盛满a 升纯酒精的容器里倒出b升，然后用水加满，再倒出b升，
再用水加满，这样连续倒 了n次，问此时容器时里还有多少纯酒精？
解：
24、

某市人口1997年底预计为20万，人均住房面积8m
2
，计划在2001年底达到人均住房面积10m
2
，如果该市计划将每年人口平均增长率控制在1％，那
么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房面积多少万平方米？
（以万平方米为单位，保留两 位小数）
答：12.03万平方米
25、

某鱼塘养鱼,由于改进了饲养技术,预计第一年的增长率为200%,以后每
年的增长率是前一年的一半 ,设原来的产量为a.写出改进饲养技术后的第一
年、第二年、第三年的产量，并写出第n年与第n－1 年(n≥2,n∈N)的产量
之间的关系式。
a
n
=a
n－1
) (n≥2, n∈N)
百一、

归纳小结，强化思想

百二、

作业布置
补充1
补充2
百三、

教学反馈

课题：
§3.6研究性课题：分期付款中的有关计算

（七）课题教材分析：
首先, 本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用. 此前学
生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中P124的阅读材
料: 有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有
了一定基础。
其 次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为
必修内容，是为迎接知识经济的 挑战而培养学生创新精神和创新能力的一项开创
性工作。研究性学习注重的是让学生学会学习和研究，关 注的是研究过程，其核
心是创新意识的培养。本研究性课题,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的
应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研
究性课题比较模 糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探
究为主体的特点突现出来，也影响着今后 研究性课题的教学效果.
如果先复习提问等比数列知识,是为之后的学习做了铺垫,降低了难度,但一
方面框住了学生的思维,另一方面容易使学生(尤其是数学不太好的学生)觉得本
节课不过是已 有知识的习题课而提不起兴致.另外,我们常说,问题是数学的心脏.
而爱因斯坦有句名言:提出问题比 解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就
很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以 我利用现代网络技术
等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突.
（八）素质教育目标：
4.

知识目标：使学生在理解的基础上掌握等比数列前n项和公式在购物付款方
式中的应用；
5.

能力目标：培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立 探究和解
决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力；
6.

德育目标：使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,
建立科学的世界观;
7.

情感目标：通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的 合作意识和
团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚
强意志, 也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信
心和对数学的情感.
（九）课型课时计划：
4.

课题类型：新授课；

5.

教具使用：常规教学；
6.

课时计划：本课题共安排1课时；
（十）教学三点解析：
（十一）


4.

教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究；
5.

教学难点：独立解决方案1
6.

教学疑点：独立解决方案1
（十二）

教学过程设计
六.

温故知新，引入课题
幽默故事：一 位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇。美国老太太
说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一 辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；
而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱 攒足；
指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们
已不再陌 生；贷款购物,分期付款已深入我们生活.但是面对商家和银行提供的各种
分期付款服务，究竟选择什么 样的方式好呢？
以一个幽默过度，引出课题；再用电脑展示从互联网上下载的有关分期付款
的 信息，阐述课题背景——使学生了解问题不是凭空编造出来的,而是社会现实
中客观存在的,突出了课题 的实践性.（引题后教师板书.）
如果先复习提问等比数列知识,是为之后的学习做了铺垫,降低了难 度,但一方
面框住了学生的思维,另一方面容易使学生(尤其是数学不太好的学生)觉得本节
课 不过是已有知识的习题课而提不起兴致.另外,我们常说,问题是数学的心脏.而
爱因斯坦有句名言:提 出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很
有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背 景.所以我利用现代网络技术等
多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和 生动活
泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突.
七.

新课教学
16.

例:一台电脑售价为1万元.如果采取分期付款 ,在1年内将款全部还清的前
提下,商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%)
购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款

购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款

购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购买后12个月第6次付款


付 款 方 法
3 次
12 次
6 次


付款次数
3
2
1













方案

17.

应用题篇幅 较长,且有列表,教师用电脑显示清晰快捷,提高课堂效率.假定
学生是当事人——“你的父母为给你创 建更好的学习条件,打算买台电脑，
除一次性付款外商家还提供三种分期付款方式。你能帮他们参谋选择 一下
吗？”
18.

培养学生创新精神的主要内涵就是要更加突出学 生在学习活动中的“自主
性”和思维的“开放性”.为此,我将教材中的例题稍做改动，使问题更日常< br>生活化，并假定学生是当事人，这样必然会引起学生认知期待，激活了学生
的思维,充分调动起学 生参与和探求的欲望,使学生由问题引出中的“兴”,
而产生探索新知识的“情”.
19.

[启迪思维，留有余地]
问题1：按各种方案付款每次需付款额分别是多少？
每次付款额是10000的平均数吗？（显然不是，而会偏高）
那么分期付款总额就高于电脑售价，什么引起的呢？（利息）
问题2：按各种方案付款最终付 款总额分别是多少？（事实上，它等于各次
付款额之和，于是可以归结为上一问题）。
于是，本课题的关键在于按各种方案付款每次需付款额分别是多少？——设
为x。
学 生肯定会有疑问:少条件——让我们选择,但按各种方案付款每次付款额
分别是多少没告诉啊.有的同学 受到启发还会提出:按各种方案付款,最后付
款总额分别是多少呢？
教师对学生提出的问题加以分析、肯定、引导,找出要探究问题的关键所在
波利亚:“对自己 提出问题是解决问题的开始.”学生提出问题也说明学生在
积极地思考,这给课题的探究开了个好头.而 对学生提出问题的肯定既是对
研究方向的明确,又让学生看到自己的力量,感受初获成功的喜悦,建立探 究
问题的自信心.这种身心满足又会让学生感觉自己是个发现者,研究者,探索
者,从而变“要 我学”为“我要学”,形成强烈的认知趋向.
[搜集、整理信息]
(1)分期付款中规定每期所付款额相同;
(2)每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.
例如,由于月利率为1%,款额a元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);
21.

再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=1.01
2
a(元).
各小组代表阐述调查结果.
教师要给出适当评价并配以电脑演示,指导学生科学地搜集和选择 信息的方
法.尤其要表扬调查全面、表述准确且精练的小组,增强学生的团队精神和合作
意识.
在这里为给研究课题做铺垫安排了一个练习，其中划横线部分要求学生填空.
在影响认知结构 的一切可能的学习条件中,没有比材料的组织更为重要的条
件了.且新教材中设立“研究性课题”的功能 之一就是培养学生对信息的搜
集、选择、判断、组合、加工的处理能力.所以,教师在课前布置学生分小 组

进行社会调查：“什么是分期付款？”并归纳出书面材料.
理解“复利计息 ”是解决本课题的前提条件,所以在这里检验学生对所收集
信息(复利计息)是否理解是十分必要的.这 里的练习可以锻炼学生将实际问
题语言转化为数学语言,是教师隐形的点拨,为突破难点进一步探究打下 了
基础.
22.

[学生独立探究方案1]
可将问题进一步分解为：
商品售价增值到多少？
各期所付款额的增值状况如何？
当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？
做完了以上铺垫学生应该能处理本课题了.于是以方案1为例，放手让学生独
立探究。
教师巡回辅导,根据学生的具体情况采取分层次教学。如对三四分钟后还理
不清思路的学生教师可将问 题进一步分解，点燃他思维的火花，并顺便给他
鼓励——使每一位学生都投入到问题的探究中来。
教师适当运用课堂空白艺术,留给学生充分的思考时间和空间,培养学生独
立解决问题的能力.
学生在认知水平和学习能力上存在差异，不同的学生对问题的接受速度和理解
程度也不同。而教 学应面向全体学生，使每一位学生在知识和能力方面都获得
提高。这样，就需要采取分层次教学。
23.

[集体讨论,交流心得]
讨论内容:解决问题的(包括不成 功的)思路方法;运用的知识;解决问题时遇
到的情况和心理体验等.
由本节课教学的开放性 必然会导致学生思维的多元化，于是当多数学生得出结
论后，进行集体讨论。教师也参与其中，一是在师 生之间建立平等共融的密切关
系，二是回收信息，使下一步教学更具有针对性，提高课堂效率。
在师生之间、学生之间都建立起真诚、平等、共融的密切关系,让学生开放
自己, 通过交流体会别人的经验或教训,从而重视并学会与人交流合作.
同时,学生交流后可以删去没必要讲 的错误解法；教师也可以看情况，使下
一步教学更具有针对性——提高了课堂效率；
24.

[提出解答,并给答辩]
做法一：
由商品价格=付款额，得
10000×(1+1%)
12
=x+(1+1% )
2
x+(1+1%)
4
x+(1+1%)
6
x+(1+1 %)
8
x+(1+1%)
10
x，解得

学生还可能有下列做法：
设第k次付款x元后的债务为a
k
元,则a
0
=10000, a
6
=0,a
k+1
=(1+1%)
2
a
k
-x
(0
≤k≤5)
由化递归数列为等比数列的方法（学生已掌握）可得结果(与上种方法同)。
根据回收的信息 ，找想法做法（包括错误的）有代表性的学生谈谈他探究方
案1的过程及体会，并就其解答给以答辩。
教师辅以电脑演示（既节省时间，又脉络清晰），并适时强调或纠正。

“研究 性课题”的教学具有开放性和多元性的特点，学生会产生各种各样的
想法和做法，由学生阐述既可以充分 发挥数学课堂多方位的教育功能, 培养
学生的表达能力；又可以充分调动学生参与的意识，使学生的个性得以发展。
25.

[学生完全独立探究方案2]
方案2中，


趁热打铁，由学生完全独立探究方案2，熟练探究方法。
26.

[创建数学模型]
比较方案1、2结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a元的商品,分n 次
经过m个月还清贷款,每月还款x元,月利率为p,则


教师引导学生对比两种方案的结论,抽象出数学模型. 这里，对此模型合理
性的证明比较浅显，故不多花时间。
华罗庚:“一个原则,无数内容;一 种方法,到处可用.”可以说,创建好的数学
模型正如证明深刻的定理一样有意义。所以,由学生归纳出 数学模型是对学
生抽象概括能力很好的训练,并使其学会通过自己的研究实践不断选择并构
建有 价值的知识结构.
27.

[验证并使用模型]
由所建模型，得方案3中


要求学生用数学模型解决方案3.
数学具有“从具体情景上升为一般的概念和结论,又从一般返回到具体情形来
加以印证和应用”的特性. 通过验证并使用模型使学生体会使用模型带来的方便,
领会建模的意义。
28.

[结论分析]
方案1中，x=1785.86元，付款总额6x=10721.16元；
方案2中，x=888.49元，付款总额12x=10661.85元；
方案3中，x=3607.62元，付款总额3x=10822.85元。
教师指出：结论具有不确定性——选择什么方案还要参照家庭的经济状况。
培养学生具体问题具体分析的辩证唯物主义思想。
八.

归纳小结，强化思想
1.

分期付款中的计算涉及的数学知识：等比数列前n项和公式；数学思想：列
方程解未知数。
2.

“方案2、3→模型→方案3”是由特殊到一般,再由一般到特殊 的研究方法;
也体现了实践上升到理论,再由理论指导实践，理论与实践相结合的辩证唯物
主义 思想.
3.

问题来源于现实,问题处处存在，要善于发现问题并抓住 问题本质;而探究问
题时往往不会一帆风顺,要勇于战胜困难,磨砺自己意志.；
4.

促进学生知识迁移——分期贷款及以复利增长型问题可类似解决先 请学生自我
回顾小结；之后教师边归纳,边板书,并深化主题.
5.

先由学生总结,一方面检验学生学习效果;另一方面调动学生思维,使探索过
程在其脑中重演, 起到潜移默化地巩固作用.此外,还培养学生归纳总结能力,

这也是锻炼学生将所学知识 建立合理体系的重要方法.再由教师画龙点睛,上
升到一定理论高度,促进知识迁移.
九.

作业布置
1.

你能将我们的研究结果，编出程序输入计算机吗？试一试。
2.

以小组为单位，通过集体调查，讨论提出一个日常生活中的分期付款型问
题，并共同完成；
说明：
（1）作业1可提高学生对现代科技手段的操作能力，以适应信息爆炸时代；
（2）作业2又一次体现研究性课题的实践性，并使研究性学习延伸到课外,，学生
形成研究性学习习 惯奠定了基础。
（3）对题目的改造是一项创造性劳动，改造的过程是知识升华的过程——既
可以消除学生对数学题目的神秘感，又培养了学生创造性思维能力。
十.

板书设计：
§3.6研究性课题：

分期付款中的有关计算

等比数列

前n项和

公式、方程




方案2






方案1






特殊

实践

↓

理论

↓

实践













↓

一般

↓

特殊






方案3


（十三）

教学反馈
结构清晰——既有序地呈现整个研究过程，又体现出涉及的知识，研究的思想和
方法。
背 景
提出课题
研究课题

课题小结
课题延伸
作 业

课后社会实践
对比
猜想
集体讨论
收集信息
个人钻研
代表分析答辩
验证使用模型
课前分组调查

教师分层教学
教学流程图：








课题：数列的求和问题

教材分析：
课 型：习作课
课时计划：本课题共安排1课时

教学目的：（1）复习等差数列和等比数列的前n 项和公式，并灵活掌握公式
的运用；
（2）分析问题和解决问题能力的培养
教学重点：公式的灵活运用
教学难点：能力的培养
教具使用：常规教学
教学过程：
百四、

温故知新，引入课题
1、

已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项的< br>和为170，求这个数列的公比及项数。q=2，n=8；
2、

有一个弹性 小球，从10米高处自由下落，着地后又弹到原高度的一半再自
由落下，如此继续下去，到第十次着地时 ，求小球共经过的路程（

米）
3、

有四个数，前三个成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为1
2，求此四个数；
4、

已知数列{a
n
}满足a
n＋1
=2a
n
＋3，
(1)求证：数列{a
n
＋3}成等比数列；(2)若a
1
=5，求 a
n
，S
n
；
解：(1)

；(2)

；
5、

求和：

…

.
解：

，


6、

求数列1，3＋

，3
2
＋

，……，3
n
＋

的各项的和。
解：其和为(1＋3＋……＋3
n
)＋(

＋……＋

)
=

=

(3
n＋1
-3
-n
)
7、

设a为常 数，求数列a，2a
2
，3a
3
，…，na
n
，…的前n项 和；
（1）a=0时，S
n
=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=


若a≠1， S
n
-aS
n
=a（1+a+…+a
n-1
-na
n
），Sn=
8、

食品罐头堆成六角垛：顶层是一个，以下各层都排成正 六角形，逐层每边增
一个，设底层外圈每边是n个，求底层罐头总数S’和罐头总数S；
底层除中心一个外，其余各圈均成公差为6的等差数列，

首项为6，末项为6（n-1），故

；

9、

设数列{a
n
}的通项公式是a
n
=

，求其前n项的和S
n
. S
n
=3-
10、

作业：
百五、

教学反馈

课题：§3.7数列章复习

（十四）

课题教材分析：

（十五）

素质教育目标：
8.

知识目标：
（1）数列的概念、等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；
（2）通项公式与前n项和公式的运用；
9.

能力目标：
（1）知三求二
（2）整体代换
10.

德育目标：
（十六）

课型课时计划：
7.

课题类型：复习课；
8.

教具使用：常规教学；
9.

课时计划：本课题共安排1课时；
（十七）

教学三点解析：
7.

教学重点：数列的概念，等差数列，等比数列的通项公式与前n项和公式；
8.

教学难点：公式的综合运用；
9.

教学疑点：公式的选择和正确运用；

（十八）

教学过程设计
十一.

温故知新，引入课题
6.

数列的基本概念，递推公式、由

求

；
7.

等差数列的定义，通项公式，性质，前n项和公式；
8.

等比数列的定义，通项公式，性质，前n项和公式；
十二.

新课教学
1.

如果一个等差数列的前12项和为354 ，前12项中偶数项的和与奇数项的和
之比为32：27，求公差；
分析：等差数列的奇数项 成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通
项公式和前n项和公式中五个量

，只要知道其中三个，就可以求其它两个，
而

是基本量；
解：设等差数列首项为

，公差为d，则

2.

（不讲）等比数列

中，各项均为正数，且

，求


解1：设等比数列首项为

，公比为q，则

3.

设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
.已知a
3
=12, S
12
＞0,S
13
＜0.
(Ⅰ)求公差d的取值范围；
(Ⅱ)指出S
1
,S
2
,…,S
12
,中哪一个值最大, 并说明理由.
解： (Ⅰ)依题意,有
，即


由a
3
=12,得 a
1
=12－2d
(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，∴

.
(Ⅱ)由d＜0可知 a
1
＞a
2
＞a
3
＞…＞a
12
＞a
13
.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得a
n
＞0,a
n+1
＜0,
则S
n
就是S
1
,S
2
,…,S
12
中的最大值.
由于 S
12
=6(a
6
+a
7
)＞0, S
13
=13a
7
＜0，即 a
6
+a
7
＞0, a
7
＜0.
由此得 a
6
＞－a
7
＞0.因为a
6
＞0, a
7
＜0,故在S
1
,S
2
,…,S
12
中S
6的值最大.
4.

在

和

之间插入n个正数，使这

个数依次成等比数列，求所插入的n个数
之积；
解1：设插入的n个数为

，且公比为q
则



解2：设插入的n个数为

，

说明：第一种解法利用等比数列的基本量

，先 求公比，后求其它量，这是
解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时< br>计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相
等，这在解题中常用到 ；
5.

求和：
（1）


讨论：a=0或b=0时，


当a=b时，

；
当a b时，


（2）


（3）


解：

，

.
（4）求数列1，3＋

，3
2
＋

，……，3
n
＋

的各项的和。
解：其和为(1＋3＋……＋3
n
)＋(

＋……＋

)
=

=

(3
n＋1
-3
-n
)
（5）设a为常数，求数列a，2 a
2
，3a
3
，…，na
n
，…的前n项和；
（1）a=0时，S
n
=0
（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=


若a≠1， S
n
-aS
n
=a（1+a+…+a
n-1
-na
n
），Sn=
6.

给出数表：

（1）前m行共有几个数？


（2）第m行的第一个数和最后一个数各是多少？


（3）求第m行的各数之和；


（4）数100是第几行的第几个数？第14行的第9个数
十三.

归纳小结，强化思想

十四.

作业布置：
期末复习练习四
十五.

板书设计：

§3.7数列章复习

等差数列

定义

性质

等比数列


例题1


例题2


例题3























（十九）

教学反馈

课题：§4.1角的概念的推广

教材分析：（一）知识教学点
1.推广角的概念，引入大于360度的角和负角；
2.正角、负角、零角的定义；
3.象限角的概念；
4.终边系统的角的表示法；
（二）能力训练点
1.了解并掌握正角、负角、零角定义；
2.重点掌握所有与

角终边系统的角（包括

角）的表示方法；
3.树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
课 型：新授课
课时计划：本课题共安排1课时
教学目的：角和大于360度角的推广，象限角的概念及终边相同角的集合表示。
教学重点：终边相同的角的表示；
教学难点：终边在y轴上的角的集合表示；
教具使用：常规教学
教学过程：
百六、

温故知新，引入课题
1.

0到360度角的概念：如何定义？角的始边、终边和角的顶点；
2.

背景：钟表的指针、螺丝扳手按不同方向旋转所成的角。

3.

经过1小时时针、分针转了多少度？
4.

正角和负角是 表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好
象正数和负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样。
百七、

新课教学
（板书课题：角的概念的推广）
5.

在日常生活中，在 生产和科学实验中，还要经常遇到大于360度的角，以
及按照不同方向旋转而成的角，你能否举实例说 明？
6.

按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋 转的角叫做负角，
当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成一个角，这个角叫做零
角 。
7.

象限角及终边相同的角：
所有与角

终边相同的角，连同角

在内，可构成一个集合

即任一与角

终边相同的角，都可以表示成角

与整数个周角的和；
8.

例题分析1：在0到360度范围内，找出与下列各角终边相 同的角，并判断
它是哪个象限的角

。
9.

写出终边在y轴上的角的集合（用0到360度的角表示）.
10.

写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在

间的角写出来：

。
11.

写出第一象限角的集合。
12.

已知方程

的两根都大于1，求m的取值范围。
13.

已知方程

的两根分别介于[-1，0]与[1，2]求m的取值范围。
百八、

归纳小结，强化思想
本节重点是学习终边相同的角的表示；
百九、

作业布置
55、

读书部分：
课本4.1
56、

课后思考：
（1）设

，集合

，试求集合

。

（2）已知集合：

57、

书面作业：
P7-习题4.1-1，2，3，4，5
百十、

教学反馈

课题：§4.2弧度制

（二十）

课题教材分析：

（二十一）

素质教育目标：
11.

知识目标：
（1）弧度制的定义；
（2）用弧度制表示的弧长公式、扇形面积；
（3）角度制和弧度制的换算；
（4）角的集合和实数集合R之间的一一对应关系；
12.

能力目标：
（1）理解并掌握弧度制定义，领会弧度制定义的合理性；
（2）熟练地进行角度制与弧度制的换算；
（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式解题；
13.
< br>德育目标：使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是
对角度量的方法，二者是 辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系；
（二十二）

课型课时计划：
10.

课题类型：新授课；
11.

教具使用：常规教学；
12.

课时计划：本课题共安排2课时；
（二十三）

教学三点解析：
10.

教学重点：熟练地进行角度制与弧度制的互化换算，弧度制的运用；

11.

教学难点：1弧度的角的含义、弧度与角度的换算；
12.

教学疑点：理解并掌握弧度制定义；
（二十四）

教学过程设计
十六.

温故知新，引入课题
1.

背景：半径r=45，圆心角α=45°，所对的弧长l=？
2.

弧长的计算公式是：
3.

n表示角度，1度的角是如何规定？
4.

用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
十七.

新课教学
（板书课题：4.2弧度制）
1.

1弧度的角：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
2.

为什么可以用等于半径的弧所对的圆心角来作为度量角的单位？
一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关；
3.

这个角是否与所取的圆的半径大小无关呢？
4.

弧长与半径的比值是否与圆的半径无关？
5.

半径、弧长、弧度的关系：
半径r 弧长l
r
r
r
r
2r
αr
弧度
1
2
α
6.

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，从
而

。
7.

弧长记扇形面积的计算公式：

。
8.

周角的弧度数是

，

。
9.

换算关系：

rad，1rad=

。

10.

例题1：把

化成弧度
例题2：把

化成度；
例题3：利用弧度制证明扇形面积公式为

，其中

是扇形的弧长，R是圆的
半径；补充：半径r=45，圆心角α=45°，所对的弧长l=？
例题4：计算（1）

（2）


例题5：将下列个角化成0到

的角加上

的形式
（1）

（2）


（1）


（2）

（第一象限角）
例题6：求图中公路弯道处弧AB的长

（精确到1米）
11.

一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
0°

30°

45°

60°

90°

120
°

0

135
°

150
°

180
°

270
°

360
°




12.

表示各象限角：





13.

集合

，则（ ）
A.

B.

C.


D.


解法1：

由于当

时，

是奇数集合，

是整数集合，显然

；
解法2：集合

表示终边在y轴上的角的集合，又由于

表示终边与x轴和y
轴重合的角，所以

表示终边落在x轴和y轴上的角；
14.

如图，扇形OAB的面积是4cm
2
，它的周长是1 0cm，求扇形的中心角及弦AB
的长；

十八.

归纳小结，强化思想

十九.

作业布置
3.

读书部分：

4.

课后思考：

5.

书面作业：P12-13习题4.2-1，2，3，4，5，6，78，9，10，11，12，13，14；

6.

提高内容：
二十.

板书设计：

文档1




































（二十五）

教学反馈

课题：§4.3任意角的三角函数

（二十六）

课题教材分析：
任意角的三角函数定义是本章教材中的基本概念，如果掌握不好，就会给后< br>续学习带来困难，因此务必处理好这节教材；

首先必须在复习的基础上将三角函 数的定义改为用坐标方法，在角的概念推
广到任意角的情况下，引入任意角的三角函数值，教学时明确以 下几点：
（1）比值与取点无关；
（2）sin

不是sin与

的乘积，它是固定表达式，是一个比值；
（3）函数的定义域是函数的三要素之一，教学要重视；
（4）新教材在本节引入了三角函数线来表示三角函数值；
（5）三角函数的符号；
（6）诱导公式及作用；
（二十七）

素质教育目标：
14.

知识目标：
（1）任意角三角函数的定义；
（2）三角函数的定义域；
（2）三角函数值的符号，诱导公式一（终边相同的角的同一三角函数值相
等）；
15.

能力目标：
（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（3）通过对定义域，三 角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分
析、探究、解决问题的能力。
16.

德育目标：
（1）使学生认识到事物之间是有联系的，三 角函数就是角度（自变量）与
比值（函数值）的一种联系方式；
（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
（二十八）

课型课时计划：
13.

课题类型：新授课；
14.

教具使用：常规教学；
15.

课时计划：本课题共安排2课时；
（二十九）

教学三点解析：
13.

教学重点：任意角三角函数的定义、定义域，三角函数值的符号，诱导公
式一；
14.

教学难点：任意角三角函数的定义、三角函数值的符号，诱导公式一；
15.

教学疑点：正确理解三角函数可以看作以实数为自变量的函数、任意角三
角函数的定义的合理性 ；

（三十）

教学过程设计
二十一.

温故知新，引入课题
1.
< br>复习弧度制：1弧度的角——把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度
的角；以弧度作为单位 来度量角的单位制，叫做弧度制；
2.

，这里

是用弧度作单位的角；
3.

复习弧度与角度的换算：
4.

集合

，则（ ）
A.

B.

C.


D.


解法1：

由于当

时，

是奇数集合，

是整数集合，显然

；
解法2：集合

表示终边在y轴上的角的集合，又由于

表示终边与x轴和y
轴重合的角，所以

表示终边落在x轴和y轴上的角；
5.

如图，扇形OAB的面积是4cm
2
，它的周 长是10cm，求扇形的中心角及弦AB
的长；
解：设弧AB的长为l，扇形半径为r，则


6.

我们已经学习了 0°~360°间角的 三角函数，其定义是什么？自变量是什
么？为什么？（强调：⑴三角函数的值是角α终边上任意一点p的 坐标x、
y及点p与原点o的距离r这三者中某两个的比值；⑵这个比值与p点在α
终边上的位 置无关，而是与角α的大小有关。）
7.

由于角的概念的推广，角α可以是任意角，因此三角函数的概念也可以推
广到任意角的情形。
二十二.

新课教学
（一）定义；
29.

设α是任意角，p（x，y）是角α终边上任意一点，PO=

=r（r＞0），则角
α的六个三角函数是：
正弦：sinα=yr
余弦：cosα=xr
正切：tanα=yx
余切：cotα=xy

正割：secα=rx
余割：cscα=ry
30.

同样，三角函数的值是角α终边上任意一点p的坐标x、y及点P与原点O
的距离r这三者中某 两个的比值；这个比值与P点在α终边上的位置无关，
而是与角α的大小有关。因此，它们都是以角为自 变量，以比值为函数值的
函数，故称上述函数为任意角α的三角函数。
31.

由于引进了弧度制，则在实数（角α）与实数（比值- 三角函数值）之间建
立了一一对应关系，因此三角函数也可以看作是“实数”的函数。
32.

三角函数的定义域
通过对三角函数定义的讨论，推导出任意角三角函数的定义域。
三角函数
sinα
cosα
tanα
cotα

（二）任意角三角函数值的符号特征：
33.

例题1：已知角α的终边经过点p（2，-3），求α的六个三角函数值；
34.

例题2：求下列各角的六个三角函数值：
（1）0 （2）


（3）

（4）
35.

练习P19-1、2
36.

例题3：已知角α的终边经过点p（2t，-3t）（t＜0），求α的六个三角函
数值； < br>问题：例题3中的角α是第几象限的角？若α是第三、四象限的角，则sin
α，cosα，tg α，ctgα，secα，cscα的符号是怎样的？如何判别？有何
规律？
37.


引导学生从定义出发进行思考，总结出以下图表。
38.

练习P19-3
（三）诱导公式：


定义域
R
R

39.

由于角α与角 2kπ+α（k∈Z）的 终边相同，而三角函数值仅与终边位置
有关，即只要终边相同，其同名三角函数值就相等。由此得到诱导 公式（一）：
sin（ 2kπ+α）=sinα， tg（ 2kπ+α）=tgα， sec（ 2kπ+
α）=secα，
cos （2kπ+α）=cosα，ctg（ 2kπ+α）=ctgα，csc（ 2kπ+α）=csc
α；
（k∈Z，α∈定义域）
这组公式可以把任意角的三角函数转化为 0~2π之间角的三角函数。
（四）应用举例：
40.

例题4：求 210°的六个三角函数值。
41.

例题5：求下列各三角函数值：
（1）

（2）


（3）

（4）
42.

例题6：确定下列各三角函数值的符号：
⑴ cos250°，⑵ sin（-5π4），⑶ tg（-672°10`），⑷ ctg（11π
3）。
43.

例题7：已知sinθ＜0，tgθ＞0，确定θ是第几象限的角？
问题：已知θ是第三象限的角，确定sinθ，tgθ的符号？
求证：角θ为第三象限角的充要条件为：sinθ＜0，tgθ＞0
44.

练习P19-4、5、6
45.

提高练习：
（1）若角α的终边经过点p（a，0）（a＜0），求角α的六个三角函数的值。
（答案： sinα=0，tgα=0，cosα=—1，secα—1，ctgα、cscα都不存在。）
（2 ）若sinα=13，且α的终边经过点p（—1，y），则α是第几象限的角？
并求secα，tgα 的值。
（答案：α为第二象限的角，

）
（3）已知p是以原点为圆心，2为半径的圆周上的点，

，试用三角函数表
示点p的坐标。（2sinα，2cosα）
（4）求值：

（=0）
（五）三角函数线
46.

单位圆：圆心在原点O，半径等于单位长度的圆；
47.

有向线段的定义：带有方向的线段；
48.

从代数角度看：三角函数是以角为自变量以比值为函数值的函数；

49.

从几何角度看：三角函数值可以用单位圆上的有向线段表示：
（1）正弦线：
（2）余弦线：
（3）正切线：
（4）余切线：
50.

练习：P15-1、2
二十三.

归纳小结，强化思想
本节课我们学习了任意角三角函数定义，三角函数的定义域，以及三角函数
值的符号，其中正确理解三角 函数定义是前提；
此外还学习了终边相同的角的三角函数值相同，它的作用是将任意角的三角
函数化为0到2

间角的三角函数；
二十四.

作业布置
7.

习题4.3-1、3、4、5、6；
8.

习题4.3-2、7、8、9、10；
9.

提高内容：
二十五.

板书设计：

§4.3任意角的三角函数

1.三角函数的定义

正弦：sinα=yr余弦：cosα=xr
正切：tanα=yx余切：cotα=xy
正割：secα=rx余割：cscα=ry

例题1

例题2

例题3

例题4









2. 三角函数的定义域

3. 诱导公式（一）

4. 三角函数线














（三十一）

教学反馈