外校四年级创新思维训练电子版
新西兰购物攻略-公务员考试模拟题
数学创新思维训练
(四年级分册)
主 编:
副主编:
编 委:
黄 敏
吴昌全
邝淑艺
朱凤利李 虹
目 录
上 学 期
第一讲：加减法中的巧算
第二讲：乘除法中的巧算
第三讲：较复杂的和、差、倍问题
第四讲：较复杂的还原问题
第五讲：用消去法解题
第六讲：趣味算式谜
第七讲：巧求周长与面积
第八讲：简单的等差数列
下
学 期
第九讲：统筹优化与获胜对策
第十讲：定义新运算
第十一讲：归一问题
第十二讲：盈亏问题
第十三讲：简单的鸡兔同笼问题
第十四讲：逻辑推理
第十五讲：植树问题
第十六讲：简单的方阵问题
第一讲
加、减法中的巧算
〈知识广角〉
1、加法的运算定律。
加法交换律：交换两个加数的位置和不变。即：a＋b=b＋a。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。
即：a＋b＋c=
a＋(b＋c)。
2、减法的运算性质。
连续减去两个数等于减去这两个数的和。即：a－b－c=a－(b＋c)
加法的运算定律和减法的运算性质适合多个加数或减数的计算。
3、加减混合运算性质。
（1）“带着符号走”的交换性质：a－b－c= a－c－b或a－b＋c=a＋c－b
（2）去括号和添括号的性质。
去括号
a＋(b－c) a＋b－c （括号前面是“＋”，括号内的符号不变）
添括号
去括号
a－(b－c) a－b＋c（括号前面是“－”，括号内的符号要变）
添括号
〈方法探究〉
例1：.计算：（1）298＋76
(2) 835－497
（3）9＋99＋999＋9999＋3
【思路导航】
这三道题都有一个共同的特征：在参与运算的数中都有一个或多个数
接近
于整十、整百、整千，在计算时就可以利用这一特征。例如（1）298接近于300，
原
式就变成300＋76－2（因为298看成300，多加了2）；（2）497接近于500，
原式就
变成835－500＋3（因为本来只去掉497，此时去掉了500，多去掉了3，
所以将多去的3补
回来）；（3）9接近于10，99接近于100，999接近于1000，
9999接近于10000
。所以原式就变成10＋100＋1000＋10000＋3－4。
解：（1）298＋76 （2）835－497
=300＋76－2
=835－500＋3
=376－2
=335＋3
=374
=338
（3）9＋99＋999＋9999＋3
=10＋100＋1000＋10000＋3－4
=11109
【思维链接】
计算中，我们首先要观察算式的特点，如果遇到参与运算的数接近于整十、整百、整千，就将接近于整十、整百、整千的数看成整十、整百、整千，多加了
就减，多减了就加，
少加了再加，少减了再减。
【举一反三】
1． 433＋501
2． 843－206
3.
8＋98＋998＋9998＋6
例2：
（1）236＋97＋764＋803
（2）746－67－33
【思路导航】
观察以上两个算式发现（1）中236与764相加能凑成1000，97与8
03相加
能凑成900，所以本题可以交换加数的位置进行凑整；（2）中发现67与33相加
能凑成100，本题是一道连减的算式，可以利用减法的性质，减去67与33的和，
能使计算简便。
解：（1）236＋97＋764＋803 （2）746－67－33
=（236＋764）＋（97＋803）
=764－（67＋33）
=1000＋900
=764－100
=1900
=664
【思维链接】
在连加、连减甚至加减混合的运算中，将算式进行分组凑整是经常用
到的计
算方法，甚至有时还需要先去括号后再分组进行简便计算。例如：454＋（546
－9
8），去括号变成454＋546－98，重新将454与546先加凑成1000，再减去
98得到9
02。
【举一反三】
4． 73＋126＋27
5． 3000－36－864
6．
954－（154－128）
例3：计算
102＋99＋103＋96＋105＋103＋98
【思路导航】
观察算式发
现，算式中的所有加数都接近同一个数：100，可以先将加数都
看做是１００，再将多加的部分去掉，
少加的部分补上，所以可以将原算式变成：
100×7＋（2－1＋3－4＋5＋3－2），这样计算起
来就比较简单。
解： 102＋99＋103＋96＋105＋103＋98
=100×7＋（2－1＋3－4＋5＋3－2）
=700＋6
=706
【思维链接】
当许多大小不同而又比较接近的数相加时，可选择其中一个数或所有数
都很
接近的一个整十、整百、整千„的数作为计数的基础（叫做基准数），再找出每
个加数与基
准数的差，大于基准数的部分再加，小于基准数的部分再减，最后算
出结果。
【举一反三】
7． 199＋202＋196＋201＋203
8．
56＋51＋49＋48＋53＋47
例4：
计算：100＋99－98＋97－96＋„„＋3－2＋1
【思路导航】
观察算式，这道题有加有减，如果不看首尾两个加数，发现中间都是先加再
减并且加数和减数都相差1，
所以这道题可以先将中间部分凑成若干个1，再算
其余部分。
解：100＋99－98＋97－96＋„„＋3－2＋1
=100＋（99－98）＋（97－96）＋„„（3－2）＋1
=100＋49＋1
=150
【思维链接】
在加减混合的算式中，往往是先观察数据特征之后，再重新将数进行组合，
达到凑整的目的，这样计算能
简便。。2
【举一反三】
9．
203－202＋201－200＋199－198＋„„＋3－2＋1
10．
96－95＋94－93＋92－91＋„„＋4－3＋2－1
〈指点迷津〉
加减法中的简便计算，同学们需要首先观察算式中数据的特征，尽量以
凑整
为目的进行简便。其中可能会用到加法的交换律、结合律，减法的性质，加减混
合运算中的
添括号、去括号的方法进行凑成整十、整百、整千的数使计算简便。
数学冲浪
扬帆起航：
11． 985－496
12．
487－187－139－61
13． 67＋74＋71＋70＋68
14． 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16+18
乘风破浪：
15． 6998＋4995＋997＋107＋91
16．
3687－222－363－478－687－1637
17. 843－33－75＋25
18． 7＋9＋99＋999＋9999
激流勇进：
19．
1－2＋3－4＋5－6＋7－„„＋99－100＋101
20．
1＋3＋5＋7„„＋27＋29＋31
21．
801＋802＋803＋798＋808－795
22．
（2＋4＋6＋8＋„„＋200）－（1＋3＋5＋7＋„„＋199）
第二讲 乘除法算式谜
〈知识广角〉：
1、
算式谜一般是给出某个算式的横式或竖式，但式子中有某些特定的数字或待定的运算
符号，要求我们根据运算法则、特征进行合适的推理判断，把不完整的算式补充完整。
2、解题时通常需要经过审题、选择突破口和试验求解三个步骤。
〈方法探究〉：
例1：（1） 3 □ 7 （2） 1 4 □
×
□ × □ 6
2 □ 9 □
8 □ □
2
□ □
3 6
9 2
【思路导航】
(1)这一题的突破口在积的千位，积的千位是2，那么第二个因数
约在5至9之间。我们
可以从最大的9开始试起，个位7乘9得63，要向十位进6；积的十位是9，9
减去进的6
还剩3，第一个因数的十位只有填7，但是第一个因数的百位3乘9再加上进位的数得三十<
br>几，与积的前两位是二十几矛盾，显然这个假设不成立。我们再尝试第二个因数是8。个位
7乘8
得56，向十位进5，积的十位是9，减去进的5还剩4，所以可以在第一个因数的十
位填3，百位与8
相乘再加上进位的数得26，正合适。
解答： 3 3 7
×
8
2 6 9 6
这一题还有别的填法吗？
(2)这一题的突破口在积的个位，积的个位是2，第二个因数的个位是6，那么第一个因<
br>数的个位有两种可能，就是2或7。我们可以将之代入尝试，检验。还有一个突破口就是第
一个因
数与第二个因数的十位相乘后，积的最高位是2，所以第二个因数的十位应该是2。
解答： 1 4
2
× 2 6
8 5 2
2
8 4
3 6 9 2
【思维链接】：
找准突破口是解
决问题的关键。当某个数位上的数有几种不同的可能时，我们可以将
之逐一代入进行尝试，试验求解。
【举一反三】：
1、 3 1 7 □ 2、 2 8
5
× □ × □ □
□ □ □ 0 0 1 □ 2 □
□ □ □
□ 9 □ □
例2：
算式中的不同的汉字各代表哪个数字？
读 好
书
× 读 好 书
□ □ □ □
□ □ 书
□ □ □
书 书 □ □ 书
【思路导航】：
由读好书×书=□□□
书，可知书不等于1或0，因此书只等于5或6。假设书=5，由
于读好书×读的乘积是三位数，所以“
读”不大于3，且读好书×读的乘积的百位上的数字
大于等于3小于等于5，所以读=2。由于读好书×
好=□□5，可知好是奇数，且小于5。我
们可以得出答案。
解答：
2 3
5
× 2 3 5
1
1 7 5
7 0 5
4
7 0
5 5 2 2 5
【思维链接】：
有时我们可以根据积的位数来圈定未知数的取值范围。
【举一反三】：
3 A B C D
× 4
D C B A
4、 新 年 好
× 年
好
□ □ 4 9
□ □ □ □
□ □ 9 □
□
例3： 3 □
□ 4
□ □ 8
4 □
□ □
□ □
0
【思路导航：】
因为除数 □4乘商的十位3得4□，所以除数的十位应该是1
。因为被除数的个位是8，
且没有余数，所以□4×□=□8，那么商的个数是2或7。将之代入尝试求
解。
解答： 3 2
1 4 4 4 8
4 2
2 8
2 8
0
【思维链接】：
也可以将之转化为一道乘法算式3□×□4＝□□8来求解。
【举一反三】：
5、 □ □
1
□ 4 6 8
3 6
1 □ □
1 □ □
0
6、 □ □
□ 9 1 5 □ □
□ □ 5
□ 8
□ 8
0
〈指点迷津〉：
同学们，我们在破解有趣的算式谜时，一定先要认真审题，看题目里有哪些已
知数，
且将能确定的数先填出来，再来选择突破口，进一步求解。有时这个未知数可能有几种不同
的填法，我们再将之代入进行试验求解。
数学冲浪
扬帆起航：
1、
7 □ □
× □
4 4 □
□
2、 □ □
□ □ □ 6
5 □
3 □
□ □
4
3、 6 □
× □ □
□ □
□ □
□
□ 8
4、 6 □
× 3 □
□ □
1 □ 8
□ □ □ □
5、
6、
7、 □ □
□
3 1 4 □ □
□ □ 8
□ 9
□ 9
0
乘风破浪：
8、 A 2
× 7 A
□ □ □
□ □ □
6 3 9 6
9、下面字母分别代表什么数字？
B
D
B D A C D
9 B
B D
B 1
0
激流勇进：
１0 A B C D E
× 4
E D C B A
下面各种图形分别代表什么数字？
△ ☆
△ 6 △ □ ☆
△ 6
〇 ☆
〇 ☆
0
第三讲 较复杂的和、差、倍问题
〈知识广角〉：
1、和差问题：已知两数之和与两数之差求两数的应用题称之为和差问题。
数量关系：（和－差）÷2=较小数
（和+差）÷2=较大数 或者：和
－较小数=较大数
2、和倍问题：已知两数之和与两个量的倍数关系求两数的应用题称之为和倍问题。
数量关系：两数和÷（倍数+1）= 1倍数
1倍数×倍数= 几倍数
或者：两数和－1倍数=几倍数
3、差倍问题：已知两数之差与两个量的倍数关系求两数的应用题称之为差倍问题。
数量关系：两数差÷（倍数－1）=1倍数
1倍数×倍数=几倍数
4、在涉及和、差、倍问题时，应善于将已知条件进行变形，找到相关的量。另外，选取
合适的
量作为1倍数也很重要。
〈方法探究〉：
例1：兄妹两人共有18块糖，妹妹给哥哥3块后就和哥哥一样多。两人原来各有多少块糖？
【思路导航】
此题是基本的和差问题，难点就在于哥哥和妹妹的相差量未知，所以找到哥哥和
妹妹
糖的数量相差多少，此题就容易解决了。“妹妹给哥哥３块后就和哥哥一样多”说明妹妹应
该比哥哥多（3×2）块。
可见，妹妹比哥哥多6块，又知兄妹两人的和为18块，这样我们
就可以求出两人各有多少块糖了。
妹妹： ？块
|
| | |
3块
3块（给哥哥）
哥哥：
|
|———|
？块
3块
解： 妹妹比哥哥多：3×2=6（块）
哥哥有：（18－6）÷2=6（块）
妹妹有：18－6=12（块）
答：哥哥有6块糖，妹妹有12块糖。
想一想，你还有其他解法吗？
【思维链接】：
在和差问题中，经常会遇到像例1一样两个量的和或者差
未知的情况，这时可以通过线
段图找到两个量的和或者两个量的差，再利用数量关系来解决问题。
【举一反三】：
1、上下两层书架中共70本书，若下层给上层4本，则两层书架中的书同样
多。这个书架上
下两层原来各有书多少本？
2、小明喜欢数学，在一次考试中数学分数比语文
高8分，已知语文、数学两科的平均分是
95分。小明的数学考了多少分？
例2：甲、乙两筐梨，共重362千克，甲筐比乙筐的3倍少38千克，求两筐各重多少千克？
【思路导航】：
甲筐虽然不恰好是乙筐的倍数，我们可以假设甲筐正好是乙筐的3倍
，即甲筐增加38
千克，甲乙两筐梨之和362千克也随着增加38千克，即（362+38）千克正好
是乙筐的3倍，
即可求出乙筐里的重量。
？千克
乙：|—————|
3倍
甲：|—————|—————|———|——|
少38千克
解：乙筐有： （362+38）÷（3+1）
=400÷4
=100（千克）
甲筐有：362－100=262（千克）
答：甲筐有262千克，乙筐有100千克。
【思维链接】：
在解决和倍问题时，
经常会遇到题中两个量之间不是整倍数的情况，这就需要我们通过
假设两个量之间是整倍数关系，或者利
用线段图，找到新的和与倍数和，再应用数量关系解
决。甚至遇到三个量的和倍问题时也可以用同样的思
路去解决。
【举一反三】：
３、养鸡场有公鸡和母鸡共350只，其中公鸡比母鸡的3倍少
10只。求公鸡和母鸡各多少
只？
４、师傅和徒弟共生产零件410个，师傅生产的个数比徒
弟的3倍多10个。师、徒各生产
多少个？
例3：
今年小胖8岁，妈妈的年龄是36岁，几年前妈妈的年龄是小胖的8倍？
【思路导航：】
妈妈、小胖的年龄每年都会增长一岁，所以两人的年龄差是保
持不变的，那么几年前的
年龄差也会是一样，这时一道差、倍问题。几年前的年龄数量关系线段图如下：
小胖：|----| 36-8 解：
差： 36 - 8= 28（岁）
差对应的倍数： 8 – 1 = 7
妈妈：|----|----|----|----|----|----|----|----|
几年前小胖的年龄： 28÷7 = 4（岁）
8 – 4 = 4（年）
答：4年前妈妈的年龄是小胖
年龄的8倍。
【思维链接】：
年龄问题有一个无形的
桥粱，两人的年龄差保持不变，但是年龄的倍数差是会变的，所
以我们可以通过差及对应的倍数，先推导
出一倍数，再推导多倍数。
【举一反三】：
５、今年小胖的年龄是8岁，妈妈的年龄是36岁。妈妈的年龄是胖胖的3倍时，妈妈几
岁？
６、晓晓和奶奶的年龄差是60岁，当奶奶的年龄是晓晓的5倍时，晓晓和奶奶的年龄和
是多少
岁？
例4：甲、乙、丙的和是56，甲数是乙数的4倍，丙数比乙
数多14，甲、乙、丙三个数各
是多少？
【思路导航】：
甲、乙、丙三个数和知道
，但是三个数没有已知量，根据线段图，我们可以先求出丙数
是多少，再推道其它两个数。
？
甲：|-----|-----|-----|-----|
解：先求出乙数的6倍再求乙数； （56-14）÷（4+1+1）
？
=42÷6
乙：|-----| 14
=7
甲数：7×4 =
28
丙：|-----|-----------|
丙数：7＋14 = 21
答；甲数是28，乙数是7，丙数是21。
？
【思维链接】：当三
个数都是未知数时，最好的分析帮手就是线段图，通过线段图找出一份
数，再求多份数或较大的数。
【举一反三】：
７、甲、乙、丙三数之和是420，甲是乙的3倍，丙为乙的2倍，求甲、乙、丙各是多少？
８、甲
、乙、丙三数之和是183。乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三
数各是多少？
〈指点迷津〉：
同学们，我们在解决和、差、倍问题时，往往会遇到“数
量差”与“倍数差”或者“总
数量”与“总倍数”没有直接给出的情况，这时我们就需要对数量进行调整
，找出新的对应
关系。在解题过程中，根据已知条件和问题画出线段图，可以使数量关系一目了然，解题
方
便。
数学冲浪
扬帆起航：
1、甲和乙两个桶共装水3
0千克，如果从甲桶倒入乙桶6千克，则甲、乙两桶水就同样重。
原来甲桶和乙桶各装水多少千克？ <
br>2、小明和小红共有20块巧克力，如果小明吃掉8块后比小红少2块。两人原来各有多少块
巧克
力？
3、一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是42厘米。这个长方形木板的面积是多少平方厘米？
4、甲乙冷库原来共存牛肉92吨，乙库存肉比甲库的4倍少3吨。原来甲库存牛肉多少吨？
5、今年比小亮大33岁，妈妈的年龄是小亮的4倍，小亮今年多少岁？
6、今年爸爸45岁，儿子今年15岁，十年前，爸爸的年龄是儿子的几倍？
7、工厂将875元奖金分别给创造发明的三名优秀工人。第一名比第二名多得250元，第二
名比第
三名多得125元，三名优秀工人各得多少元？
8、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中
筐比大筐少装16千克，大筐装的是小筐的
4倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克？
乘风破浪：
９、小刚和小志共有48本连环画，小刚给小志5本后，小志还比小刚少4本。他
们俩人各
几本？
１０、甲、乙两个粮仓共存粮350吨，后来从甲仓运出40吨，给乙仓运进
20吨，这时甲仓
的存粮是乙仓的2倍。两个粮仓原来各存粮多少吨？
１１、今年小刚6岁，爸爸今年30岁，几年后，爸爸的年龄是小刚的3倍？
１２
、甲、乙、丙三袋化肥。甲、乙两袋共重32千克，乙、丙两袋共重30千克，甲、丙两
袋共重22千克
。甲重几千克？乙重几千克？丙重几千克？
激流勇进：
1３、李刚用270元买了一件
外衣、一顶帽子和一双鞋子。外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋
共比帽子多花210元。李刚买鞋花了多
少钱？
１４、十元一张与五元一张的钱共1
75元，十元的张数是五元的张数的2倍。十元和五元各
有几张？
１５、今年张华10岁，奶奶的年龄是张华的7倍，几年后两人年龄和是90岁？
１６、有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔是彩色粉笔的7倍。如果彩色粉笔和白粉笔各买
12盒，则白粉笔的盒数是彩色粉笔的3倍，两种粉笔原来各有多少盒？
第四讲 较复杂的还原问题
〈知识广角〉：
1、逆推法：就是用还原思想解题的方法，也就
是从题目的问题或者结果出发，根据已知条
件一步一步进行逆推，逐步靠进原始条件。
2、解答关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是同原来相反的运算。原题加的，逆推
时减
;原题减的，逆推时加;原题乘的，逆推时除;原题除的，逆推时乘。
〈方法探究〉： <
br>例1：小虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的1写成了7，十位上的8看成了3，千
位上的
6看成了0，结果是3320，正确的结果是多少？
【思路导航】：
分析数位上
每个错误数字对正确结果的影响，个位上的1看成了7多加了6个，要减
6；十位上的8看成了3少加了
5个10，要加50；千位上的6看成了0，结果会小6个千，
要加6000。
列表
千位 十位 个位
＋6000
＋50 -6
解： 3320+6000+50-6
=9320+50-6
=9370-6
=9364
答正确的结果是9364.
【思维链接】
在解决这类逆推问题时，我们要根据错误数字对结
果的影响，用逆推的思想校正错误，
因为数据较多，而且每个数位的意义不一样，所以我们最好列表整理
，这样准确率就比较高。
【举一反三】：
1、 小丽在计算两个数相加时，把一个加数个位
上的1看着7，把另一个加数十位上的8
看着当作3，所得的和是946。原来两数相加的正确答案是多
少？
例2：工贸商店四月份卖出一些电视机，上旬卖出了总数的三分之一，中旬卖出
了余下的一
半多8台，下旬卖出了余下的15台，四月份共卖出了多少台电视机？
【思路导航】
要找知道四月份共卖出多少电视机，我们从下旬卖出的台数入手，15台不是中
旬余下
数的一半，它比一半少8台，所以中、下旬卖出了（8+15）×2=46台。因为上旬卖出了总
数的三分之一，所以46台是总数的三分之二，46÷2×3=69台，就是总数。用线段图分析，就更清楚了
上旬卖出台数 中旬卖出台数 多8
下旬卖出15台
| |
| |
解：（8+15）×2=46（台） 46÷2×3=69（台）
答：四月份共卖出了69台
【思维链接】
这类逆推问题，思考三个关键问题，（1）原
数变化了几次？就要还原几次。（2）逆推
从最后一步开始，找到最后一次取之前的总数（3）依次找到
类推每次取之前的总数，就可
以找到原数了。
【举一反三】：
2、 冰柜里的鸡蛋
,第一天拿走了一半多两个,第二天拿走了余下的一半多4个,这时刚好
拿完,求原来有多少个？.
例3：甲、乙、丙三人准备为图书室搬120本书，乙看甲搬得很多，就从甲
那里拿走了5本，
丙看乙搬得很多，就从乙那里拿走了7本，这时三人搬的本数一样多，甲、乙、丙三人
原来
各搬多少本书？
【思路导航】
本题不论谁给谁几本，我们可以看作120本总
数不变，首先思考三人一样多时，每人
的本书，120÷3=40本，再分析丙的本书，还给乙7本，4
0-7=33本，乙的本书是得到丙
还的7本，还给甲5本，40+7-5=42本，最后分析甲的本书
，收回乙还给的5本是40＋5=45
本。
解：
120÷3=40（本）
答：甲、乙、丙原来各有45本、42本、33本课外书。
【思维链接】
这类问题，一般从最后的结果入手，找到问题的突破口，对每一个数的变化，要
明确增、
减两个方面的变化数量，找回原数。
【举一反三】
3、 姐姐、弟弟、
妹妹都爱集邮，姐姐对弟弟说：我很喜欢你的7张邮票，弟弟慷慨的
给了姐姐，妹妹也很想要姐姐的5张
邮票，姐姐也给妹妹，这时三人的张数都是85
张，原来各有多少张邮票？
例4
书架分为上、中、下三层，共放144本书。现在上层取出中层同样多的书放到中层，再
从中层取出下层
同样多的书放到下层，最后，从下层取出上层剩下的同样多的书放到上层，
这时三层书架所放的书的本数
相等。这个书架三层原来各放书多少本？
【思路导航】
本题，上、中、下之间数据是循环在变化，我们先找到最后相等时的数据，再列表推算
结果。
解： 144 ÷ 3 = 48（本）
上
中
下
原来
66
42
36
第一次
24
84
36
第二次
24
48
72
第三次
48
48
48
丙：40-7=33（本）乙：40+7-5=42(本) 甲：40+5=45(本)
答：这个书架原来上、中、下层分别有书66本、42本和36本。
【思维链接】
当一组数据之间循环有规律的变化时，列算式计算比较麻烦，通过列表观察，就能清楚
的反应数据之间的
变化，这种方法叫做列表法。
【举一反三】
两只猴子拿30个桃子，甲猴子眼疾手快抢先得
到，乙猴看甲猴拿得太多，就去抢了一
半，甲猴不服气，又从乙猴那里抢走了一半，乙猴又不肯，甲猴又
给乙猴4个，这时，甲猴
比乙猴还多4个，甲猴最初拿了几个桃子？
〈指点迷津〉：
小精灵们：通过上面的例题，我们看到了，逆推问题的各种类型的解题方法，
当数量
关系不是很复杂时，我们可以用还原的思路，列算式逆推解答。当数量关系较复杂时，我们
可以用画图或列表的方法解答。两种方法要根据实际情况，灵活应用。
数
学 冲 浪
【扬帆起航】
1、小马虎在做一道加法题时,把个位上的5看作3,把十位
上的6看成了9,得出结果是210,
正确的结果是 多少？
2、 小强在做一道减法计算
时，把被减数十位上的7看成了1，把被减数百位上的5写成了
8，结果是462，正确的结果是多少？
3、小马虎做一道减法题，把被减数十位的6当作9，把减数个位的3当成5，结果是217，
正确的答案是多少？
4、 吴勇在计算1234加一个多位数时，把加数个位的零看掉了，结果少了2
250，正确的和
应该是多少？
5、王叔叔在银行取款，第一次取了总数的一半
还多6元，第二次取了余下的一半还多8元，
这时还剩100元，王叔叔原有存款多少元？
6
、某班做大扫除，把总数的一半少5人擦窗子，把余下的一半人扫地，再把余下的一半多
2人擦桌椅，最
后余下2人对齐桌椅。做清洁的共有多少人？
7、红红和聪聪共买了50张邮票。如果红红给聪聪6枚
，聪聪比红红多6枚，聪聪买了多少
枚？
8、上层和小层共有26
2本书，如果上层给下层40本，上层比下层还多20本，上下层原来
各多少本？
9、方
方、小红和小勇三个人去参观科技馆，共带160元。如果方方给小红20元，小红给小
勇5元，小勇给
方方15元，结果三个人带的钱就一样多。这三个人原来各有多少元？
10、甲、乙、丙、丁四个小朋
友有彩色玻璃球100颗，甲给乙18，乙给丙18颗，丙给丁16
颗，丁给甲7颗后四人的个数相等。
他们原来各有玻璃球多少颗？
11、A和B两个杯子装有若干千克牛奶，如果从A杯中倒出与B杯同样
多给B杯，再从B
杯中倒出与A同样多到A杯，这时恰好两杯中都是360毫升牛奶，两个杯子里原来各
有多
少毫升牛奶？
12、学校运来48棵树苗， 乐乐与欢欢两人争着去栽，欢欢拿了若干树
苗，乐乐看到欢欢拿
得太多，就抢了10棵，欢欢不肯，又从乐乐那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数比
欢欢的
多4棵，欢欢最先拿了多少棵树苗？
13、甲、乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶
中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙
桶中倒出和甲桶剩下的同样多的油放入甲桶。这时两桶油恰好
都是36千克。问两桶油原来
各有多少千克？
14、奇奇和李异各有画片若干张。如果奇奇拿
出和李异同样多的画片给李异，李异再拿出和
奇奇同样多的画片给奇奇，这时两个人都有24张。问奇奇
和李异原来各有画片多少张？
15、两棵树上共有麻雀25只，从第一棵飞到第二棵树上5只，又从第
二棵树上飞走了7只，
这时第二棵树上的只数是第一棵树上的2倍，原来每棵树上各有多少棵？
16、有3个树上站着42棵小鸟。如果从第一棵树飞到第二棵树上4只，再从第二棵树飞到
第三棵树
上2只，又从第三棵飞到第一棵树上4只，这时三棵树上的只数就相等了，原来各
停有几只小鸟？
【乘风破浪】
17、小明在做一道减法题时，把被减数个位上的5看成了8，十位上的0看成
了6。把减数
十位上的2看成了5，减数百位上的6看成了零，结果是2402，正确的结果是多少？
18、袋子里有若干个球,小明每次拿出其中的一半,再放回1个,一共做了4次,
袋中还有3个
球,问袋中原来有几个球?
19、哥哥和弟弟分48颗巧克力糖，弟弟拿了若
干颗后，妈妈不同意，就从弟弟那拿了8颗
给哥哥，哥哥还是还给了弟弟4颗，这时弟弟的颗数是哥哥的
2倍，他们原来各拿了多少颗？
20、张叔叔从果园里摘了两筐苹果，第一筐有280个，第二筐有4
0个，张叔叔每次从第一
筐中取出8个苹果放入第二筐。想一想：这样取几次两筐苹果的个数才相等呢？
【激流勇进】
21、已知甲乙丙丁的和是45，甲+2=乙-2=C×2=D÷2，求甲乙丙丁各是多少？
22、批发站有若干筐苹果,第一天卖出总数的一半,第二天运进450筐,第三天又卖出现有苹果
的一
半又50筐,还剩600筐,这个批发站原来有多少筐苹果？
23、
两只猴子拿30个桃子，
甲猴子眼疾手快抢先得到一些桃子，乙猴看甲猴拿得太多，就
抢走了甲的一半，甲猴子不服气，又抢走了
乙猴子的一半，乙猴又不肯，甲猴还给乙猴4
个，这时，甲猴比乙猴还多4个，甲猴最初拿了几个桃子？
24、有26块砖，兄弟两人争着去挑，弟弟抢在前面，刚装好砖头，哥哥赶到了。哥哥看弟
弟
挑得太多，就抢过来一半。弟弟不服，又从哥哥那儿抢走一半，哥哥不肯，弟弟还给了哥
哥6块，这时，
哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块砖？
第五讲 用消去法解题
〈知识广角〉：
1、消去法；利用两个数量的差求两个未知量的方法叫做消去法。
2、用消去法解题的关键：
是要根据题中的数量关系，设法将其中的一个未知数消去，先求
出另一个未知数，进而再求出消去的另一
个未知数。
〈方法探究〉：
例1：妈妈和金阿姨一起到超市买了同样的两种水果，妈妈买了
4千克苹果和5千克梨共用
26元，金阿姨买了4千克苹果和8千克梨共用32元，你能推算出苹果和梨
的单价吗？
【思路导航】：苹果和梨的单价都是两个未知量，但是妈妈和金阿姨都买了同样
的4千克苹
果，金阿姨多付的钱是因为多买了3千克梨，也就推算出3千克梨用了32-26=6元，就
可以
求梨的单价，再推算出苹果的单价。
列表
苹果 梨 总钱数
妈妈 4
5 26
金阿姨 4 8
32
解： （32-26）÷ （8-5）
=
6 ÷ 3
= 2 （元） 。。。。。。梨
26-2×5=16（元） 16 ÷ 4 = 4（元）。。。。。。苹果
答：苹果每千克4元钱，梨每千克2元钱。
【思维链接】：在消去法解题中，当
两组数量中有对应的一个未知数的数量相同时，我们先
消去这个未知数，推算另一个未知数，再回到条件
中去，推算消去的未知数。
【举一反三】
1、王方买了4枝铅笔和3枝钢
笔，共付了19元，张华买了同样的4枝铅笔和5枝钢笔，
共付29元，铅笔和钢笔的单价各是多少元？
2、看图填空 单位：元
跳 绳
5
3
10
例2 4头牛和3匹马每天吃草90千克
，2头牛和4匹马每天吃草70千克。每头牛和每匹
马每天各吃草多少千克？
【思路导航】：
本题两组对应的数量中没有可以直接消去的未知数，而4头牛和2头牛正好
是倍数关系，所以可以把2头
牛和4匹马每天吃草70千克转化成4头牛和8匹马每天吃草
140千克，就可以消除牛每天吃草这个未
知数。
解： 列 表 牛 马
吃草总数
4 3
90
2 4
70
4 8
140
马： （140-90）÷（ 8-3）= 10 （千克）
牛： （90-10×3）÷ 4 = 15 （千克）
答；牛每天吃草15千克。马每天吃草10千克。
【思维链接】：当条件中两个未知数不能直接消去一
个未知数时，我们可以利用扩大几倍的
方法，找到消去一个未知数的条件，再按照先消去一个未知数，求
其中一个未知数，就可推
算另一个未知数的方法解决问题。
【举一反三】 ：
３、
5个大球和3个小球共42克，10个大球和4个小球共76克，每个大球和每个小球各多
少克？ ４、毛方买4练习本和5个软面抄共付19元，黎明同样的3本练习本和10本软面抄共付
33元，
问一本软面抄和一本练习本各多少钱？
毽 子
10
10
10
总 价
3 5
2 5
（
）
例3：学校买了3张桌子和4把椅子，共付1472元。每张桌子比每把椅子贵19
2元，问每
把椅子和每张桌子各多少钱？
【思路导航】：本题中桌子和椅子的单价都不知道，
也是含有两个未知数，但是我们知道每
张桌子比每把椅子贵192元，所以我们可以把3张桌子价钱转换
成3把椅子的价钱，把1472
去掉3个192元，就是7把椅子的价钱了，知道椅子的价钱再推到在桌
子的单价。
解： 192×3=576（元）
椅子（1472-576）÷（3+4）=128（元）
桌子：
128+192=320（元）
答：桌子每张320元，椅子每把128元。
【思维链接】：当条件中两个未知数不能直接消去一个未
知数时，我们可以用转换的方法，
把两个未知数，转换成一个未知数，先求出一个未知数，就可推算另一
个未知数了。
【举一反三】
５、4辆大巴和3辆中巴共坐276人，已知一辆大巴比一辆
中巴多坐13人，每辆大巴和中
巴各坐多少人？
６、红红用2.7元买了3本语文本和5本数
学本，刚刚用3.4元买了同样的4本语文本和6
本数学本，已知语文本比数学本贵0.1元，求语文本
和数学本的单价。
例4 4包科技书和5包故事书共500本，同样的5包科技书和3包故事书共4
30本，每包
科技书和每包故事书各多少本？
【思路导航】：当扩大一个条件的倍数，还是不
能消去其中的一个未知数时，我们就把第一
个条件扩大5倍，第二个条件扩大4倍，就能找到科技书都是
20包的条件下书的总本数，
这样就可以消去科技书的未知数，先求故事书有多少包？再求科技书有多少
包？
解： 列表 科技书 故事书
总包数
4 5
500 ①
5
3 430 ②
①×5
20 25 2500 ③
②×4 20 12 1720 ④
④ - ③故事书：（2500-1720）÷（25-12）= 60（本）
科技书： （500-5×60）÷ 4 = 50（本）
答；故事书每包60本，科技书每包50本。
【思维链接】：当使用消取法解决问题时
，如果变换一个条件不能消去其中的一个未知数时，
我们就要根据已知条件的数据，将两个条件同时扩大
几倍后，先消去一个未知数，求其中的
一个未知数的方法解决问题。
【举一反三】
７、买3个包暖杯和4个茶杯花了190元，买7个包暖杯和9个茶杯花了440元，求茶杯和
保暖杯
的单价。
8、一个童装店做同样一种童装，如果做3件上装和5条裤子要用11米布，如果
做
5件上装和4条裤子要用14米布，平均每件上装需要多少米布？
数 学 冲 浪
【扬帆起航】
1、买4本故事书和6本科技书共用1
62元，买5本故事书和3本科技书共用135元，每本
故事书和每本科技书各多少元？
2、
妈妈买了20个鸡蛋和30个鸭蛋共重2800克，奶奶买了30个鸡蛋和10个鸭
蛋共重2100克，
他们叫小军算一算，每个鸡蛋和每个鸭蛋各重多少克？
3、
买4本故事书和6本科技
书共用162元，买5本故事书和3本科技书共用135元，每本
故事书和每本科技书各多少元？ 4、妈妈买了20个鸡蛋和30个鸭蛋共重2800克，奶奶买了30个鸡蛋和10个鸭
蛋共重21
00克，他们叫小军算一算，每个鸡蛋和每个鸭蛋各重多少克？
5、学校买回20个皮球，6
0根跳绳共用200元，买一个皮球的钱可以买两根跳绳，每个皮
球多少元？
6、新光小学去
科技馆参观，7辆大巴和15辆中巴正好坐满744名师生，每辆大
巴比中巴多做12人，每辆大巴和每
辆中巴各坐多少人？
7、
7头牛和3只羊每天吃草123千克，5头牛和2只羊每天
吃草87千克。每头牛每天吃草
多少千克？
8、
张老师用70元给同学买奖品，可
以买20支水性笔和30把米尺，或者买15
支水性笔和40把米尺，你能推算水性笔的单价吗？
【
乘风破浪
】
９、用一个杯子向一个空瓶里倒水，如果
倒进了4杯水，连瓶重520克，如果倒进7杯水，
连瓶共重760克，那么一杯水和一个空瓶各多少千
克？
１１、水果商店共卖出32箱苹果和45箱梨，共售出2900元，1箱苹果和1箱梨共售出76
元，每箱梨多少钱？
１２、新湖水果店运进苹果和梨一共1750千克，每箱苹果有20千克
，每箱梨有25千克，
苹果比梨多11箱，苹果和梨各是多少箱？
【
激流勇进
】
1３、中心食堂本周运大米7袋，面粉4袋共重1020千克
，上周运来大米3袋，面粉6袋共
重780千克，问每袋大米、每袋面粉各重多少千克？
１５
、体育王老师买了5个足球和4个篮球，用了640元，如果买了2个足球和3个篮球，
用了340元，
足球和篮球的单价各是多少元？
１６、 某次测验，A、B、C、D四位同学的成绩作如下统计：A、
B、C的平均分为94分；
B、C、D的平均分为92分；A、D的平均分为96分。求A得了多少分？
第六讲 巧求周长与面积
〈知识广角〉
1、周长：物体表面或封闭图形一周的长度就是它们的周长。
2、面积：物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积。
3、长方形和正方形是我们认识过的两种常见的平面图形，它们的周长和面积计算公式如
下：
长方形的周长＝（长＋宽）×2 长方形的面积＝长×宽
正方形的周长＝边长×4 正方形的面积＝边长×边长
〈方法探究〉
例1：下图是一块草坪示意图。现在要为这块草坪围上栏杆。请问栏杆有多长？
30米
100米
【思路导航】
求栏杆的长度就
是求上图的周长。求这个多边形的周长，也就是求围成这个多边形的
六条线段的长度和。其中有两条线段
的长度是已知的，其余四条线段的长度均未知。通过观
察我们发现，我们可以通过平移将这个图形转化成
一个长方形，且这个图形的周长与转化后
的长方形的周长是相等的。所以只要求出这个长方形的周长就可
以得出这个多边形的周长。
具体方法如下：
G
A F
.A F
C B C B
30米
30米
D E D E
100米 100米
将线段CB水平向上移动到GF边，发现CB+AF的长度正好与DE相等。把线段AB向左平移到GD边，发现AB+CD的长度正好与FE相等。求这个多边形的周长就转化成为
求一个
长方形的周长，这个多边形的周长就巧妙地求出来了。
解： (100+30) ×2=260(米)
答： 围这块草坪的栏杆长260米。
【思维链接】：
在巧求
一些表面上不是长方形或正方形的不规则图形的周长或面积时，常常需要运用
平移等方法将不规则图形转
化成规则图形来求解。
【举一反三】：
1、下图是一个楼梯的侧面图。已知每步台阶宽4分
米，高2分米。问这个楼梯的侧面的周
长是多少分米？合多少米？
4分米
.
2分米
2、求下面图形的周长。(单位：厘米)
2
4
7
3、下图是一个由8条线段
围成的多边形，要计算这个多边形的周长，至少要测量其中多少
条线段的长度？
⑤
① ④
② ⑥
⑧ ③
⑦
例2：下
图是由4个边长为6厘米的小正方形组成的图形，每个小正方形的顶点，恰好在另
一个正方形的中心，且
都互相平行。问拼成后的图形的周长是多少厘米？
6厘米
【思路导航】：
求这4个正方
形重叠着组合而成的图形的周长，我们可以将这个图形转化成为一个大正
方形，大正方形的边长相当于原
来小正方形边长一半的5倍，并且大正方形与转化以前的图
形的周长相等。那么求出这个大正方形的周长
也就求出了原图的周长。
解： 大正方形的边长：6÷2×5=15(厘米)
大正方形的周长：15×4=60(厘米)
答： 拼成后的图形周长是60厘米。
想一想：还可以怎样计算这个图形的周长呢？
【思维链接】：
在解决这个
问题时，我们还可以用这个方法：先求出四个小正方形在未重叠的情况下的
周长之和，再减去被围进图形
里面的所有边线的长度和。
【举一反三】：
.４、
如上左图，每个正方形的边长是8厘米，每两个正方形重
叠的相交点是正方形边长的中
点。求这个图形的周长。
５、 如上右图是由若干个相等正方形
组成的图形，已知每个正方形的边长是5分米，求这
个图形的周长是多少分米？
例3：如下图，一块长方形花圃，长12米，宽9米。周围有一条1米宽的道路环绕着。求
道路的面积
是多少平方米？
【思路导航：】
图中
的道路可以看成为一个不规则图形，我们可以间接来解决这个问题。如果求出图中
大长方形的面积和小长
方形的面积，再将其相减，就得出道路的面积了。
解： 大长方形的长：12+12=14(米)
大长方形的宽：9+12=11(米)
大长方形的面积：14×11=154(平方米)
小长方形的面积：12×9=108(平方米)
道路的面积：154－108=
46(平方米)
答： 道路的面积是46平方米。
【思维链接】：
对于有些不规则图形来说，有时我们可以通过间接计算来解决问题。如转化成
两个图形
之和来求解或转化成两个图形之差来求解。
【举一反三】：
６、
如果将边长为20厘米的正方形的每条边长增加5厘米，那么这个正方形的面积增
加了多少平方厘米？
７、一块长方形空地，长15米，宽9米。现在在四周留一条宽1米的道路，里面的长方形
部
分用做花圃。花圃的面积是多少平方米？
例4
：一个大长方形被分成4个小长方形。已知其中3个长方形面积分别是36平方厘米、
12平方厘米和6
3平方厘米，求另一个长方形的面积是多少平方厘米？
36 12
63
？
【思路导航】： c d
a 36 12
b 63
？
花圃
如上图我们可以发现：
36= a×c 12= a ×d
63= b× c
?= b ×d
斜着相对的两个长方形的面积的乘积相等，都是a×b× c ×d。
解： 12×63÷36=21(平方厘米)
答：另一个长方形的面积是21平方厘米。
【思维链接】：
这里求未知长方形的面积，不需要知道它的长与宽，而是根据它与其
它已知长方形之间
的关系将其面积推理出来。
【举一反三】：
８、一个大长形被
分成4个小长方形。已知其中3个长方形面积分别是54平方厘米、56
平方厘米和63平方厘米，求另
一个长方形的面积是多少平方厘米？
？
54
56 63
９、大小两个正方形边长分别为6厘米和4厘米，它们部分重合，已知重合部分面
积是8
平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？
〈指点迷津〉：
同学们，我们在巧求一
些表面上不是长方形或正方形的不规则图形的周长或面积时，常
常需要运用平移等方法将不规则图形转化
成规则图形来求解。同学们要特别注意转化前的图
形与转化后的图形的周长与面积的关系，不能重复也不
能遗漏地计算。
数学冲浪
扬帆起航：
1、求下图左边图形的周长。（单位：厘米）
7
4
2、求上面右边这个“十”字形图案的周长。（每个小正方形的边长是10厘米。）
3、下面
是一个会议中心进大厅处的楼梯的侧面图，要在这样共5层的楼梯上铺上地毯，地
毯共长多少米？
3米
6米
4、把4个完全相同的正方形，拼成一个大正方形，这个大正方形周长是160厘米。
那么每
个小正方形的周长是多少厘米？
5、下图是由3个长方形组成的，求这个组合图形的周长。（单位：厘米）
15
15
20 18
6、下图是由6个边长4分米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少分米？
7、一个长方形长18厘米，如果把长缩短6厘米这个长方
形就会变成一个正方形。这个长方
形的面积是多少平方厘米？
乘风破浪：
８
求下面这个水渠侧面的周长。（单位：米）
2
3
8
９、有个边长是8厘米的正方形，如果分别把它
的两组对边缩短1厘米、2厘米，那么这个
正方形的面积将会减少多少？
１０、一个长方形的周长是30厘米，且长是宽的2倍。这个长方形的面积是多少平方厘米？
激流勇进：
１１已知长方形内几个小长方形的面积（如图。）求其它几个小长方形的面积。
2 6 ？
？ 18 12
.
１2、四个一样的长方形和一个小正方形拼成如上右图所示的大正方形，已知，大正方形的
边长是6分
米，小正方形的边长是2分米，问一个长方形的周长是多少分米？
１3、在一个长为120厘米、宽为
30厘米的长方形黑板上涂满白色，现在有一块长10厘米
的长方形黑板擦，用它在黑板
内紧紧沿着黑板的边擦一周(如图所示，黑板擦只平移不旋转)。
如果黑板上没有擦到的部分的面积恰好
是黑板面积的一半，那么黑板擦的宽是多少厘米？
第七讲 简单的等差数列
〈知识广角〉
1、数列：按一定次序排列的一列数叫做数列。
项：数列中的每一个数都叫做数列的项，依次叫第一项（或首项）、第二
项、„„、末项。
项数：数列中数的个数叫项数。
2、等差数列：每相邻两个数的差都相等的数列叫做等差数列。
公差：相邻两项的差叫做公差。
3、等差数列a1,a2,a3,„„,an的求和公式：
和＝（首项＋末项）×项数÷2 即Sn＝(a1＋an) ×n÷2
4、求等差数列a1,a2,a3,„„,an的第n项的计算公式：
第n项＝首项＋（项数－1）×公差 即an＝a1＋(n－1) ×d
5、求等差数列a1,a2,a3,„„,an项数的计算公式：
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
〈方法探究〉
例1：判断下面的数列中哪些是等差数列？
（1）1，3，5，7，10，13，16，19
（2）2，5，8，11，14，17，20
（3）5，9，13，17，21，23
（4）85，75，65，55，„15，5
【思路导航】
根据等差数列的定义进行判断。
（1）3－1=2，10－7=3，2≠3，不是等差数列。
（2）5－2=8－5=11－8=14－11=17－14=20－17=3，是等差数列。
（3）9－5=13－9=17－13=21－17=4，而23－21=2，2≠4，不是等差数列。
（4）85－75=75－65=65－55=„=15－5=10，是等差数列。
【思维链接】
判断一个数列是不是等差数列，不能单独只看数列中的某些数，要将整
个
数列中的每个数观察到，只要发现相邻两个数的差不相等，这个数列就不是等差
数列。另外，
从大到小排列的数列，只要相邻两项的差都相等，这个数列也是等
差数列。
【举一反三】
1、判断下面的数列哪些是等差数列？
（1）0，2，4，6，12，20，30
（2）90，79，68，57，46，35，24，13
（3）7，14，21，28，35，42，49，56
2、找规律填数，并在是等差数列的题号上做上记号。
（1）1，3，5，7，（ ），11，13，（ ）
（2）1，2，4，5，7，8，（ ），（ ）
（3）80，70，60，（
）40，30，20
例2：计算：1＋2＋3＋4＋5＋„＋14
【思路导航】
观察算式后得知，1＋14，2＋13，3＋12，4＋11，5＋10„，每一组和都等
于1
5，共有7组这样的和，所以1＋2＋3＋4＋5＋„＋14=15×7=105。
解：1＋2＋3＋4＋5＋„＋14 =（1＋14）×14÷2 =105
首 末 项
项
项 数
还有别的想法吗？
还可以这样想：
把算式倒着写一遍，与原式对照：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14
14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
对应项相加得：15＋15＋15＋15＋15＋15＋15„＋15
14个15
所以，
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14
=（1＋14）×14÷2
=105
【思维链接】
等差数列求
和，虽然在知识要点中已经介绍了计算公式，但同学们一定要知
道公式的由来，本例题中介绍了两种解决
问题的办法。在弄清楚了等差数列中的
求和公式的推导过程后，再利用公式进行计算，这样在理解的基础
上应用公式解
决问题会更清晰。另外，在等差数列求和过程中，项数往往不会直接告诉，这时
需
要根据公式求出项数后再求和。
【举一反三】
3、计算：11＋12＋13＋14＋15＋16„＋100
4、计算46，52，58，„172共有多少项?46＋52＋58＋„＋172的和是多少？
例3、（1）求等差数列：8，14，20，26，„，302的末项是第几项？
（2）求等差数列：6，9，12，15，„中的第99项是多少？
【思路导航】
（1）观察发现，首项：a1=8，
第二项：a2=14，比首项多1个6，
第三项：a3=20，比首项多2个6，
第四项：a4=26，比首项多3个6，
„„
末项：an=302，比首项多（n－1）个6
即302=8＋（n－1）个6
解：（302－8）÷6＋1=49＋1=50
答：8，14，20，26，„，302的末项是第50项。
（2）观察发现，首项：a1=6，
第二项：a2=9，比比首项多1个3
第三项：a3=12，比首项多2个3，
第四项：a4=15，比首项多3个3，
„„
第99项：比首项多（99－1）个6
解：6＋（99－1）×3
=6＋294
=300
答：6，9，12，15，„中的第99项是300。
【思维链接】
求项数和求
末项的题型要注意判断。本题中求302是第几项，说明是求项数，
而第99项是多少，使求某一项的具
体值，求的是末项，判断清楚后可以通过推
理,找到规律，求出结果。
【举一反三】
5、求等差数列245，238，231，224，„中的105是第几项？
6、从35开始往后数17个（包括35）连续的奇数，最后一个奇数是多少？
例4：一个报告厅有20排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2
个
座位，这个报告厅一共有多少个座位？
【思路导航】
这道题是等差数列在生活中的应用，因
为“往后每排都比前一排多2个座位”，
每排座位数实际上是一个等差数列，首项是36，公差是2，项
数就是排数20。
所以要求出座位的总数，先要求出第20排的座位数，即等差数列的末项，再按
等差数列的求和计算公式求解即可。
解：36＋（20－1）×2
（36＋74）×20÷2
=36＋38
=110×20÷2
=74 （个） =1100（个）
答：这个报告厅一共有1100个座位。
【思维链接】
在生活中有很多等差数列的实际范例。在解决相关问题时，首先一定
要注
意判断，其次要能将题中的已知条件与等差数列的各个量进行对应，这样就能运用等差数列的一些公式很轻松地解决问题。
【举一反三】
7、妈妈读一本故事书，第
一天读了20页，以后每天比前一天多读2页，这样
18天读完这本书。这本书有多少页？
8、有一堆粗细均匀的圆木，最上面有4根，每层都比上层多1根，最下层有23
根。这堆圆木有多少根？
〈指点迷津〉
等差数列在计算、找
规律填空、日常生活的解决问题中经常遇到，我们一定
要注意观察数列中相邻数的关系，应用时一定注意
找到与等差数列相对应的量，
应用公式求解。另外对于特殊的等差数列，如：求1＋3＋5＋7＋9＋1
1＋13＋15
＋17＝（1＋17）×9÷2=（1＋17）÷2×9=9×9=81，实际上，经过
数形结合的
推导，我们还可以得出从1开始的奇数列的和等于项数的平方。
数学冲浪
扬帆起航：
1、判断下面数列哪些是等差数列？
（1）1，1，2，3，5，8，13，21
（2）68，60，52，44，36，28，20
（3）700，693，686，679，673
（4）3，7，11，15，19，23，27，31，35
2、计算：
（1）43＋44＋45＋46＋47＋48＋49＋50
（2）73＋77＋81＋85＋89＋93
3、求等差数列4，8，12，16，„„中第31项是多少？
4、已知一个等差数列的第1项是3，公差是5，最后一项是48。这个数列有多
少项? 5、李俊看一本长篇小说，他第一天看40页，从第二天开始起，每天看的页数比
前一天多5页，最
后一天看70页。这本书共有多少页？
6、有20个同学聚会，见面时如果每人都和其他人分别握一次
手，那么参加聚会
的同学一共握了几次手？
乘风破浪：
7、计算：
（1）100＋200＋300＋„2000
（2）2＋6＋3＋12＋4＋18＋5＋24＋6＋30
8、已知一个
等差数列：32，32×2，32×3，32×4„„，求等差数列中的第2001
项的积。
9、如果在13与29之间插入三个数，使这五个数组成一个等差数列，那么插入
的三个
数分别是多少？
10、写出被9除余1的所有两位数组成的等差数列。
11、时钟在每个整点敲钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜敲多少下？
激流勇进：
12、在小于400的自然数中，有多少个数是7的倍数？求这些数的和。 13、一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最多要试多少次才能配
好全部的钥匙和
锁？
14、5个连续自然数的和是225，求第一个数是多少？
15、10个盒子，44个
彩球，能不能把44个彩球放到盒子里，使各个盒子里的彩
球数量不相等？
第八讲
统筹优化与获胜对策
〈知识广角〉：
１、统筹：是一种安排工作进程的数学方法。简单地说，就是通过调整、重组等手段优化办
事
效率的一种方法。它的实用范围极广泛，在基本生活和复杂的组织与管理中，都可以应用。
华罗庚教授是
中国优选法统筹法研究会的创始人，在我国倡导并开始应用推广“统筹法”。
2、对策：在对抗性活动中，竞争双方取胜的有效方法，我们就可以称之为对策。
〈方法探究〉：
例1：聪聪早晨起床是这样安排的：①穿衣服（4分钟）
②洗漱（3分钟） ③做早
操（5分钟） ④淘米（1分钟） ⑤用电饭锅煮饭（20分钟）
⑥吃早饭（5分钟）
⑦读英语（10分钟）。这样他一共用了48分钟才去上学。怎样合理安排
，能使聪聪在
最短的时间内上学呢？
【思路导航】 聪聪上学一共要做7件事情。他必须先穿好衣服，淘好米，再开始煮饭，最后吃早饭，
这个顺序是不
宜改变的。聪聪在等电饭锅煮饭的20分钟内，可以同时做洗漱、做早操、读
英语这几件事情，这样就节
省了时间。
解：聪聪可以这样安排。
①穿衣服4分钟） ④淘米（1分钟）
⑤用电饭锅煮饭（20分钟）
同时：②洗漱（3分钟） 吃早饭（5分钟）
③做早操（5分钟）
⑦读英语（10分钟）
一共用时：4＋1＋20＋5＝30（分钟）
答：聪聪一共用30分钟做完这些事情。
【思维链接】：
为了节省时间，我们要先弄清楚一共要完成哪些任务，然后理清思路
，看哪些事情必
须先做，哪些事情必须后做，再来思考有哪些事情可以同时做。这样就能
优化做事的顺序，
达到节省时间提高效率的目的。
【举一反三】：
1、妈妈要外出
，外出前必须做完以下几件事：整理房间要用10分钟，清理好带的包要5
分钟，把衣服放进洗衣机再放
好水要2分钟，洗衣机自动洗涤要25分钟，晾好衣服要5分
钟，健身要10分钟。妈妈怎样合理安排能
最节省时间呢？
2、丁阿姨要做以下事情：杀鱼、洗鱼要5分钟，烧鱼要10分钟，淘米要3分钟，电
饭锅把
饭煮好要14分钟。怎样设计做事的顺序，能尽早开饭？
例2：早餐时，妈
妈一共要烙5张饼给家里人吃，饼的两面都要烙，每面要烙2分钟，平底
锅里每次只能烙2张饼。怎样烙
才能尽快把饼全部都烙好呢？
【思路导航】：
为了便于描述，我们把五张饼分别编
上号。假设我们先依次烙第①②张饼的正反面，
再依次烙第③④张饼的正反面，最后依次烙第⑤张饼的正
面和反面，这样一共要烙6次。但
是我们应该观察到在烙最后一张饼的正反面时，每次平底锅都没有充分
利用。因此这不是最
优的烙法。我们应该思考充分地利用平底锅，每次都让锅里有2张饼的最优烙法。
解： 烙饼方法如下表所示。
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
饼① 饼② 饼③ 饼④ 饼⑤
正
反
正
反
正
反
正
反
正
反
2×5＝10（分）
答：一共要烙10分钟。
想一想：还可以按什么方法来烙呢？
【思维链接】：
在求烙饼的总时间时
，我们还可以用这个方法：先求出5张饼一共有10个面，锅里每
次只能烙2张饼，也就是能烙2个面，
所以烙完这些饼一共需要5次，再乘上每次烙的时间
就能得出烙完所有的饼的总时间了。
【举一反三】：
３、复印机里最多能放2张纸，纸的正反面都要复印，每复印一面要30秒钟
。现在一共有
7张纸要复印，全部印完最快要多少秒钟？
例3：丁丁和当
当两人从1开始按自然数顺序轮流报数，每人每次最少报1个数，最多报2
个数。这样继续下去，谁报到
18，谁就获胜。是先报的人还是后报的人有必胜的对策？怎
样报才能保证获胜呢？
【思路导航：】
如果把每人报一次称为一轮，那么总可以保证每轮两人报数的个数和是3。因
为每人每
次最少报1个数，最多报2个数，那么如果一方报1个数，另一方就报2个数；一方报2
个数，另一方就报1个数；这样总能保证每轮连续两次报数的个数合起来是3。运用倒推法，
从后往前
想：根据“谁报到18，谁就获胜”，假如对方报17，自己报18，就能获胜；假如
对
方报16，那么自己报17、18，也获胜。因此，要想报18，必须先报15。同理，要报15，
必须
先报12；要报12，必须先报9，继续分析后报的人所报的数，一定是18、15、12、9、
6、3
。这就是说，后报数就能获胜，策略是：如果对方先报1，自己就报2、3；如果对访先
报1、2，自己
就报3。依次类推。
解答：（1）在这个游戏中，如果要获胜，必须后报数；
（2）先报的
人若报a个数（1≤a≤2），则后报的人就报（3-a）个数，后报的人必
定获胜。
【思维链接】：
本题是利用倒推法来思考解决对策问题的典型例题。
如果交换报数
顺序，但对方未掌握必胜策略，那么，第一个报数的人一旦抓住机会报出
3的倍数，先报数者也能稳操胜
券。
由上面的例子可以看到两列数：报1、2、4、5、7、8、„„、16、17必败，报数者出<
br>现的这种状态称平衡态；报3、6、9、„„15、18必胜，报数者出现的这种状态称临胜态。
斗智游戏的策略，在于找出临胜态和平衡态，并迫使对方总处于平衡态，自己占据临胜态。
【举一反三】：
４、两人轮流报数，每次只能报2或3，把两人的所有数加起来，谁报数后和
是30，谁就获
胜。想一想：如果两人都采取最佳方法，是先报数的人获胜还是后报数的人获胜？ ５、两人轮流报数，每次只能报1或2，把两人的所有数加起来，谁报数后和是20，谁就获
胜。想
一想：如果让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报几？接下来应该怎么报？
例4：桌
子上放着50根火柴，甲和乙二人轮流每次取走1～3根，规定谁取走最后一根
火柴谁获胜。如果双方都
采取最佳方法，甲先取，谁将获胜？
【思路导航】：
要知道甲一开始应
该取几根，才能保证他取到最后的一根，我们把乙取过以后甲再取称
为一轮。先假定取到倒数第二轮时，
还剩下4根的情况，这时轮到乙取，因为不管乙取多少
根，他至少要取1根，至多取3根，从而甲必胜，
可见“4”是一个关键数。一开始甲取的
根数，应该使余下的火柴根数是4的倍数。往后的每一轮，不管
乙取多少根（1至3根），
甲总可以使得每一轮甲、乙两人所取火柴根数之和为4，这样到最后一轮时，
只剩下4根，
迫使乙败，从而甲能获胜。
根据上面的分析可知，甲一开始取的火柴根数应该为
50除以4的余数。50÷（1＋3）
＝12（轮）·····2（根），因此，甲一开始应取2根。
解答：
（1）因为50÷（1＋3）＝12（轮）·····2（根），因此，甲一开始应取2根。
（2）乙若取a（1≤a≤3）根，甲就取（4-a）根，则甲必获胜。
【思维链接】：
在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下
（
1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。
【举一反三】：
６、54张扑克牌，A、B两人轮流
拿牌，每人每次至少拿1张，至多拿4张，谁拿到最后
一张谁获胜。你能保证A必胜吗？
７、
54张扑克牌，A、B两人轮流拿牌，每人每次至少拿1张，至多拿4张，谁拿到最后
一张谁输。如果A
先拿牌，A如何获胜？
〈指点迷津〉：
著名数学家华罗庚爷爷曾经指出：善
于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重
要性的地方，是学好数学的一个诀窍。对策问题多种
多样，要想在对决中获胜，关键是使自
己处于优势地位。只要善于观察和思考，并能随机应变，就能成为
一名常胜将军。
数学冲浪
扬帆起航：
1、甲乙丙丁四位同学去打水，
他们的水桶接满分别要5分钟、4分钟、3分钟和2分钟。现
在只有一个水龙头，应该怎样安排这四个人
的打水顺序，才能使他们等候的时间总和最少？
这个时间是多少分钟？
2、飞飞和丽丽玩扑克
游戏，飞飞抽到了9、6、4三张牌，丽丽抽到了10、8、5三张牌。规
定每次每人出一张牌，点数大
的胜，出三次，谁胜的次数多，谁就最终赢得比赛胜利。请问
飞飞有获胜的机会吗？
3、 两
人轮流报数，每次只能报1或2，把两人的所有数加起来，谁报数后和是10，谁就
获胜。想一想：如果
让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报几？接下来应该怎么报？
4、 豆豆和小雪两人轮流取棋
子，每人每次取3个或4个，规定谁取到最后一个谁获胜。
豆豆先取，他有必胜的对策吗？怎样取才能保
证获胜？
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○
○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
乘风破浪：
５、有50根火柴棍，两人轮流取火柴，规定每人只能取1根或2根，谁取到最后
一根谁就
输。问先取的人还是后取的人有获胜的对策？应该怎么取才能确保获胜？
６、盒子里
有35粒珠子，甲、乙二人依次轮流去取，每人每次至少取1粒，至多取3粒，
谁取到最后一粒，谁就是
胜利者。问谁能获胜？若要获胜，应该怎样来取？
激流勇进：
７、有两个箱子，
分别装着20、18个球，聪聪和明明两人轮流在其中任一箱子中取球，取
得个数不限，但不能不取。规
定取得最后球者胜。是先取的人胜，还是后取的人胜？取胜的
对策是什么？
８、20张正面朝
下的扑克牌排成一排放在桌面上，两个小朋友做翻牌游戏。规定：每人每
次只能翻动一张或两张相邻的牌
使之正面朝上，翻过的牌不能再翻，两人轮流翻动，翻动最
后一张牌的人获胜。问：怎样做才能获胜？
下学期
第九讲 定 义 新 运
算
〈知识广角〉：
1、 定义新运算：生活中为了某种需要，常把含有加、减、乘、除的一个运算规定，用
一个代
表符号表示，要求按照新定的运算规定进行计算或推理。
2、
解题关键：要抓住运算的本质，根据规定的新运算和四则运算的关系式，推道出运
算的结果。
〈方法探究〉：
例1： a*b= 3a+2b 计算2*3 、 3*4
【思路导航】：本题规定的新运算要求是*前面的数a的3倍，加上*后面数b的2倍。
解： 2*3= 3a+2b =3×2＋2×3=6+6=12
3*4=3a+2b=3×3＋2×4=9＋8=17
【思维链接】：解决问题
的思路是，首先分析新规定的关系式，将条件代入关系式，再按四
则混合运算的运算法则进行计算。
【举一反三】：
1、 规定 a*b=
a
＋a×b，求2
* 3。
2、 规定： 6 * 2 = 6＋66 =72， 求3
* 4。
例2： X○Y= X-Y÷2
计算7○（10○4）
【思路导航】：本题要根据规定分两步计算，先算10○4的值，再算7○?的
值，就是所
得的结果。
解：10○4=10-4÷2=10-2=8
7○8=7-8÷2=7-4=3
【思维
链接】：本类型的计算，不同例1是他要经过两次推算，才能得到结果。第一步的结
果，是第二步的条件
，计算出第二步的结果，也就是本题的结果。
【举一反三】
3、
规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。
4、若规定a*b=a÷3-b，a、b表示两个数，那么9*（12*2）=？
例3：规定A▼B=A÷5+B÷2,求（5▼8）×3-（15▼2的）÷2的值。 【思路导航】：先求5▼8和15▼2值各是多少？这样式子中就没有新定义，只有四则运算，
再按
四则运算的规律计算出结果。
解：5▼8=5÷5+8÷2=1+4=5
15▼2=15÷5+2÷2=3+1=4
（5▼8）×3-（15▼2的）÷2=5×3-4÷2=15-2=13
【思维链接】：本题有新运
算，又有四则运算的混合运算，可将新运算，转化成为只有四则
运算，再进行计算。
【举一反三】
5、如果有A◎B=A×4-B, 求(8◎2)×3-(4◎5)的值。
6、如果有 Q※P = Q×2÷P 求240※8 +( 6※2)×4
例4、用4 、5、7、8算24。
【思路导航】（ ）+（ ）+（ ）+（
）=24、 8 ×3 = 24、 4 × 6 = 24
12 ×2 = 24、这几个思路都适合本题。
解： (1)
4 + 5 + 7 + 8 = 24
(2)
(3)
(4)
[8-（7-5）]×4 =24
(5+7)÷4× 8=24
(5+7)×(8÷4) = 12×2=24
【思维链接】
算24是用四个数，每个数都
用一遍，加入计算的行列，应用四则运
算的规则，使最后的结果得24，通常有3×8、4×6、12×
2等。我
们这里探究的仅为
整数混和运算。
【举一反三】 （7）用6、 7、
8、 9算24。
（8）用6、6、5、5算24。
数 学 冲 浪
【扬帆起航】
1、如果a△b=(a-2)×b，计算3△4的值。
2、如果规定X◎Y=100-X+Y，其中X,Y是自然数，计算40◎30的值。
3、如果规定
a*b表示从a开始的b个自然数的和，计算3*5的值。
4、如果规定
a*b=13×a-b÷8，那么3*24的值是多少？
5、规定X*Y=(X+Y)÷5,X、Y表示两个数，那么8*（3*7）=？
6、如果规定a*b=2×
a+a×b，那么2▽3▽4=？
7、如果规定2◎3=2+3+4，3◎4◎5=？
8、规定a*b=a×2+18÷b，计算（4*3）*18的值。
9、规定，X※Y=X-2×Y 计算40※8-(20※5)÷2的值。
10、 若有1□2=1+2，
4□6=4+5+6+7+8+9,计算：（3□5）÷5+（4□3）×2的值。
11、定义一种运算，A◎B=A×A＋B×B，计算(8◎4)×6+(3◎4)×5
12、一种规定M □ N = ㎡ — N＋12 计算 11□9-2×(3□2)=?
13、用2、2、3、 3算24。
14、用1、2、3、 4算24。
15、用3、4、7、 9算24。
16、用2、5、6、9算24。
【乘风破浪】
17、规定a*b=a×b-（a+b），求（10*6）- （8*4）
18、、若有X○Y=X×Y÷2，X◎Y=X×Y-2，
计算（3○4）◎（2○7）的值。
19、
规定1！=1，2！=1×2，3！=1×2×3，求（5！-3!）÷3值.
20、
如果3 、5、（A ）9算24，A可能是什么？你能找出几个答案？
【激流勇进】
21、
整数A,B,C规定符号 A
等于A×B＋B×C-C÷A 计算 3 的值。
B
C 5 6
22、
定义一种新运算法则1！=1，2！=1×2 3！=1×2×3，计算5！=?
23、
“◎”表示新运算符号，已知，2◎3=2+3+4，
5◎3=5+6+7，X◎4=46,那么x是多少？
24、
2、3、6、7算24，你能用两种方法解答吗?
第十讲： 归 一 问 题
〈知识广角〉：
１、在生活中，我们通常需要先知道速度、单价、一份量等，才能推道相关联
的量
的问题，叫做归一问题。
２、正归一：先求出一个单位的量，再求出相关联的量。
单位量 × 份数 = 总数量
３、反归一：
知道总量、单位量或份数，求份数或单位量。
总数量÷单位量=份数 总数量÷份数=单位量
〈方法探究〉：
例1：
张老师12分钟改完6本作业本，照这样的速度，他改完90本作业本要
多少分钟？
【思路导航】：
先求出改一本作业本要几分钟，再根据张老师改本子的速度推道90本需要几分钟？
解：
12 ÷ 6 × 90 = 2 × 90 = 180 （分钟）
答：90本作业需要180分钟改完。
【思维链接】：
解决问题的思路是先求一
个单位的量，再求向这样多个单位的量，或者通过多个单位
的量，来求一个单位的量。
【举一反三】：
1、学校用280元买了4个足球，买回同样的20个足球需要多少元？
2、一只小蜗牛3分钟钟爬行6分米，照这样速度，20分米它要爬几分钟？
例2： 为了支援青海玉树灾区，实验小学四年级6个班，在两次捐款活动中共捐出8100
元
人民币，平均每班每次捐款多少元？
【思路导航】：8100元是两次捐款的总数，我们可以先求出每
次捐款的平均数，再求出每
次每班的捐款平均数。
解：
8100÷2÷6=4050÷6=675（元）
平均每次每班捐款675元。
【思维链接】：本类型
的归一问题是复合归一问题，它需要通过两次归一才能得到一个单
位的量，我们通过总数与份数的复合关
系，找到对应的两个份数，就能推算
一个单位的量。
【举一反三】
3、5台织布机4小时织布560米。照这样计算，1台织布机6小时织布多少米？
4、4个人10天修公路840米,照这样算, 8人要修4200米, 要用多少天？
<
br>例3：某车队计划用4辆载重量相同的汽车，7次运货物168吨，后来又增加3辆同样的汽
车，
这些货几次可以运完？
【思路导航】解决这个问题，首先还是要知道汽车每次的载重量，再根
据货物总量不变，每
次共4＋3辆车运的条件，推算问题。
解： 168÷
【168÷4÷7×（4＋3）】= 4（次）
答：这批货4次就能运完。
【思维链接】这类问题，一个单位的量是不变的，它解决问题的桥梁。当与
总数相关联的一
个份数发生变化后，另一个相关联的量也会发生变化，但是解决问题的数量关
系
式是不变的。
【举一反三】，
5、5台拖拉机24天耕地12000公亩。照这样要计算，
18天耕完54000公亩土地，需要
同样拖拉机多少台？
<
br>例4、某小水泥厂计划24天完成一批任务,每天应生产45吨水泥.改进技术后,每天比原计
划
多生产15吨,这样提前几天完成?
【思路导航】要求提前的天数，先要计算实际生产多少天？根据总任务和实际的生产速度求
的实际的天数，就能解决问题了。
24-45×24÷（45＋15）=24-1080÷60=6（天）
答：可提前6天完成。
【思维链接】这类问题，总工作量是不变的，由于速度的变化引
起时间的变化。根据基本的
数量关系总量÷工作时间=工作效率也是不会变的。
【举一反三】
6、 某涂料厂计划春节前40天生产涂料3400吨，实际头4天就生产了360吨。照这样计
算，春节前可超产多少吨？
数学冲浪
【扬帆起航】
1、一辆货车5小时行225千米，以同样的速度，12小时行多少千米？
2、
一个粮食加工厂要磨面粉12000千克。2小时磨了4000千克。.照这样计算，磨完剩下的
面粉还
要几小时？
3、灭虫高手青蛙3天吃315只害虫，照这样计算，3只青蛙一周吃多少只害虫？ <
br>4、三箱矿泉水共有72瓶，现在又500名学生在植树，如果每人至少一瓶，大约需要几箱
矿泉
水？
5、某工程队,15个工人8天能挖水沟1560米,照这样计算，2个工人12天能挖多少米？
6、一辆载重量相同的汽车，7次共运货物168吨，现有同样的汽车8辆，10次可以运货
物
多少吨？
7、油料加工厂要磨20000千克花生。3小时磨了6000千克。.照这样
计算，磨完剩下的花
生还要几小时？
8、卡车7次能运货210吨，2辆汽车7次运货42吨
，用这样的两种车各一辆，5次能运货
多少吨？
9、8头牛30天能吃4800千克的青草，照这样计算，15头牛20天能吃多少青草？
1
0、一件工程原计划15人每天工作7小时，40天完成．现在少用3人，每天工作
10小时，多少天可
以完成(假定每人工作效率相同)？
11、为了迎接六一儿童节，娃娃服装厂计划在25天，20人完
成2000套童装，由于商家要
求在20天内交服装，实际每人每天需要做多少套？
12、4
、奋进工程队计划修一条长1944米的水渠，54人12天可修好。后来为了提前完成任
务，在工效不
变，增加18人，天数减少为10天的情况下，可以修好这条水渠吗？
13、某运输公司计划用8辆汽
车运水泥，每天可运128吨。由于任务增加，现在增加4辆同
样的汽车，每天一共运水泥多少吨？
14、某工程,6个人45天完成,现在如果增加9人,工效不变，可提前多少天完成？
15、劳动街小学组织学生勤工减学，装订一批作业本，计划45人，6小时内完成。后来用
增
加了一批任务，他们必须工作8小时才能完成，要想按时完成，需要增加几人？
16、某养鸡场共养了
2400只母鸡，每20只鸡6天可产蛋96个，现在收了5760个蛋，是这
些鸡多少天下的？
【乘风破浪】
17、东方红织布厂，原计划一周内8人完成4800米织
布任务，为了减轻工人负担，又增加
2人参加织布，平均每人至少织布多少米？
18、
学校平整操场,40人4小时平整1920平方米,照这样算,25人平整900平方米,要多少小
时？
19、2台机床3小时可以加工480个零件，照这样计
算，5小时多加工240个零件，需要几
台机床？
20、华南蛋糕店规定400克面粉用5个鸡蛋调制，现有1600克面粉加入15鸡蛋对吗？
【激流勇进】
21、一根木料，锯成2段需要3分钟；如果要锯成6段，需要多少分钟？ <
br>22、某园林原计划15人3天种450棵树，工作期间又增加了一批任务，在工效相同的情况
下
，需要10人8天完成。那么他们要多种多少棵树?
23、第一车间有90人，5天用饮水450千克
．第二车间有210人，目前有引水750
千克．照一车间用水情况推算，二车间7天，还必须再准备饮
水多少千克？
24、一个牧场的草均匀的成长，可以供27
头牛6周吃完，或者23头牛9周吃完，如果供
21头牛吃，可吃几周？
第十一讲 盈亏问题
〈知识广角〉：
1、盈亏问题：把若干物体平均分给一定数量的对象
，并不是每次都能正好分完。如果物
体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，就叫亏。研究盈和亏
这一类算法的问题就叫
盈亏问题。
2、解题关键：在两次分配过程中，可能一次有剩余，一
次不足；或两次有剩余，或两次
不足。要根据它们之间的关系，找出物品总数和分的份数。
３、数量关系：
（１）份数＝（盈＋亏）÷两次分配差
或份数＝（大盈－小盈）÷两次分配差
或份数＝（大亏－小亏）÷两次分配差
（２）总数量＝每次分的数量×份数＋盈
或总数量＝每次分的数量×份数－亏
〈方法探究〉：
例1：老师给幼儿园的小朋友发彩笔画画。如果每人发４支，则多出７支彩笔
；如果每人发
５支，则差３支彩笔。请问有多少个小朋友？共有多少支彩笔？
【思路导航】
彩笔总数和小朋友人数是一定的。每人发４支，就多余７支；如果每人再多发１支，不
仅把
多的７支发完，还要再拿３支才够发。两种不同的分配方法中，彩笔共相差（７＋３）
支，每个小朋友发
到的彩笔相差（５－４）支。因此可以先求出小朋友的人数。
解：（７＋３）÷（５－４）＝１０（个）
１０×４＋７＝４７（支）或１０×５－３＝４７（支）
答：有１０个小朋友，共有４７支彩笔。
【思维链接】：
在例1中，就是在两次分配中，一次有剩余，一次不足的情况。因此
用（盈＋亏）÷两
次分配差来求分的份数。
【举一反三】：
１、同学们排队做游戏
，站的队数一定。如果每队站１０人，则多出３名同学；如果每
队站１１人，则有一队还差１名同学。请
问同学们排成几队做游戏？一共有多少名同学呢？
２、小朋友植树，如果每人植６棵，则多出２棵树没
人植；如果每人植８棵，则还有一
名同学差４棵树。有多少名小朋友参加植树活动？一共要植多少棵树？
例2：学校有一些篮球。如果给高年级每个班发５个，则还差２８个；如果给每个班发３个，
则还差４个。学校一共有多少个篮球？高年级有多少个班？
【思路导航】：
比较
两次不同的分配方法，篮球亏的个数从２８下降到４，是因为每个班少发了（５
－３）个。说明（２８－
４）个里有几个（５－３），就有几个班级。因此可以先求出高年
级的班级数，再来求篮球的个数。
解：（２８－４）÷（５－３）＝１２（个）
１２×５－２８＝３２（个）或１２×３－４＝３２（个）
答：学校一共有３２个篮球。高年级有１２个班。
【思维链接】：
在例２中，就是在两次分配中，两次均不足的情况。因此用（大亏－小亏）÷两次分配
差来求分的份数。
【举一反三】：
１、老师给同学们发课外书，如果每人发８本，就差１３本；
如果每人发５本，就只差
１本。有几名同学？一共有多少本课外书？
２、同学们去旅游。如果
每间房住３人，则多出１１人没有房间住；如果每间房住４人，
则还多出２人。请问有多少间房？有多少
名同学？
例３：四年级（３）班的同学到公园去划船。如果每条船坐６人，则还剩余３个空
座位；如
果每船坐５人，则还缺少一条船。四年级（３）班一共有多少人去划船？
【思路导航】：
在第二次分配中，如果每船坐５人，则还缺少一条船的含义是如果每船坐
５人，则还缺
少（５×１）个座位。这样就可以按照前面的思路去求解。
解：（３＋５×１）÷（６－５）＝８（条）
６×８－３＝４５（人）或５×８＋５＝４５（人）
答：四年级（３）班一共有４５去划船。
【思维链接】：
在例３中，仍然属于两次分配中，出现一次盈一次亏的情况，只是盈或亏的数
量没有
直接出示必须先将其转化求出来。再来用（盈＋亏）÷两次分配差来求分的份数。
【举一反三】：
１、某校同学去春游。如果每辆车坐４５人，则有３０人没座位坐。如果每辆
车坐４０
人，则还必须再租２辆车。一共有多少名同学去春游？
２、师傅们去搬运树苗。如果
每位师傅运６棵，则还有２棵树没人搬；如果每人运８
棵，则多出了一位师傅不用搬。一共有多少棵树苗
？
例４：妈妈每天步行上班。如果每分钟步行１００米，则会迟到３分钟；如果每分钟步行
１２０米，则可提前５分钟到单位。妈妈从家到单位需要步行多少分钟才能准时上班？
【思路导航】：
每分钟步行１００米，则会迟到３分钟就是说到了上班时间妈妈离单位还有（
１００
×３）米的路程；每分钟步行１２０米，则可提前５分钟到单位就是说按这样的速度走，当
到了上班时间时，妈妈不仅能到达学校还可以多走（１２０×５）米。两次在相同的时间内
所走的路程
相差（１２０×５＋１００×３）米，这是因为妈妈每分钟多走了
（１２０－
１００）米。这样就可以按照前面的思路去求所走的时间。
解：（１２０×５＋１００×３）÷（１２０－１００）＝４５（分）
答：妈妈从家到单位需要步行４５分钟才能准时上班。
【思维链接】：
在例４
中，也仍然属于两次分配中，出现一次盈一次亏的情况。只是盈和亏的数量
不是直接出示的，而要间接将
其求出来，再来根据（盈＋亏）÷两次分配差的数量关系来求
分的份数。
【举一反三】： <
br>１、爸爸从家骑自行车去会场开会，如果每分钟骑３００米，则会提前２分钟到达会
场；如果每分
钟骑４５０米，则会提前５分钟到会场。爸爸从家到会场骑行多少分钟就按时
到会场？从家到会场的路程
是多少米？
2、学校规定早晨8点到校，明明以60米分的速度上学，可以提前2分钟到，若以50<
br>米分的速度，又会迟到2分钟。明明上学动身时间应该是几时几分？
例5：在一次大扫除中，有一些同学被分配擦玻璃，他们当中如果有2人各擦4块，其余的
人各擦5块，
就会多下12块玻璃没有人擦；如果每人擦6块，刚好擦完。擦玻璃的同学有
多少人？玻璃共有多少块？
【思路导航】：
“如果有2人各擦4块，其余的人各擦5块，就会多下12块玻璃没有人擦”
，在这种
分配方法中，每个人擦的玻璃块数是不一样的，因此我们要将它转化成每人擦的玻璃块数相同的情况，就是说如果每人擦５块，就会多下（１２－１×２）块玻璃没有人擦。这样就可
以按照前
面的思路去求有多少名同学，有多少块玻璃。
解：（１２－１×２）÷（６－５）＝１０（名）
１０×６＝６０（块）
答：擦玻璃的同学有１０人，玻璃共有６０块。
【思维链接】：
例５和前面不同的是，每次分配中每份数不尽相同，因此要先将其转化成每份
数相同
的情况再来解答。
【举一反三】：
１、飞飞家买来一篮苹果分给全家人。如
果其中二人每人分4个，其余每人分2个，则多出
4个；如果其中一人分6个，其余每人分4个，则又缺
12个。飞飞家买来多少个苹果？共
有多少人？
２、学校最近买来一批电风扇，分给初中班。
若有两个班每班分到4台，其余每班只能分2
台；如果有一个班分6台，其余每班分4台，还差12台。
共买来多少电风扇？有几个班？
〈指点迷津〉：
同学们，我们在解决盈亏问题时
，有时题中并没有直接给出剩余或亏的数量，要先将
它求出来，再根据两次分配的数量关系求出份数和要
分的数量的总数。
数学冲浪
扬帆起航：
1、 幼儿园老师组小朋友发积木，如果
给每个小朋友发３个，就多出１１个；如果给每小朋
友发５个，就还差１１个。一共有多少个小朋友？有
多少块积木？
2、 同学们去搬运花盆。如果每个人搬６个，则还多出２７个；如果每个人搬９个，则
还多
出３个。有多少个同学？有多少个花盆？
３、把一些书装到箱子里。如果
每个箱子里装２０本，则还缺少４０本书；如果每个箱子里
装１４本，则还缺少４本书。有多少个箱子？
一共有多少本书？
４、用一根绳子绕树５圈还余２米，绕树６圈还差６米。问这根绳子长多少米？
５、老师给同
学们发图画纸，如果给每个同学发１０张，就还多２０张；如果给每个同学发
８张，就还多１００张。请
问一共有多少名同学？老师一共有多少张图画纸？
６、同学们站队，如果每队站８人，
则多出９人；如果每队站１１人，则不多不少。一共有
多少个同学？
乘风破浪：
７、同学们坐在一起吃饭。如果每张桌子坐５人，就有２个同学没地方坐；如果每
张桌子坐
８人，则可以减少２张桌子。问有多少张桌子？有多少名同学？
８、学校
分配宿舍。如果每间房住８人，则有一间房空出２个床位；如果每间房住６人，则
还得多加２个房间。一
共有多少间房？有多少位同学？
９、同学们去划船。如果每条船坐８人，则可以少租１条船
；如果每条船坐６人，则要多租
１条船。同学们原来打算租多少条船？一共有多少个同学？
１０、丁叔叔打字。如果每小时打８篇文章，就要比预定时间少打４小时；如果每小时打１
０篇
文章，就比预定时间少打５小时。一共有多少篇文章要打？
１１、聪聪每天早上８时上学。
如果每分钟走６０米，就会迟到３分钟；如果每分钟走７０
米，就会提前２分钟到。聪聪每天几时几分开
始上课？
激流勇进：
１２ 水果店的店主运进一批苹果。如果每千克卖５元，就
会亏损１０元；如果每千克卖８
元，就会赚２０元。每千克苹果进价多少元？
１３ 两辆汽车
运同样多的两批货。载重量是２吨的汽车比载重量３吨的汽车要多跑４趟。
问一批货物共有多少吨？
１４ 六一儿童节快到了，幼儿园里有一筐苹果，要分给大班和中班的小朋友。分给大班，
每人
5个，余10个；分给小班，每人8个，缺2个；已知大班比小班多3人，问这筐苹果
有多少个？
１５ 饲养员把一堆桃子分给若干只猴子，每只猴分５个桃，还剩２６个；如果每只猴分１<
br>０个桃，就有３只猴一个桃也分不到，还有一只猴只分到６个。有多少只猴？一共有多少个
桃？
１６、在桥上测量桥的高度。把绳长对折后垂到水面，还余4米；把绳长3折后垂到水面，
还余
1米。桥高多少米？绳长多少米？
１７、小明在一座楼顶的平台用长绳吊一重物来测楼高,当将子2折
时绳子比楼高出18米,
当他把绳子4折时,绳子比楼短出2米.绳长和楼高各多少米?
１８
、张叔叔和一个朋友一起买足球。他发现自己身边的钱，如果买10个足球，还差42
元
；后来他向朋友借了1000元，买了31个足球，结果多了13元。张叔叔自己有多少元？
第十二讲
乘除法中的巧算
〈知识广角〉：
1、 学习乘、除法的简算，是为了提高计算准
确率和计算速度，它的依据主要是根据乘
除法的运算定律、性质来进行，在学习中，我们不仅可以提高计
算速度和准确率，
同时也可以提高我们的观察能力、分析能力。
2、
乘、除法的运算定律和性质
乘法的交换律 a×b=b×a
乘法的结合律 a×b×c=a×(b×c)
乘法的分配律
a×(b+c)=ab+ac a×(b-c)=ab-ac
乘法的分配律的拓展 (a+b)÷c=a÷c+b÷c
（a-b）÷c=a÷c－b÷c
除法的运算性质
a÷b÷c=a÷(b×c)
3、 积、商不变的性质
a×b=(a×c)×(b÷c) =(a÷c)×(b×c)
a÷b=(a×c)÷(b×c)
=(a÷c)÷(b÷c)
4、 乘、除法混合运算的性质
（1） 符号带着走的性质
a÷b÷c = a÷c÷b a÷b×c = c÷b×a
（2）
去括号、添括号的性质
去括号
a×(b÷c) a×b÷c 括号前面是乘号，添、去括号不变号。
添括号
添括号
a÷b×c
a÷(b÷c) 括号前面是除号，添去括号要变符号。
去括号
〈方法探究〉：
例1： 25×5×128×125
【思路导航】： 因为
25×4=100 5×2=10 125×8=1000 128=2×4×8×2
，所以把
128分成所需要的因数，分别与25、5、125相乘凑成整数，计算就简便了。
解： （25×4）×（5×2）×（125×8）×2
= 100 × 10 × 1000 × 2
=
1000 × 1000 × 2
= 2000000
【思维链接】：
在乘法简算中，如果有25、5、125这些特殊的因数，能找到与它凑整的数，
计算就比较便，
记住25 4 5 2 125 8 。
【举一反三】
1、125×18×5
2、160×25
3、a×b×c= a×（
）× b
例2 2340×42＋766×420
【思路导航】根
据乘法的分配律，算式中能找到420这个相同的因数，正好234加766和是
1000，这样算起来
就比较方便。
解： 2340×42＋766×420
=234×420＋766×420
=420×(234＋766)
=420×1000
=420000
【思维链接】 乘法分配律在计算中能使较复杂的计算简便，分析中能否找到相同的因数，
这是
我们应用乘法分配律的关键，如果不能直接找到，也可通过转化条件得到相同因数。分
配律的拓展，应用
也很广泛，我们要灵活应用。
【举一反三】 ：
4、23×68＋32×23
5、123×45－23×45
6、（125+4）×8
例3：
2727÷3÷9
【思路导航】因为2727是27的整倍数，所以把3和9先相乘积27，再除27
27，这样算较
简便。
解：
2727÷3÷9=2727÷（3×9）=2727÷27=101
【思维链接】 在计算除法时，
是同级运算，需要改变运算顺序时，我们可以添或去括号，
但是添、去括号都要注意括号里的运算反号问
题。
【举一反三】
7、378÷(9×2)
8、4545÷5÷9
9、777÷(7÷11)
例4 特殊计算：（1） 23÷6＋14÷6＋11÷6 （2）
2009×20102010-2010×20092009
【思路导航】：（1）本题每一步的商都
有余数，无法用整数计算，我们可以改变运算了顺序，
先把3个被除数相加，再求商，就简便了。
（2）20102010、20092009都可以写成2010×1000
1、2009×10001，这样因数
中就都有2009×2010×10001，它的结果就显然易见
。
解： （1）（23+14+11）÷ 6 = 48÷6 = 8
（2）2009×20102010-2010×20092009 =
2009×2010×10001-2010×2009×10001=
0
【思维链接】：（
1）在求几个商的和的计算中，如果几个除数相同，我们可以用先求几个
被除数的和，再求商的方法比较
简便。注意，被除数相同，不能用先求除数的和，
再求商的方法计算。
（2）一组循环数组成的多位数，可以写成这组数AB„D×100„001表示计算比
较简便。
【举一反三】
10、26÷15＋17÷15＋62÷15
11、1998×19991999-1999×19981998
数 学 冲 浪
【扬帆起航】
1、 125×32×25
2、 25×（8×40）
3、 4004×25
4、 125×4×8×25
5、
32×24＋68×24
6、320×161－320×61
7、 51×45＋12×45＋45×37
8、23×24＋23×65-39×23
9、1248÷3÷4
10、125÷（50÷8）
11、756÷（36×7）
12、999÷444×4
13、123÷90+356÷90+241÷90
14、125÷50×8÷4
15、96×25×125
16、（9＋9＋8）× 125
【乘风破浪】
17、320÷15×210÷16
18、
11×11×11-11×11-11×10
19、 3535×35-34×3434
20、 （91×27×84）÷（13×9×7）
【激流勇进】
21、176×125×11×25
22、11×40＋39×48＋8×11
23、
20082008×2×2008
24、14×44×104
第十三讲 简单的鸡兔同笼问题
【知识广角】
1、在我国古代著名的数学专著《孙子算经》中有一道广为流传的数学趣题：“今
有雉兔同笼，
上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何？”将这道题翻译
成现代数学语言就是：“现在有鸡、兔
共居一笼，鸡头和兔头一共有35个，鸡脚
和兔脚共有94只，问鸡兔各有几只？”这就是著名的“鸡兔
同笼问题”。
2、解答“鸡兔同笼”问题，我们可以用列表法和假设法。但列表法有一定的局
限性，特别是数据较大时，列表非常麻烦，所以通常用假设法解答“鸡兔同笼”
问题。即先根据题意进行
假设，然后把假设的情形和实际情形作比较，得出两种
情形下的差；而出现这个“差”的原因是因为经过
假设后，每份数增加了，因此
我们只要用总数的差除以每一分的差就可以求出份数。
【方法探究】
例1、笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。
鸡和兔各有几只？
【思路导航】
由一共有8个头这个条件可知鸡、兔共有8只，题
中还有两个隐含条件：每
只鸡有2只脚，每只兔有4只脚。解答本题可以用列表法和假设
法。请看下面表
格：
（1） 列表法：
解：
鸡 8 7 6 5
兔 0 1 2
脚 16 18 20
你能将表格填完吗？
答：鸡有3只，兔有5只。
（2）
假设法：假设笼子里全部是鸡，那么就有8×2=16只脚，这样就多出26－
16=10只脚。一只兔
比一只鸡多2只脚，也就有5只兔，则笼子里有3只鸡。
解：假设笼子里全部是鸡
（26－8 ×2）÷（4－2）
=（26 －16）÷2
=10÷2
=5（只） 8 －5=3（只）
答：鸡有3只，兔有5只。
假设笼子里全部是兔，你能自己解答吗？想想看。
【思维链接】
典型的鸡兔同笼问题，当数据比较小的时候，可以采用列表法解决，但
是，
列表法局限性很大，并且数据大的时候会很麻烦，所以经常采用假设法解决“鸡
兔同笼问题
”，即假设全部是鸡，根据每只鸡和鸭的脚的只数的差异，求出兔的
只数。
【举一反三】
1、有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟和鹤各有几只？
2、有一首民谣：“一队猎手一队狗，二队并着一队走，数头一共三百六，数脚一共八百九。”请问有多少猎手多少狗？
例2.用一辆卡车运石头，晴天
每天可运20次，雨天每天可运12次，他一共运
了112次，平均每天运14次，这几天中有几天是晴
天？
【思路导航】
这一道题看似没有提到鸡和兔，但仔细分析，它也属于“鸡兔
同笼问题”，可
以把晴天看成鸡，雨天看成兔，用假设法可以解决。要求“这几天中有几
天是晴
天”，我们可以假设这几天全部是雨天，则有：112÷14=8个雨天，应该运：12
×8=96（次），实际上运112次，用相差的总次数除以晴天和雨天每天相差的次
数即可得到雨天的
天数。
解：假设全部是雨天，一共运112÷14=8（天）
（112-12×8）÷（20-12）
=（112-96）÷8
=16÷8
=2（天）
答：这几天中有2天是晴天。
你还有其他的办法吗？试试看。
【思维链接】
鸡兔同笼问题并不都是题中涉及到的都是鸡和兔两个量
，有些题型也可以
把它看成鸡兔同笼问题，例如上面所提到的题型，还如：球赛中的得分与扣分等
等，都可以通过假设法，将两个量假设是同一个量，这样就会与实际的总数有差
别，根据总数的差别及
每份的差别来解决问题。
【举一反三】
3、新星小学“环保小卫士
”小分队12人参加植树活动。男生每人栽3棵树，女
生每人栽2棵树，一共栽了32棵树，男女生各有
多少人？
4、篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分。在一
场比
赛中小明投了15个球，进了9个，总共得了21分。小明在这场比赛中投进了几
个3分球
？
例3．在一次知识抢答赛中，答对一题加10分，答错一题扣
6分。小华共抢答
了8题，最后得了64分。他答错了几题？
【思路导航】 假设小华的8道题全部答对，这样他应该得10×8=80分。然而他实际得了
64分，与实际情况
相比他多得了80-64=16分。什么原因呢？因为我们通过假设
把答错的题转化为答对的题，每一道
错题转化为一道对题就要多算10+6=16分，
这样我们就能求出有多少道错题转化为对题。
解：假设小华的8道题全部答对。
（10×8-64）÷（10+6）
=（80-64）÷16
=16÷16
=1（道）
答：他答错了1道题。
【思维链接】
“鸡兔同笼问题”中两个量的
相差量可能是相减，也有可能是相加，要看具
体的情景而定。比如说上题，做对一题与做错一题相差10
+6分，所以把一道错
题假设成对题时，多算了16分。
【举一反三】
5、一次计算比赛，共20题，每算对一题得4分，算错（或不算）扣4分，明明
共得了64分
，他算错了几题？
6、百货公司委托搬运站运送200张玻璃茶几，双方商定每只的运费是
6元，如
果打破一只，这一只不但不记运费，并且要赔偿4元。结果搬运站共得运费1180
元
。问搬运过程中共打破了几只花瓶？
例4、小芳带2元一张的人民币和10元一
张的人民币共346元去新华书店去买
书。已知小芳共有49张。请问2元的人民币共有多少元？
【思路导航】
要求2元的人民币共有多少元，就需要知道2元人民币的张数，所以可以先假设全部都是10元的人民币，则一共应该有49×10=1490元，与实际相差
490-346
=144元，而一张2元的人民币换成一张10元的人民币就增加10-2=8元，
所以2元的人民币就
有：144÷8=18（张），问题就能解决了。
解：假设全部都是10元的人民币。
（49×10-346）÷（10-2）
=（490-346）÷8
=144÷8
=18（张）
18×2=36（元）
答：2元的人民币共有36元。
【举一反三】
7、学校体育组购买2个篮球和3个排球，共用208元。已知一个
篮球比一个排
球贵24元。篮球和排球的单价各是多少？
8、商店共有大小酒瓶50个。每个
大酒瓶装酒1000克，每个小酒瓶装酒750克。
大瓶比小瓶一共多装酒15000克。这个商店有大
、小酒瓶各多少个?
指点迷津：
1、 “鸡兔同笼问题”都可以运用假设法来解
决。这一类解决问题往往在一
题中含有两个或两个以上的未知量，解答的基本思路是先假设其中的两个量
为同
一个量，再观察“假设”后题中的数量发生了什么变化，并根据量的变化进行合
理的推算，
从而确定其他未知量的值。
2、假设法是数学学习中的一种重要的思想方法，除了在“鸡兔同笼”中的
应用以外，还在其他类型的解决问题中经常用到，我们也可以将这种数学方法作
为解决问题中的
一种重要的策略。在我们以后的学习中解答类似的鸡兔同笼问
题，除了可以用列表法、假设法，还可以用
方程来解决。
数学冲浪
扬帆起航：
1、笼中共有30只鸡和兔，数一数，脚正好是100只。请问：鸡和兔各有多少只？
2、自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有几辆？
3、箱子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小
钢珠每个7克。箱子
里大钢珠有多少个？
4、聪明小学举行“我做环保小卫士”知识竞赛。本次大赛一共有
20题，答对一
题得8分，答错一题（或不答）倒扣5分。小朋得了134分，他答对了几题？
5、班级买来50张杂技票，其中一部分是15元的，另一部分是20元的，总
共的票价
是880元。两种票价的各买了几张？
6、在2008年汶川大地震后，幼儿园小班
的小朋友进行了捐款活动，捐款面值又
0元，40元两种，共40张，共计捐款总额为1700元。问：
50元的钱有多少张？
乘风破浪：
7、刘老师带48名学生去划船，一共租了1
0条船，每条大船可坐6人，每条小
船可坐4人。问：大船和小船各有几条？
8、学校新修的报告厅有2000个座位，楼上楼下共有60排，楼下每排有30个座
位，楼上每排有
40个座位。请问，楼上有多少个座位？
9、六（二）班举行了一次计算比赛，共计算2
0道题，算对题得5分，算错一题
（或不做）扣5分，刘聪共得了70分，刘聪做对的题数比错的题多几
题？
10、在学雷锋活动中，我班有30个同学，平均每人做好事5件，男生平均每
人
做6件，女生平均每人做3件。我班有男生多少人？
11、一位农民
养了鸡兔若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只。
问鸡和兔各有几只？
激流勇进：
12、已知兔的只数是鸡的6倍，鸡、兔的脚共有390只。问鸡和兔各有几只？
13、有一元、二元、、五元的人民币50张，面值共计116元，已知一元的人民币
比二元的多2
张。问：一元的人民币有几张？
14、蜘蛛有8只脚，蜻蜓有6只脚和两对翅膀，蝉有6只脚和一对翅
膀，现在有
这三种小虫18只，共有脚118只，翅膀20对。问蜻蜓有多少只？
<
br>15、一艘船从甲地到乙地，去时每小时行15千米，回来时每小时行10千米。求
这艘船往返的
平均速度？
第十四讲
简单的逻辑推理
〈知识广角〉
1、逻辑推理指的是根据某些条件、结论以及它们之
间的逻辑关系进行判断、
推理，最终找到问题的答案。
2、逻辑推理的方法有两种：直接推理和间接推理。
3、直接推理指从已知条件出发，运用一
些简单的逻辑推理，逐步推出正确
的答案。而间接推理是指先假设一个结果，然后利用已知条件和客观规
律推出矛
盾，从而否定假设。
4、对于一些稍复杂的逻辑推理过程，以上两种方法也可以交替使用。
逻辑推理非常具有趣味
性，同时它也要求学生具有一定的逻辑推理能力，这
对增强学生数学能力十分有帮助。
〈方法探究〉
例1：在一件抢劫案中，有两个嫌疑犯A和B。另外有四个证人正在受到问讯。
第一个证人说：“我只知道A是无罪的。”
第二个证人说：“我只知道B是无罪的。”
第三个证人说：“前面两个证人的证词至少有一个是真的。”
第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”
通过调查研究，已证实第四个人说的是实话。请你分析一下，罪犯是谁？
【思路导航】
因为第四个证人说的是实话，所以第三个证人做的是伪证，也就是说：“前
面两个证人的证
词中至少有一个是真的”是一句假话。由此可以判断，第一个和
第二个证人都说了假话。
所以：A和B都是罪犯。
【思维链接】
这是一道直接推理的题，根据给出
的条件，顺着往上推，得出结论。在简单
的逻辑推理中，有时还会用到根据一个或两个条件推出错误的结
论，从而得出正
确结果。
【举一反三】
1、甲、乙、丙三人同时说了以下三句话。
甲说：“乙正在说谎。”乙说：“丙正在
说谎。”丙说：“甲和乙都在说谎。”请你判断，他们三个人中
谁说了真话，谁说
了假话？
2、有一个正方体，每个面上分别标有数字1，2，3
，4，5，6。有三个同学从不
同的角度观察的结果如下。请问每一个数字的对面是几？
5 1 4
3 2 1
2 6 5
例2、有三名工人，一名电工，一名车工，
一名钳工，又知道下面的三种说法只
有一种是对的：（1）甲是车工；（2）乙不是车工；（3）丙不是
钳工。请问：甲、
乙、丙分别是干什么的？
【思路导航】
本道题只有一种说
法是对的，但又不知道是谁，所以不能直接推理。可以假
设（1）说的是对的，则甲就是车工，那么（2
）说“乙不是车工”是错误的话，
乙就是车工，与“甲是车工”矛盾。又假设（2）说的是对的，则（1
）说“甲是
车工”错误，推出甲也不是车工，矛盾。最后假设（3）说的正确，（1）（2）错
误，得出乙是车工，甲不是车工，则甲就是钳工，丙不是钳工，则丙就是电工。
【举一反三】
3、小刚、小林、小苗各有一些苹果。小刚说：“我有22个苹果，比小林少2
个，
比小苗多1个。”小林说：“我的苹果是最多的，小苗和我的苹果树相差3个，小
苗有25
个。”小苗说：“我比小刚的苹果少，小刚有23个苹果，小林比小刚多3
个。”他们每人说的3句话中
，都只有一句是错的。小刚，小林、小苗各有多少
个苹果？
4、王飞、张平、刘琼在一起，一位是农民，一位是售货员，一位是工人。已知：
（1）刘琼比售货员年龄大。
（2）王飞和农民不同岁。
（3）农民比张平小。
想一想：谁是工人，谁是农民，谁是售货员？
例3： 我国
有“三山五岳”之称，其中五岳指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华
山，北岳恒山和中岳嵩山。地理张老师
拿出这五座山的图片，并在图上标上了数
字，他让五位学生辨认，每人说出两个，学生回答如下：
A：2是泰山，3是华山。
B：4是衡山，2是嵩山。
C：1是衡山，5是恒山。
D：4是恒山，3是嵩山。
E：2是华山，5是泰山。
张老师发现五位同学都只说对了一半，那么正确的说法应该是怎样的呢？
【思路导航】
这道
题中每位学生都只说对了一半，我们就可以运用间接推理的方法，先假
设一种正确的结果，再推出矛盾，
从而否定假设，得出正确结论。
解：假设A说的前半句正确，后半句错误，即A是泰山。可以推出E的
前
半句错误，则E的后半句必然正确，而“5是泰山”和“2是泰山”矛盾，所以
假设错误。
因此A的前半句错误，后半句正确，即3是华山，由E所说可以得知2不
是华山
，5是泰山；由C所说可以得知5不是恒山，1是衡山；由B所说可以得
知4不是衡山，2是嵩山；由D
所说可以得知3不是嵩山，4是恒山。
所以正确的说法是：1是衡山，2是嵩山，3是华山，4是恒山，5是泰山。
【思维链接】
间接推理是逻辑推理中经常用到的方法，我们可以假设某一个条件正确，顺
着这个假设
条件去推断接下来的已知条件，看是否一致，如果出现矛盾说明刚才
的假设是错误的，以此再假设另外的
条件，同理推断。
【举一反三】
5、中国地质大学的学生对一种矿石进行观察和鉴别，甲认
为：不是铁，也不是
铜。乙认为：不是铁，而是锡。丙认为：不是锡，而是铁。经化学证明，有一个人的判断完全正确，有一个人只说对了一半，而另一个人完全说错了。请你推断
一下，谁是对的，谁
是错的？谁只说对了一半？
6、小王、小李、小赵三位同学中，有一名在同学们都不在的时候为班级
做了件
好事。事后老师问他们三人是谁做的？小王说：“是小赵做的。”小赵说：“不是
我做的
。”小李说：“不是我做的。”现知道他们三人中只有一人说了真话，你能
判断是谁做的好事吗？
例4：小明、小方、小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游<
br>泳、篮球、排球中的一项体育运动，但谁爱哪项运动，在哪个学校读书还不清楚，
只知道：
（1）小明不在一中；
（2）小方不在二中；
（3）爱好排球的不在三中；
（4）爱好游泳的在一中；
（5）爱游泳的不是小方。
你知道他们各自读书的学校和爱好运动的项目吗？
【思路导航】
爱好游泳的不是小方，爱好游泳的在一中 ，而小明不在一中，说明爱好游
泳的也不是小明，那爱好游泳
的只会是小英，并且小英在一中。小方不在二中，
小英也不在二中，那只有小明在二中，进而小方在三中
。又因为小英爱游泳，所
以他不爱排球，而爱好排球的又不在三中，即不是小方，那只有小明爱好排球，
剩下来爱好篮球的肯定是小方。所以，小明在二中，爱好排球；小方在三中，爱
好篮球；小英在
一中，爱好游泳。
我们也可以将这种语言描述的过程用表格的形式表现出来，“√”表示是，“×”
表示否。
一中 二中 三中 游泳 篮球 排球
小明 × √ ×
× × √
小方 × × √ × √ ×
小英 √ × × √ × ×
【思维链接】
对于比较复杂的逻辑推理题，我们为了简单而清晰地反映推理过程，可以根
据已知的条件用表格的形式来推理。你也能试试看吗？
【举一反三】
7、王军、张展和李天原来是邻居，后来有一人当了医生、一人当了教师、一人
当了战士。只知
道：李天比战士年龄大，王军和教师不同岁，教师比张展年龄小。
那么谁是医生，谁是教师，谁是战士？
8、在郊区中学的一个年级里，甲、乙、丙三人分别教数学、物理、化学、生
物、
语文、历史，每位教师教两门课。已知：
（1）化学老师和数学老师住在一起。
（2）甲老师是三位老师中最年轻的。
（3）数学老师和丙老师是一对优秀的国际象棋手。
（4）物理老师比生物老师年龄大，比乙老师又年轻。
（5）三人中最年长的老师家比其他两位老师远。
请问：三位老师分别教哪两门课？
〈指点迷津〉
逻辑推理是一类非常规范性的数学问题，这一类数学问题，不
需要同学们作
过多的计算，只需要对问题进行分析、综合、判断、推理或论证。推理的方法一
般
是直接推理和间接推理，或者是两者混合应用，其中比较复杂的推理题可以根
据已知条件用到表格清晰地
反映推理过程。
数学冲浪
扬帆起航：
1、A、B、C、D四人，已知
B不是最高的，但他比A、D高，而A不比D高，
请把他们按高矮排列。
2、甲、
乙、丙、丁四人同时参加了读书竞赛，赛后他们各自预测名次，甲说：
“丙第一名，我第三名。”乙说：
“我第一名，丁第四名。”丙说：“丁第二名，我
第三名。”丁没说话。最后成绩公布时，发现他们的预
测都只对了一半。那么，
这次竞赛他们的名次分别是什么？
3、有一次上课坐在一
个小组的三个人中有人讲话，小张指责小王和小李：“你们
都在说谎。”小李却说：“小张正在说谎。”
小王则说：“小李正在说谎。”试问：
他们中谁讲的是真话，谁讲的是假话？
4、甲、乙、丙、丁四位同学的校服上印有不同的号码。
赵同学说：甲是2号，乙是3号。
钱同学说：丙是2号，乙是4号。
孙同学说：丁是2号，丙是3号。
李同学说：丁是1号，乙是3号。
已知赵、钱、孙、李每人都说对了一半，那么丙是几号？
5、甲、乙、丙三
人对晓明的藏书数目作了一个估计，甲说：他至少有1000本书。
乙说：他的书不到1000本。丙说
：他最少有1本书。这三个人的估计中只有一
句是对的。晓明究竟有多少本书？
6
、小利、小江、小敏、小磊四个同学，有一个同学在英语竞赛中获奖，其余同
学问他们谁是获奖者，小利
说：我不是，小江说：是小磊，小敏说：是小江，小
磊说：不是我。他们当中只有一个人没有说真话，那
么获奖者是谁？
乘风破浪：
7、有三名学生在看1、2、
3号运动员进行“羽毛球冠军争夺赛。”赛前，对于谁
会得“冠军”称号，三名学生都说了两句话：甲说
：不是2号，是3号。乙说：
不是2号，是1号。丙说：不是3号，是2号。比赛结果表明，他们的话有
一人
全对，有一人对一半错一半，另一人全错。请你想一想，冠军是谁？
8、有三位老师比年龄，他们每人说的3句话中有2句是对的，请你分析一下他
们各有多少岁？
刘老师：我22岁，比小陈小2岁，比小李大1岁。
陈老师：我不是年龄最小的，小李和我相差3岁，小李是25岁。
李老师：我比小刘小，小刘23岁，小陈比小刘大3岁。
9、一名法官在审理一起案件中，对涉及到的四名嫌疑犯进行了审问：
甲说：罪犯在乙、丙、丁三人中。
乙说：我没有作案，是丙干的。
丙说：在甲和丁中间有一人是罪犯。
丁说：乙说的是事实。
经调查，证实四人中有两人说了真话，另外两人说了假话。谁是罪犯？
10、英语
竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得
银牌，一人得铜牌。老师猜测：“
小明得金牌，小乐不得金牌，小强不得铜牌。”
结果老师只猜对了一个，你猜谁得了金牌，谁的了银牌，
谁得了铜牌呢？
11、朱老师让五名学生分辨出五位科学家的画像，画像从1到5编了号，
让各个
学生说出其中任意两位科学家的名字。
张敏说：2号是牛顿，3号是伽利略。
李强说：1号是瓦特，2号是爱因斯坦。
王炜说：3号是爱因斯坦，5号是瓦特。
徐益说：2号是牛顿，4号是哥白尼。
陈东说：4号是哥白尼，1号是伽利略。
老师听后，发现每个人都只说对了一半。请问：这几位科学家的画像分别是几号？
激流勇进：
12、甲、乙、丙、丁、戊五人站成一行，已知丙在戊前面2米处，丁在甲前面3
米处，丙在丁前面6米处，戊在乙后面3米处。那么最后面和最前面的人相距多
少米？
13、小强在纸上写了一个四位数，让小军猜：
小军问：是6031吗？
小强说：猜对了一个数字，且位置正确。
小军问：是5672吗？
小强说：猜对了两个数字，但位置都不正确。
小军问：是4679吗？
小强说：猜对了四个数字，但位置都不正确。
根据以上信息，小军终于猜出，小强所写的四位数是多少？
14、根据下面两式，求A+B的和是多少？
（1）A+A+A+B+B=62
(2)A+A+B+B+B+B=60
15、某校语文竞赛，有八名同学获前八名，老师让他们猜谁是第一名。
A：或者F是第一名，或者H是第一名。
B：我是第一名。
C：G是第一名。
D:B不是第一名。
E：A说的不对。
F：我不是第一名，H也不是第一名。
G：C不是第一名。
H：我同意A的意见。
老师指出：八个人中有三人猜对了。请问：第一名是谁？
第十五讲
植树问题
〈知识广角〉：
1、植树问题：通常是指沿着一定的路线植树，这条路线被树平均
分成了若干段（间隔），由
于路线不同、植树的要求不同，路线被分成的段数（间隔数）、植树棵数和它
们之间的关系
就不同。在现实生活中类似这样的问题还有很多，如在公路两旁安装路灯、在花坛摆花、排
方阵等，它们中都隐藏着类似的关系问题，我们就把这类问题统称为植树问题。
2、在不封闭
的线路上的植树问题可以分为以下三种情形。为使其更直观，用图示法来说明。
树用点来表示，植树的沿
线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上
的“点数”与相邻两点间的线的段数之
间的关系问题。
（1）如果植树线路的两端都要植树 (如下图所示)
，那么植树的棵数应比要分的段数
多1，即：棵数=段数+1。
（2）如果植树线路只有一端要植树(如下图所示)，那么植树的棵数和要分的段数相等，
即：
棵数=段数。
（3）如果植树线路的两端都不植树(如下图所示)，那么植树的
棵数比要分的段数少1，
即：棵数=段数－1。
3、在封闭线路上植树(如下图所示)，棵数与段数相等，即：棵数=段数。
〈方法探究〉：
例1：学校有一条长160米的走道，计划在道路两旁栽树，每隔８米栽一棵。
（1）如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？
（2）如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？
（3）如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？
【思路导航】
这一题属于在
不封闭的线路上植树的问题。道路的全长是１６０米，每隔８米栽一棵，
８米就是间隔距离，整条道路可
以平均分成这样的２０段，２０是段数（间隔数）。全长÷
间隔距离＝段数。再来根据两端植树或不植树
的情况选择合适的方法求解。这一题因为路的
两旁都要植树，因此求出树的棵树后还要乘２。
解： （１） （１６０÷８＋１）×２＝４２（棵）
（２）（１６０÷８）×２＝４０（棵）
(３）（１６０÷８－１）×２＝３８（棵）
【思维链接】：
第一个问题是线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的
段数多1。第二个问
题是线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等。第三个问题是线路的
两端都
不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1。
【举一反三】：
１、公园里有
一段长２５０米的路，在路的一侧从头到尾栽柏树。每隔5米栽一棵，一共可
以栽多少棵？
<
br>２、两座楼房之间相距７２米，在路的一边每隔９米栽一棵梧桐树，这两座楼房间一共栽了
多少棵
梧桐树?
３、有一条长４000米的公路,在路的两边每相隔２０米栽一棵白杨,从头到尾需要栽白杨
多
少棵?
例２：一条林荫道的一边从头到尾等距离地种着香樟树。每两棵树间距离
是１５米，一共种
了４６棵。
（１） 这条林荫道有多长？
（２）
在林荫道的另一边从头到尾等距离的放着２６个垃圾桶。每两个垃圾桶间间隔
多少米？
【思路导航】
这一题与在不封闭的线路上植树的问题类似。第一问中每两棵树
间距离是１５米，１５
米就是间隔距离。一共种了４６棵，可以用棵树－１求出段数。再用间隔距离×段
数来求路
的全长。
第二问中可以用垃圾桶的个数－１求出段数。再用全长÷段数来求间隔距离。
解： （１）
（４６－１）×１５＝６７５（米）
（２）６７５÷（２６－１）＝２７（个）
【思维链接】：
这里是应用间隔距离×段数＝全长和全长÷段数＝间隔距离的数量关
系来解决问题。注
意要将已知条件中的树的棵数（或垃圾桶的个数）－１来求出分成的段数。
【举一反三】：
４、5路电车一共有11个站，每两相邻两站的距离是1200米。5路电车全程是多少千米？
５、港口大楼的大钟5时敲响5下，20秒钟敲完。11时敲响11下，需要多长时间？
６、
一根木头长20米，要把它平均分成4段。每锯下一段需要10分钟。锯完一共要花多少
分钟？
例3：学校开运动会，沿400米跑道外侧插旗子。每隔25米插一面红旗，每两面红旗间插
一面黄旗。沿跑道一周一共插了多少面旗子？
【思路导航】
这道题与封闭线路植树
问题的道理是一样的。跑道是一个封闭的环形，长400米。每
25米分成一段，一共分成若干段。插红
旗的面数与段数相等。每两面红旗间插一面黄旗，
也相当于每段上再插一面黄旗，因此黄旗的面数也与段
数相等。
解：800÷２5×2＝32（面）
【思维链接】：
这是一道
典型的类似于封闭线路植树的问题，首尾重合，面数就等于段数，并且段数=
线路全长÷间隔距离。做封
闭线路植树问题时，无论是圆形、三角形还是方形封闭，都是一
样的解法，不要被图形迷惑。
【举一反三】：
７
沿一个池塘周围每隔15米种一棵树，共种38棵，这个池塘的周长是多少米？
８ 聪聪沿人工湖骑自
行车一周，每分种骑50米，共骑了12分钟。他看到沿人工湖一周一
共等距离地种了24棵柳树。每两
棵柳树间的距离是多少米？
９ 圆形滑冰场一周的全长是320米。如果沿着这一圈每隔20米安装一
盏大路灯，再在每
两盏大路灯间安装一盏小地灯，一共需要安装多少盏灯？
例4
：一个长方形操场长48米，宽24米。围操场周围植树，长边每隔12米植一棵，短边
每隔8米植一棵
(每个顶点一棵)。一共植了多少棵树？
【思路导航】
这道题也是一个封闭线路的植树问题。可以按如下图所示的方式思考。
解：48÷12×2+24÷8×2＝14（棵）
小精灵图
同学们，你还有
别的解决方法吗？
可以把其中一组对边看作是两
端都植树，把另一组对边看作
两端都不植树。
小朋友图
【思维链接】：
这一题可以把它转化成在四条线段上植树的情况，每条线
段只有一头种树，因此对于每
条线段而言，段数=棵树。
【举一反三】：
1０、
同学们围成一个长方形做团体操，沿长边每隔4米站一名同学，共站了5人；沿短边
每隔2米站一名同学
，也共站了5人。每个顶点上都有一名同学，这个长方形的周长是多少
米？
１１、有一块正方
形花坛，边长是28米。现在在四个角上各栽了1棵松对。如果沿花坛四
周再在松树之间每间隔4米栽一
丛迎春花，共要栽迎春花多少丛？
〈指点迷津〉：
同学们，我们在解决植树问题
时，第一要注意总距离、棵距及棵数三个量之间的关系。
第二要分清图形是否封闭，然后确定是沿线段栽
，还是沿周长栽。
数学冲浪
扬帆起航：
1、园林工人沿公路一侧从头到尾植树，
每隔16米种一棵，一共种了46棵。从第一棵到最
后一棵的距离有多远？
2、四(6)班同
学做广播操时排成两列纵队。其中男生纵队从头到尾长46米，每两名男生间
距离是2米。请问四(6)
班有多少名男生？
3、在一条全长4千米的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔80米安一座。
一共要安
装多少座？
4、一个圆形的人工湖周长是780米，如果沿湖每隔20米放一张长椅，共需要多少张长椅？
5、在一块长75米，宽45米的长方形地的周围种树，每隔若干米种一棵，共种了20棵，求
每两棵
之间的距离是多少米？
6、一块草坪周长是678米，现在要打一些桩做篱笆将它围起来。每隔3米打
一根长桩，每
两根长桩之间再打两根短桩。一共要批多少根桩？
7、一根木头，要把它平均分成10段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？
8
、一个木工师傅要把一根长36米的木条锯成6米长的小段,每锯断一次要用7分钟,共需多
少分钟?
乘风破浪：
９、聪聪从一楼走到三楼用了1分钟，照这样的速度，他从一楼走到九楼要多长时间？
１０、时钟4点钟敲4下，用12秒敲完。那么8点钟敲8下，用多长时间敲完？
１１、把
10张长20厘米的纸用胶水连接起来，每两张纸的接口处重叠2厘米长。求一共长
多少？
１２、丁丁从一楼跑到五楼需要2分钟，当当的速度是丁丁的一半，当当从一楼跑到四楼需
要多长时间？
１３、公路的一边每相隔60米有一根路灯杆,轩轩乘无轨电车从看到第一根路灯杆到第21
根
路灯杆正好用3分钟,问电车每分钟行多少米?
１４、光明路小学举行运动会，每班组成一个方阵进
行队列展示，每班的队伍长8米，全校
有30个班，每两个班间隔4米，全校的队列展示队伍共长多少米
？
１５、一条马路的一侧从头到尾原有路灯49盏，每两盏间相隔35米。现在从头到尾要等距
离地全部换成新型路灯，共需43盏。现在每两盏路灯间相隔多少米？
１６、明明家有个挂钟，每敲
响一下延时4秒，间隔2秒后再敲第二下。一天晚上，明明听
到钟声响起并等待敲完后，他判断出已是晚
上10点，前后共经过了几秒钟？
激流勇进：
1７、路边等距离地植了一些树。
小雪以相同的速度在路上行走，她从第一棵树走到第五棵
树需要20分钟。如果这个小朋友走了1小时，
她应走到第几棵树？
１８、一个城市举行庆典活动,接受检阅的彩车车队共18辆,每辆车长4米,每
两辆车之间相
隔10米,它们行驶的速度都是每分钟40米,这列车队要通过558米长的检阅场地,需
要多少分
钟?
１９、在长30米的走廊的墙上，要挂宽度为60厘米的“艺术小明星”镜框
8个。要求两头
与镜框的距离，镜框与镜框间的距离都相等，间距应是多少厘米？
２０、一运
动员参加长跑比赛。从看见第一个茶水站到看见第4个茶水站，共花了48分钟。
已知从起点到终点每两
个茶水站间相距为3500米，他跑完全长共花了1小时36分钟。问这
次长跑比赛的赛程长多少米？
２１、爸爸坐在火车里看外面的电线杆，从第一根到第16根共花了半分钟，如果火车时速
为1
08千米，那么每两根电线杆相隔多少米？
２２、哥哥和弟弟比赛爬楼梯，弟弟爬到第六层时，哥哥爬
到第9层，当弟弟爬到第十一层
时，哥哥应爬到第几层？
第十六讲：
简单的方阵问题
〈知识广角〉：
1、方阵问题：同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅
等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学
问题,称为
方阵问题。方阵其实是一种队形，一个团队排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与
列数都相等,正好
排成一个正方形,这种队形就叫做方阵。将一些物体按照这样的方式排列起
来，也叫做方阵。
2、方阵的分类和特点：方阵一般分为实心方阵和空心方阵两类。其基本特点是不论哪一层,
每边上的人
(或物)数量都相同；每向里一层,每条边上的人(或物)就少2，每一层的人(或物)
的总数就少8。
3、方阵问题中常见的数量关系有（以队形为例）：
(1)每层总人数=(每边人数－1)×4或每层总人数=每边人数×4－4。
(2)每边人数=每层总人数÷4+1。
(3)实心方阵的总人数=每边人数×每边人数。
(4)空心方阵的总人数=（最外层每边人数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4。
〈方法探究〉：
例1：聪聪和明明玩下五子棋的游戏，他们的小棋盘每横行和每竖行都有11
个交叉点(如下
下图所示)。
(1)最外层可以摆放多少个棋子？
(2)把棋盘全部摆满可以摆放多少个棋子？
【思路导航】
最外层每边可以放11个棋子，最外层四条边上则可以放11×4＝44个棋子
，但是其中
四个角上的棋子重复计算了一次，所以再减4才是棋子的总个数。
这是一个实心方阵，所以放棋子的总个数＝每行放的个数×每行放的个数（行数）。
解：（1）11×4－4＝40（个）或（11－1）×4＝40（个）
（2）11×11＝121（个）
【思维链接】：
这是一个最简单的实心方阵问题
，每层总个数=(每边个数－1)×4或每层总个数=每边
个数×4－4，总个数＝每行放的个数×每行
放的个数。
【举一反三】：
１、要在一个正六边形花坛上摆上一盆盆的鲜花，要使每一边上
都摆7盆鲜花，每个顶
点都摆一盆，一共需要多少盆鲜花？
２、八角形亭子每边上放6把椅子，每个顶点上都放有一把。一共需要多少把椅子？
例2：四年级（3）班同学排成一个实心方阵跳集体舞，最外层一周的人数
为24人，请问方
阵最外层每边有多少人？四（3）班一共有多少人？
【思路导航】：
根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数÷4+1,可以
求出这个方阵最
外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
解:(1)方阵最外层每边的人数:24÷4+1=7(人)
(2)整个方阵共有学生人数:7×7=49 (人)
答:方阵最外层每边的人数是7人,
四（3）班一共有学生49人。
【思维链接】：
我们按公式解题结束后，最好画画点子图，验证一下，进一步巩固认识。
【举一反三】： <
br>１、实验小学操练大型团体操，同学们排成一个方阵,最外层一周共有156人,问这个方阵
共有
多少人?
2、有一块正三角形场地。沿四周等距离地植了27棵树，每个顶点上都有一棵。问每条边上有多少棵树？
例３：小会议室的椅子摆成一个三层的空心方阵,最外层每边有11
把椅子,这个方阵最外
层一共有多少把椅子?这个三层空心方阵一共有多少把椅子?
【思路导航】：
可以通过点子图帮助理解空心方阵的特点及空心方阵问题中的数量关系。
第一层每
边有11把椅子，则第二层每边有11－2＝9把椅子，第三层每边有9－2＝7把
椅子，可以看出每边
椅子依次减少2把。
第一层的总把数可以用每边把数减1的差再乘4求得。
三层的总把数可
以先求出每层的总把数再将其相加或者用前面提到的公式：空心方阵的
总把数=（最外层每边把数－空心
方阵的层数）×空心方阵的层数×4求得。
解：（1）（11－1）×4＝40（把）
（2）（11－1）×4＋（11－2－1）×4＋（11－2－2－1）×4＝96（把）
或（11－3）×3×4＝96（把）
【思维链接】：
空心方阵的数量关系是理解
上的难点。在解题时我们可以借助画图来理清数量关系。这
一题还可以用以下这个公式来
求解：空心方阵的总人数=最外层每边人数×最外层每边人数
－（最里层每边人数－2）×（最里层每边
人数－2）。
【举一反三】：
１、国庆节前夕，解放公园举行菊展。在一座塑像的周围，围
成一个两层的菊花方阵。
最外层每边上有10盆菊花。求最外面一层有多少盆菊花？一共有多少盆菊花？
2、聪聪用围棋子摆了一个三层的空心方阵，最外层每边有9个棋子。聪聪摆的这个方
阵一共用
了多少个棋子？
3、战士们站成一个两层的空心方阵训练队列。最里层每边有4人。一共有多少个战士
参加训练？
例４：64名同学站成一个两层的空心方阵上体育课。请问最外面一层每边有多少名同学？
【思路导航】：
因为：空心方阵的总人数=（最外层每边人数－空心方阵的层数）×空心方阵
的层数×
4。这里的64人也就是总人数，现在可以由上面的公式倒推出答案。
解：64÷4÷2＋2＝10（人）
【思维链接】：
在解决这一题时，可以参照前面的空心方阵的图例来思考。
【举一反三】：
１、围一块正方形场地植两圈树，共80棵。每一圈每边有多少棵树？
２、有72盆花摆成一个三层的空心方阵，这个方阵的最外层有多少盆花？
〈指点迷津〉：
在解题时我们可以借助画图来理清数量关系。
数学冲浪
扬帆起航：
1、在一块正方形地四周种树，每边都种了12棵，并且四个顶点都种有一棵树。
问这个
场地四周共种树多少棵？？
2、沿一块三角形场地插红旗，每边插6面，每个顶点插一面。一共了插多少面红旗？
3、四
（5）班同学有44人，他们围成一个正方形。每边人数相等，四个顶点上各有一
个人。每边上各有几名
学生？
4、把20盆花摆在正五边形的水池边上，每边盆数相等，四个顶点上各有一盆。每边上
各有几盆花？
5、81名同学站成一个正方形实心方阵，请问最外层一共有多少名同学？
乘风破浪：
6、公园在一块空地上打梅花桩供人们锻炼身体。把梅花桩打成一个两层的空心方
阵，
最外层每边有14根。问最外层一共有多少根？这个方阵一共有多少根梅花桩？ <
br>7、新星小学四年级同学排成正方形空心队列，共2层，只知道外面的一层每边有50
人。新星小
学四年级共有多少人
8、同学们训练队列时，站成一个三层的空心方阵。最里层每边上有3人。一共有
多少
名同学参加队列训练？
9、明明把96个棋子摆成一个两层的空心方阵，请问每层每边上各有几个棋子？
激流勇进：
10、曙光幼儿园设计一个团体操表演队形，想排成4层的中空方阵，已知参加表
演的人
只有324人。问：最外层每边应排多少人？
11、有一队学生，排列成一个中空方阵
，最外层人数共16人，最内层人数共12人。这
队学生有多少人？
12、同学们观看文艺表
演，坐成了一个7行7列的正方形方阵，如果去掉一行和一列，
还剩下多少人观看？
四年级答案汇编
上学期
第一讲 加、减法中的巧算答案揭晓：
【举一反三】
1、
原式=433＋500＋1=934
2、 原式=843－200－6=637
3、 原式=10＋100＋1000＋10000＋6－8=11108
4、
原式=（73＋27）＋126=226
5、 原式=3000－（36＋864）=2100
6、 原式=954－154＋128=928
7、
原式=200×5＋（2＋1＋3－1－4）=1001
8、
原式=50×6＋（6＋1＋3－1－2－3）=304
9、
原式=（203－202）＋（201－200）＋（199－198）＋„„＋（3－2）＋1=102
10、原式=（96－95）＋（94－93）＋（92－91）＋„„＋（4－3）＋（2－1）
=48
扬帆起航：
11、原式=985－500＋4=489
12、原式=300－（139＋61）=200
13、原式=70×5＋4＋1－3－2=350
14、原式=（2＋18）×4＋10=90
乘风破浪：
15、原式=7000＋5000＋1000＋100＋100－12=13188
16、原式= 3687－687－（1637＋363）－(478＋222)=300
17、原式=843－33－（75－25）=760
18、原式=10＋100＋1000＋10000＋7－4=11113
激流勇进：
19、原式=（101－100）×50＋1=51
20、原式=（1＋31）×8=256
21、原式=800×5－795＋1＋2＋3－2=3209
22、原式=（2－1）＋（4－3）＋（6－5）＋„„＋（200－199）=100
举一反三
2、 3 1 7 5
×
4
1 2 7 0 0
3、 2 8 5
× 3 5
1 4 2 5
8 5 5
9 9 7 5
3、A=2，B=1；C=7；D=8。
4、 7 8 3
× 8 3
2 3 4 9
6 2 6 4
6 4 9 8 9
5、 3 9
1
2 4 6 8
3 6
1 0 8
1 0 8
0
6、
5 2
2 9 1 5 0 8
1 4 5
5 8
5 8
0
扬帆起航
：
1、 7 3 5
× 6
4 4 1 0
2、 7 4
8 5 9
6
5 6
3 6
3 2
4
第二讲 乘除法算式谜答案揭晓
数学冲浪
3、 6 8
× 1 1
6 8
6 8
7 4 8
4、 6 6
× 3 1
6 6
1 9 8
2 0 4 6
5、 1
2 3 4
× 5 6
7 4 0 4
1 1 7 0
1 9 1 0 4
6、
1 6
1 2 1 9 2
1 2
7 2
7 2
0
7、 6 3
2 3 1 4 4
9
1 3 8
6
9
6 9
0
乘风破浪
：
8、 8 2
× 7 8
6 5 6
5 7 4
6 3 9 6
9、答案：A=9；B=3；C=6；D=1。
激流勇进
：
10、A=2；B=1；C=9；D=7；E=8。
11、答案：△=1； □=9；
☆=6；〇=3。
第三讲 和、差、倍问题答案揭晓
举一反三
1、上层：（70－4×2）÷2=31（本）
下层：70－31=39（本）
2、 （95×2+8）÷2=99（分）
３、母鸡：（350+10）÷（3+1）=90（只） 公鸡：350－90=260（只）
４、徒弟：（410－10）÷（3+1）=100（个）
师傅：410－100=310（个）
５、（36-8）÷（3-1）=12 岁
12×3=36岁
６、60÷（5-1）= 15岁 。。。。。晓晓
15×5=75岁。。。。。。奶奶
７、乙：420÷（3+1+2）=70 甲；
70×3=210 丙：70×2=140
８、丙：（183+4-7）÷（1+2+3）=30 乙：30×2-4=56
甲：30×3+7=97
数学冲浪
扬帆起航
1、乙：（30－6×2）÷2=9（千克）
甲：30－9=21（千克）
2、差：8－ 2=6（块） 小红：（20－6）÷2=7（块）
小明：20－7=13（块）
3、宽：（42÷2）÷（2+1）=7（厘米）
长：7×2=14（厘米）面积：14×7=98（平方厘米）
4、甲库：（92－3）÷（4+1）=19（吨） 乙库：92－19=73（吨）
5、33÷（4-1）=11岁
6、（45-10）÷（15-10）=7
7、 第二名：（875+125-250）÷3= 250（元） 第一名
250+250=500（元） 第三名
250-125=125（元）
8、小：16÷（4-2）=8 （千克） 大 ：8×4=32（千克）
中：32-16=16（千克）
乘风破浪
：
９、差：5×2+4=14（本）小志：（48－14）÷2=17（本）
小刚：48－17=21（本）
１０、
乙仓：（350－40+20）÷（2+1）=110（吨）甲仓：350－110=240（吨）
１１、（30-6）÷（3-1）÷2=6（年）
１２、（32+30+22）÷2= 42
甲：42-30=12 （千克） 乙：42-22=20（千克）丙：42-32=10
（千克）
激流勇进
：
1３、帽子：（270－210）÷2=30（元）鞋：（270－30－140）÷2=50（元）
１４、五元的张数：175÷（2×2+1）=35（元）35÷5=7（张）
十元的张数：7×2=14（张）
１５、（ 90-10×7-10）÷2 = 5 （年）
１６、彩：（7-1）÷2=3 12÷（3-1）= 6（盒） 白：6×7=42（盒）
第四讲 较复杂的还原问题答案揭晓
1、 946
-（7-1）+ （8-3）×10 = 990
2、（4+4+2）×2 = 20 (个)
3、姐姐：85-7+5 = 83（张）弟弟： 85+7=92（张）妹妹：85-5=80（张）
4、 （30+4）÷ 2 = 17 （个）
原 来
第 一 次 第 二 次 第 三 次
甲
乙
24
6
12
18
21
9
17
13
【扬帆起航】
1、210+（5-3）-（9-6）×10= 182
2、462+（7-1）×10 -（8-3）×100 = 222
3、217-（9-6）×10+（5-3）=189
4、2250÷（10-1）×10+1234=3734
5、（100+8）×2 =
216（元） （216＋6）×2 = 444（元）
6、（2＋2）×2 =
8 （人） 8×2 = 16（人） （16-5）× 2 = 22（人）
7、（
50+6）÷2 – 6 = 22 (枚)
8、上层 （262+20）÷ 2 ＋ 40 =
181 （本） 下层 262 – 181 = 81（本）
9、180÷3= 60（元）
方方：60+20—15=65（元） 小红：60+5-20=45（元）
小 勇：
60-5+15=70（元）
10、100÷4=25 甲：25+18-7=36(颗)
乙:25-13+18=25（颗） 丙：25+16-18=23（颗）、
丁：25-16+7=16（颗）
11、B杯：（360÷2+360）÷2=270（毫升）A杯：180+270=450（毫升）
12、（48-4）÷2=22（棵） 22-6+10=26(棵)
13、
甲
乙
答: 甲桶原来有45千克
，乙桶原来有27千克。
14、
奇 奇
李 异
第一次
3 0
1 8
第二次
1 2
3 6
第三次
8
18
第一次
45
27
第二次
18
54
第三次
36
36
列表解答 奇奇：30张， 李异： 18张。
15、（25-7）÷
（2 +1）= 6（只） 第一 6＋5 = 11（只） 第二 25- 11 = 14（只）
16、 42÷3=14（只）
第一：14＋4-4=14 （只）
第二：14-4＋2 = 12（只） 第三： 14-2+4=16（只）
【乘风破浪】
17、 2402-（8-5）-60+（5-2）×10 - 600=1769
18、(3-1)×2 = 4(个) （4-1）×2=6(个)
（6-1）×2=10（个） （10-1）×2=18（个）
19、48÷（2+1）=16（颗） 哥哥:16+4-8=12(颗)
弟弟：16×2+8-4=36（颗）
20、
解：（280-40）÷8÷2=240÷8÷2=15（次）
【激流勇进】
21、45÷9=5 甲：5×2-2=8，乙：5×2+2=12
丙：5
丁： 5×2×2=20
22、（600+50）×2= 1300（筐） 1300-450
= 850（筐） 850×2 = 1700（筐）
23、(30＋4)÷2=17(个)
甲：[(17+4)-(17-4-4)]×2=24（个）
24、
哥哥
第一次
6
第二次
16
第三次
14
弟弟
20 10 12
答：最初弟弟有20块。
第五讲 用消去法解决问题答案揭晓
【举一反三】
1、钢笔（29-19）÷ （ 5 - 3）= 10 ÷ 2 = 5 （元）
铅笔（19-3×5）÷ 4 = 1（元）
2、跳绳：（35 - 25）÷ （5 - 3）=
5（元） 毽子： （35-5×5）÷ 10 = 1（元）
10×1+10×5 = 10+50 = 60 （元）
３、 42×2=84（克）
5×2=10（个） 3×2 = 6（个）
小球：（84-76）÷(6-4) =
8÷2=4(克) 大球；（42-3×4）÷5 = 6（克）
４、4×2=8（本）
5×2=10（本） 19×2 = 38（元）
练习本；（38-33）÷（8-3）= 1（元） 软面抄：（19-4×1）÷5=3（元）
５、中巴：（276-13×4）÷（4＋3）= 32（人） 大巴：32+13=45（人）
６、3.4元=34角 2.7元=27角 34-27=7（角）语文本
（7+1）÷2=4（角）数学本4-1=3
（角）
７、3×7 =21（个）
4×7=28（个） 190×7 =1330（元）
7×3=21（个）
9×3=27（个） 440×3=1320（元）
茶杯：
（1330-1320）÷（28-27）= 10（元） 保暖杯：（190-4×10）÷3
=50（元）
８、3×4=12（件） 5×4=20（件） 11×4 =
44（米）
5×5=25（件） 4×5=20（件）
14×5=70（米）
上衣： （70-44）÷（25-12）=
2（米）
数学冲浪
【扬帆起航】
1、
5×2=10（本） 3×2=6（本） 135×2=270（元）
故事书：（270-162）÷（10-4）= 18（元）
科技书：（162-4×18）÷6 = 15（元）
2、
30×3=90（个）
10×3=30（个） 2100×3=6300（克）
鸡蛋（6300-2800）÷（90-20）= 50（克） 鸭蛋 （2800-20×50）÷30=
60（克）
3、
5×2=10（本） 3×2=6（本）
135×2=270（元）
故事书：（270-162）÷（10-4）= 18（元）
科技书：（162-4×18）÷6 = 15（元）
4、
30×3=90（个）
10×3=30（个） 2100×3=6300（克）
鸡蛋（6300-2800）÷（90-20）= 50（克） 鸭蛋 （2800-20×50）÷30=
60（克）
5、 100元可买几个皮球：60÷2+20 =50(个) 皮球的单价：
200÷50 = 4
（元）
6、12×7=84（人）
中巴：（744-84）÷（7+15）= 30（人） 大巴：30+12=42
（人）
7、
（7×2=14（头） 3×2=6（只） 123×2
= 246（千克）
5×3=15（头） 2×3=6（只）
87×3 = 261（千克）
牛：（261-246）÷（15-14）= 15（千克）
8、
20×4=80（支） 30×4=120（支）
70×4=280（元）
15×3 =45（支）
40×3=120（支） 70×3=210（元）
水性笔：
（280-210）÷（80-45）= 2（元）
【乘风破浪】
９、
90+85）÷（3+4）= 175 ÷7 =25（千克）
１０、
水：（760-520）÷（7-4）=80（克） 瓶： 520-80×4=
200(克)
１１、76×32=2432（元）
梨的单价：（2900-2432）÷（45-32）=36（元）
１２、1750-20×11=1530（千克） 梨1530÷（25+20）= 34（箱）
苹果34+11=45（箱）
【激流勇进】
1３、 90-85 =
5（千克）
１４、
大米+面粉
（1020+780）÷（7+3）= 180 （千克）
大米：（1020-4×180）÷（7-4）= 100（千克） 面粉：（780-3×100）÷6=
80（千克）
１５、（640+340）÷（5+2）= 140（元） 篮球：340-140×2
= 60（元）
足球：140-60=80（元）
１６、A、B、C的和
94×3=282（分） B、C、D的和 92×3=276（分）
A、D的和
96×2=192（分） A;（282-276+192）÷2=99（分）
第六讲 巧求周长与面积答案揭晓
举一反三：
1、（4×5＋2×5）×2＝60（分米）＝6米
2、（7＋6）×2＝26（厘米）
3、至少要测量其中②⑥⑦这三条线段的长度。
４、16×4＝64（厘米）
５、（5×5＋3×5）×2＋5×8＝120（分米）
６、5×20×2＋5×5＝225（平方厘米）
７、56×54÷63＝48（平方厘米）
８、6×6＋4×4－2×8＝36（平方厘米）
数学冲浪
扬帆起航：
1、（7＋4）×2＝22（厘米）
2、10×4×4－10×4＝120（厘米）
3、6＋3＝9（米）
4、160÷4÷2×4＝80（厘米）
5、（20＋15×2＋18）×2＝136（厘米）
6、12×4＝48（分米）
7、（18－6）×18＝216（平方厘米）
乘风破浪：
８、（8＋3）×2＋2×2＝26（米）
９、1×8＋2×8－1×2＝22（平方厘米）
１０、宽：30÷2÷（1＋2）＝5（厘米） 长：5×2＝10（厘米）
面积：10×5＝50（平方厘米）
激流勇进
：
１１左上角长方形的面积：2×18÷6＝6（平方厘米）
右上角长方形的面积：6×12÷18＝4（平方厘米）
１２长方形的长：（6＋2）÷2＝4（分米）
长方形的宽：（6－2）÷2＝2（分米）
面积：4×2＝8（平方分米）、
１3、120×30÷2＝1800（平方厘米）
1800÷（120－10－10）＝18（厘米）
（30－18）÷2＝6（厘米）
第七讲 简单的等差数列答案揭晓
举一反三
1、选（2）和（3）
2、（1）9，15 （2）10，11
（3）50，其中等差数列是（1）和（3）
3、（11＋100）×90÷2=4995
4、项数：（172－46）÷6＋1=22 和：（46＋172）×22÷2=2398
5、（245－105）÷7＋1=20＋1=21
6、35＋（17－1）×2=35＋32=67
7、20＋（18－1）×2
=54（页） （20＋54）×18÷2=666（页）
8、（23－4）+1=20（层）
（23＋4）×20÷2=270（根）
数学冲浪
扬帆起航：
1、（2）（3）（4）
2（1）、（43＋50）×8÷2=372
（2）、（73＋93）×6÷2=498
3、4＋（31－1）×4=124
4、（48－3）÷5＋1=10
5、（70－40）÷5＋1=7（天）
（40＋70）×7÷2=385（页）
6、（19＋1）×19÷2=190（次）
乘风破浪：
7（1）、（100＋2000）×20÷2=21000
（2）（2＋6）×5÷2＋（6＋30）×
5÷2=110
8、32＋（2001－1）×32=64032
9、公差：（29－13）÷（5－1）=4 三个数是：17，21，25
10、10，19，28，37，46，55，64，73，82，91
11、
24＋（1＋12）×12÷2×2=180（下）
激流勇进：
12、
400÷7≈57（个） 末项：7＋（57－1）×7=399
（7＋399）×57÷2=11571
13、（9＋1）×9÷2=45（次）
14、
225÷5=45 45-（3+1）=43
15、不能（按最少量计算）
第八讲 统筹优化与获胜对策答案揭晓
举一反三：
1、2＋25＋5＝32（分）
2、3＋5＋10＝18（分）
３、2×7÷2×30＝210（秒）
４、在这个
游戏中，如果要获胜，必须后报数；先报的人若报a（a＝2或a＝3），则后报的
人就报（5-a），
后报的人必定获胜。
５、20÷（1＋2）＝6（轮）·····2
在
这个游戏中，如果要获胜，必须先报数且先报2；以后如果对方报a（a＝1或a＝2），
则自己就报（
3-a），这样必定获胜。
６、54÷（1＋4）＝10（轮）·····4（张）
A要想
获胜，必须先取且取4张，以后对方若取a（1≤a≤4）张，A就取（5-a）张，
则A必获胜。 <
br>７、最后留给对方一张才能必胜。因为54÷（1＋4）＝10（轮）·····4（张），所以A要想<
br>获胜，必须先取且取3张，以后对方若取a（1≤a≤4）张，A就取（5-a）张，则A最后留
下一张给对方，对方取到最后一张就输，从而A必获胜。
数学冲浪
扬帆起航：
1、应该按丁丙乙甲的顺序来打水。所等候的时间和是：2×3＋4×2＋5×1＝19（分钟） 2、飞飞要想获胜，必须后出牌，如果丽丽出10，飞飞就出4；如果丽丽出8，飞飞就出9；
如果
丽丽出5，飞飞就出6，这样飞飞获胜。
3、10÷（2＋1）＝3（轮）·····1
要想获胜，必须先报且先报1个数，以后对方报1个数，自己就报2个数；对方报2
个数，自己就报1个
数，这样就能保证获胜。
4、25÷（3＋4）＝3（轮）·····4（个）豆豆先取，可以获胜，
方法是先取4个，以后小雪
取a（a＝3或a＝4）个，飞飞就取（7-a）个。
乘风破浪：
５、50÷（1＋2）＝16（轮）·····2（根）
要想获胜，必须先取且取1根，以后对方取1根自己就取2根；对方取2根自己就取1
根，这样最后就留
给对方一根，从而自己获胜。
６、35÷（1＋3）＝8（轮）·····3（粒）
要想获
胜，必须先取且取3粒，以后对方若取a（1≤a≤3）粒，自己就取（4-a）粒，从
而必获胜。
激流勇进：
７、聪聪先在装有20个球的箱子里取20-18＝2个球，使得两个
箱子里球的个数相等，以后
明明要其中一个箱中取几个球，聪聪就在另一个箱子中取相同个数的球，能确
保聪聪获胜。
８、先翻者第一次必须翻动中间两张牌，即第10、11两张牌，然后无论后翻者翻动哪
张牌，
先翻者只要对称地翻即可获胜。
下学期
第九讲 定义新运算答案揭晓
【举一反三】
1、8
2、37
3、100
4、1
5、 79
6、 66
7 、 8×6÷（9-7）（有多种算法）
8、
5×5—6÷6
（有多种算法）
【扬帆起航】
1、4
2、90
3、
25
4、
36
5、2
6、
60
7、55
8、29
9、19
10、35
11、355
12、86
13、
（3＋3）×2×2=24
（有多种算法）
14、4×3×2×1=24
（有多种算法）
15、3×4×（9-7）=24
（有多种算法）
16、5×6÷2+9=24（有多种算法）
【乘风破浪】
17、24
18、40
19、
38
20、（１）A=7 (2) A=3
【激流勇进】
21、
43
22、 120
23、
10
24、
（1）3×7＋（6÷2）=24 (2) 6×7÷2＋3=24 （有多种不同的答案。）
第十讲 归一问题答案揭晓
举一反三
（1）280÷4×20=1400（元）
（2） 20÷（6÷3）=10（分钟）
（3） 560 ÷ 4 ÷5×6 = 168（米）
（4）4200
÷（840÷10÷4×8.）=25（天）
（5） 54000÷（
12000÷24÷5×18）=30（台）
（6）
360÷4×40—3400=3600-3400=200（吨）
扬帆起航
1、225÷5×12= 540（千米）
2、（12000-4000）÷（4000÷2）= 8000÷2000=4（小时）
3、315÷3×3×7=2205（只）
4、500÷（72÷3）=500÷24≈21（箱）
5、1560÷15÷8×20×12=312（米）
6、
168÷7÷4×8×10=480（吨）
7、（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）
8、（
80÷4÷5+42÷2÷7）×5 =40（吨）
9、
4800÷30÷8×15×20=6000（千克）
10、 15×7×40÷（3×10）=
35（天）
11、 2000÷20÷20=5（套）
12、
1944÷54÷12=3（米） 3×（54＋18）×10=2160（米） 2160
〉1944能修好
13、128÷8×（8＋6）=224（吨）
14、45-45×6÷（9＋6）=45-18=27（天）
15、
45×（8-6）÷6=15（人）
16、 96÷6=16（个）
5760÷（2400÷20×16）=3（天）
乘风破浪
17、
4800÷8－4800÷(8+2)=120(米)
18、900÷（
1920÷40÷4×25）=3（小时）
19、960÷3÷4=80（个）
（960＋240）÷（80×5）=3（台）
20、 400÷5=80（克）
1600÷80-15=5（个）
激流勇进
21、（6-1）×【
3÷（2-1）】= 15(分钟)
22、
450÷3÷15×10×8-450=350(棵)
23、 450÷5÷90=1（千克）
7×210－750=720（千克）
24、（23×9-27×6）÷（9-6）=15（个）
27×6－15×6=72（个） 72÷ （21-15）=12（周）
第十一讲 盈亏问题答案揭晓
举一反三
1、（３＋１）÷（１１－１０）＝４（队） ４×１０＋３＝４３（人）
2、（２＋４）÷（８－６）＝３（人） ３×６＋２＝２０（棵）
３、
（１３－１）÷（８－５）＝４（名）８×４－１３＝１９（本）
４、
（１１－２）÷（４－３）＝９（间）９×３＋１１＝３８（人）
５、（４０×２－３０）÷（４５－４０）＝１０（辆）
１０×４５＋３０＝４８０（人）
６、（２＋８）÷（８－６）＝５（位）
５×６＋２＝３２（棵）
７、
（４５０×５－３００×２）÷（４５０－３００）＝１１（分）
３００×（１１－２）＝２７００（米）
８、
（６０×２＋５０×２）÷（６０－５０）＝２２（分）
８时－２２分＝７时３８分
９、（４＋２×２＋１２－２）÷（４－２）＝９（名）
９×２＋４×２＝２６（个）
１０、（２×２＋１２－２）÷（４－２）＝７（个）
７×２＋２×２＝１８（台）
数学冲
浪
1、
小朋友：（１１＋１１）÷（５－３）＝１１（个）
积木：３×１１＋１１＝４４（个）
2、 同学：（２７－３）÷（９－６）＝８（个）
花盆：６×８＋２７＝７５（个）
3、 箱子：（４０－４）÷（２０－１４）＝６（个）
书：６×２０－４０＝８０（本）
4、
树一周：（２＋６）÷（６－５）＝８（米）
绳子： ５×８＋２＝４２（米）
5、 同学：（１００－２０）÷（１０－８）＝４０（个）
画纸：４０×１０＋２０＝４２０（张）
6、 ９÷（１１－８）＝３（队）
８×３＋９＝３３（人）
7、 桌子：（２＋８×２）÷（８－５）＝６（张）
同学：５×６＋２＝３２（人）
8、 房间：（６×２＋２）÷（８－６）＝７（间）
同学：８×７－２＝５４（人）
９、 船： （８＋６）÷（８－６）＝７（条）
同学： ８×（７－１）＝４８（人）
１０、
时间：（１０×５－８×４）÷（１０－８）＝９（小时）
文章：８×（９－４）＝４０（篇）
１１、 （６０×３＋７０×２）÷（７０－６０）＝３２（分）
８时＋３２分＝８时３２分
１２、 （１０＋２０）÷（８－５）＝１０（千克）
１０×５＋１０＝６０（元）
６０÷１０＝６（元）
１３、
提示：这一题可以转化为用载重量３吨的车运则正好，用载重量２吨的车运则多出
（２×４）吨。
（２×４）÷（３－２）＝８（次） ８×３＝２４（吨）
１４、
提示：假设大班与小班人数一样多，则第一次分配可以转化为每人５个，余１０
＋（３×５）个。
小班人数：（１０＋３×５＋２）÷（８－５）＝９（人）
苹果个数：８×９－２＝７０（个）
１５、
提示：第二种分配可以转化为如果每只猴分１０个桃，则还缺少３×１０＋（１０
－６）个桃。
猴的只数：（３×１０＋（１０－６）＋２６）÷（１０－５）＝１２（只）
桃的个数：５×１２＋２６＝８６（个）
１６、（４×２＋３×１）÷（３－２）＝１１（米）
１１×２＋４×２＝３０（米）
１７、（１８×２＋４×２）÷（４－２）＝２２（米）
２２×２＋１８×２＝８０（米）
１８、
（１０００－１３－４２）÷（３１－１０）＝４５（元）
４５×１０－４２＝４０８（元）
第十二讲 乘除法中的巧算答案揭晓
【举一反三】
1、（125×8）×（5×2）=10000
2、（25×4）×40 = 4000
3、（C）
4、 23×（69+32）=2300
5、
45×（123-23）=4500
6、 1000+32 = 1032
7、378÷9÷2=21
8、4545÷45=101
9、777÷7×11=111×11=1221
10、（7）
11、（0）
【扬帆起航】
1、（125×8）×（4×25）= 100000
2、
25×40×8 = 8000
3、 25×4×1001=100100
4、（125×8）×（25×4）=100000
5、（2400）
6、
320×（161-61）= 320×100= 32000
7、
45×（51＋12＋37）=45×100=4500
8、 23×（65＋24-39）=
23×50=1150
9、 1248÷12=104
10、
125×8÷25=1000÷50=20
11、 756÷7÷36=108÷36=3
12、999÷111÷4×4=9
13、（123+356+214）÷90=8
14、 125×8÷（50×4）=5
15、（25×4）×（125×8）×3
=300000
16、 （2＋3×8）×125 = 250 + 3000
= 3250
【乘风破浪】
17、（210÷15）×（320÷16）=14×20=280
18、11×11×11-（11+10）×11=11×121-11×21=1100
19、35×35×101－34×34×101=（35＋34）×101=6969
20、 91÷13×27÷9×84÷ 7=7×3×12= 252
【激流勇进】
21、 （125×8）×（11×11）×（25×2）
=121000×50=6050000
22、
11×（40＋8）＋39×48=48×（39+11）=48×50=2400
23、
2008×2009×10001-2008×2009×10001=0
24、
64×7×11×13=64×1001=64064
第十三讲
简单的鸡兔同笼问题答案揭晓
【举一反三】
1、假设全部是龟，（40×4-112）÷（4-2）=24（只）----鹤
龟：40-24=16
（只）
2、假设全部都是猎手，（890-360×2）÷（4-2）=85（只）----狗
猎手：360-85=275
（人）
3、男生：（12×3-32）÷（3-2）=4（人）
女生：12-4=8（人）
4、（21-2×9）÷（3-2）=3（个）
5、假设明明全部算对，（20×4-64）÷（4+4）=2（题）
6、假设全部都没有打破，（200×6-1180）÷（6+4）=2（只）
7、假设全买篮球。（208+24×3）÷（2+3）=56（元）---篮球的单价
56-24=32
（元）
8、假设全部是大酒瓶。（1000×50-15000）÷（10
00+750）=20(个)—小酒瓶的
个数
大酒瓶：50-20=30（个）
扬帆起航：
1、假设全部是鸡。（100-30×2）÷（4-2）=20（只）----兔
30-20=10（只）
---鸡
2、假设全部都是自行车。（26-10×2）÷（3-2）=6（只）---三轮车
10-6=4
（只）
3、假设全部都是小钢珠。（266-30×7）÷（11-7）=14（个）
4、假设全部答对。（20×8-134）÷（8+5）=2（题） 20-2=18（题）
5、假设全部都是15元的，（880-50×15）÷（20-15）=26（张）--20元的张数
6、（1700-20×40）÷（50-20）=30（张）
乘风破浪：
7、大船：（48-4×10）÷（6-4）=4（条） 小船：10-4=6（条）
8、楼上：（2000-60×30）÷（40-30）=20（排） 20×40=800（个）
9、（20×5-70）÷（5+5）=3（题） 20-3-3=14（题）
10、（30×5-30×3）÷（6-3）=20（人）
11、兔：（2×13-16）÷（4-2）=5（只） 鸡：5+13=18（只）
激流勇进：
12、假设全部都是兔，390 ÷（1
×2+4×6）=15（只）---鸡 兔：15×6=90
（只）
13、【5×（50+2）-（116+2×2）】÷（5×2-1-2）=20（张）
14、（118-6×18）÷（8-6）=5（只）--蜘蛛
18-5=13（只）--蜘蛛和蜻蜓
（20-1×13）÷（2-1）=7（只）--蜻蜓
15、假设从甲地到乙地有30千米。（30×2）÷（30÷15+30÷10）=12（千米）
第十四讲 简单的逻辑推理答案揭晓：
【举一反三】
1、乙说的真话，甲和丙都说的是假话。
2、2的对面非3，5，1，6，所以2的对面是4；
1的对面非2，6，4，5，所以1的对面是3；
5的对面是6。
3、小刚23个，小林25个，小苗22个。
4、张平是工人，王飞是售货员，刘琼是农民。
5、丙是对的，乙说的是错的，甲只说对了一半。
6、做好事的是小李。
7、张展是医生，，李天是教师，王军是战士。
8、甲教数学、生物；乙教语文、历史；丙教物理、化学。
扬帆起航：
1、 C , B, D, A
2、第一名是乙，第二名是丁，第三名是甲，第四名是丙。
3、小李讲的是真话，小王、小张讲的是假话。
4、丙是3号。
5、晓明一本书也没有。
6、获奖者是小江。
乘风破浪：
7、冠军是3号。
8、刘老师：23岁，陈老师：25岁，李老师：22岁
9、乙和丁是罪犯。
10、小乐得了金牌，小强的了银牌，小明得了铜牌。
11、1号是牛顿，2号是爱因斯坦，3号是伽利略，4号是哥白尼，5号是瓦特。
激流勇进：
12、10米。
13、 6947
14、16+7=23
15、C是第一名。
第十五讲 植树问题答案揭晓
【举一反三】：
1、250÷5＋1＝51（棵）
2、72÷9－1＝8（棵）
3、（4000÷20＋1）×2＝402（棵）
４、1200×（11－1）＝12000（米）＝12千米
５、20÷（5－1）×（11－1）＝50（秒）
６、（4－1）×10＝30（分）
７、（38－1）×15＝555（米）
８、50×12÷24＝25（米）
９、320÷20×2＝32（盏）
1０、（5－1）×4×2＋（5－1）×2×2＝48（米）
１１、（28÷4－1）×4＝24（丛）
数学冲浪
扬帆起航
1、16×（46－1）＝720（米）
2、46÷2＋1＝24（名）
3、（4000÷80＋1）×2＝102（盏）
4、780÷20＝39（张）
5、（75＋45）×2÷20＝12（棵）
6、678÷3×（1＋2）＝678（根）
7、（10－1）×8＝72（分）
8、（36÷6－1）×7＝35（分）
乘风破浪
９、60÷（3－1）×（9－1）＝240（秒）＝4分
１０、12÷（4－1）×（8－1）＝28（秒）
１１、20×10－9×2＝182（厘米）
１２、2×60÷（5－1）＝30（秒）30×2＝60（秒）＝1分 1×（4－1）＝3（分）
１３、（21－1）×60÷3＝400（米）
１４、8×30＋（30－1）×4＝366（米）
１５、35×（49－1）÷（43－1）＝40（盏）
１６、10×4＋（10－1）×2＝58（秒）
激流勇进
1７、20÷（5－1）＝5（分）
60÷5＝12（段）12＋1＝13（棵）
１８、提示：车队从头到尾通过检阅台的距离相当于检阅场地的长度和车队的长度之和。
车队全长：18×4＋（18－1）×10＝242（米）
车队走过的全程：558＋242＝800（米）
时间：800÷50＝16（分）
１９、走廊全长：30×100＝3000（厘米）
相框全长：60×8＝480（厘米）
这一题相当于是在不封闭的线路上放相框，并且两端都不放，因此8个相框把全长平均
分成9段
。
（30×100－60×8）÷（8＋1）＝280（厘米）
２０、把每两个茶水站之间
的距离看作是一段，则动动员跑48分的时间可以跑3段路。则
按这样的速度96分钟可以跑6段，再乘
每段的长度就可以得出全程是多少米了。
3500×6＝21000（米）
２１、半分钟看
到16根电线杆，把每两根电线杆间的距离看作是一段，则经过每段要2秒。
再求出火车每秒行的米数，
则易求出2秒火车行多少米，即是每两根电线杆间的距离。
30÷（16－1）＝2（秒）
108×1000÷3600×2＝60（米）
２２、弟弟爬到6楼，哥哥爬到9楼，就是说
弟弟爬5层楼梯的时间哥哥可以爬8层楼梯。
那么当弟弟爬到11楼时，就爬了10层楼梯，哥哥在同样
的时间内可以爬16层楼梯，因此
哥哥在第17楼。
（11－1）÷（6－1）＝2
（9－1）×2＋1＝17（楼）
第十六讲
方阵问题答案揭晓
举一反三
1、7×6－6＝36（盆）
2、6×8－8＝40（把）
３、156÷4＋1＝40（人）
４、27÷3＋1＝10（棵）
５、（1）（10－1）×4＝36（盆）
（2）9×4＋（9－2）×4＝64（盆）
６、（9－3）×3×4＝72（把）
７、最外层每边有4＋2＝6人，所以总人数为：（6－2）×2×4＝32（人）
８、80÷4÷2＋2＝12（棵）
９、72÷4÷3＋3＝9（盆）
数学冲浪
1、（12－1×）4＝44（棵）
2、（6－1）×3＝15（面）
3、44÷4＋1＝12（人）
4、20÷5＋1＝5（盆）
5、81÷9＝9（人）9＋1＝10（人）
6、（1）（14－1）×4＝52（根）
（2）（14－2）×2×4＝96（根）
7、（50－2）×2×4＝384（人）
8、最外层每边有：3＋2×2＝7（人）
总人数：（7－3）×3×4＝48（人）
9、96÷2÷4＋2＝14（人）
10、320÷4÷4＋4＝24（人）
11、层数：（16－12）÷2＋1＝3（层）
总人数：（16－3）×3×4＝156（人）
12、如下图所示：
方法一：去掉的一行一列的人数为：（人）
（人）
剩下的人数为：（人）
方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形队列，即
去掉的人数为：（人）