如果∠1、∠2不是同位角，也不是内错角、同旁内角，如图(3 )，教师启发学生用化归思
想将它转化为已知问题来解决，并且有条理地陈述理由：

如图(3)，
因为a⊥b，c⊥a，
所以∠1＝90°，∠2＝90°.
因为∠3＝∠1＝90°，
所以∠3＝∠2.
从而b∥c(同位角相等，两直线平行)．
四、提升练习
已知：如图，直线a、b被直线c所截，且∠1＋∠2 ＝180°，那么直线a与b平行吗？
为什么？

【答案】
a∥b，理由略．

五、课堂小结
通过本节课的学习，你学习了什么知识 ？你有什么收获呢？对于平行的判定是否有了一
个清晰的思路，针对不同的情况，学生应该选取适当的定 理进行平行的判定．

通过本节课的学习，大部分学生能积极主动地参与到学习活动中来，并 能积极主动地提
出各类问题并解决问题，达到了基本的教学效果．但是由于对新概念的理解不是很深刻， 所
以在应用方面存在不足．针对这一情况，教师应选择典型的例题，详细讲解，指导学生探求
解 题的思路和方法，加深对概念的理解，做到熟练的应用．

5．3 平行线的性质
5．3.1 平行线的性质(1)


掌握平行线的三个性质，并能用它们进行简单的推理和计算．

重点

探索并掌握平行线的性质，能用平行线的性质进行简单的推理和计算．
难点
能区分平行线的性质和判定方法，平行线的性质与判定的混合应用．

一、创设情境，引入新课
现在同学们已经掌握了利用同位角相等、内错角相等或者同旁内角互 补判定两条直线平
行的三种方法．在这一节课里：大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同 位角、
内错角、同旁内角的数量关系又如何表达？
二、尝试活动，探索新知
教师引导学生进行画图活动：
用直尺和三角尺画出两条平行线a∥b，再画一条截线c与直线 a、b相交，标出所形成
的八个角(如图所示)．

学生测量这些角的度数，把结果填入表内．

角
度数
角
度数
∠1

∠5

∠2

∠6

∠3

∠7

∠4

∠8

学生根据测量所得的数据做出猜想．
图中哪些角是同位角？它们具有怎样的数量关系？
图中哪些角是内错角？它们具有怎样的数量关系？
图中哪些角是同旁内角？它们具有怎样的数量关系？
在仔细分析后，让学生写出猜想．
学生由教师的引导进行小组活动：
再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？
学生结合上图，用 符号语言表达平行线的这三条性质，教师同时板书平行线的性质和平
行线的判定方法．
师生共同归纳平行线的性质，教师板书：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，简称为两直线平行，同位角相等．
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，简称为两直线平行，内错角相等．
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简称为两直线平行，同旁内角
互补．
三、尝试反馈，理解新知
教师引导学生理清平行线的性质与平行线的判定方法的区别．
交流后在小组内归纳：两者的条件和结论正好相反．

平行线的性质 平行线的判定
因为a∥b, 因为∠1＝∠4，
所以∠1＝∠4. 所以a∥b.
因为a∥b, 因为∠2＝∠4，
所以∠2＝∠4. 所以a∥b.
因为a∥b, 因为∠2＋∠3＝180°，
所以∠2＋∠3＝180°. 所以a∥b.
四、提升练习
1．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的 方向上平行前进，那么这
两次转弯的角度可以是( )
A．先右转80°，再左转100°
B．先左转80°，再右转80°
C．先左转80°，再左转100°
D．先右转80°，再右转80°

2．如图，直线a∥b，∠1＝ 54°，那么∠2、∠3、∠4各多少度？

【答案】
1．B
2．∠2＝54°，∠3＝54°，∠4＝126°
五、课堂小结
教师引导学生完成本节课的小结：
通过本节课的学习，我们主要学习了平行线的性质与平行线 的判定方法有什么区别和联
系．你能区别清楚吗？

通过本节课的学习，学生能掌握 平行线的三条性质并能利用这三条性质进行适当的推理
与论证，学生在本节课的教学活动中能积极地参与 到学习活动中来，并能及时地提出有关的
问题和解决问题的方法．

5．3.1 平行线的性质(2)


能够综合运用平行线的性质和判定方法解题．

重点

平行线的性质和判定方法的综合应用．
难点
平行线的性质和判定方法的灵活运用．

一、创设情境，引入新课
已知： 如图，BE是AB的延长线，AD∥BC，AB∥CD，若∠D＝100°，则∠C＝________，
∠A＝________，∠CBE＝________．

二、尝试活动，探索新知

1．已知：如图，a∥c，a⊥b，那么直线b与c垂直吗？为什么？
学生容易判断出直线b与c垂直．教师应引导学生正确规范的书写证明过程．
2．实践与探究
下列各图中，已知AB∥EF，点C任意选取(在AB、EF之间，又在BF的左侧)．请测量
各图中∠B、∠C、∠F的度数并填入表格．


图(1)
∠B

∠C

∠F

∠B与∠F度数之和


图(2)
通过上述实践，试猜想∠B、∠F、∠C之间的关系．写出这种关系，试加以说明．

教师投影题目：
学生依据题意，画出类似图(1)、图(2)的图形，测量并填表，并猜想：∠B＋∠F＝∠C.
教师分析后，学生先推理说明，师生交流，教师给出说理过程．

作CD∥AB，因 为AB∥EF，CD∥AB，所以CD∥EF(两条直线都与第三条直线平行，
这两条直线也互相平行) ，
所以∠F＝∠FCD(两直线平行，内错角相等)．
因为CD∥AB，
所以∠B＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．

所以∠B＋∠F＝∠BCF.
三、例题讲解

【例】 右 图是一块梯形铁片的剩余部分，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形另外两
个角分别是多少度？
解：因为梯形上、下底互相平行，所以∠A与∠D互补，∠B与∠C互补．
于是∠D＝180 °－∠A＝80°，∠C＝180°－∠B＝180°－115°＝65°，所以梯形的
另外两个角的度 数分别是80°、65°.

四、提升练习
请结合图形，根据所给定的平行线填入所需的角，并说明理由．(能否找出所有的情况)

1．∵AB∥CD，
∴∠________＝∠________( )．
2．∵AD∥BC，
∴∠________＝∠________( )．
3．∵ AE∥CF，
∴∠________＝∠________( )．
【答案】
1．BAC DCA 两直线平行，内错角相等
2．DAC ACB 两直线平行，内错角相等
3．EAC ACF 两直线平行，内错角相等
五、课堂小结
归纳本节课的知识点：
平行线的性质与判定方法在实际问题中的应用．

通过本节课的教学，学生能理解并能够综合运用平行线的性质和判定方法解答实际问题，
学生学习的积极 性较高，能及时地提出问题并能主动地在小组内解决问题，但个别学生的学
习态度要加强教育与引导．
5．3.2 命题、定理、证明


了解命题的概念，并能区分命题的题设和结论．

重点
理解命题的概念和区分命题的题设与结论．
难点
区分命题的题设和结论．

一、创设情境，引入新课
教师出示下列问题：
1．平行线的判定方法有哪些？
2．平行线的性质有哪些？
学生能积极地思考教师 所出示的各个问题，复习巩固有关的知识点，为本节课的学习打
下良好的基础．
学生回答．
二、尝试活动，探索新知
了解命题和它的构成，教师给出下列语句：
1．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
2．等式两边都加上同一个数，结果仍是等式．
3．对顶角相等．
4．如果两条直线不平行，那么同位角不相等．
思考：你能说一说这4个语句有什么共同点吗 ？并能总结出这些语句都是对某一件事情
作出“是”或“不是”的判断．初步感受有些数学语言是对某件 事作出判断的．
教师给出命题的定义：
判断一件事情的语句，叫做命题．
命题的组成：
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
命题通常写 成“如果„„那么„„”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接
的部分是结论．
有的命题没有写成“如果„„那么„„”的形式，题设与结论不明显，这时要分清命题
判断了什么事情， 有什么已知事项，再改写成“如果„„那么„„”的形式．
判断语句“画AB∥C'D”有没有判断成 分，是不是命题．学生能举例说明是命题和不是
命题的语句．
与同组同学共同分析上述四个命题的题设和结论，重点分析第2、3个语句．
第2个命题中， “存在一个等式”而且“这等式两边加同一个数”是题设，“结果仍是等
式”是结论．
第3个命题中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论．
真命题与假命题：
教师出示问题：
1．如果两个角相等，那么它们是对顶角．
2．如果a>b，b>c，那么a>c.
3．如果两个角互补，那么它们是邻补角．
你认为这几句话对吗？
它们是不是命题？
教师定义：
真命题：如果题设 成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题．假命题：如果题设成
立，不能保证结论一定成立的命题， 叫做假命题．
三、尝试反馈，理解新知
明确命题有正确与错误之分：
命题的正确 性是我们经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理
也可以作为继续推理的依据．

1．“等式两边乘同一个数，结果仍是等式”是命题吗？它的题设和结论分别是什么？
2．命题“两条平行线被第三条直线所截，内错角相等”正确吗？命题“如果两个角互补，
那么 它们是邻补角”正确吗？再举出一些命题的例子，判断它们是否正确．
学生能由教师的讲解理解命题有真有假，并能通过举反例说明命题的错误．
解答：1.是命题，题设是“等式两边乘同一个数”，结论是“结果仍是等式”．
2．第一个命题正确，第二个命题错误，举例略．
四、例题讲解

【例】 如图，已知直线b∥c，a⊥b.求证a⊥c.
证明：∵a⊥b(已知)，
∴∠1＝ 90°(垂直的定义)．
又b∥c(已知)，

∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)，
∴∠2＝∠1＝ 90°(等量代换)，
∴a⊥c(垂直的定义)．
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)．它符合命题 的题设，但不满足结论
就可以了．
五、课堂小结
教师引导学生完成本节课的小结，强调重要的知识点．
总结本节课所学习的知识并能把本节课的知识形成知识网络．

本节课的教学内容较 简单，通过本节课的教学，学生能在了解命题的概念并能区分命题
的题设和结论的基础上知道命题有真假 之分，其中的真命题又叫做定理，对于假命题只要举
出反例加以说明即可，其中的推理过程叫做证明．学 生小组合作学习的积极性较高，体现出
学生愿学乐学的心态，教师要及时地鼓励与表扬．







5．4 平移(1)


通过实例认识平移，理解平移的含义，理解平移前后两个图形对应点的连线平行且相等
的性质．

重点

探索并理解平移的性质．
难点
对平移的认识和性质的探索．

一、创设情境，引入新课
教师出示课本如图的图案并引导学生进行认真的观察：

分析出这些美丽的图案是由若干个相同的图案组合而成的．
(1)它们有什么共同的特点？
(2)能否根据其中的一部分绘制出整个图案？
根据上述的特点，这五幅美丽的图案可以根据 上述分析的“基本图形”按照一定的要求
绘制出整个图案．
二、尝试活动，探索新知
1．教师提出问题：
如何在一张半透明的纸上，画出一排形状大小如图的雪人？
学生描图，描出三个雪人图．

2．观察、思考：
(1)学生在自己所画 出的相邻两个雪人中，找出三组对应点：鼻尖A与A′、帽顶B与B′、
纽扣C与C′，连接这些对应点 ．
(2)观察这些线段，它们的位置关系如何？数量关系呢？
学生用平推三角尺的方法验证三条线段是否平行，用刻度尺度量三条线段是否相等．
教师在黑板上板书学生的发现：
AA′∥BB′∥CC′，且AA′＝BB′＝CC′.
(3)学生再作出连接一些其他对应点的线段，验证前面的发现是否正确．
3．师生归纳：
①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大
小完全相 同．
②新图形中的每一个点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应的，
连 接各组对应点的线段平行且相等．
4．给出平移的定义：
定义：一个图形沿着某个方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移变换，简称
平移．
教师以课本图为例解说．
三、尝试反馈，理解新知
教师出示例题：

【例】 如图(1)，平移△ABC，使点A移动到点A′.画出平移后的三角形A′B′C′.

学生能由教师的引导完成解答过程：
解：如图(2)，连接AA′，分别过B、C作AA′的 平行线l、l′，在l上截取BB′＝
AA′，在l′上截取CC′＝AA′，连接A′C′、A′B′ 、B′C′，则△A′B′C′为所
求作的三角形．
关于平移的方向，可结合课本图说明图形平移方向不一定是水平的．
教师引导学生举出生活中 利用平移的例子，如人在电梯上两个不同时刻的位置关系及坐
登山缆车时人在吊箱里两个不同时刻的位置 关系都是平移；
黑板报中花边设计利用了平移，奥运会五环旗图案五环之间通过平移得到„„
四、巩固练习
1．图形经过平移后，________图形的位置，________图形的 形状，________图形的大
小．(填“改变”或“不改变”)
2．经过平移，每一组对应点所连成的线段________．
3．线段AB是线段CD平移 后得到的图形，点A为点C的对应点，在下图中作出点B
的对应点D的位置．

【答案】
1．改变 不改变 不改变
2．平行且相等
3．略
五、课堂小结
教师引导学生完成本节课的小结：
通过本节课的学习，你都学会了哪些知识？你能谈一谈你在学习中的收获与不足之处
吗？ 学生能由教师的引导完成本节课的小结，适当地总结本节课的知识点，并能把本节课的
知识形成知识 网络，能积极主动地发言，谈谈本节课的收获与不足之处．

本节课中，学生通过实例认识 平移，理解平移的含义，理解平移前后两个图形对应点的
连线平行且相等及对应线段平行且相等、对应角 相等的性质，但是学生在理解旋转与平移的
区别上有一定的困难，要加强练习．
5．4 平移(2)

认识和欣赏平移在现实生活中的应用，能运用平移进行一定的图案设计．

重点

观察、分析图形的结构与形成过程，认识平移在图案设计中的应用．
难点
通过平移，进行有创意的图案设计．

一、创设情境，引入新课
教师展示右图的图案，并出示相关性的问题：

右图是由两个正三角形拼成的，试分 析△ABC经过怎样的变化得到△DCE？点A，B，
C的对应点分别是什么？连接对应点的线段有什么 特性？
学生能由教师的引导先思考：
什么叫做平移？图形的平移变换有什么特点呢？生活中的平移现象有哪些呢？
然后观察教师出 示的图案，认真分析其形成的过程及用到的知识点，并能与组内的同学
进行充分的讨论并达成共识．
二、尝试活动，探索新知
教师出示课本中的“数学活动”中“活动2”的图案并引导学生进行认真的观察：

学生由教师的引导进行观察交流后，说出这是一幅天马行空图：白马与黑马除了颜色差
异外，形状、大小 完全相同．
学生继续思考并在组内讨论下列问题：
这个图案可以由什么图形平移形成？ < br>不考虑颜色，这个图案是由一匹飞马平移形成；考虑颜色，由于白马与黑马的形状、大
小完全相同 ，白马与黑马镶嵌着，白马与白马之间、黑马与黑马之间是平移变换，而且白马
与黑马若不考虑颜色也是 平移变换．
1．师生分析每一匹马是怎样在正方形上平移得到的．
2．学生画、剪、贴，在 正方形(与课本中的正方形一样大)上形成一匹马，再剪下，把马
涂上颜色．
各小组的同学把自己制作的飞马拼成天马飞天图案．
各小组展示自己操作的成果，评判哪一组制作
认真、图案更优美．
三、巩固练习
在方格纸上，利用平移画出长方形ABCD的立体图，其中点D′是点D的对应点．(要
求在立 体图中，看不到的线条用虚线表示)

四、课堂小结
教师引导学生进行本节课的小结：
在这节课的学习活动中，你进行了哪些思考？你进行了哪些 操作？你学到了什么呢？你
还有哪些没有解决的问题呢？
学生能回顾本节课的学习活动中自己 的学习状况、学习到的知识及方法、参与课堂学习
的程度，同时逐渐明白不仅要重视结果，更要重视探索 的过程．

本节课在上节课的基础上，学生能由平移的性质进行简单的平移作图并能认识和欣 赏平
移在现实生活中的应用，运用平移作图进行一定的图案设计，大部分同学都能参与到学习活
动中来，但是仍有个别的同学方法有问题，老师要加以个别的指导．
第六章 实数
6．1 平方根(1)


掌握平方根的定义，会求平方根．

重点
平方根的概念及其符号表示．
难点
理解平方根的概念．

一、创设情境，引入新课
问题 学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴．想裁出一块面积为25 dm
2
的正方形画布，
画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
师：∵5
2
＝25，
∴这个正方形画框的边长应取5 dm.
二、讲授新课
师：请同学们填表：

正方形面积
边长
1
1
9
3
16
4
36
6
4

25
2

5
师：上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题．
师：一般地，如果一个正数x的 平方等于a，即x
2
＝a，那么这个正数x叫做a的算术平
方根．记作a，读作“根号 a”，a叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0.

师：我们一起来做题．
展示课件：
【例】 求下列各数的算术平方根：
49
(1)100； (2)； (3)0.0001.
64
学生活动：尝试独立完成．
教师活动：巡视、指导，派一生上黑板板演．
师生共同完成．
解：(1)∵10
2
＝100，
∴100的算术平方根是10.
即100＝10.
749
(2)∵()
2
＝
，
864
497
∴的算术平方根是
，即
648
497
＝.
648
(3)∵0.01
2
＝0.0001，
∴0.0001的算术平方根是0.01，
即0.0001＝0.01.

三、随堂练习
课本第41页练习．
四、课堂小结
本节课你学到了哪些知识？与同伴交流．
师生共同归纳算术平方根的定义及其表示方法．

教师首先利用例子提出问题：请你说出上面等式右边各数的平方根，通过学生动脑动口
加深对算术平方根概念的初步理解；然后在上面叙述的基础上提出算术平方根概念的符号表
示方法，同 时用练习巩固所学新知，由量变到质变，使学生能牢固掌握本节内容．

6．1 平方根(2)


能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值，会用计算器．

重点
夹值法估计一个数的算术平方根的大小．
难点
夹值法估计一个数的算术平方根的大小．

一、创设情境，引入新课
师：怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
运用多媒体，展示课件：
怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？

学生活动：小组合作操作、观察、交流．
二、讲授新课
师：将两个小正方形沿对角线剪开，得到几个直角三角形？
生：4个．
师：大正方形的面积多大？
生：面积为2的大正方形．
师：这个大正方形的边长如何求？
学生活动：尝试独立完成．
教师活动：启发，适时点拨．
师生共同归纳：设大正方形的边长为x，则x
2
＝2，由算术平方根的意义可知：x＝2.
∴大正方形的边长为2.
师：小正方形的对角线的长为多少？
生：对角线长为2.
师：很好，2有多大呢？
学生活动：小组合作交流．
教师活动：适时启发，点拨．
师生共同归纳：
∵1
2
＝1，2
2
＝4，
∴1＜2＜2.
∵1.4
2
＝1.96，1.5
2
＝2.25，
∴1.4＜2＜1.5.
∵1.41
2
＝1.9881，1.42
2
＝2.0164，
∴1.41＜2＜1.42.
∵1.414
2
＝1.999396，1.4 15
2
＝2.002225，
∴1.414＜2＜1.415.
„„
如此进行下去，可以得到2的更精确的近似值．
其实，2＝1.41421356„„它是一 个无限不循环小数，无限不循环小数是指小数位数无
限，且小数部分不循环的小数．
师：你能举出几个例子吗？
生：能，如：3、5、7等．
师：如何用计算器求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．
学生活动：尝试独立完成例2.
师：请同学们用计算器求出引言中的第一宇宙速度、第二宇宙速度．
学生活动：用计算器小组合作完成．
第一宇宙速度：v
1
≈7.9³10
3
ms；
第二宇宙速度：v
2
≈1.1³10
4
ms.
展示课件：
1．利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？你能说出其中 的道理

吗？

„
„
0.0625

0.625

6.25

62.5

625

6250

62500

„
„
2.用计算器计算3(精确到0.001)，并利用你发现的规律说出0.03，300，30000
的 近似值，你能根据3的值说出30是多少吗？
师：你能说出其中的规律吗？
学生活动：小组讨论交流．
师生共同归纳：
求算术平方根时，被开方数的小数点要 两位两位地移动，当被开方数向左(右)每移动两
位时，它的算术平方根相应地向左(右)移动一位．
新知应用：
师：我们一起来做题：
展示课件．运用多媒体：
【例】 小丽想用一块面积为400 cm
2
的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm
2
的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见 了说：
“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm.

根据边长与面积的关系得
3x²2x＝300，
6x
2
＝300，
x
2
＝50，
x＝50.
因此长方形纸片的长为350 cm.
因为50＞49，所以50＞7.
由上可知350＞21，即长方形纸片的长应该大于21 cm.
因为400＝20，所以正方形纸片的边长只有20 cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形
纸片的边长．
【答】 不能同意小明的说法．小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
三、随堂练习
课本第44页练习．
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？与同伴交流．

1．使每个学生都参与用计算器 求一个正有理数的算术平方根，由于有的同学没有带计算
器，所以没有很好地理解所学的知识．
2．平方根移动的规律，须让学生通过查表、探索、发现、总结，最好是自己找出其中所
蕴含的规律．
6．1 平方根(3)


数的开方意义、平方根的意义、平方根的表示法．

重点
平方根．
难点
正确理解平方根的意义．

一、创设情境，引入新课
师：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
学生思考、讨论．
生：3.
师：除此之外，还有没有别的数的平方也等于9呢？
生：－3.
师：所以，若一个数的平方等于9，这个数是3或－3.
二、讲授新课
师：请同学们填表．
展示课件：

x
2

x
1
±1
16
±4
36
±6
49
±7
4

25
2
±
5
师：通过填表，我们不难得出：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．用字母表示为：
如果x
2
＝a，则x叫做a的平方根．
例：3和－3是9的平方根，简记为±3是9的平方根．
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
师：请同学们看图．
展示课件：

师：平方与开平方有何联系？
生：平方与开平方互为逆运算．
师：我们可以根据这种运算关系，来求一个数的平方根．请同学们做题：
【例】 求下列各数的平方根：
9
(1)100；(2)；(3)0.25.
16
解：(1)因为(±10)
2
＝100，所以100的平方根是±10；

3993
(2)因为(±)
2
＝
，所以
的平 方根是±；
416164
(3)因为(±0.5)
2
＝0.25，所以0. 25的平方根是±0.5.
师：正数、负数、0的平方根有何特点？
生讨论、交流．
师生共同分析：
正数的平方根有两个，它们互为相反数，正的平方根是这个数的算术平方根．
∵负数的平方是正数，
∴在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数．
∴负数没有平方根．
∵0
2
＝0，∴0的平方根是0.

归纳：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；
②负数没有平方根；
③0的平方根是0.
师：正数a的平方根表示为±a，读作“正、负根号a”．
如：±9＝±3，±25＝±5.
师：a只有当a≥0时有意义，a＜0时无意义，为什么？
生：负数没有平方根．
师：请大家做题．
求下列各式的值：
(1)144；(2)－0.81；(3)±
121
.
196
学生活动：尝试独立完成，一生上黑板板演．
教师活动：巡视、指导、纠正．
师生共同完成：
(1)∵12
2
＝144，∴144＝12.
(2)∵0.9
2
＝0.81，∴－0.81＝－0.9.
11121(3)∵(±)
2
＝
，∴±
14196
12111
＝± .
19614
三、随堂练习
课本第46页、第47页第1、2、3、4题．
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？请与同伴交流．

1．提供足够的时间，让学生理解平方根的意义．掌握正数、0、负数的平方根的特点．
2．多提供适量的有代表性的习题，随堂练习．
3．易出错的题目随堂订正．

6．2 立方根


掌握立方根的定义；正数、负数、0的立方根的特点；用计算器求立方根．

重点
掌握立方根的定义．
难点
运用所学知识解决问题．

一、创设情境，引入新课
要制作一种容积为27 m
3
的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？
师：设这种包装箱的边长为x m，则
x
3
＝27
这就是要求一个数，使它的立方等于27.
∵3
3
＝27，
∴x＝3.
即这种包装箱的边长为3 m.
师：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．
即：如果x
3
＝a，那么x叫做a的立方根．
∵3
3
＝27，
∴3是27的立方根．
师：什么是开立方？
生：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
师：正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方 与立方也互为逆运算，据此我们可以求
一个数的立方根．
师：请看大屏幕．
根据立方根的意义填空，看看正数、0和负数的立方根各有什么特点？
∵2
3
＝8，∴8的立方根是(2)；
∵(0. 5)
3
＝0. 125，∴0.125的立方根是(0.5)；
∵(0)
3
＝0，∴0的立方根是(0)；
∵(－2)
3
＝－8，∴－8的立方根是(－2)；
2882
∵(－)
3
＝－
，∴－
的立方根是(－)．
327273
师生共同归纳：
正数的立方根是正数．
负数的立方根是负数．
0的立方根是0.
师：你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？
生：每一个数均有一个立方根，而负数没有平方根．
3
师：一个数a的立方根表示法：a，读作“三次根号a”．
其中a是被开方数，3是根指数．
33
如8表示8的立方根，即8＝2.
33
－8表示－8的立方根，即－8＝－2.

3
a中的根指数3不能省略．
2
注：算术平方根的符号a， 实际上省略了a中的根指数2，因此a也可读作“二次根号
a”．
师：请同学们填空：
3
3
∵－8＝________，－8＝________．
3
3
∴－8________－8.
3
3
∵－27＝________，－27＝________．
3
3
∴－27________－27.
3
3
一般地，－a________－a.
师：请同学们做题：

【例】 求下列各式的值：
3
1
3
27
3
(1)64；(2)－；(3)－.
864
3
解：(1)64＝4；
3
11
(2)－＝－；
82
3
273
－＝－.
644
(3)
其实，很多有理数的立方根是无限不循环小数．
33
如2、3等都是无限不循环小数，可以用有理数、近似数表示它们．
师：请同学们用计算器求出一个数的立方根．
学生活动：用计算器求一些数的立方根．
师：请同学们观看大屏幕．
3333
用计算器计算„，0.000216，0.21 6，216，216000，„，你能发现什么规律？用
3333
计算器计算100(精确到0 .001)，并利用你发现的规律求0.1，0.0001，100000的近似值．
师：同学们发现了什么规律？
学生讨论、交流并发言．
师生共同归纳：
被开方数的小数点向左(右)每移动三位，其立方根的小数点相应地向左(右)移动一位．

二、随堂练习
课本第51页练习．
三、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？请与同伴交流．

教学设计着重于把立方根与开 立方进行类比教学，注重概念的形成过程，让学生在新概
念的形成过程中，逐步理解新概念，通过设置问 题，组织思考讨论来帮助学生理解立方根和
开立方的概念．让学生通过实例和抽象类比来理解立方根与平 方根概念的联系与区别．
6．3 实数
第1课时 实数


了解无理数和实数的意义，会对实数进行分类，了解实数的绝对值和相反数的意义．

重点
理解实数的概念．
难点
运用所学知识解决问题．

一、创设情境，引入新课
师：请同学们使用计算器，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？
3479115
3，－
，，，，

5811909
347
生1：3＝3.0 －＝－0.6 ＝5.875
58
9115
＝0.81 ＝0.12 ＝0.5
11909
生2：这些有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数．
二、讲授新课
师：很好，其实，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，
任何有 限小数或无限循环小数也都是有理数．
师：很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数叫做无理数．
33
例如：2、－5、2、3等都是无理数．
π＝3. 14159265„„也是无理数．
师：有理数和无理数统称实数．


有理数 有限小数或无限循环小数
实数



无理数 无限不循环小数

师：像有理数一样，无理数也有正负之分．

正无理数 2，
3
3，π，„„
无理数



负无理数 －2，－
3
3，－π，„„

师：由于非0有理数和无理数都有正、负之分，所以实数可以这样分类：


0
实数


负有理数
负实数


负无理数






< br>正有理数
正实数


正无理数

师：每个有理数都可 以用数轴上的点来表示，无理数也可以用数轴上的点来表示．
请大家观看大屏幕：
如图所示 ，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到
达点O′，点O′的坐标是 多少？

师：从图中可以看出，OO′的长是多少？
生1：这个圆的周长为π.
师：O′的坐标是多少？
生2：O′的坐标是π.
师：所以无理数π可以用数轴上的点表示出来．
师：如何在数轴上表示±2呢？
学生活动：小组合作交流．
教师活动：巡视、检查，适时点拨．
师生共同完成：

归纳：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来．
即数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数．
师：实数与数轴上的点有何关系？
师：实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示．反
过来，数轴上 的每一个点都表示一个实数．
师：平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也是一一对应的．
右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，当数从有理数扩充到实数以后，有理
数关于相反数和 绝对值的意义同样适合实数．
师：请同学们做题：
2的相反数是________，
－π的相反数是________，
0的相反数是________，
|2|＝________，|－π|＝________，
|0|＝________．
师：同学们有什么发现？
生：与有理数一样．
师生共同归纳：
数a的相反数是－a(a表示任意一个实数)．

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【例】 (1)分别写出－6，π－3.14的相反数；
3
(2)指出－5，1－3分别是什么数的相反数；
3
(3)求－64的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是3，求这个数．
解：(1)因为－(－6)＝6，－(π－3.14)＝3.14－π，所以，－6，π－3.14的相反数< br>分别为6，3.14－π.
3333
(2)因为－(5)＝－5，－(3－1)＝1－ 3，所以，－5，1－3分别是5，3－1的
相反数．
33
3
(3)因为－64＝－64＝－4，所以|－64|＝|－4|＝4.
(4)因为|3|＝3，|－3|＝3，所以绝对值为3的数是3或－3.
三、随堂练习
课本第56页第1、2、3题．
四、课堂小结
通过本节课的学习，同学们有哪些收获？请与同伴交流．

本节课通过对无理数的学 习，使学生对数的认识又提升到一个新的层次．通过举一些数
让学生对其进行分类，即按有理数和无理数 归类，使他们对这两类数进行区分，更深入地认
识这两类数的区别．


第2课时 实数的运算法则


实数的运算法则．

重点
掌握实数的运算法则．
难点
实数运算法则的正确应用．

一、创设情境，引入新课
师：有理数的运算法则是什么？
生：先算高级运算，同级运算从左至右，遇有括号的先算括号内．
二、讲授新课
师：很好．有理数运算法则仍适用于实数，请大家看几个题目：
展示课件：
【例1】 计算下列各式的值：
(1)(3＋2)－2； (2)33＋23.
学生活动：尝试独立完成，两名学生上黑板板演，其余学生在位上做．

教师活动：巡视、指导．
师生共同完成：
(1)(3＋2)－2＝3＋(2－2)(加法结合律)
＝3＋0
＝3
(2)33＋23
＝(3＋2)3 分配律
＝53

师：在实 数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精
确度用相应的近似有限小数 去代替无理数，再进行计算．
【例2】 计算(结果保留小数点后两位)：
(1)5＋π； (2)3²2.
学生尝试独立计算，一学生上黑板板演．
教师巡视、纠正．
师生共同完成：
(1)5＋π
≈2.236＋3.142
≈5.38
(2)3²2
≈1.732³1.414
≈2.45
三、随堂练习
课本第56页第4题，第57页第4、5、6题．
四、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？

首先通过课本引例问题，旨在使学生通过自 己的探究活动，经过老师的引导，感受并经
历实数的运算、化简；让学生根据实例进行探索，通过学生互 相交流合作，得出两个化简的
公式，培养他们的合作精神和探索能力，也让他们获得成功的体验，充分调 动、发挥学生主
动性的多样化学习方式，促进学生在老师指导下主动地、富有个性地学习．





第七章 平面直角坐标系
7．1 平面直角坐标系
7．1.1 有序数对


1．理解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法．
2．培养学生应用数学知识的意识，激发学生的学习兴趣．

重点
有序数对及平面内确定点的方法．
难点
利用有序数对表示平面内的点．

一、创设情境，引入新课
教师出示以下几个情景，并请同学们思考共同之处．
1． 一位居民打电话给供电部门“卫星路第8根电线杆的路灯坏了”，维修人员很快修好
了路灯．
2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”．
3．某人买了一张6排3号的电影票，很快找到了自己的座位．
分析以上情景，他们都利用哪些数据找到位置的？
师：你还能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？
学生回答，由教师指导分析．
二、讲授新课
有序数对：用含有两个数的数对表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含 义，我
们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．
利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置．
教师反复强调：明确数对表示的含义和格式．
三、例题讲解
【例】 如图，点A表示3街与5大道的十字路口，点B表示5街与3大道的十 字路口，
如果用(3，5)→(4，5)→(5，5)→(5，4)→(5，3)表示由A到B的一条路 径，那么你能用同样
的方法写出由A到B的其他几条路径吗？


6大道
5大道
4大道
3大道
2大道
1大道












A













B


5街






6街 1街 2街 3街 4街
分析：寻找规律，确定路线．
图中确定点用前一个数表示街，后一个数表示
大道．
解：其他的路径可以是：
(3，5)→(4，5)→(4，4)→(5，4)→(5，3)；
(3，5)→(4，5)→(4，4)→(4，3)→(5，3)；
(3，5)→(3，4)→(4，4)→(5，4)→(5，3)；
(3，5)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(5，3)；
(3，5)→(3，4)→(3，3)→(4，3)→(5，3)．
根据所学的知识，请同学们思考自己在班级里的位置，应该怎样表示？
四、方法探究
常见的确定平面上的点的位置常用的方法：
1．以某一点为原点(0，0)，将平面分成若干 个小正方形的方格，利用点所在的行和列的

位置来确定点的位置．
2．以某一点为观测点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置．
如图，以灯塔A为观测点，小岛B在灯塔A北偏东45°、距灯塔3 km处．

五、课堂小结
为什么要用有序数对表示点的位置，没有顺序可以吗？总结几种常用的表示点的位置的
方法．

本节课板书的内容比较少，板书有序数对和实际举例的有序数对，目的是突出“有序数
对”的概念，让学生从感官上得以完善，建立简单的坐标系是对本节课知识的巩固，同时为
下节课学习 平面直角坐标系打好基础．
7．1.2 平面直角坐标系


1．认识平 面直角坐标系，了解点的坐标的意义，会用坐标表示点，能根据点的坐标画出
点的位置．
2．渗透对应关系，培养学生的数感．

重点
平面直角坐标系和点的坐标．
难点
正确画坐标和找对应点．

一、创设情境，引入新课
启发学生，在地图上我们要确定一个地点的位置，需要借助经线和纬 线，这两条线从局
部上可以看成是平面内两条互相垂直的直线，有刻度、有方向的直线，进而抽象成数轴 ．而
平面内，两条互相垂直的且有公共原点的数轴，就如同地图上的经线和纬线，可以帮助我们
确定平面内任何一个点的位置．这就是我们今天要学习的知识：平面直角坐标系．
二、观察体验，探索结论
给出严格的平面直角坐标系的概念、画法以及象限的规定．
凝聚学生注意力，强调由点的位置如何确定点的坐标以及坐标的表示形式．
探索活动(1)
将任意点A放入直角坐标系中，由其所处的位置让学生确定点的坐标．

教师提出问题：
1．点在各个象限的坐标有什么特点？
2．坐标轴上的点有什么特点？
3．坐标轴上的点属于第几象限呢？
探索活动(2)
由坐标描出点的位置，给学生提供动手实践的机会，由学生自己根据对平面直 角坐标系
的理解，亲自动手，独立操作完成，师生共同进行归纳总结．
同时，针对本节课的易 错点，即点的坐标的表示形式，设计了顺口溜形式，作为本节课
阶段性小结：“平面直角坐标系，两条数 轴来唱戏．一个点，两个数，先横后纵再括号，最后
隔开用逗号．”
探索活动(3)
在全班展开互动游戏来深化本节课的教学．以班里某个同学为坐标原点，建立全班范围
的平面直角坐标 系．
问题：1.你的象限以及你的坐标是多少？
2．在x、y轴的同学，你们的坐标有什么特点？
3．横坐标为2的同学起立，你们所在的直线和y 轴上的同学有什么位置关系？纵坐标
为－1 的同学起立，你们所在的直线和x轴上的同学有什么位置关系？
4．你的坐标和你到x轴、y轴的距离有什么关系？
三、讲授新课
1．定义：在平 面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．其中水平的数
轴称为x轴或横轴，竖直方向的 数轴称为y轴或纵轴．两坐标轴的交点为平面直角坐标系的
原点．(如上活动(1)图)
注： (1)横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向．一般情况下，横轴和纵轴的单位长
度取一致．
(2)建立平面直角坐标系，必须满足三个条件：
a．两条数轴 b．互相垂直 c．公共原点
2．点的坐标：
对于平面内任一点M，分别作垂直于x轴、垂直于y轴的垂线 ，设垂足分别为x、y，则
x叫做点M的横坐标、y叫做点M的纵坐标，有序数对(x，y)叫做点M的 坐标．
3．(1)各象限符号的确定：

点在第一象限 P(a，b)
a>0，b>0 符号特征(＋，＋)
点在第二象限 P(a，b)
a<0，b>0 符号特征(－，＋)
点在第三象限 P(a，b)
a<0，b<0 符号特征(－，－)
点在第四象限 P(a，b)
a>0，b<0 符号特征(＋，－)
(2)坐标轴上的点的坐标特征：
点P(a，b)在x轴上时记作P(a，0)
点P(a，b)在y轴上时记作P(0，b)
原点记作(0，0)
(3)在平面直角坐标系中的点和有序数对是一一对应的关系．
即：对于平面内任意一点，都有唯一的有序数对与它对应．
对于任意的有序数对，平面上都有唯一的一个点与它对应．
4．根据坐标描点的步骤：
(1)找到该点的横坐标在x轴上的位置，过该位置作x轴的垂线．
(2)找到该点的纵坐标在y轴上的位置，过该位置作y轴的垂线．
(3)两线交点即为要描出的点的位置．
四、巩固练习
1．点(－3，2)在第_ _______象限；点(－1.5，－1)在第________象限；点(0，3)在________轴上；若点(a＋1，－5)在y轴上，则a＝________．
2．在x轴上，且与原点距离为3个单位长度的点的坐标为________．
3．若点P在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为－1，则点P的坐标可以是________． < br>4．若点(a，b－1)在第二象限，则a的取值范围是________，b的取值范围是______ __．
5．如果同一直角坐标系下两个点的横坐标相同，那么过这两点的直线( )
A．平行于x轴
B．平行于y轴
C．经过原点
D．以上都不对

【答案】
1．二 三 y －1
2．(3，0)或(－3，0)
3．(－2，1)(答案不唯一)

4．a＜0 b＞1
5．B
五、课堂小结
本节课主要内容回顾：平面直角坐标系；点的坐标及其表示；各象限内点的坐标 的特征；
坐标的简单
应用．
请同学们自己讨论，交流心得．

通过今天的学习，我们发现，当我们确定了一个点的坐标时，就能准确地找到这个点的
位置．同学们，如 果你们确定了你们人生的坐标，那么也一定要不断努力，不断进取，才能
使你们早日登上你们学业的象牙 塔．


7．2 坐标方法的简单应用
7．2.1 用坐标表示地理位置


1．了解用平面直角坐标系来表示地理位置的意义及主要过程．
2．培养学生解决实际问题的能力．

重点
利用坐标表示地理位置．
难点
建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．

一、创设情境，引入新课
不管是出差办事，还是出去旅游，人们都愿意带上一幅地图，它给人 们出行带来了很大
方便，你知道怎样用坐标表示地理位置吗？
今天我们学习如何用坐标表示地理位置．
二、师生互动
探究用坐标表示地理位置的方法．
活动1：
根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置．
小刚家：出校门向东走150米，再向北走200米．
小强家：出校门向西走200米，再向北走350米，最后再向东走50米．
小敏家：出校门向南走100米，再向东走300米，最后向南走75米．
教师提问： 如何建立平面直角坐标系呢？以哪个参照点为原点？如何确定x轴、y轴？如何选比例
尺来绘制区域 内地点分布情况的平面图？
学生讨论回答：
小刚家、小强家、小敏家的位置均是以学校为参 照物来描述的，故选学校位置为原点，
根据描述，可以以正东方向为x轴、以正北方向为y轴建立平面直 角坐标系，并取比例尺1∶
10000(即图中1 cm相当实际中10000 cm，即100 m)．
由学生画出平面直角坐标系，标出学校的位置，即(0，0)．

教师引导学生一起完成示意图．
教师再问：
选取学校所在位置为原点，并以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向有什么优点？
学生讨论，总结回答：
可以很容易地写出三位同学家的位置．
活动2：
归纳利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程．
经过学生讨论、交流，教师适当引导后得出结论：
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向．
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度．
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
活动3：
思考：

如图，一艘船在A处遇险后向相距35 n mile位于B处的救生船报警，如何用方向和 距
离描述救生船相对于遇险船的位置？救生船接到报警后准备前往救援，如何用方向和距离描
述 遇险船相对于救生船的位置？
由图可知，救生船在遇险船北偏东60°的方向上，与遇险船的距离是35 n mile，用北偏
东60°，35 n mile就可以确定救生船相对于遇险船的位置，反过来，用南偏西60°，35 n mile
就可以确定遇险船相对于救生船的位置．
一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标 表示地理位置，此外，还可以用方位角和距
离表示平面内物体的位置．
三、课堂小结
让学生归纳如何利用坐标表示地理位置．

通过本节课的学习，大部分学生能积极主动地参与到学习活动中来，能积极主动地提出
各类问题
并解决问题，达到了基本的教学效果．但是由于对新概念的理解不是很深刻，所以在应
用方面存 在不足．针对这一情况，教师应选择典型的例题，详细讲解，指导学生探求解题的
思路和方法，加深对概 念的理解，做到熟练的应用．
7．2.2 用坐标表示平移


掌握坐标 变化与图形平移的关系；能利用点的平移规律将平面图形进行平移；会根据图
形上的坐标的变化，来判定 图形的移动过程．

重点
掌握坐标变化与图形平移的关系．
难点

利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题．

一、复习回顾、引入新课
教师提问：
1．什么叫做平移？
2．平移后得到的新图形与原图形有什么关系？
学生回答：
把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移．
平移后图形的位置改变，形状、大小不变．
二、探索点的坐标变化与平移间的关系
1．观察试验探索

思考：
(1)将点A(－2，－3)向右平移5个单位长度，它的坐标是________．
将点A(－2，－3)纵坐标不变，横坐标加5，它的位置发生了什么变化？
(2)把点A向上平移4个单位长度呢？
若A点横坐标不变，纵坐标加4呢？
教师总结：
归纳1：
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个 单位长度，可以得到对应点(x＋a，
y)(或(x－a，y))；
将点(x，y)向上(或 下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)(或(x，y－b))．
归纳2：
在平面直角坐标系中，如果把点(x，y)的横坐标加(或减去)一个正数a，相应的新图形就
是把原图 形向右(或向左)平移a个单位长度；
如果把点(x，y)纵坐标加(或减去)一个正数b，相应的新 图形就是把原图向上(或向下)平
移b个单位长度．
思考：如何平移点A(－2，1)得到点A′？

指示：
可将点A按照：
(1)先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度．
(2)先向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度．
教师总结：
点的斜向平移，可通过点的水平平移和竖直平移来完成．
三、探索图形上点的坐标变化与图形平移间的关系

【例】 如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．
(1)将三 角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A
1
，B
1
，C
1
，
依次连接A
1
，B
1
，C
1各点，所得三角形A
1
B
1
C
1
与三角形ABC的大小 、形状和位置有什么
关系？
(2)将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变， 分别得到点A
2
，B
2
，C
2
，
依次连接A
2
，B
2
，C
2
各点，所得三角形A
2
B
2
C
2
与三角形ABC的大小、形状和位置有什么
关系？
解：如图，所得三角形A
1
B
1
C
1
与三角形ABC的 大小、形状完全相同，三角形A
1
B
1
C
1
可以看作将三角 形ABC向左平移6个单位长度得到．类似地，三角形A
2
B
2
C
2
与三角形ABC
的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到 ．
教师强调：
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正 数a，相应的
新图形就是把图形向右(或向左)平移a个单位长度；
如果把它各个点的纵坐标 都加(或减去)一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上(或
向下)平移b个单位长度．
四、巩固练习
1．在平面直角坐标系中，把点P(－1，－2)向上平移4个单位长度所得点 的坐标是
________．
2．将点P(－4，3)沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿 y轴负方向平移2个单位长度，
所得到的点的坐标为________．
3．已知三角形的三 个顶点坐标分别是(－4，－1)，(1，1)，(－1，4)，现将这三个点先向
右平移2个单位长度 ，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是( )

A．(－2，2)，(3，4)，(1，7)
B．(－2，2)，(4，3)，(1，7)
C．(2，2)，(3，4)，(1，7)
D．(2，－2)，(3，3)，(1，7)
【答案】
1．(－1，2) 2.(－6，1) 3.A
五、课堂小结
本节课是在学生学习了位置平移的概念和性质的基础上进行的，主要是引导学生运用分
类思想，依次经过 点或图形平移的观察、画图、比较、推理、归纳等活动，最终探索出点的
坐标变化与点平移的关系、图形 各个点的坐标变化与图形平移的关系，并结合演示体验坐标
平面上的点与有序数对成一一对应的关系．

在课堂教学中为学生提供充分的探索空间，注重引导学生分工合作，独立思考，形成主
见并进行交流，创设民主、宽松和谐的课堂气氛，让学生畅所欲言，同时进行游戏或试验操

作，使课堂教学灵活直观，新鲜有趣，从而使课堂教学实现教学思想的先进性、教学目标的
整体性、 教学过程的有序性、教学方法的灵活性、教学手段的多样性、教学效果的可靠性．
第八章 二元一次方程组
8．1 二元一次方程组


1.理解二元一次方程、 二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个
二元一次方程组的解．
2．学 会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受
学习数学的乐趣．

重点
理解二元一次方程组的解的意义．
难点
求二元一次方程的正整数解．

一、创设情境，引入新课
古老的“鸡兔同笼”问题：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”
解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，则可列方程：
2x＋4(35－x)＝94，
解得：x＝23，
则鸡有23只，兔有12只．
二、尝试活动，探索新知
1．讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念．
教师提问：
上面的问题可以用一元一次方程来解，那么还有其他方法吗？
设有x只鸡，y只兔，依题意得：
x＋y＝35 ①
2x＋4y＝94 ②
针对学生列出的这两个方程，教师提出如下问题：
(1)你能给这两个方程起个名字吗？
(2)为什么叫二元一次方程呢？
(3)什么样的方程叫二元一次方程呢？
教师结合学生的回答，板书定义1：
含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程．
同时教师引导学生利 用一元一次方程进行知识的迁移和类比，让学生用原有的认知结构
去同化新知识，符合建构主义理念．
教师追问：
在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程．把①、②两个二元 一次
方程结合在一起，用大括号来连接．我们也给它起个名字，叫什么好呢？


x＋y＝35，



2x＋4y＝94.


学生思考，教师板书定义2：
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
2．讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念．
探究活动：满足x＋y＝35，且符合问题的实际意义的值有哪些？请填入表中．

x
y












„
„
教师启发：
(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？
(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？
(3)它与一元一次方程的解有什么区别？
教师板书定义3：


x＝a，
使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，记为



y＝b.

二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解．
注意：
二元一次方程组的解是成对出现的，用大括号来连接，表示“且’．
三、例题讲解
【例】 下列各对数值中不是二元一次方程x＋2y＝2的解的是( )

x＝2，

x＝－2，


A. B.



y＝0


y＝2

x＝0，

x＝－1，
C.

D.



y＝1y＝0

解法分析：

将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程，选D.


x＋2y＝2，
变式练习：上题中的选项是二元一次方程组

的解的是( )

2x＋y＝－2

解法分析：
在例题的基础上，进一步检验A、 B、C、D中各对值是否满足方程2x＋y＝－2，使学生
明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足 两个方程．
四、巩固练习
1．根据下列语句，列出二元一次方程：
(1)甲数的一半与乙数的3倍的和为11；
(2)甲数和乙数的2倍的差为17.
2．方程x＋2y＝7在自然数范围内的解( )
A．有无数组 B．有一组
C．有两组 D．有四组
3．若mx＋y＝1是关于x，y的二元一次方程，那么( )
A．m≠0 B．m＝0

C．m是正有理数 D．m是负有理数
【答案】 1. (1)0.5x＋3y＝11 (2)x－2y＝17
2. D 3. A
五、课堂小结
本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？(什么叫二元一次方 程？什么叫二元一次
方程组？什么叫二元一次方程组的解？)

本课的设计是从提出 “鸡兔同笼”的求解问题入手，让学生经历了从不同角度寻求不同
解决方法的过程，体现了解决问题策略 的多样性，以列一元一次方程求解衬托出列二元一次
方程组求解的优越性，更使学生感到二元一次方程组 的引入顺理成章，所以本课的整体设计，
突出了一元一次方程的样板作用，让学生在类比中，主动迁移知 识，建立新的概念，使得基
础知识和基本技能在学生的头脑中留下较深刻的印象．
8．2 消元——解二元一次方程组
第1课时 代入消元法


1．用代入法解二元一次方程组．
2．了解解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想．
3．会用二元一次方程组解决实际问题．

重点
用代入法解二元一次方程组．
难点
探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程．

一、创设情境，引入新课
教师出示下列问题：
问题1：
篮球联赛中，每 场比赛都要分胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队为了争取
较好的名次，想在全部22场比赛 中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？
问题2：
在上述问题中，我们也可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，那么怎样求解
二元一次方程组呢？
二、尝试活动，探索新知
教师引导：
什么是二元一次方程组的解？(方程组中各个方程的公共解)
学生列式计算后回答：


x＋y＝22， ①，




2x＋y＝40. ②
满足方程①的解有：

x＝21，


x＝20，


x＝19，


x＝18，


x＝17，

„„ < br>
y＝1；


y＝2；


y＝3；

y＝4；


y＝5；


满足方程②的解有：


x＝19，


x＝18，

x＝17，


x＝16，

„„

y＝2；


y＝4；


y＝6；< br>

y＝8；



x＝18，
这两个方程 的公共解是




y＝4.
师：这种列举法比较麻烦，有没有简单一点的方法呢？
师：由方程①进行移项得y＝22－x，由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，
故可以把 方程②中的y用(22－x)来代换，即得2x＋(22 －x)＝40.由此一来，二元就化为一元
了．
解得x＝18.
问题解完了吗？怎样求y?
将x＝18代入方程y＝22－x，得y＝4.
能代入原方程组中的方程①、②来求y吗？代入哪个方程更简便？


x＝18，
这样，二元一次方程组的解就是



y＝4.

教师归纳并板书：
这种通过代入消去一个未知数，使 二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方
法叫做代入消元法，简称代入法．
三、例题讲解
【例1】 用代入法解方程组

x－y＝3， ①




3x－8y＝14. ②

分析：方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，比较简便．
解：由①，得
x＝y＋3. ③
把③代入②，得
3(y＋3)－8y＝14.
解这个方程，得
y＝－1.
把y＝－1代入③，得
x＝2.
所以这个方程组的解是


x＝2，




y＝－1.

【例2】 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售
数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两
种产品各多少瓶？
分析：问题中包含两个条件：
大瓶数∶小瓶数＝2∶5，

大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量．
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶．
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得

5x＝2y， ①





500x＋250y＝22500000. ②

由①，得
5
y＝x. ③
2
把③代入②，得
5
500x＋250³x＝22500000.
2
解这个方程，得
x＝20000.
把x＝20000代入③，得
y＝50000.
所以这个方程组的解是


x＝20000，





y＝50000.
答：这些消毒液应该分装200 00大瓶和50000小瓶．
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

教师解后学生及时反应：
(1)选择哪个方框代入另一个方框？其目的是什么？
(2)如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1的二元一次方程组？
(3)列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系．
(4)列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、设、列、解、检、答．
四、巩固练习


x－y＝－3，
1．二元一次方程组

的解是( )

2x＋y＝0



x＝－1，

x ＝1，
A.

B.




y＝2

y＝－2


x＝－1，

x＝－2 ，
C.

D.



y＝－2y＝1




x＋3y＝4，
2．方程组

的 解是( )

2x－3y＝－1


x＝－1，
x＝1，


A. B.



y＝－1

y＝1



x＝－2，

x＝－ 2，
C.

D.



y＝2y＝－1
x


3
＋1＝y，①
3．解方程组
< br>


2（x＋1）－y＝6.②
【答案】
1．A 2.B
3．解：由①得x＋3＝3y，即x＝3y－3，③
由②得2x－y＝4，④

把③代入④得y＝2.
把y＝2代入③得x＝3，


x＝3，
因此原方程组的解为



y＝2.

五、课堂小结
你从本节课的学习中体会到代入法的基 本思路是什么？主要步骤有哪些？让学生在互相
交流的活动中完成本节课的小结，并能通过总结与归纳， 更加清楚地理解代入消元法，体会
代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想．

通过创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识的发现过程融于有
趣的活动中，重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程
组比较，从 而得到二元一次方程组的代入(消元)解法，这种比较可使学生在复习旧知识的同
时，使新知识得以掌握 ，这对于学生体会新知识的产生和形成的过程是十分重要的．
第2课时 加减消元法


1．掌握用加减法解二元一次方程组．
2．使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法．

重点
如何用加减法解二元一次方程组．
难点
如何运用加减法进行消元．

一、创设情境，引入新课
教师提出问题：

王老师昨天在水果批发市 场买了2千克苹果和4千克梨，共花了14元，李老师以同样的
价格买了2千克苹果和3千克梨，共花了 12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快．
教师总结最简便的方法：
抵消掉相同的部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克
的售价为2元．
二、例题讲解
教师板书：


2x＋3y＝－1，①
解方程组



2x－5y＝7.②

(由学生自主探究，并给出不同的解法)
解法一：
－1－3y
由①得x＝
，代入方程②，消去x.
2
解法二：
把2x看作一个整体，由①得2x＝－1－3y，代入方程②，消去2x.
教师肯定两种解法都正确，并由学生比较两种方法的优劣．
由学生观察，得出结论：
解法二整体代入更简便，准确率更高．
教师启发：
有没有更简洁的解法呢？
问题1：观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？(相等)
问题2：除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？
(两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．)
解法三：
①－②得：8y＝－8，
所以y＝ －1.
代入①或②，
得x＝1.


x＝1，
所以原方程组的解为



y＝－1.



－2x＋3y＝－1，
变式一：解方程组



2x－5y＝7.

教师启发：
问题1：观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？(互为相反数)
问题2：除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？
(两个方程的两边分别对应相加，就可消去x，得到一个一元一次方程．)
教师板书：
两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相
加或 相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称
加减法．
教师提问：

能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？
(两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等．)


4x＋3y＝1， ①
变式二：解方程组



2x－5y＝7. ②

学生观察：本例可以用加减消元法来做吗？
教师引导：
问题1：这两个方程直接相加减能消去未知数吗？为什么？
问题2：那么怎样使方程组中某一未知数的系数的绝对值相等呢？
教师启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x的系数成整数倍数关系．
因此：②³2，得4x－10y＝14. ③
由①－③即可消去x，从而使问题得解．
(教师追问：③－①可以吗？怎样更好？)


－2x＋3y＝－1， ①
变式三：解方程组



3x－5y＝7. ②

教师提问：
本例题可以用加减消元法来做吗？
让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数的系数的绝对值相等呢？
分析得出解题方法：
解法1：通过①³3、②³2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
解法2：通过①³5、②³3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
教师追问：
怎样更好呢？
通过对比，学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较
小的未知数消元．
解后反思：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等且不成整数倍的二元一次
方程 组时，把一个(或两个)方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对
值相等，从而化 为第一类型的方程组求解．
师生共析：
1.用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．
2．用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
第一步：如果某个未知数的系数互为相反数，可 以把这两个方程的两边分别相加，消去
这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边 相减，消去这个未知数．
第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组 系数(选最
小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这
组系数的绝对值相等，再加减消元．
第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上加减消元的考虑．
【例】 2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm
2
，3台大收割机
和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm
2
.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小
麦多少公顷？
分析：如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm
2
和y hm
2
，那么2台大
收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦________hm
2
，3台大收割机和2台小收割机
同时工作1 h共收割小麦________hm
2
.由此考虑两种情况下的工作量．

解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm
2
和y hm
2
.
根据两种工作方式中的相等关系，得方程组


2（2x＋5y）＝3.6，




5（3x＋2y）＝8.

去括号，得


4x＋10y＝3.6，①




15x＋10y＝8.②

②－①，得
11x＝4.4.
解这个方程，得
x＝0.4.
把x＝0.4代入①，得
y＝0.2.
因此，这个方程组的解是

x＝0.4，





y＝0.2.

答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm
2
和0.2 hm
2
.
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

三、巩固练习
1．用加减法解下列方程组时，你认为先消去哪个未知数较简单，填写消元的方法．


3x－2y＝15， ①
(1)

消元方法：________．

5x－4y＝23. ②



7m－3n＝1， ①
(2)

消元方法：________．

2n＋3m＝－2. ②

2．用加减法解下列方程组：


4x＋y＝2，

3x＋2y＝－1，

(1) (2)


4x－3y＝－6；


x＋4y＝－7；


3 x－2y＝5，

x＋4y＝9，
(3)

(4)



4x＋3y＝1；x－4y＝10.

【答案】
1．(1)①³2－②消去y

(2)①³2＋②³3消去n


x＝0，

x＝1，

2．(1) (2)



y＝2

y＝－2

19
x＝
，

2

x＝1，
(3)

(4)
1

y＝－1

y＝－
8

< br>

四、课堂小结
本节课，我们主要学习了二元一次方程组的另一种 解法——加减消元法，通过把方
程组中的两个方程进行相加或相减，消去一个未知数，化“二元”为“一 元”，请同学们回忆：
加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？用加减消元法解二元一次方程组 的主要步
骤有哪些？

在学习加减法解题之前，学生已经知道了代入法解二元一次 方程组的核心是代入“消元”，
以使二元方程转化为一元方程求解．本课设计没有直接告诉学生加减法解 题的过程，而是通
过引导学生观察不同方程组的结构特点，比较不同解法的优劣，自己探索发现解题的技 巧．这
样使学生积极地参加到学习的过程中，不仅能感受到学习的乐趣，更重要的是在这种积极求
索的学习中，品尝到了成功的喜悦，促使其能力得到充分的发挥、提高．
8．3 实际问题与二元一次方程组(1)


1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的 实际问题，让学生再次体会二元一次方程组
与现实生活的联系和作用．
2．通过应用题教学， 学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会
代数方法的优越性．

重点
能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组．
难点
正确找出问题中的两个等量关系．


一、创设情境，引入新课
复习提问：
列方程解应用题的步骤是什么？
学生回答：
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答．
教师讲述：
前面我们结合实际问 题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我
们继续探究如何用方程组解决实际问题 ．
教师出示问题：
养牛场原有30头大牛和15头小牛，一天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大

牛和5头小牛，这时一天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛1天约需用饲料
18 kg～20 kg，每头小牛1天约需用饲料7 kg～8 kg.你能否通过计算检验他的估计是否正确
吗？
二、探索分析，解决问题
根据问题中给定的数量关系如何计算平均每头大牛和每头小牛1天各约需用的饲料量？
主要思路：
实际问题
列方程组
――→
设未知数
数学问题

（二元一次方程组）
学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程．
问题：
1．题中有哪些已知量？哪些未知量．
2．题中的等量关系有哪些？
3．如何解这个应用题？
解：设平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料x kg和y kg.
找出相等关系列方程组：

30x＋15y＝ 675，


解这个方程组，得

42x＋20y＝ 940.



x＝20，



y＝5.

这就是说，平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料20 kg和5 kg.饲养员李大叔对大
牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确．
教师请同学们好好思考：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？
(个别学生可能会列出如下方程组：


30x＋15y＝675，

但结果一致．)

12x＋5y＝265.

思考题：
《一千零一夜》中 有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部
分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅 食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽
1
子就是整个鸽群的；若从树上飞下去一只 ，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、
3
树下各有多少只鸽子吗？
三、巩固练习
1.某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8% ，高中在校生增加
11%，这样全校生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是 多少？
2．有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小< br>车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
【答案】
1.解：设现在的初中在校生有x人，高中在校生有y人．
根据题意列方程，得



x＋y＝4200，

解这个方程组，得 < br>
x（1＋8%）＋y（1＋11%）＝4200（1＋10%）.


x＝1400，




y＝2800.


答：现在的初中在校生有1400人，高中在校生有2800人．
2.解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x吨和y吨．
根据题意列方程，得


2x＋3y＝15.5，




5x＋6y＝35.
解这个方程组，得


x＝4，



y＝2.5.

则3x＋5y＝24.5.
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨．
四、课堂小结
通过这节课的学习，你知道了用方程组解决实际问题有哪些步骤吗？

本节课从实际 问题出发，通过分析实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组，通过
对方程组解的检验，让学生认识 到检验不仅要检查求得的解是否符合方程组中的每一个方程，
而且还要考查所得的解答是否符合实际问题 的要求，从而使学生初步体验用方程组解决实际
问题的全过程．


8．3 实际问题与二元一次方程组(2)


1．经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
2．能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组．
3．学会开放性地寻求设计方案，培养分析能力．

重点
经历和体验用方程组解决实际问题的过程．
难点
用方程组刻画和解决实际问题．

一、创设情境，引入新课
前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其 实生产、生活中还有许多问题
也能用方程组解决．
教师出示问题：

据以往的统计资料，甲、乙两种作物单位面积的产量比是1∶1.5.现要在一块长200
m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两
种作物的总产量比是3∶4.(结果取整数)
问题：
1.“甲、乙两种作物单位面积的产量比是1∶1.5”是什么意思？
2.“甲、乙两种作物的总产量比为3∶4”是什么意思？
3.本题中有哪些等量关系？
提示：若甲种作物单位产量是a，那么乙种作物的单位产量是多少？
二、例题讲解
教师提问：
以上问题有哪些解法？
学生自主探索、合作交流、整理思路：
1.先确定有两种方法分割长方形，再分别求出两个小长方形的面积，最后计算分割
线的位置．
2.先求两个小长方形的面积比，再计算分割线的位置．
3.设未知数，列方程组求解．

如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.
设AE＝x m，BE＝y m，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组：


x＋y＝200，



100x∶（1.5³100y）＝3∶4

解这个方程组，得

x＝105
17
，


2

y＝94
17
.
过长方形土地的长边上离一端约106 m处，把这块地分为两个长方形，较大的一块
地种甲作物，较小的一块地种乙作物．
教师提问：
你还能设计别的种植方案吗？
(用类似的方法，可沿平行于线段AB的方向分割长方形．)
教师巡视、指导，师生共同讲评．
三、巩固练习
某农场300名职工耕种 51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每
公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表 ：

农作物品种
水稻
棉花
蔬菜
每公顷需劳动力
4人
8人
5人
每公顷需投入资金
1万元
1万元
2万元
15

已知该农场计划投入67万元，应该怎样安 排这三种作物的种植面积，才能使所有职
工都有工作，而且投入的资金正好够用？

【答案】
解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花，则安排(51－x－y)公顷种蔬菜．
根据题意列方程组，得


4x＋8y＋5（51－x－y）＝300，



x＋y＋2（51－x－y）＝67.

解这个方程组，得


x＝15，




y＝20.
那么种蔬菜的面积为51－15－20＝16(公顷)．
答：安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16公顷种蔬菜．
四、课堂小结
通过本节课的学习，你对用方程组解决实际问题的方法又有何新的认识？

本课所提供的例题、练习题、作业题突出体现以下特点：
1.活动性．学生在图形分 割、手工操作、拼图游戏中展开数学问题的讨论，更具趣
味性，学生在玩中学、做中学，在增强能力的同 时，收获快乐．
2．探索性．问题解决的策略不易获得，问题中的数量关系不易发现，问题中的未知数 不
易设定，这为学生开展探究活动提供了机会．
3．开放性．解决问题的策略、方法、问题的 结论的开放性设计，意在增强学生的创新意
识和培养勇于挑战、克服困难的能力．

8．3 实际问题与二元一次方程组(3)


1．进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模
型．
2．会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组．

重点
用列表、画图的方法分析题意，建立模型．
难点
如何应用列表法、图象法分析问题，建立模型．

一、例题讲解
教师出示例题：
如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地 购买一批每吨
1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．公路运价为1.5元( 吨²千米)，
铁路运价为1.2元(吨²千米)，这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费9 7200元．这
批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

学生自主探索、合作交流．
设问1：
如何设未知数？
销售款与 产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数
量和原料数量都有关．因此设产 品重x吨，原料重y吨．
设问2：
如何确定题中的数量关系？
列表分析：


公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
由上表可列方程组


1.5³（ 20x＋10y） ＝15000，



1.2³（110x＋120y）＝97200.

产品x吨



原料y吨



合计



解这个方程组，得

x＝300，





y＝400.
因为毛利润＝销售款－原料费－运输费，所以这批产品的销售款比原料费与运输费的和
多188 7800元．
教师引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的思路：
合理设定未知数，找出相等关系．
二、巩固练习
1．某工厂现在年产值是150万 元，如果每增加1000元的投资一年可增加2500元的产值，
设新增加的投资额为x万元，总产值为 y万元，求x、y所满足的方程．
2.学校购买35张电影票共用250元，其中甲种票每张 8元，乙种票每张6元，设甲
种票x张，乙种票y张，请列方程组并求解．
3.有一 个两位数，其数字和为14，若调换个位数字与十位数字，就比原数大18，则
这个两位数是多少？
【答案】
1．y＝150＋2.5x.


x＝20，

x＋y＝35，
2.

解得



y＝15.

8x＋6y＝250，




x＝6，

x＋y＝14，
3．设这个两位数为xy， 则由题意可得

解得

则这个两位

y＝8.
< br>10y＋x＝10x＋y＋18，

数为68.
三、课堂小结
1 ．在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分
析问题中的相等关 系？
2．小组讨论，试用框图概括“用二元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程．
学生思考、讨论、整理．


本课探究的问题信息量大、数量关系复杂、未知数 不容易设定，对学生来说是一种挑战，
因此安排学生合作学习．学生先独立思考、自主探索，然后在小组 讨论中合理设定未知数，
借助表格分析题中的数量关系，列出方程组求得问题的解．在本节的小结中，让 学生结合自
己的解题过程概括整理实际问题与二元一次方程组的关系，并比较完整地用框图反映，培养< br>了学生的模型化思想．
8．4 三元一次方程组的解法


1．会解三元一次方程组．
2．感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．

重点
掌握三元一次方程组的解法．
难点
三元一次方程组如何化归到二元一次方程组．

一、创设情境，引入新课
老师出示下列问题：
有人问甲、乙、丙三人的年龄，甲说：“我们三个人的年龄之和是26. ”乙说：“甲的
年龄的两倍再加上我的年龄就要比丙大18.”丙说：“我比甲小1岁．”聪明的你能算 出甲、乙、
丙的年龄各是多少吗？
学生在老师的引导下独立思考后合作交流，思考以下问题：
1.选用什么数学工具来解呢？
2.设哪些量为未知数呢？
在小组内说一说自己的解法，与组内的同学达成共识．
二、讲授新课
教师引导学生在完成上述问题的基础上，出示下列问题：
刚才这一问题，如果我们不设两个未 知数，只设一个未知数，用一元一次方程能否

求解呢？
三元一次方程组
错误!二元错误!一元

本节课教学效果一般，学生在学习了二元一次方程组解法的 基础上学会了解简单的三元
一次方程组，并了解了感受解三元一次方程组的基本思想是：“三元”化归到 “二元”，再由
“二元”化归到“一元”的数学思想．

第九章 不等式与不等式组
9．1 不等式
9．1.1 不等式及其解集

< br>感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义．通过解决简
单的实际问 题，学生自主地寻找不等式的解集，会把不等式的解集正确地表示在数轴上．

重点
不等式的解集的概念．
难点
不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法．

一、创设情境，引入新课
教师出示问题：
一辆匀速行驶的汽车在11: 20距离A地50千米，要在12：00以前驶过A地，车速
应该满足什么条件？
教师提问：
题目中有等量关系吗？
学生回答：没有．
教师追问：那是什么关系呢？
学生讨论发言：
从时间上看，汽车要在12：00之 前驶过A地，则以这个速度行驶50千米所用的时间
2502
不到小时，即＜.
3x 3
2
从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶小时的路程要超过50
3
2
千米，即x＞50.
3
教师总结：这些是不等关系．
二、讲授新课
1.不等式、一元一次不等式的概念
在学生充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳得出：
用“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也
是不等式．
教师提问：
下列式子中哪些是不等式？
(1)a＋b＝b＋a (2)－3>－5 (3)x≠1
(4)x＋3>6 (5)2m 上述不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数，一般地 ，我们把用“<”或“>”
表示的式子叫做不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
补充说明：
用“≥”和“≤”表示不等关系的式子也是不等式．

2.不等式的解、不等式的解集
问题1：要使汽车在12：00以前驶过A地，你认为车速应该为多少呢？
问题2：车速可以是每小时 85千米吗？每小时82千米呢？每小时75.1千米呢？每小时
74千米昵？
教师 总结：我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，我们也可
以把使不等式成立的未知 数的值叫做不等式的解．
2
问题3：刚才同学们所说的这些数，哪些是不等式x>50的解？
3
2
问题4：判断下列数中哪些是不等式x>50的解：
3
76，73，79，80，74.9，75.1，90，60.
教师提问：
你还能找出这个不等式的其他解吗？它到底有多少个解？你从中发现了什么规律？
学生讨论后得出：
22
当x>75时，不等式x>50成立；当x <75或x＝75时，不等式x>50不成立．这就
33
2
是说，任何一个大于75的 数都是不等式x>50的解，这样的解有无数个．因此x>75表示了
3
2
能使不等式 x>50成立的x的取值范围．
3
这个解集还可以用数轴来表示．(教师示范表示方法)
教师引导：
回到前面的问题，要使汽车在12：00以前驶过A地，则车速必须大于每小时75千
米．
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式
的解集的过程叫做解不 等式．
三、例题讲解
例：在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x>－1；(2)x≥－1；(3)x<－1；(4)x≤－1.
【答案】

注意：
1.实心点表示包括这个点，空心点表示不包括这个点．
2.步骤：画数轴，定界点，走方向．
教师强调：
空心圆圈“”表示“>”或“<”；

实心圆点“”表示“≥”或“≤”．
即：若解集中含有等号，则以实心圆点表示；若解集中不含等号，则以空心圆圈表
示．

四、巩固练习
1．用不等式表示图中的解集：


2．下列数中哪些是不等式3x>6的解？
－4，3，0，1，2.5，－2.5，3.2，－4.8, 12.
【答案】
1．(1)x<2 (2)x≤2
(3)x≥－7.5 (4)x>－7.5
2. 3，2.5，3.2，12.
五、课堂小结
1．不等式的概念．
2．不等式的解与不等式的解集．
3．不等式的解集在数轴上的表示．

本节课通过实际情境引入不等关系，让学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，
让学生了解了不等 式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它也是刻画现实世界中量
与量之间不等关系的有效模型．
9．1.2 不等式的性质(1)


1．经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质．
2．初步体会不等式与等式的异同．

重点
不等式的性质和解法．
难点
不等号方向的确定．

一、创设情境，引入新课
教师出示天平，并请学生仔细观察教师的操作过程，回答下列问题：
1.天平被调整到什么状态？
2.给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？
3.不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？
4.如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小
相同的倍数呢？
二、讲授新课
1．用“>”或“<”填空．
(1)－1＋2____3＋2，－1－3____3－3；
(2) 5＋a____3＋a，5－a____3－a；
(3)6³5____2³5，6³(－5)____2³(－5)；

(4) (－2)³6____3³6，
(－2)³(－6)____3³(－6)；
(5)(－4)÷2____(－6)÷2，
(－4)÷(－2)____(－6)÷(－2)．
2.在以上练习中，你发现了什么？
请把你的发现告诉同学们，并与他们交流．
请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？
3.让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出：
不等式性质1：
不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
即如果a>b，那么a±c>b±c.
不等式性质2：
不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
ab
即如果a>b，c>0，那么ac>bc(或>)．
cc
不等式性质3：
不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
ab
即如果a>b，c<0，那么accc
注意：性质2 的两边乘或除的是一个正数，不等号的方向没有变；而性质3的两边乘或
除的是一个负数，不等号的方向 改变了．
三、例题讲解
例：利用不等式的性质填“>”或“<”：
(1)若a>b，则2a____2b；
(2)若－2y<10，则y____－5；
(3)若a0，则ac－1____bc－1；
(4)若a>b，c<0，则ac＋1____bc＋1.

【答案】
(1)> (2)> (3)< (4)<
四、巩固练习
判断正误：
1．∵a＜b，
∴a－b＜b－b；( )
2．∵a＜b，
ab
∴＜；( )
33
3．∵a＜b，
∴－2a＜－2b；( )
4．∵－2a＞0，
∴a＜0.( )
【答案】
1．√ 2.√ 3.³ 4.√
五、课堂小结

在学生自己总结的基础上，教师应强调两点：
1.等式性质与不等式性质的不同之处．
2.在运用“不等式性质3”时应注意的问题．

本节课设计旨在让学生经 历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程．用类
比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂 教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段，让学
生充分进行了讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握了 不等式的性质，这样就有效地突破
了本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础．
9．1.2 不等式的性质(2)


1．会根据“不等式性质1”解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集．
2．学会运用类比思想来解不等式，培养学生观察、分析和归纳的能力．

重点
一元一次不等式的解法．
难点
不等式性质3在解不等式中的运用．

一、创设情境，引入新课
小希就读的学校上午第一节课上课时间是8点．小希家距学校有2千 米，而他的步行速
度为每小时10千米．那么，小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？
1.若设小希上午x点从家里出发才能不迟到，则x应满足怎样的关系式？
2.你会解这个不等式吗？请说说解的过程．你能把这个不等式的解集在数轴上表示
出来吗？
二、讲授新课
分组探讨：
对上述三个问题，你是如何考虑的？先独立思考，然后组内交流，并做记录，最后
各组派代表发言．
在学生充分讨论的基础上，师生共同归纳得出：
1
1．x应满足的关系式是：x＋≤8.
5
11114
2 .根据“不等式性质1”，在不等式的两边减去
，得x＋
－≤8－
，即x≤7
.
55555
3．这个不等式的解集在数轴上表示如下：

4
我们在表示7的点上画实心圆点，意思是取值范围包括这个数．
5
三、例题讲解
【例1】 利用不等式的性质解下列不等式：
(1)x－7＞26； (2)3x＜2x＋1；
2
(3)x＞50; (4)－4x＞3.
3

分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐 步化为x＞a或x＜a(a为常数)的
形式．
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以
x－7＋7＞26＋7，
x＞33.
(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以
3x－2x＜2x＋1－2x，
x＜1.
3
(3)根据不等式的性质2，不等式两边乘
，不等号的方向不变，所以
2
323
³x＞³50，
232
x＞75.
(4)根据不等式的性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，所以
－4x
3
＜
，
－4－4
3
x＜－.
4
12
【例2】 解不等式x－1≤(2x＋1)．
23
分析：我 们知道，解不等式的依据是不等式的性质，而不等式的性质与等式的性质类似，
因此，解一元一次不等式 的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同．
解：去分母，得3x－6≤4(2x＋1)，
去括号，得3x－6≤8x＋4，
移项，得3x－8x≤4＋6，
合并，得－5x≤10，
系数化为1，得x≥－2.
教师总结：
1．一 元一次不等式的解法与一元一次方程的解法在一般步骤上有相同之处，可分为：(1)
去分母；(2)去 括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1(不等式的两边都除以未知数的
系数)．不同 的是第(5)步，系数是正数，保留原不等号；系数是负数，要把不等号方向改变．解
一元一次方程，要 用同解变形把原方程变成最简单的一元一次方程x＝c的形式．解一元一次
不等式，也要通过同样变形， 把原不等式变成最简单的一元一次不等式x>c或x 2.(1)在解方程中易犯 的错误，在解不等式中也易犯，要特别注意，如要去分母时，
各项都要乘以公分母；加括号与去括号时， 要遵循有关法则等．(2)注意当不等式的两边同时
乘以或除以同一个负数时，不等号要改变方向．
四、巩固练习
1．解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x＋5>－1；
(2)4x<3x－5；
(3)8x－2<7x＋3.
2．用不等式表示下列语句并写出解集：
(1)x与3的和不小于6；
(2)y与1的差不大于0.

【答案】
1．画数轴略．(1)x>－6 (2)x＜－5 (3)x<5
2．(1)x＋3≥6，x≥3；
(2)y－1≤0，y≤1.
五、课堂小结 < br>师生共同归纳本节课所学内容：通过学习，我们学会了简单的一元一次不等式的解法，
还明白了生 活中的许多实际问题都是可以用不等式的知识去解决的．

本课从发生在学生身边的事情入手 ，创设问题情境，激发了学生的学习兴趣和求知欲
望．以问题为中心，使每一位学生都能积极思考，发散 思维．让学生在“做数学”的过程中，
亲身体验问题的发生、发现、发展与解决的全过程，采取自主探索 、合作交流、深入研讨、
步步为营的措施，为学生营造了一个自主学习、主动发展的广阔空间，开辟了探 究、研讨、
解决问题的广阔天地，使学生快快乐乐地成为了学习的主人．


9．1.2 不等式的性质(3)


1．使学生熟练掌握一元一次不等式的解法．
2．初步认识一元一次不等式的应用价值．

重点
不等式的运用．
难点
寻找不等关系．

一、创设情境，引入新课
教师出示问题：
某地庆典活动需燃放某种礼花弹 ，为确保人身安全，要求燃放者在点燃导火索后于
燃放前转移到10米以外的地方．已知导火索的燃烧速 度为0. 02 ms，人离开的速度是4 ms，
导火索的长x m应满足怎样的关系式？
教师提问：
你会运用已学知识解这个不等式吗？请你说说解这个不等式的过程．
在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出这个不等式的解法．
教师规范地板书解的过程：
解一元一次不等式的步骤：
1．去分母；2.去括号；3.移项；4.合并同类项；5.系数化为1.
二、例题讲解
13
【例1】 已知x＝3－2a是不等式(x－3)＜x－的解，求a的取值范围．
55
分析：由不等式解的意义，你能知道什么？
解：依题意得
13
[(3－2a)－3]＜(3－2a)－
，
55

112
²(－2a)＜－2a，
55
－2a＜12－10a，
8a＜12，
3
∴a＜.
2

【例2】 某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm，高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm，
现准备向它继续注水．用V(单位：cm
3
) 表示新注入水的体积，写出V的取值范围．
解：新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即
V＋3³5³3≤3³5³10，
V≤105.
又由于新注入水的体积V不能是负数，因此，V的取值范围是
V≥0并且V≤105.
在数轴上表示V的取值范围如图所示．

三、巩固练习

3x＋2y＝m＋1，
1．已知方程组

当m为何值时，x＞y?
2x＋y＝m－1，

2.娃哈哈矿泉水每瓶售价1.2元，现甲、乙两家商场给出 优惠政策：甲商场全部9折，
乙商场20瓶以上的部分8折，若你是消费者，选哪家商场购买比较合适？
【答案】
1．m>4.
2．当购买40瓶以上时，去乙商场比较划算；当购买40 瓶时，甲、乙两商场都一样；当
购买的矿泉水少于40瓶时，去甲商场比较划算．
四、课堂小结
师生围绕以下几个问题进行小结：
1.这节课的主要内容是什么？
2.通过学习，你取得了哪些收获？
3.还有哪些问题需要注意？

通过创设与学生实际生活密切联系的问题情境，并由学生根据 自己掌握的知识与经验列
出不等式，探究它的解法，激发了学生的学习动力，唤起了他们的求知欲望，促 使学生动脑、
动手、动口，积极参与了教学的整个过程．在教师的指导下，学生主动地、生动活泼地、富
有个性地学习．

9．2 一元一次不等式(1)


1．体会一元一次不等式的形成过程．
2．会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．

重点
在一 元一次不等式建立模型的基础上，理解什么是一元一次不等式．教学的过程中，要
让学生通过回顾、观察 、思考，归纳出一元一次不等式的概念，并与以前学过的一元一次方
程等概念加以比较，进一步加深对这 些概念的理解．
难点
体会不等式的作用，训练解不等式的技能．

一、复习引入
前面我们已经学习了不等式及其相关概念，下面请同学们完成下面的题目．
1.写出下列各不等式的解集．
(1)x＋3>6； (2)x＋5≥9；
(3)x＋7<15; (4)x－1≤9.
2．化简：
(1)3x≤4________(不等式性质________)；
(2)x－7≥－3________(不等式性质________)．
二、讲授新课 < br>2
师：观察下列不等式：x－7>26，3x＜2x－1，x>50，－4x>3.它们有哪些共 同特征？
3
生：它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数是1.
师：回答得很 好．类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，
叫做一元一次不等式．通过前 面的学习，同学们知道不等式x－7>26的解集是多少吗？
生：x>33.
师：是怎么解的呢？
生：这个解集是通过“不等式两边都加7，不等号的方向不变”得到的． 这相当于
由x－7>26得x>26＋7，这就是说，解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某 项变号
后移到另一边，而不改变不等号的方向．
师：一般地，利用不等式的性质，采取与解一 元一次方程类似的步骤，就可以求出一元
一次不等式的解集．
【例】 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
2＋x2x－1
(1)2(1＋x)＜3; (2)≥.
23
解：(1)去括号，得
2＋2x＜3.
移项，得
2x＜3－2.
合并同类项，得
2x＜1.

系数化为1，得
1
x＜.
2
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．

(2)去分母，得
3(2＋x)≥2(2x－1)．
去括号，得
6＋3x≥4x－2.
移项，得
3x－4x≥－2－6.
合并同类项，得
－x≥－8.
系数化为1，得
x≤8.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．

三、巩固练习
解下列不等式，并在数轴上表示它们的解集．
1．2(1－x)＜x－2.
2．11－3x≥2(x－2)．
3．x－4≥3(x＋2)．
4
【答案】 数轴略 1.x＞ 2.x≤3 3.x≤－5.
3
四、课堂小结
在本节课的教学过程中，让学生通过与一元一次方程的解法进行类比 ，主动探求一元一
次不等式的解法．结合等式与不等式基本性质的差异，找出方程与不等式解法中的不同 之处，
对于不等式的解有无数多个，学生不易理解，教学中给学生足够的时间进行交流和讨论，帮
助学生理解，用数轴表示不等式的解集是数形结合的具体体现．


本节课的教学 重点是探求一元一次不等式的解法，并能准确地在数轴上表示不等式的解
集．在技能形成初期，我让学生 按照一般步骤，按照规范的格式做一些规范练习，养成良好
的解题习惯，使他们认识到在数轴上表示不等 式的解集时，要规范空心点与实心点的使用，
理解它们在表示不等式解集时的差别．
9．2 一元一次不等式(2)


1．会从实际问题中抽象出数学模型．
2．会用一元一次不等式解决实际问题．

重点
寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型．
难点
弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式．

一、创设情境，引入新课
我们知道，在生产和生活中存在大量的等量关 系，与此同时，我们也看到在生产
和生活中存在着大 量的不等关系，解决这些问题，用不等式比较方便. 某学校计划购买
若干台电脑，现从两家商店 了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定
的优惠．甲商场的优惠条件是：第一 台按原报价收款，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条
件是：每台优惠20%.如果你是校长，你会怎 么考虑？ 如何选择？
二、讲授新课
1.分组活动．先让学生独立思考，理解题意．再在 组内交流，发表自己的观点．最
后小组汇报，派代表论 述理由．
2.在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳 出以下三种采购方案：
(1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？
(2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？
(3)什么情况下，两个商场收费相同？
3.我们先来考虑方案(1)：
设购买x台电脑时，到甲商场购买更优惠．
问题1：如何列不等式？
问题2：如何解这个不等式？
在学生充分讨论的基础上，教师归纳并板书如 下：
解：设购买x台电脑时，到甲商场购买更优惠， 则6000＋6000(1－25%) (x－
1)<6000(1－20%)x，
去括号，得6000＋4500x－4500<4800x，
移项且合并，得－300x<－1500，
不等式两边同除以－300，得x>5.
答：购买5台以上的电脑时，甲商场更优惠．
4.让学生自己完成方案(2)与方案(3)，并汇报完 成的情况，教师最后做适当点评．
三、例题讲解
【例1】 去年某市空气质量良好(二级以上)的天数与全年天数(365)之 比达到60%，如
果明年(365天)这样的比值要超过70%，那么明年空气质量良好的天数要比去年 至少增加多
少？
分析：“明年这样的比值要超过70%”指出了这个问题中蕴含的不等关系， 转化为不等
明年空气质量良好的天数
式，即＞70%.
明年天数
解：设明年 比去年空气质量良好的天数增加了x，去年有365³60%天空气质量良好，明
x＋365³60%< br>年有(x＋365³60%)天空气质良好，并且＞70%.
365
去分母，得
x＋219＞255.5.
移项，合并同类项，得

x＞36.5.
由x应为正整数，得
x≥37.
答：明年要比去年空气质 量良好的天数至少增加37，才能使这一年空气质量良好的天数
超过全年天数的70%.
【例2】 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：
在甲商 场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50
元后，超出 50元的部分按95%收费．顾客到哪家商场购物花费少？
分析：在甲商场购物超过100元后享受优 惠，在乙商场购物超过50元后享受优惠．因此，
我们需要分三种情况讨论：
(1)累计购物不超过50元；
(2)累计购物超过50元而不超过100元；
(3)累计购物超过100元．
解：(1)当累计购物不超过50元时，在甲、乙两商场购物 都不享受优惠，且两商场以同
样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样．
(2)当 累计购物超过50元而不超过100元时，享受乙商场的购物优惠，不享受甲商场的
购物优惠，因此到乙 商场购物花费少．
(3)当累计购物超过100元时，设累计购物x(x＞100)元．
①若到甲商场购物花费少，则
50＋0.95(x－50)＞100＋0.9(x－100)．
解得 x＞150.
这就是说，累计购物超过150元时，到甲商场购物花费少．
②若到乙商场购物花费少，则

50＋0.95(x－50)＜100＋0.9(x－100)．
解得 x＜150.
这就是说，累计购物超过100元而不到150元时，到乙商场购物花费少．
③若50＋0.95(x－50)＝100＋0.9(x－100)．
解得 x＝150.
这就是说，累计购物为150元时，到甲、乙两商场购物花费一样．
四、课堂小结
用一元一次不等式解决实际问题与用一元一次方程解决实际问题一样，要将实际 问题通
过列一元一次不等式转化为数学问题，然后通过解决数学问题来解决实际问题．
本节课通过丰富的实际情境，让学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，并了解
到在解决某些 问题时，用不等式较方便．教学中，我利用例题让学生掌握了从实际问题中抽
象出数学模型的方法，从而 让学生认识到一元一次不等式在实际生活中的应用价值．
9．3 一元一次不等式组


通过比较确定不等式组的解集与确定方程组的解集，抽象出这二者之间的异同，由此理
解不等式组的公共解集．

重点

一元一次不等式组的解集和解法．
难点
对一元一次不等式组解集的理解．

一、创设情境，引入新课
小宝和爸爸 、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，体重只有妈妈一半的小
宝和妈妈一同坐在跷跷板的 另一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来，小宝借来一副质量为
6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端， 结果爸爸被跷起离地．猜猜小宝的体重约是多少？
在这个问题中，设小宝的体重为x千克．
1.从跷跷板的状况你可以概括出怎样的不等关系？
2.你认为怎样求x的范围，可以尽可能地接近小宝的体重？
在讨论或议论中，列出不等式：
2x＋x<72，
2x＋x＋6>72.
其中x同时满足以上两个不等式．
在学生议论的基础上，老师揭示：
一个量需要同时满足几个不等式的例子，在现实生活中还有很多．
二、讲授新课
教师出示问题：
用每分钟可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水．估计积存的污水超过
1200 t而不足1500 t，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？
设用x min将污水抽完，则x同时满足不等式
30x>1200， ①
30x<1500. ②
类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．记作

30x>1200，




30x<1500.

怎样确定不等式组中x的可取值的范围呢？
类比方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中x可以
取值的范围．
由不等式①，解得
x>40.
由不等式②，解得
x<50.
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．

从图中容易看出，x取值的范围为
40这就是说，将污水抽完所用时间多于40 min而少于50 min.
一元一次不等式组的概念和解集：
把几个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．
类比方程组的解，我们把几个不 等式的解集的公共部分，叫做不等式组的解集，解

不等式组就是求它的解集．
我们还可以利用数轴确定不等式组的解集．


x＞4，
1.

x＞2



x＜4，
2.
< br>

x＞2


x＞4，
3.


x＜2



x＜4，
4.



x＜2
x＞4
2＜x＜4
无解
x＜2
上面的表示可以用口诀来概括：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小不用
找．
注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆．
三、例题讲解
【例1】 解下列不等式组：


2x－1＞x＋1，①
(1)



x＋8＜4x－1；②

2x＋3≥x＋11，①

< br>(2)

2x＋5

－1＜2－x.②


3
解：(1)解不等式①，得
x＞2.
解不等式②，得
x＞3.
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．

从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．
x＞3.
(2)解不等式①，得
x≥8.
解不等式②，得
4
x＜.
5
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．

从图中可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解．
【例2】 x取哪些整数值时，不等式
13
5x＋2＞3(x－1)与x－1≤7－x都成立？
22
分析：求出这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是x可取的整数值．
解：解不等式组
5x＋2＞3（x－1），



13
x－1≤7－x，

2

2
5
得－＜x≤ 4.
2
所以x可取的整数值是－2，－1，0，1，2，3，4.
四、巩固练习
解下列不等式组：

2x＋5≤3（x＋2），

1.

x－1
x


2
＜
3
；
5x＋3 ＞8x－2，


3.

x－12x－3


2
＞
3
.
2x－7＜3（1－x），

< br> 2.

4

2
x＋3≤1－x；

3

3
【答案】
1．不等式2x＋5≤3(x＋2)的解集为x≥－1，
x－1
x
不等式＜的解集为x＜3，
23
故不等式组的解集为－1≤x＜3.
2．不等式2x－7＜3(1－x)的解集为x＜2，
42
不等式x＋3≤1－x的解集为x≤－1，
33
故不等式组的公共解集为x≤－1.
5
3．不等式5x＋3＞8x－2的解集为x＜
，
3
x－12x－3
不等式＞的解集为x＜3，
23
5
故不等式组的公共解集为x＜.
3
五、课堂小结
学习一元一次不等式组是数学知识拓展的需要，也是现实生活的需要．学习不等式组时，
我们可以类比方 程组、方程组的解来理解不等式组、不等式组的解集的概念．求不等式组的
解集时，利用数轴很直观，也 很快捷，这是一种数与形结合的思想方法，不仅现在有用，今
后我们还会有更深刻的体验．

本节课的设计以实际问题建立数学模型，通过
数学问题引导学生找出解决问题的思路．在这一 过程主线下，辅以类比、探索、概括的
学习方法，合理设计问题，安排讨论的最佳契机，及时揭示出数学 本质，引发数学思考，让

学生在自主探索中学得自然、学得真切、学得主动、学得有效．
第十章 数据的收集、整理与描述
10．1 统计调查


1． 通过实例引导学生感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想方法，体会选取有
代表性的样本对正确 估计总体的重要性，理解抽样的优缺点．
2．了解通过全面调查收集数据的方法，会设计简单的调查问卷收集数据．

重点
1．统计调查的过程中，数据处理的一般过程和方法．
2．掌握用划记法和表格整理数据，并会用扇形统计图描述数据．
难点
扇形统计图的绘制．

一、创设情境，引入新课
问题1：
一天，一个小学生看妈妈做饭时，突发奇想地问妈妈：“一斤大米有多少颗米粒？”
妈妈该怎么解决这个 问题？大家帮她出出主意．
问题2：
一个鱼塘的老板想知道一个池塘里有多少条鱼，采用什么方法可以知道？请大家帮
他想一想办法．
(学生自主发言，说明自己的方法，并由此引入课题)
二、讲授新课
教师提出要了解全班同学对篮球、排球、足球、羽毛球、乒乓球这五类电视节目的
喜爱情况．
学生分小组讨论：
要完成这个调查，我们该如何开展？
师生达成共识，统计调查的一般过程为：
收集数据——问卷调查法；
整理数据——列统计表法；
描述数据——绘制统计图法．
教师提问：
怎样设计调查问卷来收集数据呢？
教师提示：
1．问卷一定要简明周全．
2．每位学生在五类运动项目中只能选一项．
3．用字母代替节目的类型，可方便统计．
(请学生设计调查问卷)
全班同学最喜爱球类运动的人数统计表：

节目类型
A篮球
B排球
划记


人数


百分比

C足球
D羽毛球
E乒乓球










合计
教师出示事先调查得出的一组数据，让学生同桌互相合作对数据进行处理．
说明：
统计中经常用表格整理数据，用划记法记录数据，如“正”字的每一划(笔画)代表一
个数据．
教师指导，让学生针对统计得出的数据进行分析．
为了更直观地看出表中的信息，还可以用条形图和扇形图来描述数据．
师生探究扇形统计图的绘制：
1.扇形统计图的整个圆代表什么？
2.图中的各个扇形分别代表什么？它的圆心角是怎样确定的？
3.你能根据扇形图直接说出全班同学喜爱这五类球类运动的情况吗？
教师总结：
圆心角的度数＝百分比³360°，圆心角越大，这个扇形在圆中所占的比例就越大．
教师追问：
你能说出条形图和扇形图的相同点和不同点吗？
学生讨论得出：
相同点：都能了解喜欢哪种节目的人数最多和最少．
不同点：条形图能得出具体喜欢每种节目的人数，扇形图能得出各种人数的百分比．
教师板书全面调查的概念：
在刚才的调查中，全班同学是要考察的全体对象，我们对全体对象 进行了调查．像
这样考察全体对象的调查叫做全面调查．
学生活动：
1.用围棋子代替鱼，一个装有许多围棋子的瓶子里，若无法将其全部倒出来数，那
么有没有办法估计瓶 子里的棋子数？(其中有20颗黑棋)
有一个可行的办法就是利用抽样调查的方法．(分三个 小组上台参加实践活动，每次
两位同学参加，前排的同学计数)
思考：(1)为什么是约等于？
(2)你认为这种方法合理吗？
(3)你还有其他方法吗？
2．类似这样从部分看整体的抽样调查方法是否还可以用来估计下面的问题？
(1)一户家庭一年要丢弃多少个塑料袋？
(2)一片森林里有多少只野鹿？
(3)一片试验田里某种水稻的产量是多少？
(4)某种商品上市后的销量是多少？
教师总结：
抽样调查法的优缺点：因为抽样调查方法只考
察总体的一部分样本，所 以它具有调查范围小、节省时间、人力、物力等优点．缺点是
不如普查得到的调查结果精确，它得到的只 是估计值，而这个估计值是否接近实际情况，还
取决于样本选的是否具有代表性．
三、巩固练习
市电视台需要在我市调查“新闻”的收视率．试问：

(1)每个看电视的人都要被询问吗？
(2)对我校学生的调查结果能否作为该节目的收视率？
(3)你认为对不同社区、不同年龄层次、不同文化背景的人做调查，结果会一样吗？
四、课堂小结
1．抽样调查的必要性．
2．抽样调查的方法及抽样调查的优缺点．
3．选取有代表性的样本的重要性．

在整个教学活动的开始，由学生感兴趣的问题 引入新课，充分调动了学生的学习积极性
和学习热情．因此，在上课之初，学生就提出了许多的解决问题 的方法和建议，在教学过程
中设计一个学生实验，学生非常感兴趣，由此总结得出一种抽样的方法，体会 到抽样的必要
性．在整个学习活动中，我设计了大量的贴近学生生活实际的例子，让学生感受到数学就在
他们身边．
10．2 直方图(1)


使学生了解描述数据的另一种统计图——直方图．

重点
数据整理的几个重要步骤．
难点
对数据的分组及频数分布表的制作．

一、复习引入
教师提问：
在前面我们学习了哪几种收集 数据的方法？它们各自的优点是什么？前面学习的描
述数据的方法主要有条形图、扇形图、折线图，它们 各自的优点是什么？
学生回答：
全面调查和抽样调查，抽样调查法的优缺 点：因为抽样调查方法只考察总体的一部
分样本，所以它具有调查范围小、节省时间、人力、物力的优点 ．缺点是不如普查得到的调
查结果精确，它得到的只是估计值，而这个估计值是否接近实际情况，还取决 于样本选的是
否具有代表性．
教师总结并板书：
条形统计图可以直观反映样本的数 目情况；扇形统计图可以反映出样本在总体中的比例
大小；折线统计图可以清楚的反映样本的变化趋势．
二、例题讲解
教师提出问题：
为了参加全校各年级之间 的广播体操比赛，七年级准备从63名同学中挑出身高相差
不多的40名同学参加比赛．为此收集到了这 63名同学的身高数据(单位：cm)如下：

158
168
159
149
158
158
167
163
160
154
170
163
168
158
158
162
159
154
160
172
159
169
160
161
151
158
159
153
158
158
158
156
159
158
160
162

162
155
156
163
156
157
157
165
153
162
166
163
162
156
159
161
153
157
157
166
155
157
164
164
164
165
156
1.选择身高在哪个范围的学生参加呢？为了使选取的参赛选 手身高比较整齐，需要
知道数据的分布情况：身高在哪个范围内的学生多，哪个范围内的学生少，因此需 要对这些
数据进行适当的分组整理．
2.对数据分组整理的步骤
(1)计算最大值与最小值的差
最大值－最小值＝172－149＝23(cm)．
这说明身高的变化范围是23 cm.
(2)决定组距和组数
把所有数据分成若干个组，每个小组的两个端点之间的距离(组内数据的取值范围)
称为组距．例如：第 一组从149～152，这时组距＝152－149＝3，则组距就是3.
那么将所有数据分为多少组可以用公式：
最大值－最小值
＝组数．
组距
最 大值－最小值172－149
232
如：＝＝＝7
，则可将这组数据分为8组．
333
组距
注意：组距和组数没有固定的标准，要根据具体问题来决定，分组 数的多少原则上
100个数以内分为5～12组较为恰当．
(3)列频数分布表
频数：落在各个小组内的数据的个数．
每个小组内数据的个数(频数)在各个小组的分布状况用表格表示出来就是频数分布表．
如：对上述数据列频数分布就得到频数分布表．


身高分组
149≤x<152
152≤x<155
155≤x<158
158≤x<161
161≤x<164
164≤x<167
167≤x<170
划记

正
正正
正正正
正正
正

频数
2
6
12
19
10
8
4
2
170≤x<173
所以身高在155≤x<158，158≤x<161，161≤x<164三个组的人数共有12 ＋19＋10
＝41(人)，因此可以从身高在155～164 cm(不含164 cm)的学生中选队员．
以上三个步骤也对这63个数据进行了整理，通过这样的整理，也选出了比较合适的
队员．
三、巩固练习
在上述数据中，如果组距取为2或4，分为几组，能否选出40名队员，请试试看．
【答案】 略
四、课堂小结
今天主要学习的仍是有关数据的整理，但是它主要研究的 是数据在各个小范围内的

分布状况，通过频数分布来体现某个数据在一定范围内的情况， 从而达到解决问题的要求．

本节课的教学过程中，以学生熟悉的生活实例引入课题，激发了 学生的学习兴趣，充分
调动了学生的学习积极性．
10．2 直方图(2)


能由频数分布表绘制频数分布直方图，明确频数分布直方图中小长方形所表示的实际意
义．

重点
对数据的整理和描述．
难点
对数据进行合理分组．

一、创设情境，引入新课
在前面我们用条形、扇形、折线三种统计图直 观地描述了数据，那么对于一组数据
的频数分布用什么图象来描述呢？这就需要用到频数分布直方图．
二、讲授新课
1.频数分布直方图的绘制
频数分布直方 图主要是直观形象地反映出频数分布的情况，上节课我们对63名学生
的身高做了数据的整理，并且也列 出了频数分布表，现在我们利用频数分布表作出相应的频
数分布直方图．
(1)以横轴表示身高，纵轴表示频数与组距的比值．如图：

(2)小长方形面积的意义
频数
从上图中可以看出：小长方形的面积＝组距³＝频数，因此小长方形的面积就是反
组距
映数据落在各个小组内的频数的大小．
(3)用简便方法画频数分布直方图．
在等距分组中，由于小长方形的面积就是该组的频数，因此在作频数分布直方图时，
小 长方形的高完全可以用频数来代替．
如上图可作成下图的形式：

2.用频数折线图来描述频数的分布情况
首先取直方图中每一个长方形上边 的中点，然后在横轴上直方图的左右取两个频数
为0的点(与直方图左右相隔半个组距)，如在上图中， 在横轴上取(147. 5，0)与(174. 5，0)，
将所取的这些点依次用线段连接起来，就得到频数折线图．
三、巩固练习
为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了100个麦穗，量得它们
的 长度如下表(单位：cm)：

6.6
5.8
6.2
6.8
6.4
6.0
5.3
5.5
5.8
6.4
5.5
5.4
6.0
5.8
5.4
6.4
6.2
5.3
6.7
6.0
5.0
6.3
5.9
6.5
5.7
6.1
7.0
5.8
6.5
5.0
5.5
5.7
6.0
6.7
5.3
6.0
5.9
5.1
6.8
5.0
6.8
6.8
6.2
6.2
6.0
5.9
6.5
6.0
6.3
6.6
5.8
5.6
5.8
5.7
5.2
5.3
5.0
4.2
6.0
6.3
6.0
6.6
5.4
4.0
5.9
5.7
6.0
6.4
6.0
6.7
4.7
6.0
5.4
5.5
6.0
7.0
5.7
6.3
6.7
5.7
5.2
4.6
5.8
5.5
6.4
7.4
5.6
6.0
5.7
6.0
6.3 5.7 6.8 6.1 4.5 5.6 6.3 6.0 5.8 6.3
将例题中的组距改为0.5，重新分组列频数分布表，画频数分布直方图，并说出大
麦穗长的分布情况．

【答案】
1．计算最大值与最小值的差
7. 4－4.0＝3.4(cm)．
2．决定组距和组数，以0.5 cm为组距
最大值－最小值
3.4
＝＝6.8，
0.5
组距
可以分7组．
3.列频数分布表

分组
4.0≤x＜4.5
4.5≤x＜5.0
5.0≤x＜5.5
5.5≤x＜6.0
6.0≤x＜6.5
6.5≤x＜7.0
7.0≤x＜7.5
划记


正正正
正正正正正
正正正正正正
正正正

频数
2
3
15
28
34
15
3

合计
4.画频数分布直方图
1000

从表和图可以看到麦穗长度大部分落在5.0 cm～7.0 cm之间，其它区域较少，长度
在6.0 cm～6.5 cm范围内的麦穗最多，有34个，而长度在4.0 cm～4.5 cm，4.5 cm～5.0 cm，
7.0 cm～7.5 cm范围内的麦穗个数最少，总共有8个．
四、课堂小结
今天主要学习的是频数分布直方图的绘制以及频数分布折线图，它与前面的折线 统
计图描述数据有一定的差异，折线统计图是描述总体数据的变化趋势，而频数折线统计图是
描 述各个范围内频数的分布情况．

在本节课中我给学生提供了一定的探索空间，从已有的知识 出发，在已有的知识不能解
决问题的时候，我给出了新的解决方法，这样不仅有利于学生区别条形图和直 方图，也让学
生感受到数学在现实生活中的实用性．