表彰通报-中国教育制度

五年级数学下册概念 姓名：
二、因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数 的倍数，小数
是大数的因数。例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。
．．．
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）
8、互质数：公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
两数互质的特殊情况：
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的 因数是1，最大
的因数是它本身。一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征
1） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2）一个数各位
．．
上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3）个位上是0或5的数，是5的倍数。
4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的 倍数）的最大的
两位数是90，最小的三位数是120。 同时满足2、3、5的倍数，
实际是求2×3×5=30的倍数。
5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定
是0。
3、完全数： 除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做
完全数。如：6的因数有：1、2、3（6除外）， 刚好1+2+3=6，所
以6是完全数，小的完全数有6、28等
4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、
7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上
是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
关系： 奇数+、- 偶数=奇数 奇数+、- 奇数=偶数
偶数+、-偶数=偶数。
5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、
它本身、别的因数）。1： 只有1个因数。“1”既不是质数，
也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。但2、3、5、7本身是质数
关系： 奇数×奇数=奇数 质数×质数=合数
6、最大、最小
A的最小因数是：1； 最小的奇数是：1；
A的最大因数是：A； 最小的偶数是：0；
A的最小倍数是：A； 最小的质数是：2；
最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；
7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质； ⑶两个质
数一定互质；
⑷2和所有奇数互质； ⑸质数与比它小的合数互质；
三 长方体和正方体
1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立
体图形叫做长方体。两个面相 交的边叫做棱。三条棱相交的点
叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的
长 、宽、高。
长方体特点：
（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对
的棱的长度相等。
（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，
最多有2个面是正方形。
2、由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做
立方体）。
正方体特点：
（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。
（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。
（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊
的长方体。
3、长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4
L=（a＋b＋h）×4
不同点
相同点
面 棱
长方体 6个面都是长方形。 相对的棱的
都有6个面，
（有可能有两个相对长度都相等
12条棱，
的面是正方形）。
正方体
8个顶点。
6个面都是正方形。 12条棱都相
等。
长=棱长总和÷4－宽 －高 a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长 －高 b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长 －宽 h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 a=L÷12
4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S=2×（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2×（ab＋ah＋bh）－ab S=2×（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2
S=2（ah＋bh） 贴墙纸

正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=a×a×6
用字母表示： S= 6a
2
（平方相邻单位进率100）
质量单位：1吨=1000千克 1千克=1000克
人 民 币：1元=10角 1角=10分 1元=100分 生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面 游泳池、鱼缸等都只有
5个面 、水管、烟囱等都只有4个面。
注意1：用刀分开物体时，每 分一次增加两个面。（表面积相应增
加）注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积< br>会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。
四 分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把< br>这个整体平均分成若干份，这样的一份或几
份都可以用分数来表示。
2、单位“1”： 一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做
5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h=V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a = a
3
读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高 用字母表示：V=S h
（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定
相等。
6、箱子、油 桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容
积。固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水 、油等。
常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
（1 L = 1 dm
3
1 ml = 1 cm
3
）
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、宽、高 。（所以，对于同一个物体，体积大
于容积。）注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体< br>积就会扩大倍数的立方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，体积就
会扩大到原来的8倍）。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以
用公式直接求体积。
排水法的公式：V物体 =V现在－V原来
也可以 V物体 =S×(h现在- h原来)
V物体 =S×h升高
7、【体积单位换算】 高级单位
×进率
低级单位
低级单位
÷进率
高级单位
进率：1立方米=1000立方分米=立方厘米
（立方相邻单位进率1000）
1立方分米=1000立方厘米=1升=1000毫升
1立方厘米=1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
注意：长方体与正方体关系 把长方体或正方体截成若干个小
长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
长度单位：1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米 1厘米=10毫米
1分米=100毫米 1米=10分米=100厘米=1000毫米
（相邻单位进率10）
面积单位：1平方千米=100公顷 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1公顷=10000平方米
单位“1”。（把一群羊平均分成若干份，一群
羊就是单位“1”。）
3、分数单位 ：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数
叫做分数单位。如
41
5
的分数单位是
5

4、分数与除法A÷B=
A
B
（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为
0） 例如： 4÷5=
4
5

5、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。
假分数≥1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数 真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，
余数作为分子， 如：
10
5
=10÷5=2
21
5
=21÷5=4
1
5

（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：
2=
( 8 )
4
2×4=8 （8作分子）
（ 3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假
分数的分子，分母不变，如5
1< br>( 26 )
5
=
5
5×5+1=26
（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：
1=
2
2
=
3
3
=
4
4
=
5
5
=…=
100
100
=…
7、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分
数的大小不变。
8、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫
它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，
把所有的除数连乘起来）
几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时，那么较小 的数就是它们的最大公因
数。如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
9、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫

它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的
除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所
有的除数和商连乘起来）
解：

2 12 18
3 6 9
2 3

3
5
3075
10 25
2 5

2
3
6
3
12
6
1 2
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍
数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
10、求最大公因数和最小公倍数方法
用12和16来举例
（1）、求法一：（列举求同法）
最大公因数的求法：
12的因数有：1、12、2、6、3、4
16的因数有：1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法：
12的倍数有：12、24、36、48、…
16的倍数有：16、32、48、…
最小公倍数是48
（2）、求法二：（分解质因数法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：2×2=4 （相同乘）
最小公倍数是：2×2 × 3×2×2= 48 （相同乘× 不同乘）
（3）、求法三：（短除法）
例1：用短除法求下列各组数的最大公因数。
①12和18 ②34和102 ③15和50 ④12、24和36
想：用短除法求两个数的最大公因数，一般用这两个数除以它 们
的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止,再把所有的
除数连乘起来，所得积就是 这两个数的最大公因数。两个数的最
大公因数用( )表示。 《最大公因数就是左边一边所有的数连乘》
解：

2 12 18

2 34102

Ⅵ Ⅵ
3 6 9 17 17 51
Ⅵ
2 3 1 3
12、18）= 2×3＝6
（34、102）= 2×17＝34
例2：用短除法求下列各组数的最小公倍数。
①12和18 ②30和75
想：用短除法求几个数的最小公倍数，一般用这几个数的公因数
去除这 几个数（从最小的公因数开始），一直除到任意两个商的公
因数只有1为止。再把所有的除数和商连乘起 来，所得的积就是
这几个数的最小公倍数。几个数的最小公倍数用[ ]表示。
《最小公倍数就是外面一圈所有的数连乘》
[12、18]=2×3×2×3=36
[30、75]= 3×5×2×5＝150
11、最简分数：分数的分子和分母只有公因数 1，像这样的分数
叫做最简分数。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不
含其他的质因 数，就能够化成有限小数。反之则不可以。
12、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比 较小的
分数，叫做约分。如：
24
30
=
4
5

13、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫
做通分。如：
2
5
和
1
4
可以化成
8
5
20
和
20

14、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小
数，分母是100……
如：0.3=
3
10
0.03=
33
100
0.003=
1000

（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000……
如：
3
10
=0.3
3
5
=
6125
10
=0.6
4
=
100
=0.25
方法二：用分子÷分母
如：
3


212
4
=3÷4=0.75
2436
（3）带分数化为小数：

先把整数后的分数化为小数，再加上整数
261218

3
如：
3
2
6
3
9
10
=2+0.3=2.3
12、比分数的大小：分母相同，分子大，分数就大；
12 3

分子相同，分母小，
（15、24
分数才大。
、36）= 2
1、
×
分数比较大小的
2×3=12
一般方法： 同
分母比较；同分子比较
同时除以公因数
2、通分后比较；化成小数比较；
2

仿通分比
较
同时除以公因数2
13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带
分数。
同时除以公因数3
1

1
2
=0.5
1
4

除到三个商只有公
=0.25
因数1

为止

3
4
=0.75


5
=0.2
2
5
=0.4
3
5

=0.6
4
5
=0.8
14、两个数互质的特殊判断方法：
① 1和任何大于1的自然数互质。
② 2和任何奇数都是互质数。
Ⅵ
Ⅵ
（

③ 相邻的两个自然数是互质数。
④ 相邻的两个奇数互质。
⑤ 不相同的两个质数互质。 < br>⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数
情况下），一般情况下这两个数也 都是互质数。
15、求最大公因数的方法：
① 倍数关系：最大公因数就是较小数。② 互质关系：最大公因
数就是1 ③ 一般关系： 从大到小看较小数的因数是否是较大数
的因数。
16、分数知识图解：
分数的产生
分数的意义 分数与意义 ：把单位1平均分成几份，表
示其中的一份或几份。
分数与除法 ：分子（被除数），分母（除数），分数值（商）。
真分数 真分数小于1
真分数与假分数 假分数 假分数大于1或等于1
带分数 （整数部分和真分数）
假分数化带分数、整数（分子除以分母，
商作整数部分，余数作分子）
分数的基本性质：分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍
数， 分数的大小不变。
通分、通分子：化成分母不同，大小不变的分数（通分）
最大公因数
约 分 求最大公因数 (短除法)
最简分数 分子分母互质的分数（最简真分数、
最简假分数）
通 分 求最小公倍数 (短除法)
分数比大小 （通分、同分子、化成小数、仿通分）
六 分数的加法和减法
（1） 同分母分数加、减法 （分
母不变，分子相加减）
1、分数数的加法和减法 （2） 异分母分数加、减法 （通
分后再加减）
（3） 分数加减混合运算：同整
数。
（4） 结果要是最简分数
2、带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别
相加减，再把所得的结果合并起来。
附：具体解释
（一）同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
（二）异分母分数加、减法
1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。
2、异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的
方法进行计算。
（三）分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号
外面的；如果只含有同一级运算，应 从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用
常见乘法计算（敏感数字） ：25×4＝100 125×8＝1000
加法交换律简算例子 加法结合律简算例子 乘法交换律简算
七 折线统计图
统计图：我们学过——条形统计图、折线统计图(复试折线统计图)
条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。
折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能
反映出数量的变化情况。
折线统计图的制作步骤：
1.整理数据。
2.画出纵轴和横轴，用一个长度单位表示一定的数量。
3.根据数量的多少描出各点，标出各点的数据，把各点用线段顺次
连接起来。
4.写出统计图的名称、数量单位和制图日期
注：①画图时注意：一“点”（描点） 二“标”（标数据） 三
“连”（连线） ②要用不同的线段分别连接两组数据中的数。
八 数学广角—找次品
用天平找次品规律：
1、把所有物品尽可能平均地分成3份 ，（如余1则放入到最后一
份中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的
次数 一定最少。
2、数目与测试的次数的关系：2～3个物体，保证能找出次品需要
测的次数是1次