小学奥数数学课本一年级打印版
开卷有益的作文-教师个人发展计划
华罗庚学校数学课本：一年级
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第一讲
速算与巧算（一）
第二讲 速算与巧算（二）
第一讲 认识图形（一） 习题一
1．这叫什么这叫“点”。
1．点 （1）看，这些点排列得多好！
用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在
纸上占一个位置。
2．这叫什么这叫“线段”。
第一讲 认识图形（一）
第二讲 认识图形（二）
第三讲 认识图形（三）
第四讲 数一数（一）
第五讲 数一数（二）
第六讲 动手画画
第七讲 摆摆看看
第八讲 做做想想
第九讲
区分图形
第十讲 立体平面展开
第十一讲 做立体模型
第十二讲
图形的整体与部分
第十三讲 折叠描痕法
第十四讲 多个图形的组拼
第十五讲
一个图形的等积变换
第十六讲 一个图形的等份分划
第十七讲 发现图形的变化规律
（2）看，这个带箭头的线上画了点。
第三讲 数数与计数（一）
沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有
第四讲 数数与计数（二）
第五讲 数数与计数（三）
第六讲 数数与计数（四）
第七讲 填图与拆数（一）
第八讲 填图与拆数（二）
两个端点。
3．这叫什么这叫“射线”。
2．线段 下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！
（1）一根小棍。可以横着摆，也可以竖着摆。
从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线
有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。
4．这叫什么这叫“直线”。
（2）两根小棍。可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可
以一横一竖摆。
沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边
第九讲 分组与组式
第十讲 自然数串趣题
第十一讲 不等与排序
第十二讲 奇与偶
第十三讲 是与非
第十四讲 火柴棍游戏（一）
无限延伸。
（3）三根小棍。可以像下面这样摆。
5．这两条直线相交。
两条直线相交，只有一个交点。
6．这两条直线平行。
3．两条直线
两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。
7．这叫什么这叫“角”。
第十五讲 火柴棍游戏（二）
第十六讲 火柴棍游戏（三）
附：第一讲
点、线、角
附：第二讲 长方形、正方形、三角形和圆
附：第三讲 多边形和扇形
附：第四讲 立体图形的认识
角是由从一点引出的两条射线构成的。这点叫角的顶点，
射线叫角的边。角分锐角、直角和钝角三种。
教室里天花板上的角都是直角。
锐角比直角小，钝角比直角大。
直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。
4．你能在自己的周围发现这样的角吗
哪两条直线相交
哪两条直线垂直
哪两条直线平行
1 2
第二讲
认识图形（二）
二、认识四边形
1．这叫“四边形”。
一、认识三角形
1．这叫“三角形”。 圆是个很美的图形。圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一
点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的
直径。
1．这叫“长方体”。
第三讲 认识图形（三）
四边形有四条边，内部有四个角。
三角形有三条边，三个角，三个顶点。
2．这叫“直角三角形”。
2．这叫“等腰梯形”。
直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫“半圆”。
2．这叫“扇形”。
长方体有六个面，十二条棱，八个顶点。长方体的面一般
是长方形，也可能有两个面是正方形。互相垂直的三条棱
分别叫做长方体的长、宽、高。
2．这叫“正方体”。
它是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相
等。平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰。
3．这叫“平行四边形”。
直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。它
的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边。
3．这叫“等腰三角形”。
它的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等。
4．这叫“长方形”。
习题二
1．用橡皮筋在钉子板上套出各种图形。
圆的一部分叫“圆弧”。由一条圆弧和两条半径构成的图形
叫“扇形”。
正方体有六个面，十二条棱，八个顶点。正方体的每个面
都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等。
3．这叫“圆柱”。
圆柱的两个底面是完全相同的圆。
它也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长（相等），
相等的两条边叫“腰”，另外的一条边叫“底”。
4．这叫“等腰直角三角形”或叫“直角等腰三角形”。
它既是直角三角形，又是等腰三角形。
它的两组对边分别平行而且相等，四个角也都是直角。
5．这叫“菱形”。
4．这叫“圆锥”。
2．观察周围的物体，你还能发现哪些图形如：
圆锥的底面是圆。
5．这叫“棱柱”。
菱形的四条边都相等，对角分别相等。
5．这叫“等边三角形”。 6．这叫“正方形”。
正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 这个棱柱的上下底面是三角形。它有三条互相平行的棱，
叫三棱柱。
它的三条边一样长（相等），三个角也一样大（相等）。
1．这叫“圆”。
3
三、认识圆和扇形
4
6．这叫“棱锥”。
4．圆锥 1+3+6+9+12=31
共有31个点。
例3
数一数，下图中有几条线段
3．数一数，下图中有几个正方形有几个长方形有几
个平行四边形几个四边形
照下面的方法数：
这个棱锥的底面是四边形。它有四条棱斜着立起来，所以
叫四棱锥。
7．这叫“三棱锥”。
3+2+1=6（条）。
例4 数一数，下图中有几个锐角
4．数一数，下图中共有多少点
5．棱锥
因为它有四个面，所以通常又叫“四面体”。它的每个面都
是三角形。
8．这叫“球体”。简称“球”。球有球心，球心到球面
上一点的连线叫球的半径。
6．球
照下面的方法数：
5．数一数，下图中共有几条线段
6．下图中共有10条线段，你能把它们都找出来吗
3+2+1=6（个）。
7．数一数，下图中有几个锐角
习题四
习题三
第四讲 数一数（一）
看看摸摸，并在自己周围寻找具有这些形状的物体。
1．长方体 例1
数一数，下图中有几个正方形、几个等边三角形、几
个圆
8．下图中共有10个角，你能把它们都找出来吗
1．数一数，下图中有几个锐角几个直角几个钝角
2．正方体
2．数一数，下图中有几个等边三角形有几个等腰三角
形有几个直角三角形有几个等腰直角三角形 习题四解答
1．图中有3个锐角、3个直角、3个钝角。
2．图中有1个等边三角形、4个等腰三角形、2个直角三角
3．圆柱
例2
数一数，下图中共有多少点
形、1个等腰直角三角形。
3．图中有2个正方形、3个长方形、5个平行四边形、6个
四边形。
4．图中共有41个点。1+4+8+12+16=41（个）。
5．图中共有3条线段。
5 6
2+1=3（条）。
6．数线段的方法如下：
照书上的方法数，共8个三角形。
2．数一数，右图中有几个三角形
10．右图中共有27个三角形，请你都找出来。
4+3+2+1=10（条）。
7．图中共3个锐角。
例3 数一数，右图中共有多少个正方形
3．右图中有8个三角形，请你把它们都找出来。
11．数一数，右图中共有多少个三角形
8．数角的方法如图：
照书上的方法数，共有10个正方形
4．数一数，右图中有几个长方形
5．下图有7个长方形，请你都找出来。
4+3+2+1=10
4+5+1=10（个）。
例4
数一数，右图中共有多少个长方形
6．数一数，右图中有几个正方形
第五讲 数一数（二）
习题五解答
1．图中有2个三角形。
2．图中有3个三角形。
数复杂的图形需要较强的观察能力，要细心，做到不重不
漏。
例1
数一数，右图中有多少个三角形
照书上的方法数共有5个长方形。
7．左图中共有14个正方形，请你都找出来。
3．可以像下面这样找。
照书上的方法数，共4个三角形。
8．数一数，右图中共有几个正方形，几个三角形
习题五
1．数一数，右图中有几个三角形
例2 数一数，右图中共有多少个三角形
9．数一数，左图中有几个圆
7 8
4．图中有3个长方形。
习题六
1．画点
（1）随意画
例2 画线段
先画两个端点，再使尺子的一边与两点靠近。
5．
左手按住尺子，右手拿铅笔沿着尺子边从一点画到另一
点。
（2）照图画
6．同学们合作，利用小棍（或粉笔）和细绳，在地面上
画大圆。一人把线的一端按在地上不动，另一人把小棍（或
粉笔）捆在细绳上，让细绳时刻拉紧转圈，这时小棍（或
粉笔）就能在地上画出一个大圆。
例3 画直线 把尺子放在纸上，用左手按住，用右手拿着
笔从左往右画。（虽然画出的只是一段，但可以把它想像
成是向两端延伸得很远很远）
6．图中有5个正方形。
2．画线
（1）随意画
（2）用尺比着画线段（看成线段）
第七讲 摆摆看看
7．
例1
用两根火柴棍，摆成一个锐角、一个直角、一个钝角。
例4 画直角
左手按住三角板，右手拿着铅笔沿三角板的
两条直角边可画出直角。
3．画角
（1）随意画
例2 用四根火柴棍摆出两条平行直线，再摆出两条相交直
线。
8．图中有5个正方形、16个三角形。
9．图中有6个圆。
10．图中共27个三角形。
（2）用三角板画一个直角、三个锐角。
11．图中共有44个三角形。其中最大的2个、次大的6个、
次小的12个、最小的24个。
例5 画圆
4．画长方形和正方形（在方格纸上画）。
例3
用火柴棍摆出一个三角形、一个正方形、一个菱形、
一个长方形、一个平行四边形、一个等腰梯形、一个五边
形、一个六边形、一个八边形。
5．使用三角板和圆规画出各种图样。
第六讲 动手画画
例1 画点
用铅笔在纸上画点。
9 10
（1）拿掉哪三根，就可以变成一个三角形
等腰三角形，再用橡皮泥粘住。
5．
（2）拿掉哪两根，就可变成两个三角形
（3）拿掉哪一根，就可变成三个三角形
3．如右图所示，用火柴棍摆了五个正方形。
（3）想想：一个等边三角形必定是一个等腰三角形，对
吗反过来说，每个等腰三角形都是等边三角形，对吗
2．（1）用图示的三根小棍摆成一个直角三角形，再用橡
皮泥粘住。（注意，这三根小棍的长度不是随意的，若用
半根火柴棍当尺子去量，它们的长度数，即量的次数分别
是3、4和5）
例4
用三根火柴棍可以摆出一个三角形，如图。
（1）请你拿掉两根，剩下三个正方形。
（2）请你拿掉两根，剩下两个正方形。
（1）再加两根火柴棍，摆出两个三角形。
（2）再加两根，摆出三个三角形来。
（3）再加两根，摆出五个三角形来。
解
摆一个三角形必需三根火柴棍，这样计算，摆两个三
角形就需要六根。但是现在只给你增加两根，却要求你用
五根摆出两个三角形，可见必有一根火柴棍要供两个三角
形公用才行。同样道理，再加两根后共七根要摆三个三角
形还差两根，所以必须有两根公用。
5．如右图所示，用16根火柴棍摆了四个正方形。你能用
15根 、14根
、13根火柴棍也分别摆成四个小正方形吗摆
摆看。
（2）再用如下图中那样长的三根小木棍，看能不能摆出
一个三角形
再给两根后共九根火柴棍，要摆五个三角形。摆法如图所
示。可以看出九根火柴棍摆出了三个“正立”的小三角形，
同时中间还出现了一个“倒立”的小三角形，它并没有额外
需要增加火柴棍。而且最外面的六根火柴棍又形成了一个
大三角形。所以这九根火柴棍共摆出了五个三角形。
习题七解答
1．慢慢转动小棍的过程中锐角逐渐变大，之后出现直角，
习题七
1．用两根小木棍，摆成一个很小的锐角，然后慢慢地挪
动一根，使锐角渐渐变大。如果继续转动小棍，将会出现
什么角
3．
直角再变大随之出现钝角。
2．
（3）想想：随便拿三根小棍就能摆出一个三角形来吗
什么样的三根小棍才一定能摆出一个三角形
解（1）图中给的三根小棍，可以摆出一个三角形。
（2）图中给的三根小棍，不能摆出三角形。
（3）得出结论：①三根小棍中，如果其中两根较短的小
棍接起来还没有余下的那根长棍长，就摆不成三角形。②
三根棍中，如果两根较短的接起来比最长的那根棍还长，
用它们就能摆成一个三角形。③可见在一个给出的三角形
中，两边之和必大于第三边。
4．如下图所示，用火柴棍摆了六个三角形。如果拿掉三
根火柴棍就变成了三个三角形，应该拿掉哪三根试试
看。
例（1）用下图中那样的三根小木棍，摆出一个三角形，
并用橡皮泥粘住。
第八讲
做做想想
第一根：
第二根：
第三根：
（2）若改用长度数是2、4和5的三根小棍，还能摆成直角
三角形吗
（3）再改用长度为4、4和5的三根小棍，还能摆成直角三
角形吗
再改用三根长度分别是3、4和6的小棍，能摆成一个直角
三角形吗
（4）想想：通过动手做，你是否看出：在这三种情况中，
只有长度数是3、4和5的小棍才能摆出一个直角三角形，
你对此感到奇妙吗
3．如图所示，这里的四根小棍中两根较长的长度相等，
两根短的长度也相等。
（1）用这四根小棍摆出一个长方形。
（2）再用它们摆成一个平行四边形。
（3）先想想：长方形和平行四边形的相同点是什么不
同点又是什么
再判断：“一个长方形必定也是一个平行四边形，而一个
平行四边形就不一定是一个长方形。”对不对
4．这里的四根小棍一样长，请你用它们摆出：
12
习题八
1．（1）用三根一样长的小棍，摆成一个等边三角形，再
用橡皮泥粘住。
2．如右图所示，用火柴棍摆了五个三角形。
11
4．
（2）用两根一样长的小棍和一根较短的小棍，摆成一个
例4
从下面的五个图形中选出与众不同的一个。 6．
（1）一个正方形。
（2）一个菱形。
（3）先想想：正方形和菱形的相同点是什么不同点是
什么再判断：“一个正方形必定是一个菱形，而一个菱
形不一定是一个正方形。”对吗
（3）正方形和菱形的相同点是：它们都是四条边相等的
四边形。不同点是：正方形的四个角都是直角，而菱形的
四个角都不是直角（其中两个锐角，两个钝角）。
图（4）与其他四个不同。
除图（4）外其他四个都是正多边形，也就是各边都相等
的多边形；而图（4）的四条边长短不同，所以不是正多
边形。
答：（）。
7．
习题九
习题八解答
1．
例1
下图中的两个三角形，有哪些相同点，有哪些不同
点
第九讲 区分图形
从下列每题的五个图形中选出与其他四个不相同的一个，
把答案序号填在括号里。
1．
答：（）。
8．
（3）在一个等边三角形中，它的三条边都相等，当然其
中的两条边也必相等，所以说每一个等边三角形都必定是
一个等腰三角形是对的。
相同点：都有一个直角，都是直角三角形。
但反过来说就不对了，因为等腰三角形只是两边相等，对
第三条边的长度没有限制。
2．
不同点：（1）中两条直角边不相等，是一般的直角三角形。
（2）中两条直角边相等，是个等腰直角三角形。
例2
下图中的两个图形，有哪些相同点，有哪些不同点
请你仔细观察、分析。
答：（）。
2．
答：（）。
9．
答：（）。
3．
答：（）。
习题九解答
1．（4）。其他图形都是直角，而第（4）个图形不是直角。
（5）我国古代数学家，把直角三角形中较短的直角边叫
“勾”，较长的直角边叫“股”，把斜边叫“弦”。他们
已经发现了直角三角形三边长度的“勾三股四弦五”的
关系。
3．（略）
4．
答：（）。
5．
等但不平行。
4．（3）。其他图形均被分成大小相同的四份，阴影部分占
其中的一份，而第（3）个图形则不是。
5．（4）。其他图形都是由正方形和圆形构成，而第（4）
（3）长方形和平行四边形的相同点是：都是两组对边平
行且相等；不同点是：长方形的四个角都是直角，而平行
四边形的四个角都不是直角，有两个为锐角、两个为钝角。
5．
13
相同点：都可以看成是一个大图形里面内接（套着）一个
同样形状的小图形组成。
不同点：（1）的大小两个图形都是正方形，（2）的大小两
个图形都是等边三角形。
例3 下图的五个图形中，哪一个与众不同
答：（）。
4．
2．（4）。其他图形中的虚线都把图形分为相等的两部分，
而第（4）个图形则不是。
3．（4）。其他图形都是两组对边分别平行且相等，而第（4）
个图形不是这样，它的上下两边平行但不相等，左右两边
相
个图形是由三角形和圆形构成。
图（3）与其他四个不同。
因为图（3）只有三条边，是三角形，而其他四个图形都
是四边形。 答：（）。
14
6．（3）。其他图形中的圆点都处于划线的阴影三角形的左
侧，而第（3）个图形中则不是。
7．（4）。其他图形中的三条线是这样配置的：伸出右手，
四指由带箭头的一条线从直角内部握向带圆点的一条线
时，大拇指指向带圆圈的一条线。但第（4）个图形不这
样的。
8．（4）。其他图形中涂黑部分是两个小图形的重叠部分，
而第（4）个图形中有两个涂黑部分。
9．（4）。其他图形中，由大圆→中圆→次小圆→小圆顺时
针旋转，而第（4）个图形中按这个顺序走却是逆时针旋
转。
习题十
1．下图中的（1）、（2）、（3）号盒子剪开铺平后，展开图
是哪一个，请你用线连起来。
这个展开图就是扇形。
什么样的立体图形
5．用剪刀将下面的平面展开图剪下来，看看能不能折叠
成正方体。
例3把下面的平面展开图剪下来，可做成什么立体图形
第十二讲 图形的整体与部分
第十讲 立体平面展开
例1 把一条长方形纸带剪成长短相同的两条，摆在桌面
例1 像下图那样，把正方体盒子剪开，铺展在平面上加以
描画而成的图形叫做“展开图”。请你试试做。
上，仔细地看看。再把剪开的两条纸带接起来，变回原来
的长度，再仔细地看看。
例4 把下面的平面展开图剪下来，能折叠成什么样的立体
图形
把一个图形分成大小相同的两份，其中每1份都是原来的
例2
把厚纸盒沿右图的粗线剪开，展平成“展开图”。想
一想，剪开前哪个面和哪个面相对
2．将下图中（1）、（2）号棱锥剪开铺平后，哪一个是它
对应的展开图，请用线连起来。
二分之一，写
例2 把一张正方形的纸片剪成大小相同的4块。请你仔细
看看下面画出的三种剪法。
把一个图形分成大小相同的4份，其中每1份都是原来的四
3．请你将能找到的包装盒如：火柴盒、月饼盒、冷饮盒、
鞋盒等等，用剪刀剪开，平铺在桌面上观察并画出展开图。
把原来的立体图和平面展开图对照可知：
习题十一
用剪刀将平面展开图剪下来，沿折线折叠成立体图形。
第十一讲 做立体模型
于原来小纸条的3倍。
分
由四棱柱和四棱锥组成的立体图形
之 一 ，
写
原来的：
新做的：
动手折叠，把一个平面展开图变成一个立体模型，这样不
但可以培养动手能力，而且可以增强空间想像能力。
1和3相对；2和4相对；5和6相对。
例3 把冷饮食品“蛋卷”的包装皮（圆锥）切开后，形
成下面右图那样的形状。
例1把下面的平面展开图剪下来，沿着折线能折叠成什么
样的立体模型自己动手试一试。
例4下图中阴影部分是整个图形大小的几分之一
例2
将下面的平面展开图剪下来，沿着折线折叠，能折成
15
16
（5）对折5次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份
解：
例5下图中的阴影部分占整个图形的几分之几
3．下图中的三个长方形纸带，哪一个是带阴影图形长度
的4倍
图中每个圆都被分成了四个相同的部分。
4．下图中阴影部分占整个图形的几分之几
第十三讲 折叠描痕法 习题十三
用折叠描痕法等分图形：
如何将一个图形分成相同的几部分呢这里介绍一种简
单易行的方法——折叠描痕法。
例1把正方形分成相同的四部分。
例6下面图形中阴影部分占整个图形的几分之几
5．下图中阴影部分占整个图形的几分之几
1．把一张正方形的纸分成四等份，你能想出三种折叠方
法来吗
2．把一张长方形的纸分成八等份，你能想出多少种不同
的折叠方法来
3．把一张圆形的纸分成二等份、四等份、八等份和十六
等份。
4．把一张平行四边形的纸分成二等份、四等份。
5．把一个等腰三角形的纸，用折叠描痕法等分成二等份
后，再用剪刀剪开，拼成一个长方形。
6．下图中阴影部分占整个图形的几分之几
（1）中的大等边三角形被分成了四个相同的小三角形，
带阴影的小三 第一步：对角折
第二步：再对角折
第三步：展开，描痕。
（2）中的垂线将大三角形分成了相同的两部分，带阴影
的小三角形占
7．下图中阴影部分占整个图形的几分之几
例2把大等边三角形分成相同的四部分，使每部分的形状
都与原图形一样。
6．把一个等腰梯形先折叠两次（一次找腰的中点，一次
折出三角形），再沿折痕剪下，拼成一个大三角形。
7．把一个平行四边形纸，先折叠一次（折出一个直角三
角形）再沿折痕剪下，拼成一个长方形。
习题十三解答
下面是折叠后，再展开描痕的结果。
（3）中的大等边三角形先被分成了相同的四部分，阴影
小三角形又是
1．
2．
习题十二解答
习题十二
1．下图中哪个图形是整个长方形的二分之一
第一步：左右对角折，然后展开，描痕成虚线，虚线与底
边交点就是底边中点。
第二步：将上角折下，使角顶与底边中点重合。
第三步：折左角、折右角，如图示。
第四步：展开，描痕。
3．（2）是阴影部分长度的4倍。
例3用折叠描痕法等分一个长方形纸条。
（1）对折1次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份
（2）对折2次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份
2．下图中阴影部分的长度是全长的几分之一
17
（3）对折3次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份
（4）对折4次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份
3．
18
例2用两个同样大小的直角三角形拼成一个平行四边形。
10．请用七个正六边形（右面只画了一个）拼出一个蜂窝
4．
解：注意平行四边形的两组对角相等、两组对边平行且相
等的特点，经试验，可以拼成如下的平行四边形。
5．折叠、展开、描痕、剪开，重新拼成长方形。
3．请用两个同样的一般三角形拼成一个平行四边形。
例3如下图所示，用四个形状和大小完全相同的直角三角
形，可以拼出一个“空白”正方形（空白处形成的图形是
个正方形）。请你仍用这四个直角三角形，再拼出其他边
长不同的“空白”正方形出来。
6．（1）折叠、打开——找腰的中点
（2）再折叠、再打开、描痕
（3）剪开、旋转、拼成三角形
解：（l）可以利用直角边拼出正方形来
4．请用四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形。
习题十四解答
2．请用两个同样的等腰直角三角形拼成： 状的图形。
5．请用四个同样的直角三角形和一个正方形拼成一个大
正方形。
（2）也可以利用斜边拼出正方形来
6．请用一个五边形和五个等腰三角形拼成一个“五角
7． 星”。
7．请用八个等腰直角三角形拼成一个大正方形。
10．
第十四讲 多个图形的组拼
例1用下图的同样大小的三个等边三角形拼成一个等腰梯
形。
习题十四
1．请用两个同样的直角三角形拼成：
解：因为等腰梯形的两腰相等，上底和下底平行，而等边
三角形的三条边是相等的，经试验，可以拼成如下的等腰
梯形。
19
20
8．请用四个一样的等边三角形拼成一个大等边三角形。
9．请用六个一样的等边三角形拼成一个正六边形。
第十五讲
一个图形的等积变换 第十六讲 一个图形的等份分划
把一个图形切开后组拼成另一个图，它的形状变了但（面
积）大小未变，这样的过程叫做图形的等积变换。
例1把下面的长方形剪一刀，将它分成两个同样的直角三
角形。然后用这两个直角三角形拼成另外形状的图形。试
试看。
习题十五
解： 1．把一个平行四边形折叠展开描痕分成二等分，沿折痕
剪开后，再拼成另一个平行四边形。
习题十五解答
把一个图形划分为大小相等、形状相似的几部分叫做图形
的等份分划。
例1
在右图中画一条直线，把图形分成形状相同、大小相
等的两部分。
解：图中共有18个正方形小格，若分成大小相等的两部分
时，每一部分应包含有9个正方形小格。还可以看出，此
2．把下图中的长方形纸片先剪成两个大小相同的正方形，
再把每个正方形纸片剪成两块，然后拼成一个大正方形。
怎样剪，怎样拼
图中有一条“斜线”边缘。经尝试可做出如虚线所示的划
分。
例2
下面左图是由五个同样的正方形组成，请把它们分
成形状相同、大小相等的四块。
3．下图所示这块木料可看成由五个小正方形组成。聪明
的木工只据了两次，就拼出了一个正方形桌面。想一想，
例2给你一个梯形，先将它折叠两次（如图示），再沿三角
形一边的那条折痕剪开，拼成一个三角形。
解：
他是怎样锯、怎样拼的
解：要求把五个正方形分成大小相等的四块，不难算出，
每块应当包含有一个正方形，另外还应当再加一个正方形
的四分之一。经尝试，划分方法如上面右图。
例3
如下图所示，一个长方形由28个小正方形组成。请把
它划分成形状相同、大小相等的四块，你能做出多少种划
4．请把下图中的长方形分成形状相同、大小相等的两块，
然后再拼成一个正方形。
分方法
例3 右图由五个小正方形组成，请先用剪刀把它剪开，然
后重新拼成一个大正方形。 5．请把下图中的正方形分成形状相同、大小相等的四块，
然后再拼成一个等腰直角三角形。
解：划分方法很多，如下图：
解：此题有很多种不同的切拼方法，这里只举一种。把小
正方形剪下来，再将剩下的大正方形等分成四个直角三角
形，再像下面的右图那样拼成一个大正方形。 6．把下面的图形剪两刀变成三块，再把这三块拼成一个
正方形。
例4 将右图所示正方形用两条直线划分成形状相同、大小
相等的四块，有多少种方法
21
22
相同的要求，经尝试可按右图所示方法划分。
4．把3个等边三角形组成的图形分成4块，就需要从每个
等边三角形中划出一块，共划出3块，使其组成的图形和
每个三角形剩下的部分形状相同，大小相等。经尝试，得
到如右图所示的划分。
解：由画出的4个图可见，两条对角线一同旋转，可做出
无数种划分方法，如下图所示。
6．如右图所示，正方形的院中有12棵树。现在要把这院
分成大小相等、形状相同的4个小区，每个小区要有3棵树，
如何分
解：仔细观察可发现，第一行和第二行中的最右边的完整
图形是这样变来的：将最左边的半个图形，往右平移到中
间图形位置，然后再去掉两个图形的重合部分。按这个规
律可知“”处就填：
习题十六
1．右图是由3个大小相同的正方形组成，要把它分成大小、
形状都一样的4块，该怎样分 例3 下图的一组图形的“”应填什么样的图形
第十七讲
发现图形的变化规律
习题十六解答
1．3个正方形要分成大小相等的4块，必须每个正方形分
2．你能把右边的图形分成2块，使它们的大小、形状都一
样吗试试看。
出四分之一小块，4个四分之一小块再凑成一块。再考虑
到4块形状相同的要求，经尝试可做如右图中的划分。
这是一种综合训练。通过对图形的仔细观察、反复比较、
大胆猜测、严格检验和不断修正等思考程序，就能发现下
列图形的变化规律，得出正确的答案。
例1
下图是按一定规律排列的。找出它的变化规律后，试
填出所缺少的图形。
解：每行的第一和第二个平移重叠后变成第三个图形。可
见第三行“”处为：
2．可以这样想：因为原图中有弯曲线，所以将要分成的
两块的分界线一定也是这样的弯曲线，它可使一块成为凸
3．把一块地（如右图）分给5个种植小组，每组分得的土
地的形状和大小要相同，怎样分
的，使另一块成为凹的。如图所示。
习题十七
下列各题中的图形都缺少一个，试根据对已给出的图形的
观察思考，找出图形的变化规律，将所缺的图形补上。
1．
解：通过观察、比较可以发现，第一行和第二行的三个小
4．3个同样大小的等边三角形组成一个等腰梯形（如图所
示）。现在要将这个梯形分成大小相等、形状相同的四块，
怎样分
3．先计算一下，图中共有25个小正方形。题目要求把它
分成大小相等的五块，每块就应含有5个小正方形。再考
虑到每块形状
图形是相同的，所不同的只是它们的排列顺序。还可以发
现，从第一行变到第二行，每个小图形都往右移动了一个
图形的位置，而且第一行最左边的图形占了第二行最右边
的位置。所以第三行“”处应填：
5．请把右图划分成大小相等、形状相同的两部分（不允
许用直线从图形的中央竖直分开）。
23
例2 在下图的一组图形中，“”处应填什么样的图形
24
2+18=20
3+17=20
4+16=20
5+15=20
6+14=20
7+13=20
8+12=20
9+11=20
又如：
15+85=100
25+75=100
35+65=100
第一讲 速算与巧算（一） 45+55=100
12+28=40
13+37=50
14+46=60
15+55=70
16+64=80
17+73=90
18+82=100
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14
+15+16+17+18+19
+20
解：由例2和例3，已经知道从1开始的前10个单数之和以
及从2开始的前10个双数之和，巧用这些结果计算这道题
就容易了。
1+2+3
+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19
+20
= （ 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 ） +
（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20）
=100+110（这步利用了例2和例3的结果）
14+86=100
24+76=100
34+66=100
44+56=100等等
=210
例6 计算 5+6+7+8+9+10
解：可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。
5+6+7+8+9+10
=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）
（熟练后，此步骤可省略）
=55-10=45
巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像10、
一、凑十法：
同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于
10：
1+9=10
2+8=10
3+7=10
4+6=10
5+5=10
20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、
整百的数就是凑整的目标。
例2 计算
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
解：这是求1到19共10个单数之和，用凑整法做：
四、改变运算顺序
在只有加减运算的算式中，有时改变加、减的运算顺序可
巧用这些结果，可以使计算又快又准。
例1 计算
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
解：对于这道题，当然可以从左往右逐步相加：
1+2=3 3+3=6
6+4=10 10+5=15
15+6=21
28+8=36
45+10=55
这种逐步相加的方法，好处是可以得到每一步的结果，但
缺点是麻烦、容易出错；而且一步出错，以后步步都错。
若是利用凑十法，就能克服这种缺点。 例8 计算
1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11
解：这题只有加减运算，而且1-2不够减。我们可以采用
带着加减号搬家的方法解决。要注意每个数自己的符号就
三、用已知求未知
习题十七解答
二、凑整法
同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如：
1+19=20
25
例3 计算
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
解：这是求2到20共10个双数之和，用凑整法做：
使计算显得十分巧妙！
例7
计算
10-9+8-7+6-5+4-3+2-1
解：这题如果从左到右按顺序进行加减运算，是能够得出
正确结果的。但因为算式较长，多次加减又繁又慢且容易
出错。如果改变一下运算顺序，先减后加，就使运算显得
21+7=28
36+9=45
例4 计算
2+13+25+44+18+37+56+75
解：用凑整法：
非常“漂亮”。下式括号中的算式表示先算，
10-9+8-7+6-5+4-3+2-1
=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）
=1+1+1+1+1=5
五、带着“+”、“-”号搬家
是这个数前面的那个“+”号或“-”号，搬家时要带着符
号一起搬。
1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11
=1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10
=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）[先减后
加]
=1+1+1+1+1+1
26
利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题
这是人们认识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就
是这个道理，可见把这种认识规律用于计算方面，可使计
算更快更准。下面再举两个例子。
例5 计算 11+9=30
=6
在这道题的运算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把
“+5”搬到了“-4”的前面，……把“+11”搬到了
“-10”的前面，这就叫带着符号搬家。巧妙利用这种搬
法，可以使计算简便。
=12
6．解：
10-20+30-40+50-60+70-80+90
=10+30-20+50-40+70-60+90-80
=10+（30-20）+（50-40）+（70-60）+（90-80）
=10+10+10+10+10
=50
习题一 7．解：
（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）
=（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）+（10-9）
=1+1+1+1+1
算
8．解：
（2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19）
：
=5
1+2+3+4+5=15
1+2+3+4+5+6=21
1+2=3
1+2+3=6
方法2：这样想：先算每次妹妹比哥哥多拿几块，再算共
多拿了多少块。
(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12
-11)+(14-13)+(16-15)
=1+1+1+1+1+1+1+1
=8（块）
可以看出方法2要比方法1巧妙！
（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12
=55+11+12=78（下）
习题二
1．三个小朋友分5块糖。要求每人都分到糖，但每人分到
的糖块数不能一样多，你能分吗
2．①把16只小鸡分别装进5个笼子里，每个笼子里都要有
平时注意积累，记住一些有趣的和重要的运算结果，非常
有助于速算。比如，请同学记住几个自然数相加之和：
1．计算：13+14+15+16+17+25
2．计算：2+3+4+5+15+16+17+18+20
3．计算：21+22+23+24+25+26+27+28+29
4 ． 计
5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
5．计算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0
6．计算：10-20+30-40+50-60+70-80+90
7．计算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9）
8．计算：（2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19）
9．计算：（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）
鸡，而且每个笼子里的鸡的只数也不能相同，如何分装
②按同样要求，把15只小鸡装进5个笼子能办得到吗
③按同样要求，把14只小鸡分装到5个笼子能办得到吗
1+2+3+4=10
3．①把100块糖分给10个小朋友。要求每人都分到单数块
糖，而且每人分到糖块数都不一样，如何分
②把99块糖按同样要求分给10个小朋友，你能分吗
4．从1到20这20个数中，所有的双数之和与所有的单数之
和的差是多少
5．小方家的钟除了几点钟敲几下外，每半点钟也敲一下。
比如说，0点半敲1下，1点钟敲1下，1点半敲1下，2点敲2
下，2点半敲1下，……照这样敲下去，从夜里0点开始，
计到白天中午12点钟，在这12个小时之内时钟共敲了多少
1+2+3+4+5+6+7=28
1+2+3+4+5+6+7+8=36
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
例2
星期天，小明家来了9名小客人。小明拿出一包糖，
里面有54块。小明说：“咱们一共10个人，每人都要分到
习题一解答
1．解：见下图：
=10
9．解：
（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）
解：按小明提的要求确实无法分。
因为要使得每个人都得到糖，糖块数人人不等，需要糖块
数最少的分法是：第一人分到1块，第二人分到2块，…第
2．解：见下图：
十人分到10块。但是，这种分法共需要有
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（块）
=50
而小明这包糖一共才54块，所以按这种方法无法分。如果
改变一下，有一人少得1块糖，比如说，应该得10块糖的
小朋友只分到了9块，但是这样一来，他就和另一个先分
得9块糖的那个小朋友一样多了，这又不符合小明提出
3．解：见下图： 第二讲
速算与巧算（二）
例1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1块，妹妹拿2块；哥哥拿3
块，妹妹拿4块；接着哥哥拿5块、7块、9块、11块、13
块、15块，妹妹拿6块、8块、10块、12块、14块、16块。
你说谁拿得多，多几块
4．解：
5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+
19+20-(1+2+3+4)
=210-10（利用例5的结果）
=200
5．解：
22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0
=（22-20）+（18-16）+（14-12）+（10-8）+（6-4）+（2-0）
=2+2+2+2+2+2 72-64=8（块）
27
糖，但每人分到的糖块数不能一样多，谁会分”结果大
家都无法分，你能帮他们分好吗
下
习题二解答
1．答案是不能分。
所需糖块数最少的一种分法是：第1个人分1块，第2个人
分2块，第3个人分3块，这样三个人共需要有1+2+3=6
（块），但总的糖块数只有5块，不够分。如果第3个人也
分得2块，这样糖是够分了，但是这样就有2个人分得糖块
数一样多了，又不符合分糖的要求了。
2．①5只笼子装16只小鸡的装法是1，2，3，4，6。
1+2+3+4+6=16（只）
②5只笼子装15只小鸡的装法是1，2，3，4，5。
1+2+3+4+5=15（只）
③5只笼子装14只小鸡，要求每笼都有鸡，而且笼笼鸡数
不等，无法分装。
3．①记住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。
块糖按要求分给10个人的分法是：各人所得糖块数分别为
“每人分到的糖块数不能一样多”的要求。
（注意：“按小明提的要求无法分”就是此题的答案。在
数学上“无解”也叫问题的答案。）
例3 时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，……照
这样敲下去，从1点到12点，这12个小时时钟共敲了几下
解：这是一道美国小学奥林匹克试题，要求在3分钟内就
要得出答案。
方法1：凑十法
解：方法1：先算哥哥共拿了多少块
②99块糖按要求分给10个小朋友无法分。
4．解：方法1：
单数之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100
双数之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110
再算妹妹共拿了多少块 差：110-100=10
方法2：改变运算顺序
(2+
4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+
方法2：如果能记住从1到10前十个自然数之和是55，计算
会更快。
17+19)
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12
-11)+(14-13)+(16-15)+
28
(18-17)+(20-19)
=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
=10
5．解：先记录时钟敲的整点数和半点数如下：
面数：4
棱数：6
从顶层开始数，各层小立方块数是：
第一层：1块；
列算式求和，并改变运算顺序：
1+1+1+2+1+3+1+4
1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12
=(1+2+3
+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+
1+1+1+1)
=78+12
=90（下）
十
第二层：3块；
第三层：6块；
第四层：10块；
总块数
1+3+6+10=20（块）。
从上往下数，第一层：1块；
第二层：第一层的1块加第二层“看得见”的2块等于第二
层的块数：
1+2=3块；
第三层：第二层的3块加第三层“看得见”的3块等于第三
层的块数：
第三讲 数数与计数（一）
例1
请你数一数，下图中共有多少个“×”
3+3=6块；
第四层：第三层的6块加第四层“看得见”的4块等于第四
层的块数：
6+4=10块。
总块数1+3+6+10=20（块）
例3
右图是由小立方体码放起来的，其中有一些小立方
体被压住看不见。请你数一数共有多少小立方体
习题三
1．请你数一数，下图中共有多少×
6．数一数，下面的立体图形的面数、棱数和顶点数各是
多少
5．右图所示是由小立方体堆起来的，请你数一数，共有
多少小立方体
顶点数：4
面数：5
棱数：8
顶点数：5
4．如右图所示是由小立方体构成的“宝塔”，请你数一
数共多少块
解：①分层数
②先按“实心”三角形计算，再减去“空白”三角形中“×”的
个数
（1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（5+3+1）
解：从右往左数，并且编号
第一排：1块；
例2
下图所示的“塔”由4层没有缝隙的小立方块垒成，
求塔中共有多少小立方块
第二排：7块；
2．如下图所示，一单层砖墙下雨时塌了一处，请你数一
数，需要多少块砖才能把墙补好
习题三解答
1．解：
方法1：从最上边的一行往下数
3．如右图所示是一个由小立方体构成的塔，请你数一数
并计算出共有多少块。
30
第三排：5块；
第四排：9块；
第五排：16块；
总数：1+7+5+9+16=38（块）。
例4
数一数下面的立体图形的面数、棱数和顶点数各是
多少
29
方法2：假设“×”填满整个长方形的图形，应该共有
“×”：20×8=160（个）。
“空白”三角形处应有“×”：
2+4+6+8=20（个）。
“空白”长方形处应有“×”:
5×4=20（个）。
实际上“×”的总数是：
160-20-20=120（个）。
2．解：从下往上数，墙洞所缺少的砖块数是：
1+2+2+1+2+2=10（块）。
3．解：从上往下数，注意：不要漏掉那些看不见的小立
方体。
第一层：1块；
第二层：4块；
第三层：9块； 第四层：16块；
总数：1+4+9+16=30（块）。
4．解：从上往下数
第一层：1块；
第二层：9块；
第三层：25块；
总数：1+9+25=35（块）。
5．解：由前往后数，并进行编号
要加上；如果重复了，要减掉。
例1
小朋友排队，小红前面4个人，后面3个人，问这队共
有几个人
解：画示意图。用点“·”代表人
由图可知：总人数是
6+8+1=15人。
2．解：方法1：数一数；先画示意图如下，用●代表红色
小轿车，用○代表其他车。
由图可见，小刚和小莉中间的人数是：
45-（19+12）=14（人）。
例5
一班同学做花，做红花的有38人，做黄花的有39人，
没有做花的有3人。如果全班55人，那么既做红花又做黄
花的有多少人
解：
这队的总人数要数上小红，所以是4+3+1=8（人）。
例2 排好队，来报数，
正着报数我报七，
解：画图如下： 从后面往前数一数，红色小轿车是第6辆。
方法2：算一算；这队车共有12辆，从前面往后数，红色
小轿车是第7辆，所以红色小轿车前面有7-1=6辆车，因此
从后面往前数，红色小轿车是第12-6=6辆。
倒着报数我报九，
一共多少小朋友
解：见下图
由图可见，做花的人：55-3=52（人）。
图中阴影部分表示两色花都做的人：
38+39-52=25（人）。
3．解：画示意图如下：
习题四
正着报数“我”报了一次，倒着报数“我”又报了一次，
所以把两次报数加起来时，“我”被加了两次。因此算这
队的总人数时，应从两次报数之和减1。
7+9-1=15（人）。
也可以这样想：正着报数报到我为止，倒着报数时，我就
不报了，只报到我的后面相邻的那个人他应该报8，所以
全队总人数是：
第一排：5块；
第二排：6块；
第三排：8块；
总数：5+6+8=19（块）。
6．解：图（1）是六棱柱；
面数8，棱数18，顶点数12。
图（2）是由两个四面体组成；
面数6，棱数9，顶点数5。
图（3）是五棱柱；面数7，棱数15，顶点数10。
图（4）是由两个四棱锥和一个四棱柱组成；面数12，棱
数20，顶点数10。
由图可见，从排头数起时，把张英和刘平数了一次。由排
尾数起时，又把刘平和张英数了一次，可见把他两人多数
了一次，所以点总人数时，应减去多数的那一次才对。
20+23-2=41（人）。
第四讲 数数与计数（二） 例445个小朋友排成一队去春游。从排头往后数，小刚是
第19个；从排尾往前数，小莉是第12个，问小刚和小莉中
间有几个人
数数与计数时，注意不应漏掉，不应重复。如果漏掉了，
31
32
1．学生排成一队，在小进的前面有6人，后面有8人，问
这队共有多少人
2．12辆汽车组成一列车队向前行进。从前面数起，红色
的小轿车是第7辆。问从后面数它是第几辆
3．游泳池里男生都戴蓝帽，女生都戴红帽。池中一个男
生小强边看边数，他看见蓝帽4个，红帽5个。问池中男女
生共多少人
4．说稀奇、道稀奇，鸭子队里有只鸡。正着数它第六，
倒着数它第七。请你帮助算一算，小鸭一共有几只
5．一个小组的小学生共有5人，已知他们都做了语文作业
或数学作业。又知做完语文作业的有3人，做完数学作业
的有4人。问语文和数学作业都做完的有几人
由图可见，正数算上了小鸡，倒数也算上了小鸡。这样两
数之和6+7=13中，把小鸡计算了两次。所以求小鸭的数目
时就要减去两个小鸡。
6+7-2=11（只）。
5．解：画示意图如下：
因为男生小强边看边数时，没有看见自己的蓝帽，他把自
4+5+1=10（人）。
4．解：画示意图，用○代表小鸭，用●代表小鸡。
己漏数了。所以算总人数时，要把他加上，即
7+（9-1）=15（人）。
例3
少先队员排成队去参观科技馆。从排头数起刘平是
第20个；从排尾数起，张英是第23个。已知刘平的前一个
是张英。问这队少先队员共有多少人
解：画示意图，用点代表少先队员。
6．在100名学生中统计，有65人会骑自行车，有73人会游
泳，有10人既不会骑自行车又不会游泳。问既会骑自行车
又会游泳的人有多少
7．某班有学生45人，订阅《中国少年报》的有29人，订
阅《小朋友》的有28人，其中两种都订阅的有16人，问两
种刊物都没有订阅的人有多少
习题四解答
1．解
两种作业都做完的人既算在了做完语文作业的3人中，又
算在了做完数学作业的4人中，因此这部分人被多算了一
次，（如图中阴影部分所示）所以两种作业都做完的人数
是：
3+4-5=2（人）。
6．解：画图如下： 解：画示意图如下：
插在起点。运动员从起点起跑经过6秒钟到达第6面旗，问
运动员到达第11面旗时，需要跑11秒钟吗
8．三点钟时，挂钟打响三下，用了12秒。到六点钟时，
挂钟打响六下，要用几秒钟
由图可见，这段马路的11棵树之间有10个“空”，也就是
由图可知：会骑车或是会游泳的总人数是
100-10=90（人）。
两种都会的人数是65+73-90=48（人）。（图中阴影部分所
示）
7．解：画示意图如下：
男女男女男女男女男女男女男女男
例3
把一根粗细一样的木头锯成5段，需要4分钟。
①如果把这根木头锯成10段，需要几分钟
②如果把这根木头锯成100段，需要几分钟
因为至少订1份刊物的人：
28+29-16=41（人）。
由图可见，把木头锯成5段，只需锯4次。
两种刊物都没有订的人：
45-41=4（人）。
所以锯一次需1分钟。
①同样道理，把这根木头锯成10段，只需锯9次，所以需9
分钟。
②同理，把这根木头锯成100段，只需锯99次，所以需99
分钟。
第五讲
数数与计数（三）
例1
小朋友，张开手，
五个手指人人有。
手指之间几个“空”，
请你仔细瞅一瞅
（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。
解：见右图看一看、数一数可知：5个手指间有4个“空”。
“空”又叫“间隔”，也就是，人的一只手有5个手指4
个间隔。 习题五
1．一队男生8人。老师要求在2名男生中间插进1名女生，
问可插进多少女生
2．小冬用12张纸订成一个本子。从头数起，每隔3纸夹进
一片树叶，问这个本子内共放进多少片树叶
解：用
3．在一条20米长的小路两旁种小松树，如果每隔5米种一
棵，而且两头都种树，问这段小路上共种多少棵
4．一根钢管长6米，每分钟锯下1米，几分钟锯完
5．一根木头锯成4段，要付锯工费1元。如果要把这根木
头锯成13段，要付锯工费多少元
例2 小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共
种了11棵，问这段马路有多长
6．小明与爸爸一同上楼。小明上得快、爸爸上得慢，小
明上2层，爸爸上1层。问小明上到五楼时，爸爸上到几楼
7．沿着跑道插着11面旗，旗与旗离得一样远，第一面旗
33
10个间隔。每个间隔长1米，10个间隔长10米。也就是说
这段马路长10米。像这类问题一般叫做“植树问题”。可
以得出一个公式：当两头都种树时：
1．解：
习题五解答
方法1：按老师要求，在2名男生中间插进1名女生后，写
出队伍的排外情况是：
7．解：画出示意图：
数一数，可知插进的女生共7人。
方法2：也可以这样想：这道题中，把男生看成“树”，
把女生看成“间隔”，就能按植树问题的公式解这道题。
因为两头都是男生，就像两头都有树一样，女生数应等于
男生数减1，即8-1=7（人）。
2．解：画示意图如下：
在起点插着第一面旗，但在起点运动员起跑时，时间是从
0秒开始计时的。运动员跑到第六面旗时，实际上是跑了5
段间隔，这时他用了6秒钟的时间；当他跑到第11面旗时，
实际上又跑了5段间隔，所以又用了6秒钟，总起来共用了
12秒钟，而不是11秒钟。
8．解：“当—当—当”钟打响了三下，三响之间的间隔
可以这样想：把每3张纸粘在一起成为一张“厚纸”，12
张纸共粘成4张厚纸。按题目要求，相当于每两张厚纸之
间放入一片树叶，可知共放入3片树叶。
3．解：画示意图如下：（只画一旁种树情况）
是两次，两个时间间隔用12秒，一个时间间隔就是12÷2=6
（秒）。如果钟打六下，六响之间的间隔是5次，因而钟打
六下要6×5=30（秒）。
解：画出示意图：
例4 鼓楼的钟打点报时，5点钟打5下需要4秒钟。问中午
12点时打12下需要几秒钟
解：画示意图。钟打一下用一个点代表，打5下画5个点。
第六讲 数数与计数（四）
由图可见，钟打5下中间有4个时间间隔，4个间隔是4秒钟，
每个间隔就是1秒钟。由此推理钟打12下时有12-1=11个时
间间隔，故用11秒钟。
由图可见，每5米为一段，20米长的路可分为4段，由于路
两端都要种树，所以种的棵树等于段数加1，即一旁种树
4+1=5（棵），两旁共种5+5=10（棵）。
4．解：画示意图如下：
本讲采用枚举法解决数数与计数的问题。比如老奶奶数鸡
蛋，她小心翼翼地把鸡蛋从蓝子里一个一个地往外拿，边
拿边数。篮子里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数出来
了。
这种最简单的数数与计数的方法就叫做枚举法。
例1
用分别写有数字1和2的两张纸片，能够排出多少个不
同的二位数
代表这两张纸片。把所有可能的排法枚
由图可见，把6米长的钢管锯成1米长的6段，只需锯6-1=5
（次），题中说，每分钟锯下1米，就是说锯1次需要1分钟，
所以锯5次需5分钟即5分钟把钢管锯完。
5．解：把一根木头锯成4段只需锯4-1=3次，按题意付锯
工费1元。当把这根木头锯成13段时只需锯13-1=12次，每
锯3次付费1元，锯12次应付锯工费4元。
6．解：见右图当小明跑五楼时，实际上跑过了4层楼梯，
所以爸爸此时只走过了2层楼梯，即走到了三楼。
34
举出来，可知能排出两个二位数来。它们是：
例2
用分别写有数字0，1，2的三张纸片
排出多少个不同的二位数
能
解：因为“0”不能作为首位数字，所以只能排出4个二位
数，它们是：
1作十位数字，0或2作个位数字：
1．用三张数字卡片
四点之间有六条连线，表示四个人共握6次手。
例6
铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的，
距离愈远，票价愈高。如果一段铁路上共有五个车站，每
两站间的距离都不相等，问这段铁路上的火车票价共有多
例3
用分别写有数字1，2，3的三张纸片
排出多少不同的三位数
解：
解：用枚举法，即把所有可能排出的每一个三位数都写出
来。再数一数共有多少个。
如图所示，用一条线段表示这段铁路，用线段上的五个点
代表五个车站，各点间距离不同表示各车站间距离不同，
因而票价不同。
能
少种
个不同的二位数
3．用两套数字卡片
习题六
，可以排出多少个不
41，42，43，44，45；
51，52，53，54，55。
4．解：画图。用点代表人，用两点之间的连线代表两个
数。数一数，共有10条连线，所以共握手10次。
同的三位数其中最大的比最小的大多少
2作十位数字，0或1作个位数字：
2．有四张数字卡片
人的一次握手。按这种规定连线的总条数就是握手的总次
从中抽出三张组
成三位数，问这些卡片可能组成多少个不同的三位数？
可组成多少
4．在一次小学数学竞赛的领奖台上有五名同学上台领奖，
他们每两个人都互相握了一次手。问他们共握了多少次
手
5．全区六所小学举行小足球赛，每个学校派出一个代表
队，要求规定每两个校队之间都要赛一场，问一共要赛多
少场
6．右图是小英家和学校之间的街道图。问小英去上学时，
5．解：共赛15场。见下图。
①方法1：如右图所示这样数：
共6个不同的三位数。
例4
小明左边抽屉里放有三张数字卡片
共有多少种不同的走法（不准故意绕远走）
一小和二小、三小、四小、五小、六小共赛5场；
二小再和三小、四小、五小、六小共赛4场；
右边抽屉里也放有三张卡片 。如果他每次
（二小不能再和一小赛，因为它们已经比赛过了，下同）
三小再和四小、五小、六小共赛3场；
四小再和五小、六小共赛2场；
五小再和六小共赛1场。
由图可见，各段长度不同的线段就表示各种不同的票价。
数一数，票价种数是：4+3+2+1=10种。
b，c
三条路（如下图所示）。小明经过小华家去找小英，
例7
小明到小华家有甲、乙两条路，小华到小英家有a，
7．如右图所示，一只蚂蚁从一个正方体的A
点沿着棱爬
向B 点，如不故意绕远，一共有几种不同的走法
比赛场次总数：5+4+3+2+1=15（场）。
场。因而六个学校所赛的场次是5×6=30场。但是这样计
算还有个问题，比如说一小和二小赛了一场，这一场比赛
被两个学校都计算在了自己所赛的场次里，因而被计了两
次。所以总场数也就多计了一倍。也就是说，六个学校实
际赛的总场次数是30÷2=15（场）。
①两个人，②三个人，③四个人
解：画图。用点“·”代表人。如果两人握一次手就在两个
点之间连一条线。那么，点和点之间连线的条数就代表握
手的次数。见以下的图。
①两个人：
两点之间只能连一条线，表示两个人共握1次手。
②三个人：
解：共有6种不同的走法，见下图。
习题六解答
1．解：注意，0不能当作首位数字。所能排出的三位数字
共有4个。它们是：407，470，704，740。
最大的数是740，最小的数是407。
最大的数比最小的数大740-407=333。
2．解：注意0不能当作首位数字。所能排出的三位数字共
18个。
102，104，120，124，140，142；
201，204，210，214，240，241；
401，402，410，412，420，421。
3．解：共组成25个不同的二位数。
三点之间有三条连线，表示三个人共握3次手。
③四个人：
35
从左右两边抽屉里任意各拿一张出来，组成一个二位数，
在纸上记下来之后，再把卡片放回各自原来的抽屉里。然
后再拿、再组数、再记、再放回……这样一直做下去，问
他一共可能组成多少个不同的二位数
解：不妨假设小明先从左边抽屉拿，把拿出的数字卡片排
在十位；再从右边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在个位。
下面是记下来的所有不同的二位数：11，12，13，21，22，
23，31，32，33。共9个不同的二位数。
②方法2：每个学校都要和其他的五个学校各赛一场，共5
例5
有一群人，若规定每两个人都握一次手而且只握一 他想每次都不走完全重复的路线，问有多少种不同的走
次手，求他们共握多少次手假设这群人是： 法
6．解：小英由家到学校共有6种走法，见下图粗黑线所示。
7．解：蚂蚁沿着棱由 A
点爬到 B 点有6种不同的走法，
见下图粗黑线所示。
11，12，13，14，15；
21，22，23，24，25；
31，32，33，34，35；
36
然，也可以先填左下角空格的那个数，因为它所在的斜行
第七讲
填图与拆数（一）
例1 如右图，把3、4、6、7四个数填在四个空格里，使横
行、竖行三个数相加都得14。怎样填
（1）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于8；
（2）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于9；
（3）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于10。
解：见下图（1）、（2）、（3）
5．如右图所示，圆圈里填上不同的数，使每条直线上的
三个数相加之和都等于10。
解法思路与第1题相同。因为要求每行的四个数之和是34，
而第三横行已有的三个数之和为9+7+12=28，所以此行空
格中可填6。也可先填图中另一斜行，因这斜行中已有的
解：先看竖行，最上格中已有个5。要使5+（ ）=14，括
号里的数就要填9。把9拆成两个数：9=3+6，（因为3和6
是题中给出的数）分别填在竖行的两个空格里。但进一步
想，应该把哪一个填在中间空格里呢这就需要看横行。
为11，而11+3=14，可见中间空格应填3。
（1）将8分拆成三个数之和（注意，这三个数要从1、2、
3、4、5中选取）
8=1+3+4
因为中间圆圈里的数是要公用的，所以应把“1”填在中
间圆圈里其他四个数填在边上；
（2）解法思路与（1）相同，分拆方式如下：
9=1+3+5
10=1+4+5
例2
如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上三
个数相加之和都等于12。
解：见下图（1）、（2）、（3）。把12分拆成三个不同的数相
加之和，得七种分拆方式：
12=9+2+1
12=7+4+1
12=6+5+1
12=5+4+3
①和是15：因为大圆上有两个小圆圈中已有了1和7，它们
的和是1+7=8，所以同一个大圆上另外的两个小圆圈中应
2．如右图所示。在正方形空格里填上适当的数，使每一
横行、竖行、斜行的四个数相加都得34。
习题七解答
1．在图中，
从各式中选择有一个相同加数的两个式子。12=1+5+6和
12=1+4+7两式，将相同的加数1填在中间圆圈里，不同的
加数分别填在横行和竖行的其他圆圈里。答案有很多种不
同的填法，这里只填了三种，同学们还可以自己选择另外
的填法。
例3
如右图所示。把1、2、3、4、5五个数填入五个圆圈
里，要求分别满足以下条件：
3．如右图所示。把适当的数填到三角形的空圈里，使每
条直线上3个圈中的数相加都是10。
用较大的黑体字表示方格中原有的已知数，如10、6、7
三个数。仔细观察可知，可以先在第二横行右边空格里填
2，因为要使横行三个空格里的数之和是18，（已有的两个
数之和是10+6=16）就需要在这个空格中填上18-16=2。当
37
38
4．如图所示。从2、3、4、5、6中选取适当的数填入小圆
圈，使同一个大圆上的小圆圈中的四个数的和①都等于
15，②都等于16。
中已有两个数7和6，而7+6=13，所以应在这个空格里填
18-13=5。接着用同样的思考方法就可以填出其他空格里
的数了。
2．见图。
三个数之和是13+10+7=30，所以，这斜行的空格，也就
是图的左下角的空格中应填4。接着，用同样的思考方法
填出其余所有空格。
6．如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上的
三个数相加之和都是15。
3．见图。
横行两头的空格应填剩下的两个数4和7，因为4和7相加和
8=1+2+5
9=2+3+4
解法与第1题相同。因为三角形的一边已有两个数3和2，
7．如下页图所示。把1、2、3、4、5、6、7、8、9分为三
其和为3+2=5，要使这边的三数之和是10，可知这边的右
下角圆圈中应填10-5=5。其余两圆圈中的数可按同样方法
填出。
4．见图。
组，填到三个小三角形的各个角上的圆圈里，使每个小三
角形的三个角的圆圈里的数之和都是15。同时使大三角形
习题七
三个角的圆圈里的数之和也是15。
10=2+3+5。
（3）解法思路与（1）相同
1．如右图所示。在正方形的空格里填上适当的数，使每
一横行、竖行、斜行的三个数相加得数都是18。 12=8+3+1
12=7+3+2
12=6+4+2
填的两个数之和应是15-8=7，将7分拆成两个数有两种分
拆方式：
将2和5填入一个大圆上的两个空圈中，将3和4填入另一个
大圆上的两个空圈中。②见右图。和是16，解法思路和①
相同。因为
1+7=8，
16-8=8
将8分拆成两个数，有两种分拆方式：
把3和4填入另一条斜线两端的圆圈中。
将2和6、3和5分别填入大圆上的空圈中。
5．解：见下图（1）～（4）把10分拆成三个不同的数的
和，共有4种分拆方式：
若中间格填“2”，再填其他格，经检查，符合题目要求，
如图。
例3
如图所示。把1、2、3、4、5、6、7七个数填在右图
中的七个圆圈里，每个数只能用一次，使每条线上的三个
数相加之和都等于12。
适当选取四组数，填入四个三角形中（3个小三角形与1
个大三角形），可以得到一些不同的填法。选法的窍门是：
先任选一组数如3、5、7，将它们分别填在大三角形的三
个角顶圆圈中，再找分别包含3、5、7的三组数填在小三
角形中，它们是3，8，4；5，9，1；7，6，2。如上图所
示。
10=1+2+7=1+3+6=1+4+5
10=2+3+5
选择有一个共同加数的两个式子，把共同的加数填在中间
的圆圈里，其他四个加数分别填在两头的圆圈里就构成一
种填法。本题有6种符合题目要求的填法，这里只举其中4
种填法，还有2种填法你能找出来吗
6． 解见下图。把15分拆成三个不同的数相加之和，
共有12种分拆方式：
本讲主要介绍在填图与拆数中找关键数的思考方法。
例1
如右图所示。把三个1、三个2、三个3分别填在九个
格内，使横行、竖行、斜行三个数加起来的和都等于6。
第八讲 填图与拆数（二）
（2）分析法：显然在每一横行、竖行和斜行只能填一个
“1”或一个“3”。因为若填两个1后，即使再填一个最
大的3，这一行的这三个数之和才是5，小于6，不符合题
目要求；同样，若填两个3后，即使再填一个最小的数1，
这一行的三个数之和就是7，大于6，也不符合题目要求。
如果在一行里填入两个“2”，即使在此行里再填一个2，
这一行的三个数之和也可等于6，符合题要求。
由此得出，中间方格必须填“2”。中间方格填好之后其
他各格中的数也就容易填出了。
例2如图。把1、2、3、4、5填入右图的圆圈中，使每条
斜线上的三个数相加之和都是8。
与例2的想法类似。假设已经按题目要求把数全部填入了
圆圈，那么每条线上的三个圆圈中的数相加应该都得12。
我们如果进一步把三条直线上的数都加起来，得数应为：
12+12+12=36。
不难看出，这样就把中间圆圈里那个数加了三次。因而它
比七个圆圈中的数相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28
多了 36-28=8
解：中间圆圈里的数是个关键数，应该首先确定它。如何
确定它呢这样想：假如我们已经按题目要求把1、2、3、
4、5填入了五个圆圈中，这样每条斜线上的三个数相加都
解：找关键数先填。因为中间格的数和横行、竖行、斜行
都有关，所以它是关键数，确定了它，其他各格就容易填
15=1+2+12
15=1+4+10
15=1+6+8
15=2+4+9
15=2+6+7
15=3+5+7
15=1+3+11
15=1+5+9
15=2+3+10
15=2+5+8
15=3+4+8
15=4+5+6
（1）尝试法：若中间填“1”，再填其他格，如右图。结
果有一条斜线上的数都是1，其和为3，不合题目要求。
上的数都是3，其和为9，不合题目要求。
圈里，使三角形每条边上三个数之和都等于9。
把2和5填入一条斜线两端的圆圈中。
39
40
解：见图。中间圆圈里的数是关键数，应该如何确定它呢
也就是8应是中间圆圈里的数的2倍所以中间圆圈里的数
应是8的一半，
即
8÷2=4
下面再确定每条线上另外的两个圆圈里的数，方法如下：
12-4=8
得8。那么当我们把两条斜线上的数都加起来，它们的和
应为8+8=16，
但是五个圆圈中所填数之和应为
1+2+3+4+5=15，
两个和数之差是1，即：16-15=1。
这个差是如何产生的呢这是因为把两条斜线上的和数
相加时，中间圆圈中的数被加了两次，即多加了一次。把
一个数多加了一次和就多了1，可见此数是1。
然后，再求每条斜线两端的数。可求出两数之和应为8-1=7
把7分拆成两个数，有两种分拆方式：
了。
例4
如图所示。把1、2、3、4、5、6六个数分别填入右
图的圆
因为题目中已有2、3、8三个数填在3个圆圈里，观察上面
各式，既用到2、3、8这三个数，又要有另一个数是共同
的，这样的式子有如下三个：15=1+2+12，15=1+3+11，
15=1+6+8，将三式中共用的加数“1”写在中间圆圈里，
再在其他三个圆圈里填上适当的数。
7．解：见下面两图，将15分拆，采取两步分拆法如下：
若中间格填“3”，再填其他格，如右图结果有一条斜行
另外的两个大圆相交处的小圆圈（B 圈）中的数是关键数。
而且有一个大圆上已经给出了数9，所以该大圆上其余三
解：见图。
三个角上圆圈里的数是关键数，因为它们中的每个都是两
条边上共有的数。先确定关键数。这样想：六个数之和是
1+2+3+4+5+6=21每条边上三个数之和是9，9+9+9=27这样
算每个角上圆圈里的数都被加了两次，因此角上三个圆圈
中的数之和是
27-21=6
把6分拆成三个数之和：6=1+2+3；
把1、2、3分别填入三个角上的圆圈里，其余的圆圈里的
数就容易填了。
习题八解答
习题八
1．见图。把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右图
空白
7．见图。把11、12、13、14、15、16、17七个数填入右
图的圆圈中，使横行、竖行的圆圈中的每三个数之和都是
42。
1．解：见图。找关键数先填。三个大圆相交处的小圆圈
中的数是关键数。仔细观察。图中一个大圆上已有9和7
两个数，所以
4．解：见图解题思路与例4相同，略写如下：
6．见图。把1、2、3、4、5、6、7填入右图圆圈中，使横
行、竖行、斜行三个圆圈中的数相加之和都等于12。
5．见图。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数分
别填入圆圈里，使每个正方形的四个数相加之和都等于
24。
10．见下图。把1、2、3、4、5、6、7各数填入“十一”
图形中的七个空格里，使每一横行、竖行的三个或两个空
格中的数相加之和都是10。
个小圆圈所填数之和应为24-9=15。因而将15分拆成三个
数之和（注意必须选用题中所给的数）
15=7+6+2
圈应填的数是11、4和3。
3．解：见下图，解题思路与例3相同，略写如下：
2+3+4+5+6=20。
①11+11-20=2即中间格填2。
②12+12-20=4即中间格填4。
③13+13-20=6即中间格填6。
经尝试 B 圈中只能填6。然后再确定左边大圆上三个小圆
圆圈内，使每个大圆上四个小圆圈内的数的和都是29。你
能填吗
2．见图。把2、3、4、6、7、10、11分别填入大圆上的小
圆圈内，使每个圆上四个小圆圈中的数字和都是24。你能
填吗
8．见图。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这十一
个数，分别填入图中空格内，使相邻的两个或三个空格内
的和等于①14、②15。
这个大圆上 A，B 两个小圆圈（如图示）所填的两数之和
应为29-（9+7）=13。把13分拆成两数之和（注意要选用
题中已给的数）
21+21+21=63
5+6+7+8+9+10=45
63-45=18（三个角上的三个数之和）
分拆18=5+6+7即三个角上的三个圆圈里应填5、6、7。
5．解：见图，
3．见图。把2、3、4、5、6填入右图的五个方格里，使横
行、竖行的三个数之和等于：①11、②12、③13。
只有11+2和8+5两种分拆方式可供选用；经试验可知8和5
这组数不合用，只能选用11和2这组数。最后可确定将11
填入三个大圆相交处的 A
圈中。接着可较容易地填上其
9．把1、2、3、4、5、6、7、8、9各数分别填入“七一”
图形中的九个空格内，使每一横行、竖行的四个、三个或
两个空格中的数相加之和都等于13。（见下图）
4．见图。把5、6、7、8、9、10六个数分别填入右图中的
六个圆圈里，使三角形每条边上的三个数之和都等于21。
41 42
他数了。
2．解：见图。由中间的大圆圈上的三个已知数1，5，8，
可求出这个大圆上的最后一个数：24-（1+5+8）=10，这
样还剩下2、3、4、6、7、11六个数未被选用。应把它们
分别填入六个小圆圈。仔细观察可知：
找关键数先填，不难看出，标有字母 A 和 B
的两圆圈中
的数是关键数，因为它们是正方形公用的数，解法：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
24+24+24=72
72-55=17
17=10+7=9+8（这就是两组关键数10和7，以及9和8）。
6．解：见图，找关键数先填。不难看出，中间圆圈里的
数是关键数。求关键数： 公用的方格中的数是70-66=4再适当选择其他的数填入其
他空格。
方法2：见下图
成两部分，再组成两个数，填入下面的两个方框里，使两
个数的和等于99999
转化为：
1 4 5=10
这就很容易看出来了：1+4+5=10
所以最后可以确定组成的算式是：
解：把九个数字分成两部分，组成两个数，要求相加之和
由五个9组成，可见一个数应是五位数，且9应在最高位，
另一个是四位数。把除9之外的其余八个数字分成四对，
1+2+3+4+5+6+7
=28
12+12+12=36
36-28=8（相当两个中间圆圈里的数之和）
8÷2=4（就是一个中间圆圈里的数）
12-4=8
15×5=75
75-66=9
公用的方格中填9，再适当选择其他各数填入方格。
9．解：见下图，求关键数即共用方格中的数
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
13×4=52 52-45=7
行三个数之和他是12。
7．解：先求关键数：横行和竖行公用的两个圆圈的数是
关键数。
11+12+13+14+15+16+17=98
42+42+42=126
126-98=28（28是横行和竖行公用的两个圆圈里的数的和）
将28分拆：
可见分组方法是多种多样的。
例2
给你1、2、3、4、16、17、18、19这八个数，要求：
每对的和是9，它们应是1和8，2和7，3和6，4和5。它们
可以组成以下算式，如：
1+23+4+5+67=100
（2）此题还可以有另外的解法，边看边想可得出：
34+56=90
剩下的三个数：
1+2+7=10
所以最后可以组成如下的算式：
1+2+34+56+7=100。
例4
某公园里有三棵树，它们的树龄分别由1、2、3、4、
5、6这六个数字中的不同的两个数字组成，而且其中一棵
的树龄正好是其他两棵树龄和的一半，你知道这三棵树各
①把它们分成四组，使每组的两个数相加之和相等。 是多少岁吗
②再用这八个数组成如下的两个算式。
□+□-□=□
□+□-□=□
①解：仔细观察可发现：在这八个数中，前四个都是一位
数，且后一个数比前一个数大1；后四个都是两位数，也
是后一个数比前一个数大1。因此把它们互相搭配后，可
使每组的两数之和相等。分组如下：
（1，19）；（2，18）；（3，17）；（4，16）。
可以看出，每组的两数之和都等于20。
解：这道题的实质就是：把1、2、3、4、5、6六个数分成
三组，每组两个数，组成二位数，使其中的两个二位数之
和等于第三个二位数的2倍。顺便说一下，把生活中的趣
味问题转化成为纯数学型的题目是一种重要的本领，同学
们要从小就注意增强这种能力，以便将来能够运用数学知
识解决实际工作中遇到的难题。
仔细观察、大胆尝试，将这六个数分组、组合，可得出的
三个数是：12，34，56，因为
12+56=34×2
即这三棵树的树龄是12岁、34岁、56岁。这道题有几种不
②解：如下图所示，由于
1+19=2+18，3+17=4+16
因此可以组成符合题目要求的算式如下： 习题九
1．用10、11、12、13这四个数编两道加减顺序不同的混
合算式，要求算式符合下面的形式。
□+□-□=□
注意：符合题目要求的算式不只这些，同学们自己还可以 □-□+□=□
2．用2、3、4、5、6、7、8、9这八个数，每个数只准用
一次，编两道加减混合算式，要求算式符合下面的形式。
□+□-□=□
□-□+□=□
3．公园里有三棵树，它们的树龄分别由1、2、3、4、5、
6这六个数字中的不同的两个数字组成，而其中一棵的树
龄正好是其他两棵树龄和的一半，你知道这三棵树各是多
少岁吗
4．某公园里有三棵古树，它们的树龄分别由1、2、3、4、
5、6、7、8、9这九个数字中的不同的三个数字所组成，
而且其中一棵的树龄正好是其他两棵树龄和的一半，你知
道这三棵树各是多少岁吗
44
10．解：见下图，先确定“十”字中间方格中的数
1+2+3+4+5+6+7=28
10×3=30
（见下面三个图）。
30-28=2（中间方格中的数）。
同的答案，请你动动脑筋找出另外的答案。
8．解：先求关键数。六字的“点”和“横”公用的方格
中的数是关键数。
方法1：
14×5=70
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66
课本上的算题，多数是已经列好算式要求计算出结果。但
在这一讲里，往往是知道结果或要达到的目标，请你回答
如何才能得出这种结果或达到目标值。为此就要求同学们
在掌握好以前所学数学知识的基础上，还要进一步做到：
仔细地观察，发现题中给出的一些数中存在的规律，并且
大胆地进行尝试，培养思维的灵活性和敏捷性。
例1如下图所示把1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分
43
再写出一些。
例3 在1、2、3、4、5、6、7之间放几个“+”号，使它们
的和等于100，试试看。
第九讲 分组与组式 1 2 3 4 5 6 7=100
解：对这类题目一是要大胆尝试，边想边写，千万不要只
想不写！二是可以先考虑与目标值（此题是100）较接近
的大数，再考虑用较小的数进行调整、修正，使式子的得
数逐渐接近目标值，也就是使之转化为较简单的情况。
（1）对此题可考虑先在67前面放一个“+”号，这样比100
还小33，也就是说，转化成了较简单的情况：
1 2 3 4 5=33
再考虑在23前放个“+”号，它比33还小10，这样问题又
5．见图。有一天，电钟从墙上掉下来，钟面摔成了三块。
小明一看，
对这个等式进行变换，可以得到符合题目要求的两个等
式：
①123+45-67+8-9=100
可以这样想123-100=23，所以要想办法再减去23。加45
还可以变换出其他形式的答案）。
减67等于减去22；再加8减9等于减1，恰好满足要求。
②123-45-67+89=100
2．解：根据这八个数之间的相互关系，首先可以写出两
个等式：
2+5=3+4
三块的形状虽然不同，但三块上的数相加之和却相等。你
知道钟面碎成了什么样子吗每块钟面上的数相加之和
是多少
6．在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中，不改变
它们的顺序，在它们中间添上加、减两种符号，使所得的
结果等于100。你能组成下面这样的算式吗
1 2 3 4 5 6 7 8 9=100
7．用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成五个数，使组
成的两个两位数与三个一位数相加之和正好等于100，你
能够办得到吗
还可以变换出其他形式的算式，同学们还可以试着写出一
些。
3．解：此题与例4相同，除在例4中求出的一个答案外还
有以下各种答案也符合题意：
21+65=43×2
三棵树的树龄分别是21岁、43岁、65岁。
16+52=34×2
三棵树的树龄分别是16岁、34岁、52岁。
25+61=43×2
8．把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字分别填
到下面方框里，每个数只准用一次，使下面的三个算式都
成立。
□+□=□
□-□=□
□×□=□□
9．在1至9的九个数字中，已填入方框的三个数字除外，
选择适当的数字填入方框中，使下面的等式成立。
三棵树的树龄分别是25岁、43岁、61岁。
4．解：此题与例4类似。可以这样考虑：用1、2、
3组成最小的三位数，用7、8、9组成较大的三位数，将两
个数相加得数取其半就是中间数：
123+789=912
912÷2=456
所以三棵古树的树龄分别是123岁、456岁、789岁。
5．解：钟面上的12个数是1、2、3、4、5、6、7、8、9、
10、11、12。不难看出这些数有个特点：最小的1和最大
的12相加得13，次小的2和次大的11相加得13……中间的6
和7相加得13，即
10．见下图。把1、2、3、4、5、6这六个数字分成三组。
第一组一个数字，作为一位数当乘数；第二组二个数字，
组成一个二位数当被乘数；第三组三个数字，组成一个三
位数当作积。最后用这三个数写成下列乘法算式。
□□×□=□□□
可见，三块钟面上的数若按下面的方式组合，它们的和将
会相等：（1，2，11，12），（3，4，9，10），（5，6，7，8）。
习题九解答
1．解：在10、11、12、13四个数中，相邻的两个数，后
边的数比前边的数大1，所以可以写成一个等式：
10+13=11+12
每块钟面上的数之和是：1+2+11+12
=3+4+9+10=5+6+7+8=26。
6．解：为了减少尝试的次数，可以先考虑接近100的较大
的数，用加上或减去较小的数进行逐步调正，最后得到目
标值100。经尝试知可组成以下算式：
45
可以这样想：从123中减去45和67后得11，然后和89相加，
得数正好是100。
③123+4-5+67-89=100
9．解：先根据
这个算式与①的解法思路相似。123比100大23，要减去它
才能达到目标值100。加4减5等于减1，加67减89等于减22，
再用
结果正好满足要求。
把剩下的数字进行检验，可
只有9×6=54和8×7=56
6+9=7+8
再根据运算规律，对这两个等式进行变换，就可以得到符
合要求的两个算式： 以下还有：
④+8-9=100
⑤12+3+4+5-6-7+89=100
⑥12-3-4+5-6+7+89=100
⑦1+2+3-4+5+6+78+9=100
⑧1+2+34-5+67-8+9=100
⑨12+3-4+5+67+8+9=100
⑩1+23-4+56+7+8+9=100
7．解：在1至7这七个数里，能使五个数的和的个位数是0
的有以下三组：
1、2、4、6、7；1、3、4、5、7；2、3、4、5、6
把这三组数分别作为算式中的个位数字，每组中剩下的两
个数就可以作为十位数字，因而所组成的三个得数均匀
100的竖式如下图
得出两种符合要求的答案：
10．解：经多次尝试，可得出符合题目要求的答案如下．
第十讲 自然数串趣题
从1开始，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12……
连起来成一串，像一串糖葫芦，我们把这样的一串数叫作
自然数串（也叫自然数列），其中的每一个数都叫作自然
数。自然数串的特点是：
①从1开始，1是头；
②在相邻的两个数中，后一个数比前一个数大1；
8．解：题目要求用0到9这十个数字组成一道加法算式、
一道减法算式，一道乘法算式，而且乘法算式里的积是两
位数，其余算式中的各个数都是一位数。由于乘法算式受
限制最强，所以抓住它入手分析。
□×□=□□
又因为“0”是较特殊的数，按题目要求每个数只许用一
次，这就定了“0”只能在乘法算式的乘积的个位数的方
框中出现。这是因为0加减任何数都得原来的数；0与任何
数相乘都得0，都会破坏每个数字只使用一次的要求，个
位数是0的乘法算式有
2×5=10，4×5=20，
6×5=30，8×5=40。
究竟选用哪个乘法算式呢就要看剩下的数能不能组成
加法算式和减法算式。经试验可知选4×5=20后剩下的是
1、3、6、7、8、9六个数，用它们可组成1+7=8，3+6=9
两个等式。经变换可得符合题目要求的一组算式（同学们
46
③后面的数要多大有多大，也就是说，自然数串是有头无
尾的。
在自然数串中，如果写到某一个数为止，就叫做有限自然
数串，也简称自然数串。
这一讲的题目，都是与（有限）自然数串有关的。
例1
如下页图所示。一份学习材料放在桌上，一阵风把材
料吹落了一地。小军拣起来一看，糟糕，少了两张。根据
下面拣到的材料的页码，你能说出少了哪几页吗
解：一张材料的正反两面用两个自然数作页码，这两个自
串的特点，可知少了的两张纸的页码是（7、8）和（13、
然数是相邻的。仔细观察找到的材料的页码，根据自然数
14）。
例2 从1连续地写到100，“0”出现了多少次
解：“0”出现了11次。因为从1到100含有“0”的自然数
是：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。
数一数，这些自然数中共有11个“0”。
例3
把1，2，3，4，5，……28，29，30这三十个数，从 方法2：用两串数“头尾相加”法求和
左往右依次排列起来，成为一个数，你知道这个数共有多
少个数字吗
解：把这个数写出一部分来看看：
……282930
和=90÷2=45
下面，分段计算这个数共包含有多少个数字：
1至9共有9个数字；
10至19共有10个自然数，每个都由两个数字组成，这一段
共有2×10=20个数字。20至29这一段也有10个自然数，共
有20个数字。30这个数由两个数字组成。所以这个数所包
含的数字总数是：
9+20+20+2=51（个）。
例4
小青每年都和家长一起参加植树节劳动。七岁那年，
他种了第一棵树，以后每年都比前一年多种一棵。现在他
已经长到15岁了，连续地种了九年树。请你算一算，这九
年中小青一共种了多少棵树
解：（1）把这16个数依次排成如下四行
解：先把小青每年种几棵树写出来
这种自然数串的求和方法很巧妙，很重要，希望同学们能
学会它。
例6
把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、
14、15、16填入正方形的方格中，使每一横行竖行、斜行
的四个数相加得数都是34。
②中间的一个小正方形里的四个数之和也是34；
③大正方形四个角上的四个数相加之和也是34。真是不可
思议！人们给它起了个有趣的名字——幻方。见图。
5．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，写成三个
三位数，使它们的和等于1989。
6．一只老猫捉了12只老鼠，其中有一只小白鼠。老猫自
好队，我从头一个开始吃，隔一个吃掉一个，也就是：我
第一次吃掉站在第1，3，5，7，9，11号位置的小老鼠；
剩下的叫它们不许动，第二次还是从头一个吃起，隔一个
吃一个；第三次也是照这个办法吃。但把最后剩下的一个
放了。”这话被聪明的小白鼠听见了，于是它站在了某个
号的位置上，最后没有被吃掉。
小朋友，你知道小白鼠站的是第几号位置吗
言自语地说：“我要分三批吃它们。不过吃以前叫它们站
例7
如果全体自然数如下表排列，请问 7．所有自然数都按下表排列，问：
（1）21排在第几列的下面
（2）30排在第几列的下面
① 数20在哪个字母下面
②
数27在哪个字母下面
③ 数70在哪个字母下面
④ 数71在哪个字母下面
解：仔细观察可以发现排列的规律：开头的七个数1，2，
3，4，5，6，7分别排在A，B，C，D，E，F，G 的下面
以后每加七个数就又从头排起，如1+7=8，1+7+7=15，则
8．一个排版工人给一本1至50页的书排页码，如果书的页
码的每一个数字都用不同的铅字块，问他一共要用多少铅
字块
9．
把1至16这十六个自然数巧妙地填入正方形的十
8和15都和1那样，排在字母 A
的下面利用这个规律，就
能求出哪个数在哪个字母下面。
再把每年种树的棵树加起来
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（棵）。
能很快地算出它的总数有多少根吗
（2）把带箭头的线的两端的数互换
例5 如下图所示。商店的货架上堆放着一堆火腿肠。你
①20=6+7+7，
可见20和6排在同一个字母下，即在字母F 下面；
②27=20+7=6+7+7+7，
可见27也是排在字母F 的下面；
六空格里，可以做成有趣的幻方。右图是个未完成的幻方，
当它被填满时，它的每行、每列和每条对角线上四个数字
的和都相等。请你继续把这个幻方完成。
可见70排在字母G 下面；
（3）
互换后，把16个数填到正方形的空格里你会发现
每一横行、竖行、斜行的四个数相加的和都等于34。
④71=1+70，
可见71和1都排在字母A 的下面。
习题十
1．小明从1写到100，他共写了多少个数字“9”
2．把1到12这十二个数每两个数分为一组，要求每组的两
解：从上向下数，每层的火腿肠的根数组成一个自然数串，
1，2，3，4，5，6，7，8，9
方法1：利用凑十法求和
如果你仔细观察的话，还可以发现这个图中的奇妙的性
质：不但每一横行、每一竖行和每一斜行的四个数相加之
和都等于34，而且
①四个角上的四个小正方形里的四个数之和都是34；
47
习题十解答
个数之和都相等，怎么分和是多少
3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数编三个算式，
4．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，写成三个
三位数，使它们的和等于1953。
一个加法、一个减法、一个乘法，每个数只许用一次。
1．解：小明共写了20个数字“9”。
因为从1到100的数中有18个数含有一个数字“9”，它们
是：9、19、29、39、49、59、69、79、89、90、91、92、
93、94、95、96、97、98。另外自然数99含有两个数字9。
2．解：自然数串有一个特点，相邻的两个数中，后一个
48
比前一个大1，因此可以进行如下的搭配分组：
最小的数1和最大的数12成一组（1，12）；
次小的数2和次大的数11成一组（2，11）；
……
中间的两个数6和7成一组（6，7）；
各组两个数相加之和都是13。
3．解：从受限制最强的乘法算式入手，在这九个数中两
个数相乘的积等于另一个数而不发生重复数字出现的，只
有2×3=6和2×4=8；经试验，可选用2×3=6，则剩下的
六个数可组成两个等式1+7=8和4+5=9。再经过适当的变
换就可以列出满足题目要求的算式（答案不惟一）。
1+7=8
9-4=5
2×3=6。
4．解：分拆1953=1800+140+13
再分拆13=9+3+1 作为三个数的个位上的数字；
14=8+4+2
作为三个数十位上的数字；
18=7+6+5 作为三个数的百位上的数字；
于是，得到的三个数是789，643，521，检验：
为止，就可以知道：21在第二列，30在第三列。
排序就是把互相不等的一些数通过比较按大小顺序排列
起来，或是按照一定的要求把一些东西排列起来。
例1 把下面圈里的数从大到小排起队来。
解：仔细观察图中不等关系符号的方向可知，在由小圆圈
解：容易看出，圈里的数都是两位数，比较两个两位数的
大小时，首先看十位数字，十位数字大的数比十位数字小
的数大，因此这些数从大到小排队如下：
方法2：仔细观察表中自然数的排列，可以发现每经过7
个数字就又会重新从第一列开始，完全重复前面的排列情
况，由此，可以找到一个通过计算找出某个自然数在第几
列的方法：
30-7-7-7-7=2
这就是说30和2在同一列即在第三列。
8．解：分段计算：
从1至9页，共9页，每页用一个铅字块共有1×9=9（块）；
从10至19页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20
（块）；
从20至29页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20
（块）；
从30至39页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20
（块）；
解：这些数是一位数和两位数。根据下面的原则对这些数
进行比较、排队：
（1）一位数比两位数小，
（2）比较十位数字相同的两个两位数时，要看它们的个
位数字，个位数字小的那个两位数小。排队结果如下：
例5
老师发了数学考卷，一班（1）组的六个同学的分数
是这样的：
①小王和小钱的分数一样多；
②小赵比小李的分数多，可比小王的分数少；
例3
见下图，把右边大圆圈里的数分别填入左边的小圆圈
里，使图中所示的不等关系成立。
③小乐没有小王、小赵的分数多，但比小李的多；
④小钱的分数比小顾的又要少一些。请给他们排排队，并
回答谁分数最多谁分数最少
解：由①：小王=小钱
由②：小王＞小赵＞小李
由③：小王＞小赵＞小乐＞小李
由④：小顾＞小钱=小王＞小赵＞小乐＞小李
解：仔细观察不等关系图可以发现：
①最左端的小圆圈中应填的数都大于其他三个小圆圈中
应填的数，所以应填最大的数4；
可见小顾的分数最多，小李的分数最少。
例6 如图。
例2
把下面圈里的数从小到大排排队，并用“＜”连接起
来。
③再考虑到第二层和第三层各层的不等号方向，填图就可
以最后完成了。见图。
组成的三角形中：
①最上面的小圆圈中的数最小，应填1，左下角的小圆圈
中的数最大，应填7；
②从上往下数，第二层的小圆圈中的数都大于最上面的小
圆圈中的数1，而小于第三层圆圈中的三个数，所以第二
层应填2、3、4，而第三层应填7、6、5；
注意：此题答案不惟一，同学们还可以试着写出符合题目
要求的其他三个数。
5．解：思路与第4题相同，
分拆1989=1800+180+9
再分拆18=8+6+4作为三个数的百位上的数字；
18=9+7+2
作为三个数的十位上的数字；
9=1+3+5 作为三个数的个位上的数字；
于是，得到的三个数是891，673，425，
检验：
从40至49页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20
（块）；
第50页，共1页（但为两位数）用两个铅字块，
所以：50页书共用9+20+20+20+20+2=91（块）（铅字）。
9．
解：见图，仔细观察可看出有一条对角线上的四
个数都给出来了。这四个数相加之和是12+9+5+8=34由此
可求第3行第一列空格中的数是10；即5+16+3=24，
符合题意。
6．解：按猫吃老鼠的过程顺序进行思考；老鼠站好队，
34-24=10。第4行第三列上空格中的数是2，即
7+9+16=32，34-32=2。
接着可继续求出其他空格中数。
②最上面的小圆圈应填的数最小，所以应填1，这样其他
两个小圆圈中的数就容易填了。见图。
有六间家畜栏圈，首尾接成一圆形，每个栏圈只关着一头
第十一讲 不等与排序
可见聪明的小白鼠如果站在第8号位置上就可以不被吃
掉。
7．解：方法1：把下图的自然数继续写下去，一直写到21
49
家畜。已知驴与骡相隔两个栏圈；羊的栏圈号码比骡的栏
例4
请把1、2、3、4、5、6、7填入右图中的小圆圈里，
使图中的“大于”、“小于”关系成立。
圈号码多；猪与驴、马相邻；牛在5号栏圈。请说明驴、
骡、马、羊、猪、牛各关在几号栏圈里。
50
两个数或者相等或者不等，不等关系又分为大于和小于。
解：见图。 老虎 长颈鹿 猴子 马 大象
80岁＜160岁＜170岁＜260岁
大象 鹰 乌龟 梭鱼
4．解：见下图。仔细观察图中不等号的方向，可知右下
角的圆圈和上边中间圆圈中的数应填最大的和次大的9和
8，其他圆圈就容易填了。（本题答案不惟一）
①先把牛填在5号栏圈；
②因为猪与驴、马相邻，所以试着把猪填在1号，而驴填
在6号，马填在2号；
③因为羊的栏圈号比骡的栏圈号多，所以试着把骡填在3
号，把羊填在4号。
④检查，题中要求驴和骡相隔两个栏圈，上面填的满足这
一条件。这样全部已知的要求条件就都满足了，所填无误。
注意：此题答案不惟一，还有其他种填法也能满足题中所
要求的条件，如图所示。
5．见图。把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数填入右
图中各个圆圈内，使不等号成立。（只要求写出一个解答）
（3）因为羊的栏号比骡的栏号多1，假设骡在1号，羊在2
号；
（4）驴与骡相隔两个栏圈，所以把驴填在4号，把马填在
3号经检查，图上填法完全符合题目要求。
5．解：见图。仔细观察不等关系图可知：
①中间一个圈对四周的各圈都是大于号，因此这个圈里应
6．红球比白球大；蓝球比黄球大、比黑球小；黄球比白
球大；黑球比红球小。
请按从大到小的顺序把它们排列起来。
7．请把1、2、3、4、5这五个数字按下面的要求排列起来。
（1）把1写在3的前面，但在4的后面；
（2）把2写在4的后面，但在1的前面；
（3）把5写在2的后面，但在3的前面；
②四个角上的圈，对和它相邻的圈都是小于号，所以应填
最小的数l、2、3、4；
③四边上中间的圈都具有小于9而大于l、2、3、4的性质，
所以可以填上5、6、7、8，这样就得到了一个解，如图所
示。（注意解答不惟一）
6．解：红＞黑＞蓝＞黄＞白。
7．解：可按下面的推理过程排列：
（1）1在3之前，但在4之后，可写成4，l，3；
（2）2在4之后，但在l
之前，可写成4，2，1，3；
（3）5在2之后，但在3之前，可写成两种情况：
该填最大的数9；
第十二讲 奇与偶
整数0，1，2，3，4，5，6，7，……可以被分为两类，一
类是1，3，5，7，9，…叫奇数；另一类是0，2，4，6，8，
10…叫偶数。
一般习惯上，人们也把1，3，5，7，9…叫单数；把2，4，
6，8，10…叫双数。
下面是有关奇数与偶数方面的趣题。
例1傍晚开电灯，小虎淘气，一连拉了7下开关。请你说说
这时灯是亮了还是没亮我们还不妨接着问，拉8下呢
亮还是不亮吗
解：见下表。为了回答上面这些问题，我们从简单情况考
虑起，并作出下表，便可一目了然。
拉9下呢拉10下呢甚至拉100下呢你都能知道灯是
习题十一
1．把下面的数从大到小排排队，并且用“＞”连接起来。
（4）把5不能写在第3个数字的位置上。
8．把数字1，1，2，2，3，3，按下述要求排列起来：
（1）使两个1之间有一个数字；
（2）使两个2之间有两个数字；
（3）使两个3之间有三个数字。
9．有六间家畜栏圈首尾相接成一圆形。每个栏圈里只关
2．见下图。把右边大圆圈里的数分别填入左边的小圆圈
里，使不等关系成立。
着一头家畜。已知：驴与骡相隔两个栏圈；羊的栏圈号比
骡的栏圈号多1；猪不与驴、马相邻；牛在5号栏圈。请你
说出每个家畜都关在第几号栏圈里。
仔细观察，就可以找出规律：
拉奇数次，灯亮；拉偶数次，灯不亮。
（4）5不是第三个数字，所以选出4，2，l，5，3，作为
最后结果。
3．下面的数是一些动物的年龄，请将它们按从小到大的
顺序排列起来。
大象
马
老虎
乌龟
80岁， 长颈鹿 25岁，
40岁， 猴子
30岁，
20岁， 梭鱼 260岁，
170岁， 鹰 160岁。 ＞1
习题十一解答
1．解：100＞99＞87＞78＞69＞63＞36＞35＞27＞14＞5
8．解：（1）由于两个3之间有三个数字，可写成两种形式：
3□□□3□
3□2□32
3 1 2 1 3 2
2 3 1 2 1 3
先把前十个自然数的奇偶性写出来
最后得到了以上两种形式的排列方式。
9．解：见图。（1）先把牛填入5号；
（2）因为猪不与驴、马相邻，假设猪在6号（并未要求猪
3．解：
20岁＜25岁＜30岁＜40岁＜80岁
51
52
对于大的数，比如说拉100下，可知灯不亮。因为100是个
偶数。
例2前十个自然数即1，2，3，……10的和是奇数还是偶
数
解：方法1：先把十个数加起来，再看和数的奇偶性。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
□3□□□3
23□2□3
（2）由于两个2之间有两个数字，也可写成两种形式：
（3）最后填入l，注意要满足两个1之间有1个数字： 55是奇数，即前十个自然数之和是奇数。
方法2：不用把和求出来也可以进行判断：
4．见图。把1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分别填 2．解：注意：此题有多种答案。
在九个圆圈里，使圆圈之间的不等关系成立。（只要求写
出一个解答）
不能与牛相邻）； 通过考察这些数相加相减的结果，不难理解：
两个偶数的和与差，都是偶数；
两个奇数的和与差也都是偶数；
一个奇数与一个偶数的和与差，都是奇数；进一步还可以
得出：
只有奇数个奇数的和或差，才是奇数。
现在再来数一数，前十个自然数中，一共有五个奇数，所
以可以肯定它们的和必是奇数。
例3①把10个球分成三组，要求每组球的个数都是奇数，
怎样分
②把11个苹果分给三个小朋友，要求每个小朋友分得偶数
个苹果，怎样分
解：①不能分。因为如果三组球，每组都是奇数个球的话，
总数必是奇数，而不可能是偶数，而10个球却是个偶数。
②不能分。因为如果每个小朋友都得到偶数个苹果，那么
三个小朋友得到的苹果总数也必定是个偶数。而11个苹果
是个奇数，所以无法分。
例4小华买了一支铅笔、2块橡皮、2个练习本，付了1元
钱，售货员找给他5分钱。小华看了看1支铅笔的价钱是8
至少有一个是偶数。
6．如图所示，9个小方格中分别放上9枚硬币。
习题十二
1．小鸭过河如图所示。有一只小鸭在一条小河的两岸之
间来回地游。若规定小鸭从一岸游到另一岸就叫渡河一
次，请想一想：
①若取出4枚硬币后，使每横行和每竖列中剩下奇数枚硬
币，怎么取法
②若取出3枚硬币后，使每横行与每竖列都剩下偶数枚硬
币，怎么取法
7．有的电影院的座位号码是单号与单号相邻，双号与双
号相邻。
①一个人拿了三张单号的电影票，这三个号码相加之和等
于9，问这三个座位分别是几号
①如果小鸭最初在右岸，来回游若干次之后，它又回到了
右岸，那么这只小鸭渡河的次数是奇数还是偶数
②若三张号码相加之和等于15呢，三个座位各是几号
③若三张号码相加之和等于21呢，三个座位各是几号
①三枚硬币，每次翻2枚。从图所画的翻面过程来看，当
翻了3次以后，三枚硬币的国徽面又全部朝上了，若再翻
下去，必将重复以前翻面过程。比如再翻3次即一共翻6
回时，硬币的国徽面又朝上了。如此循环下去，可见无论
如何翻不成三枚硬币的国徽面全部同时朝下的情况。
②四枚硬币，每次翻3枚。从右图所画的翻面过程来看，
翻4次就能翻成四枚硬币的国徽面全部朝下的情况。
分，就说：“叔叔，您把账算错啦。”想一想，小华为什
②如果小鸭最初在右岸，来回地游共渡河101次之后，小
么这么快就知道账算错了
鸭到了左岸还是右岸
解：利用数的奇偶性判断，不用计算就可知道这笔账算错
了。因为1支铅笔的价钱8分是个偶数，另外，不论橡皮和
练习本的价钱是多少，2块橡皮，以及2个练习本的钱也都
是偶数，所以小华应付的总钱数应当是个偶数，他付了1
元即100分，售货员找回的钱数也应是个偶数。但售货员
叔叔实际找给他的5分是个奇数，所以小华说售货员把这
笔账算错了，可见小华并不需要计算，只是根据奇偶性进
行判断，就知道这笔账算错了。
例5如下页图所示。在10米长的一段马路的一侧种树，每
隔1米种一棵，两头都种，共种了11棵。如果把三块“爱
护树木”的小牌任意挂在三棵树上，然后再把每两棵挂牌
的树之间的距离是多少米都算出来，看一看这三个距离数
（即多少米），至少有一个数是偶数，对吗然后把三块
小牌再挂在不同的三棵树上，再算算看。
①若他脱鞋与穿鞋的次数之和是奇数，这时他在水中吗
②若他脱鞋与穿鞋的次数之和是偶数，这时他在水中吗
3．5个苹果2个小朋友分，①若要求每个小朋友都得奇数
个，能分吗
5个苹果2个小朋友分，②若要其中一个人得偶数个，另一
个人得奇数个，能分吗
4．①自然数中，前10个奇数之和是偶数还是奇数
②自然数中，前11个奇数之和是偶数还是奇数
5．有三枚五分硬币，国徽面朝上放在桌面上，要求全部
翻成国徽面朝下。
但规定每回翻面时必需翻动其中的两枚。请问此事能不能
办得到
试着翻翻看。见图。
解：这三个距离数（即多少米）中，至少有一个数是偶数
这话是对的。比如像上图那样挂牌。
A 树和 B 树之间的距离 AB=3（米）（奇数）
B 树和 C 树之间的距离 BC=5（米）（奇数）
A 树和 C 树之间的距离
AC=3+5=8（米）（偶数）
这是为什么呢可以这样想：
假设距离 AB 和距离
BC 之中有一个为偶数，则自不待言；
若 AB 和 BC 这两个距离都是奇数，则 AB 和
BC 之和必
是偶数，因为两个奇数之和是偶数。所以说这三个距离中
53
54
2．雨后，一段马路上有许多小水洼。小明上学路过这里，
他每到一处小水洼就脱鞋淌过去；到了没水的地方就又把
鞋穿上。请问
习题十二解答
1．①小鸭渡河的次数是偶数。因为游一个“来回”就叫
渡河两次，是个偶数，游若干个“来回”又回到右岸，就
是若干个偶数相加，所以，总的渡河次数必为偶数。
②小鸭渡河101次之后，到达左岸。因为渡河一次、三次…
等奇数次后必到达左岸。
2．小明淌过一处水洼时，必脱鞋一次，又穿鞋一次，脱
鞋与穿鞋的次数之和是2次，是偶数；若是小明在水中时，
必是只有脱鞋还没有穿鞋，这时他脱鞋与穿鞋次数之和必
为奇数。所以①和是奇数，小明在水中。②和是偶数时，
小明不在水中。
3．①不能分。因为两个奇数之和必为偶数。可是5是个奇
数，所以不能分。
②能分。因为一个奇数加一个偶数之和是奇数。事实上一
个小朋友分得1个，另一个小朋友分得4个时有1+4=5或者
一个小朋友分得2个，另一个小朋友分得3个时有2+3=5。
4．①方法1：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100是偶数；
可见翻偶数次即2，4，6，8，10……它的国徽面朝上；
翻奇数次即1，3，5，7，9……它的国徽面朝下；
方法2：10个奇数之和必为偶数。因为偶数个奇数之和是
偶数。
②方法1：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=100+21=121
个奇数之和是奇数。
是奇数；方法2：因为奇数个奇数之和必是奇数，所以11
首先，对一枚硬币（它原来国徽面朝上）翻一次国徽面朝
下，翻两次国徽面又朝上，翻三次，国徽面又朝下……列
成下表：
*总结一下：要把国徽面都朝上放置的硬币，全部翻成国
徽面同时朝下，为什么三枚硬币每次翻2枚办不到，而四
枚硬币每次翻3枚就能办到呢这个难题，用数的奇偶性
就可以解决。
再来看三枚硬币每次集体翻动两枚时，因每枚都翻面一
次，两枚共是两次，所以无论集体翻动多少次，两杖的翻
面总次数也必定是个偶数。但是，若要最后把三枚全部翻
成国徽面朝下时，三枚的翻面的总次数必是奇数，所以这
是办不到的。
可是对于四枚硬币每次集体翻动三杖来说，当集体翻动偶
数次时，三枚的翻面总次数必是偶数。若要把四枚全部翻
成国徽面朝下时，四枚的翻面总次数也是偶数，所以，是
有可能办到的。
6．不只一种答案。见下图
若是四枚五分硬币，规定每回必须翻三枚，翻动若干回以
后，能不能翻成国徽面全部朝下。（注意：↑表示国徽面朝
上，↓表示国徽面朝下）。见图。
5．解：动手翻翻看。右图是把动手翻面的过程用画图表
示出来，↑代表国徽面朝上；↓代表国徽面朝下。
①把四个角上的4枚硬币取走后，剩下的硬币能满足要求。 第十三讲 是与非
例1判断下面说法的对或错：
（1）两点间的直线距离最短。
+）～表示两个等式的两边分别相加
（8）如果两个数相等，那么它们分别减去相等的数之后，
仍相等。
（2）两条直线相交，只有一个交点。 即：如果a=b，而且c=d，
那么a-c=b-d
或是写成如下形式：
条路最近
习题十三
1．判断：如图所示，由小明家到学校有三条路可走，哪
②把一条对角线上的3枚拿走剩下的硬币能满足要求。
2．判断：如下页图所示，从A 到B
有五条路可走。
（1）哪条路最近哪几条路同样远
7．采用猜与凑的方法：
①因三个号码之和才等于9，可见这三个数都比较小，不
妨猜它们是1，3，5。检验一下，1+3+5=9，正好。
②因为三个号码之和等于15，比9大，所以往大些的方向
猜。不妨猜3，5，7。检验一下，3+5+7=15，正好。
③因为三个号码之和等于21，比15大，所以再往大些的方
向猜。不妨猜三个号码是5，7，9。检验一下，5+7+9=21，
正好。
*总结 对于数比较小的问题，请与凑有效，同学们喜欢猜
答案，这是很好的，以后还应继续练习。
但是对于较大的数，就不容易猜出来。这就需要从简单的
情况中找出规律来，然后用找到的规律去解决问题。仔细
观察上面的解答发现：
9+3=3
15÷3=5
21÷3=7
（3）在纸面上画两条直线，这两条直线，或者相交，或
者平行。
-）～表示两个等式的两边分别相减
（9）如果两个数不等，那么它们分别加上同一个数之后，
仍不等；大数对应的和大于小数对应的和
即：如果a＞b，那么a+c＞b+c
解：（1）对 （2）对 （3）对 （4）对 （5）对
（6）对 （7）对 （8）对
（9）对。
例3判断下列说法的对与错：
（1）有一个角是直角的三角形叫直角三角形。
（2）有两条边相等的三角形叫等腰三角形。
解：（1）对（2）对（3）对（4）对。
例2判断下列说法的对与错：
（1）两个数或者相等，或者不等
即：两个数a
和b，或者a=b，或者a≠b．
（2）两个数如果第一个数大于第二个数，那么第二个数
小于第一个数，
即：两个数a 和b，如果a＞b，那么b＜a． 解：（1）对 （2）对
（3）对
例4 判断下列说法的对与错
（1）四个角都是直角的四边形叫长方形。
（3）如果第一个数等于第二个数，第二个数等于第三个
数，那么第一个数就等于第三个数。
即：如果a=b，b=c，那么a=c
（4）如果第一个数大于第二个数，第二个数又大于第三
个数，那么第一个数就大于第三个数。
即：如果a＞b，b＞c，那么a＞c．
（5）如果第一个数小于第二个数，第二个数又小于第三
个数，那么第一个数就小于第三个数。
即：如果a＜b，b＜c，那么a＜c．
（6）如果两个数相等，那么它们分别加上或者减去同一
个数之后，仍相等。
即：如果a=b，那么
a+c=b+c a-c=b-c；
（7）如果两个数相等，那么它们分别加上相等的数之后，
仍相等。
即：如果a=b，而且c=d，
那么a+c=b+d．
或是写成如下形式：
55 56
（2）把第3、4、5条路按由近及远的顺序写出来。
3．判断下面的说法对或错：
（1）两条直线既相交，又平行。
（2）两个数既相等又不相等。
4．判断：见图。三角形两边之差小于第三边。用字母表
示：a-b＜c，对吗
（4）三角形的两边之和大于第三边。
（3）既有一个直角，又有两条边相等的三角形叫直角等
腰三角形或叫等腰直角三角形。
5．见下图。一木条被划分成四段，只知道 AB 段的长与
DE
段的长相等，问下列哪一项一定是对的为什么
也就是说
说得更确切些就是：
三个连续单数的和除以个数3就等于中间数。还可以进一
步想一想：如果三个双号相加之和等于12能不能用这个式
子算呢先试试看
12÷3=4
如果4是中间数，那么这三个连续双数就应该是2，4，6。
检验一下：2+4+6=12对。
再看如果三个连续双号之和是18，求这连续的双号各是
几
18÷3=6
如果6是中间数，那么这三个连续双数就应该是4，6，8。
检验一下：4+6+8=18对了。
这样就可以进一步总结出来下面的算法：
如果已知三个连续自然数的和，那么它们的中间数就是和
÷3=中间数从而可求出这三个连续数是：
中间数-1，中间数，中间数+1。
（1）AC=CE；（2）AC 比CE 长；
（2）四条边长度相等的四边形叫菱形。
（3）不但四个角都是直角，而且四条边长度也相等的四
边形叫正方形。
（3）AD=BE；（4）BC=CD。
6．判断：如果小明和小华一样高，小华和小英一样高，
7．判断：如果小芳比小青矮，小青又比小红矮，那么小
芳必定比小红矮，对吗
8．因为我比小红高，而小华又比小红矮，下面的说法，
哪个对
解：（1）对
（2）对 （3）对。
例5 如果第一个数大于第二个数，那么分别加上或是减
去同一个数之后，差不变。对吗
即a＞b，那么
a-b=（a+c）-（b+c）
解：对。
（1）我比小华高；（2）我比小华矮；（3）我既比小华高
又比小华矮。
9．在等腰直角三角形中，必定有两条边相等，而且必定
有一个角是直角，对吗
10．在正方形中，四条边都相等，四个角都是直角，对吗
11．小华说：“我爸爸是厂长，但我不是他这个厂长的儿
子”。你认为小华说的一定错了吗为什么
12．王老师教小明那个班的数学课，但是小明对王老师叫
爸爸，这是怎么回事
那么小明和小英就一样高。对吗为什么
13．①如果小明、小华的年龄一样大，无论小英年龄多大
必定有小明和小英的年龄之和等于小华和小英的年龄之
和。对吗为什么
12．数学课王老师就是小明的爸爸。
13．（1）对。根据如果 a=b，那么
a+c=b+c．
14．对。根据如果 a＞b 那么
例3
请你用12根火柴棍摆出四个同样大小的小正方形。
解：下图摆一个小正方形需要4根火柴棍，所以摆4个独立
的小正方形需4×4=16根火柴棍。现在要求用12根火柴棍
摆出4个小正方形出来，16-12=4（根），所以需要4根火柴
棍公用。
①请你移动二根火柴棍，使小鱼转向（变成头朝上或朝
第十四讲 火柴棍游戏（一） 下）。
②请你移动三根火柴棍，使小鱼调头（变成头朝右）。
砖是盖房子用的，但当有一只小狗要咬你时，你会急中生
2．下图所示为一个倒放着且缺一条腿的椅子，请你移动
两根火柴棍把椅子正过来。
（2）对。根据如果 a＞b 那么 a+c＞b+c．
（a+c）-（b+c）=a-b.
②如果小明的年龄比小华大，无论小英的年龄多大，必定
有小明和小英的年龄之和大于小华和小英的年龄之和。对
吗为什么
14．如果今年哥哥比妹妹大5岁，那么，无论再过多少年
仍然是哥哥比妹妹大5岁。对吗为什么
习题十三解答
1．根据两点间直线距离最短，可知，第二条路最近。因
为第一条路是曲线，第二条路是直线，第三条路是折线
2．（1）第3条路最近，第1，2，5条路一样远。
（2）第3条路最近，第四条路稍远，第五条路最远。
3．（1）错 （2）错。
4．三角形的两边之差小于第三边。这句话是对的。如图
所示
智，拣起一块砖头来打狗。火柴是点火用的，但当我们把
它带到课堂上来时，用火柴棍就可以做有趣的数学游戏，
在游戏中就用数学概念，进行数学计算，增强思维的灵敏
性。
例1
请你用火柴棍摆图形，并用橡皮泥粘接起来。
（1）用三根火柴棍摆出一个等边三角形。
（2）用四根火柴棍摆出一个正方形。
（3）用四根火柴棍摆出一个菱形。
解：（1）等边三角形的三条边的长度彼此都相等，而火柴
棍也都一样长。所以可以用三根火柴棍摆成一个等边三角
形，
如图。
解：可以这样想：
①用24根火柴棍摆成三个正方形，每个正方形用24÷3=8
根，每边2根。这是三个独立的、同样大小的正方形。
（2）正方形的四条边都相等，所以四根同样长的火柴棍
可以摆出一个正方形。但要注意，必须使四个角都摆成直
角。如图。
经尝试，按题目要求，在原图的基础上移动4根组成三个
独立的正方形无论如何办不到。
②若是正方形的每边用3根火柴棍，一个正方形用12根，
两个正方形共用24根。但是题目要求用24根摆成三个正方
形（大小可以不同），这就要使这两个正方形有“重叠”
（使一些火柴棍被公用），（见图（1））从而多产生出一个
（3）菱形的四条边也是相等的，所以用四根一样长的火
柴棍也能摆出来。但注意，这时不必使每个角都摆成直角，
只要使两组对角分别相等即可。
正方形。
①请你用11根火柴棍组成同样大小的三个小正方形。
②请你用10根火柴棍组成同样大小的3个小正方形。
5．下图是用17根火柴棍组成的6个同样大小的正方形。
4．下图所示为用12根火柴组成的三个小正方形。
例4下图是用24根火柴棍摆成的回字形图形，如果只允许
移动图中的四根火柴棍，使原图形组成三个正方形（大小
可以不一样），你能办得到吗
3．下图所示是用12棍火柴棍组成的四个同样大小的正方
形，请你移动三根火柴，使原图变成三个同样大小的正方
形。
因
c+b＞a（三角形两边之和大于第三边）
所以
c+b-b＞a-b（两数不等，分别减去同一个数后仍不等）
即 c＞a-b
或
a-b＜c（即三角形两边之差小于第三边）。
5．第（3）项：AD=BE 是对的。
因为已知 AB=DE，所以推出 AB+BD=BD+DE（两数相等，
分别加上同一个数后仍相等。）即得出 AD=BE．
6．对。因为第一个数等于第二个数，第二个数等于第三
个数，那么第一个数必等于第三个数。
7．对。因为如果第一个数小于第二个数，第二个数又小
于第三个数，那么第一个数必定小于第三个数。
8．（1）对。因为我比小红高，小华又比小红矮，即是小
红比小华高，根据若
a＞b，b＞c，则 a＞c 可得出我比小
华高。
（2）错。
（3）错。因为“我既比小华高又比小华矮”是矛盾的。
9．对。
10．对。
11．不能认为小华说的一定错了。事实上，小华是厂长（爸
爸）的女儿。
例2
请用7根火柴棍摆出2个小正方形出来。
解：由例1可知，摆一个正方形需4根火柴棍，所以摆两个
独立的正方形需要8根火柴棍。现在要求用7根火柴棍摆出
两个正方形，显然必须有一根火柴棍公用才能办到。
①请你拿去三根，使留下的火柴棍变成4个同样大小的正
方形。
图中三种“重叠”方式，但经试验，只有第（2）种和第
（3）种可以在回字型的原图上移动4根火柴棍摆出来。
②请你拿去五根，使留下的火柴棍变成3个同样大小的正
方形。
6．下图是用20根火柴棍组成的5个同样大小的正方形，请
你移动三根火柴棍，使原图变为7个同样大小的小正方形。
习题十四
1．下图所示为一个“小鱼”形状，
57
58
3．可以这样想：见图。
6．可以这样想：每个小正方形用4根火柴棍，七个小正方
形应该用28根。但题目中只有20根，所以应该有8根火柴
棍被公用，也就是说图形应是很紧凑的如图所示。
把火柴棍从一个数字或运算符号上拿开，然后添到另一个
数字或运算符号上去，因此算式中火柴棍的总数是不变
的。
例1
只移动一根火柴棍，使下面的等式成立。
7．用火柴棍摆成一个与下图相同的图形。
解：可以这样想：要使等式成立，可以减小被减数。在上
面的等式中，7是由两根火柴棍构成的，去掉一根横棍，
要使12根火柴棍组成3个小正方形，就是说每个小正方形
用4根火柴棍，这就意味着，3个小正方形没有公共的火柴
棍，各自独立。
①拿去哪四根火柴棍，使留下的图形变成为5个同样大小
的小正方形
②拿去哪四根火柴棍，使留下的图形变成为3个同样大小
的小正方形，和一个大正方形。
8．下图是用12根火柴棍组成了4个同样大小的小正方形，
同时还构成了一个大正方形。请你移动四根火柴棍，使它
变成为10个正方形（大小可以不一样）
解：因为14+7-4=17，要使等式右边等于11可以采用多减、
少加的办法。通过改变运算符号就可以达到多减少加的目
的。
4．可以这样想：组成一个正方形需要4根火柴棍，组成三
个各自独立正方形就需要12根火柴棍。
①但题目要求用11根火柴棍组成三个同样大小的正方形，
所以必须有一根火柴棍作为两个正方形的公用边才能办
得到。见下图。
8．因为允许所组成的正方形大小不等，可知6根火柴棍摆
成田字形可得五个正方形（四个小的、一个大的）。12根
火柴棍可摆成两个田字形，即得10个正方形。
例2
只移动一根火柴棍，使下面的等式成立。
7．答案请看下图，分析从略。
“7”就要变成了“1”。但是1-1=0，要使等式成立只要
把那根火柴棍添到减号上，使减号变成加号就可以成为
1+1=2的等式了。
习题十四解答
1．可以这样想：要使小鱼转向或调头，就要尽量利用原
来的火柴棍所组成的形状，以便减少火柴棍的移动。
②题目要求用10根火柴棍组成三个正方形，就必须有两根
火柴棍作为正方形的公共边才能办得到。见上面图。
5．可以这样想：
①17根火柴棍拿掉3根还剩17-3=14，要组成四个同样大小
的正方形，必是由7根组成二个正方形，即其中必有一根
是公用的，也就是说，这两个小正方形要有一个公共边。
见图。
在火柴棍算式中，数字和运算符号都是由火柴棍组成的。
增、减或移动算式中的火柴棍，可使算式发生令人难以予
料的奇妙变化。大胆尝试和思维敏捷在解火柴棍算式中尤
为重要。
在这里，我们规定了下面的一套数字摆法：
解：不难看出，等号左边数太大，要使大数变小。经尝试
可得出办法如下：只移动了一根火柴棍，使算式发生了惊
人的奇妙变化！
第十五讲
火柴棍游戏（二）
例3 只许移动一根火柴棍，使下式成立。
2．可以这样想：要把椅子正过来，就要使椅腿变成靠背，
靠背变成椅腿。见图。
②17根火柴棍拿掉5根火柴棍之后，还剩下12根，这12根
又要组成三个同样大小的正方形，所以每一个正方形应用
4根火柴棍组成。因此，这三个小正方形应是彼此独立的，
没有一根火柴做公用边。见图。
另外，在这里的运算符号如“+”号、“-”号也是由火柴
棍组成的
习题十五
1．只许移动一根火柴棍，使下式成立。
这样一来，用增减或移动火柴棍的办法也可以使“+”号
变“-”号或使“-”号变“+”。
需要事先着重说明的是，这里“移动”火柴棍的意思是指
59
60
2．只许移动一根火柴，使下式成立。
解：
3．只许移动一根火柴，使下式成立。 用火柴棍不但可以在桌面上摆出三角形、四边形等平面图
形，而且还可以搭出立体图形，如正方体、长方体。还可
以摆出棱台和棱锥等立体图形，只是要你更耐心些，更细
心些。其实这些都不难，只要用橡皮泥把火柴棍按要求粘
4．只许移动一根火柴，使下式成立。 起来，一个个立体模型骨架就会在你的桌面上“站”起来
了。这种活动大有好处，既能锻炼动手能力，又能增强空
间想像力。
立体模型做好之后，你再仔细进行观察，数一数每个立体
5．只许移动一根火柴，使下式成立。 的顶点、棱和面的数目，然后再经过简单的计算就可能重
新发现250多年前大数学家欧拉提出的一个着名公式；如
果你在惊奇之余，不满足于对欧拉的敬佩和对公式的赞
美，那就请你模仿欧拉、学习欧拉，也来搞点创造性的思
维活动——用火柴棍当工具，做一次亲身发现数学公式的
尝试吧。
习题十五解答
1．
例1 以下各小题做立体模型要用橡皮泥粘接。
（1）用六根火柴棍搭成一个四面体。
（2）用八根火柴棍搭成一个四棱锥。
（3）用十二根火柴棍搭成一个正方体。
（4）用九根火柴棍搭成一个三棱柱。
解：
习题十六
1．数一数下列立体的顶点数、棱数，细看下面的图，并
计算
模仿欧拉，数一数自己做的等边三角形、正方形、菱形的
2．
顶点数、边数和面数（由边围住的面数）
填入下表（一）
顶点数-棱数+面数=
这叫欧拉公式。最早是法国大数学家笛卡儿发现的，后来
大数学家欧拉在1732年正式提出并给予了证明。
同学们，我们利用火柴棍这种简单的东西，做做、想想、
数数、算算又发现了大数学家们在250多年前曾经发现的
简单而又准确的事实，这对我们不是很富有启发的吗我
们能不能也发现一个公式呢
例2 让我们也来发现一个公式吧！见下图。
同学们看，我们不是也能发现公式吗希望大家在学习的
过程经常想着：我能接着发现点什么
得出公式：对于任何一个复杂的平面图形
进一步想，任何一个立体图形的顶点数、棱数、面数之间
都有这种关系吗这是多么奇妙的事情呀！
立体又叫多面体。任何一个多面体都有
表二
解：表一
数数、想想、算算
数一数你做出的各个立方体的顶点的个数、棱的条数（即
火柴棍的根数）、面数（需要想像出来）是多少
算一算，每个立方体的顶点数-
棱数+面数=再把数据列
成表。
进一步，我们再研究下列那些更复杂的图形。见下图。不
过这时，我们需要把顶点数改为“交点数”（注意顶点也是
交点）。把由几条边围起来的平面部分的个数叫“小区域
数”，为简单起见，我们不再用火柴棍摆，而是画出来就
行了。
同样把交点数，边数和由边围成的面数填入下表（二）
第十六讲 火柴棍游戏（三）
61 62
2．数一数，下列平面图形的交点数、小线段数和小区域
数，见下图（1）～（8）并计算
交点数-小线段数+小区域数=
线
过一点能画很多条直线；过两点只能画一条直线。
射线有一个端点。
线段有两个端点。
角
把两根木条的端点钉在一起，绕端点转木条，可以得到各
种形状。
线段
直线上任取两点，这两点间的部分叫做线段。
把每根木条看作射线。有公共端点的两条射线所形成的图
形叫做角。公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。
线段有两个端点。在图中的线段，左端点是A，右端点是
B，这条线段叫做线段AB。
附录
把一张纸折一下，纸的折痕就是一条线段。
第一讲 点、线、角
用一张纸，对折两次，折出四个形状一样的角叫做直角。
直线
拉直的绳子，它的形状就是直线。
尺子的边，书本的边都是线段。
在点 A 和点
B 之间，能画几条线段能画几条曲线或折
线哪条最短
三角板有三个角，其中一个角是直角。用三角板的直角去
用笔沿着尺子的边画，能画出直线。直线有两个方向。 比一比，的确和折出的直角一样大。
习题十六解答
1． 将数据填入下表：
点
笔的尖端处，它的形状是点。地图上，北京的位置用点表
示。点用大写的英文字母A、B、C…表示。如点A、点B…
在两点之间，只能画一条线段，但可以画很多条曲线，也
能画很多条折线。
通过两点所画的线中，以线段为最短。
射线
直线上一个点A，把直线分成两部分，每部分都叫做射线。
A 叫做射线的端点。
例1 下面各图是什么图形
射线只有一个方向。上图中左侧的射线方向向左；右侧的
射线方向向右。
射线也用两个大写的英文字母表示。例如，射线的端点用
2．
将数据填入下表： 用笔画线，可以看作笔尖的点，在纸上运动。点可运动成
线。线有直线、曲线和折线。
A 表示，在射线上再任取一点用 B 表示。这条射线就叫
做射线AB。
〔解〕图（1）是直线；图（2）是曲线；图（3）是线段；
图（4）是射线；图（5）是角；图（6）是三个点。
例2 你能用A、B、C
三个点，作出直线AB、射线AC、
线段BC 吗
〔作图〕
想一想：直线、射线、线段的区别
想一想：过一个点能画几条直线过两点又能画几条直
63
直线没有端点。
64
例3
上图中有几条直线，几条线段，几条射线
〔解〕上图中有一条直线，三条线段，六条射线。这六条
射线中，以 A 为顶点的射线有三条；以 B 为顶点的射线
有两条；以C
为顶点的射线有一条。
例4 数一数，下面每个图形中，点、线段和角的个数。
图（1）、（4）是线段。
3．作图：
四个角都是直角。
动一动手，用折纸的办法，把长方形剪成正方形。
三角板的面是三角形。如下图。
2．在下图中，哪个图是直线哪个图是射线哪个图是
线段 4．作图：
三角形是由三条线段连接成的，这三条线段就是三角形的
三条边。在一个三角形中，若有两条边相等，这个三角形
〔解〕上面图（1）、图（2）中各有三个点，三条线段，
三个角；图（3）、（4）中各有四个点，四条线段，四个角；
图（5）中有五个点，五条线段，五个角；图（6）中有六
个点，六条线段，六个角。
例5 数一数，下图有几条直线几个点几条线段几
条射线
3．请你用直尺画出直线、线段和射线，并用大写英文字
母标出。
4．请你先画出两个点（点 A 和点 B），再通过这两个点
画一条线段，两条折线，三条曲线。
5．用三角板量一量，看下图中有几个直角
〔解〕上图有一条直线，三个点，三条线段，六条射线。
在六条射线中，以 A
点为顶点的射线有两条；以 B 点为
顶点的射线有两条；以C 点为顶点的射线有两条。
例6 数一数，下图有几条射线几个角
6．数一数：下图中有几个角几条射线
数学书的面、课桌的面、黑板的面都是长方形。形状如下
图。
请你把硬币放在纸上，用左手按住不动，右手拿笔，沿硬
币的边画一周，就画出一个圆。你还可以用圆糖盒等有圆
7．数一数：下图中有几条线段几个角几个点 长方形是由四条线段连接起来的。这四条线段就是长方形
图形的物体，照样描画出圆。画圆有专门的工具——圆规。
的四条边。用折纸的办法就会发现，长方形相对的边一样
长。
〔解〕上图有四条射线。有三个小号的角，有两个中号的
角，一个大号的角，一共有六个角。
第二讲 长方形、正方形、三角形和圆
5．图中有三个直角。
6．图中有三个角，三条射线。
7．图中有5条线段，8个角，4个点。
8．参见第一讲内容。
看一看，下面实物中圆的图形。
三角形有三个角。在一个三角形中，若有一个角是直角，
这个三角形就叫做直角三角形。图中两个三角形都是直角
三角形。
上面图中图（2）不但是等腰三角形，而且是直角三角形，
因此这个三角形就叫做等腰直角三角形。
就叫做等腰三角形。上面图中图（2）就是等腰三角形。
练习一
1．在下图中，哪个图是直线哪个图是曲线哪个图是
折线
8．请你动手，用一张纸，折出四个直角。
长方形长边的长度叫做长方形的“长”，短边的长度叫做长
图中，点 O 叫做圆心，线段 OA 的长叫做半径。圆心 O
方形的“宽”。
不动，半径越长画出的圆就越大。图中（2）画出以O 为
长方形有四个角，用三角板的直角去量，就会知道，长方 圆心的三个同心圆。
形的四个角都是直角。
长方形有四条边，对边相等；
长方形有四个角，都是直角。
四条边都相等的长方形叫做正方形。
正方形的四条边都相等，
66
例1
说出下图中每个图的名称。
练习一解答
1．图中的图（1）、（2）是直线；图（3）、（4）是折线；
图（5）、（6）是曲线。
2．图中的图（3）、（6）是直线；图（2）、（5）是射线；
65
例5 在方格纸上作长方形、正方形、直角三角形、等腰三
角形各一个。
〔解〕作图：
练习二解答
1．直尺、纸、墙壁、窗户玻璃的形状都是长方形。
2．先上下对折，再左右对折，展开后是下图的形状（虚
线表示折痕）
图（1）有三条边是三边形，也叫做三角形；
图（2）有四条边，叫做四边形；
图（3）有五条边，叫做五边形；
图（4）有六条边；叫做六边形。
这四个小图都是多边形。在多边形中，除三角形外，有几
条边就叫做几边形。
3．折法见图 三角形有三条边、三个角、三个顶点；
四角形有四条边、四个角、四个顶点；
数一数，五边形和六边形各有几条边、几个角、几个顶点
其实，几边形就有几条边，几个角，几个顶点。
如果一个多边形的每个边都相等，这个多边形就叫做正多
边形。
正多边形非常整齐漂亮，请看下图。
练习二
1．说出在教室里你看到的长方形。
2．用折纸的办法，把一张正方形纸折出四个一样大的小
〔解〕在图中，（1）、（2）是长方形；（3）、（6）是正方形；
（4）、（8）是直角三角形；（5）、（10）是折线；（7）、（8）
是等腰三角形；（8）还是等腰直角三角形；（9）是圆；
（11）是三角形；（12）是线段。
例2
数一数，下图中图（1）有几个正方形图（2）有
几个长方形
正方形。
3．用正方形纸，折出四个一样大的等腰直角三角形。展
开后，看折痕，问：含有几个最大的等腰直角三角形
4．看下图
判断它们大概属于哪类图形，写出编号填在括号内。
展开后，看折痕含有四个最大的等腰直角三角形，它们分
〔解〕图（1）有4个小正方形，一个大正方形。共有五个
正方形。图（2）有4个小的长方形，4个中的长方形，一
个大的长方形。共有9个长方形。
例3 仔细数一数，右图中有几个正方形有几个等腰直
角三角形
5．数一数，下图中有几个三角形，几个长方形
别由小三角形1、2；2、3；3、4；4、1合成。
4．在括号内填出题目中图的编号：
常见的还有正七边形、正八边形等等。
看看、想想：一个三角形，像下图那样剪去一个角（虚线
是剪痕）变成什么图形它有几个角
图（1）是正三角形；图（2）是正四边形，也叫做正方形；
图（3）是正五边形；图（4）是正六边形。
剪掉一个角（如上图），变成了四边形，它有四个角。
〔解〕图中有两个正方形。有七个等腰直角三角形，其中
五个容易在图中看到，另外两个见下图。
6．数一数，下图中有几个相等的圆
5．原题图中有六个三角形，三个长方形。
6．原题图中有六个等圆。
7．作图如下：（作图方法不惟一）
上图中有三角形，照下图样剪去两个角变成几边形剪后
它有几个角
例4 数一数，下图是用几个圆画成的图案 剪后变成了五边形，它有五个角。
还是这个图，如果再照下图剪去三个角变成几边形它有
几个角
7．画线段把下面每个小图都分成两个三角形和两个长方
形。
第三讲
多边形和扇形
变成了六边形，它有六个角。
〔解〕它是用八个圆画成的图案。其中有七个圆是半径一
样大的圆（称等圆）。
67
数一数，下图中每个小图有几条边（线段）
68
在多边形中，我们着重讲四边形。在四边形中有五种特殊
的四边形。
长方形
它的特点是对边相等，四个角都是直角。
正方形
它的特点是四条边都相等，四个角都是直角。正方形具有
长方形所有特点，因此正方形是特殊的长方形。
平行四边形
用四根木条钉成活动的长方形，仿照下图所演示的那样，
两手向相反的方向一拉，它变成的形状就是平行四边形。
仔细比较上图，就可以看出：
它们的共性是：都有一组对边平行。
从图中平行四边形开始向右看，这四个特殊的四边形的共
性是：两组对边平行。可见，菱形、长方形、正方形都是
特殊的平行四边形。
菱形和正方形的共性是：两组对边平行，四条边都相等。
竹篱笆上、网兜上常出现很多平行四边形。 长方形和正方形的共性是：两组对边平行并且相等，四个
角都是直角。
图中右边的四边形总比左边的四边形个性多。那么长方形
比平行四边形的个性多了什么
多了“四个角都是直角”。
再想一想：正方形比平行四边形多了什么个性
下面的四边形都是平行四边形：
多了“四个角都是直角，四条边都相等”。
扇形
圆的两个半径把圆分成两部分，下图中每部分的图形都叫
扇形。扇形像个扇子面。
平行四边形的特点是：相对的边不论怎样延长都不会相
交。如同两条笔直的铁轨，它们永远不相交。
例3你会用扇形卷成圆锥体吗
〔解〕将扇形的两条边对接，圆心不动，就可以卷成圆锥
体。见下图。
（1）对边相等，四个角是直角；
（2）对边平行，四条边相等；
（3）对边平行，四个角是直角，四条边相等；
（4）对边平行；
（5）一对边平行，另一对边不平行。
4．想一想：
（1）平行四边形是长方形吗长方形是平行四边形吗
（2）正方形是菱形吗菱形是正方形吗
例4使用圆规怎样将圆周分成六等份画成正六边形、正
三角形和正六角星形正六角星中有几个正三角形
〔作图〕以 O 为圆心，OA
为半径用圆规画圆，如下图，
从 A 点开始，以半径 OA 长截圆周，正好能把圆周分成
六等份。分点为 A、B、C、D、E、F。
（3）菱形是长方形吗长方形是菱形吗
（4）长方形是正方形吗正方形是长方形吗
（5）梯形是平行四边形吗平行四边形是梯形吗
5．动一动手，请照下图样子画一画。
6．自左向右写出上面每个图形的名称。
练习三解答
1．图中有六个最小的扇形；有六个正三角形；有六个梯
顺序作线段
AB、BC、CD、DE、EF、FA。得到正六边形
ABCDEF（见上图（1））。作线段
AC、CE、EA 得到正三
角形 ACE；作线段·BD、DF、FB 得到正三角形 BDF；
角星中有八个正三角形。
形；有六个菱形；有15条线段（其中最长的线段有三条）。
2．图中有八种平面图形。圆、扇形和菱形各有一个；三
角形有七个；长方形、正方形、平行四边形、梯形各有两
个。
3．（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）平行四边
形；（5）梯形。
练习三
1．数一数，右图中有几个最小的扇形有几个正三角形
有几个梯形和菱形又有几条线段
4．（1）平行四边形不是长方形，长方形是平行四边形的
一种特殊形式；
（2）正方形是菱形，菱形不是正方形；
（3）菱形不是长方形，长方形也不是菱形；
（4）长方形不是正方形，正方形是长方形的一种特殊形
式；
（5）梯形不是平行四边形，平行四边形也不是梯形。
5．略。
6．图中自左向右图形名称分别是：菱形、平行四边形、
梯形、长方形、正方形。
两个正三角形合成六角星形（见上图（2））。在这个正六
例1把图形和它的名称用直线连上。
两条永远不相交的直线叫做平行线。
平行四边形对边所在直线是平行线。
平行四边形对边平行而且相等。
可以看出，长方形和正方形都是特殊的平行四边形。
菱形
四条边都相等的平行四边形叫做菱形。见下图。
菱形对边平行，四条边都相等。
正方形具有菱形的所有特点，因此正方形是特殊的菱形。
梯形
梯形有四条边，只有一组对边平行。
例2数一数：下面图（1）中有几个平行四边形图（2）
中有几个菱形图（3）中有几个正方形图（4）中有几
个长方形
2．数一数，下图是由几种平面图形拼成的各有多少个
第四讲 立体图形的认识
长方体
上面三个图形都是梯形。
五种特殊的四边形之间有什么联系呢
〔解〕图（1）中有三个平行四边形；图（2）中有三个菱
形；图（3）中有三个正方形；图（4）中有九个长方形。
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数一数：长方体有几个面几个顶几个棱
3．指出下面的四边形名称：
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2．把下面的实物和它的立体图形用直线连起来。
〔解〕将图的半圆卷动，使半径OA 与半径OB 重合、贴
牢。也可再卷紧，贴牢重叠部分。做成的圆锥体如下图。
例1将下图的实物和它的立体图形用直线连起来。
〔解〕
在贴牢圆锥体之前，若先将例4图中的阴影部分剪掉，再
仿前面做法贴牢就做成小话筒了。形如下图。
3．看立体图形，把各种立体图的个数填在（）里。
例2在下图中，按长方体、立方体、圆柱体、圆锥体、球、
长方体的顺序，用线段连接。
〔解〕
长方体有上、下、左、右、前、后共六个面；
长方体的上面有四个顶，下面也有四个顶，共有八个顶；
长方体的上面有四个棱，下面有四个棱，侧面也有四个棱，
共有十二个棱。
长方体的每个面都是长方形。
立方体
仿照长方体，可以数出：
立方体有六个面、八个顶、十二个棱。
立方体的每个面都是正方形。
圆柱体
圆柱体的上底和下底是两个等圆。
例3下图是由六个正方形组成的平面图，将它画在硬纸上，
沿实线剪下来，按虚线折，动手看看，能折出什么立体图
形
〔解〕它包含三个小号长方体。它们分别由立方体1与2；
2与3；3与4合成。
包含两个中号长方体。它们分别由立方体1、2、3；2、3、
4合成。
包含一个大号长方体。它由立方体1、2、3、4合成。
5．将下面平面图沿虚线折，能折出什么立体图形
例5下图是由四个一样大小的立方体构成。数一数，它包
含几个小长方体，几个中长方体，几个大长方体（四个
立方体不要求计算在内）
球（）个；长方体（）个；立方体（）个；圆锥体（）个；
圆柱体（）个。
4．数一数：右图中有几个小立方体有几个小长方体
有几个中长方体有几个大长方体
动动手：用一张长方形硬纸当圆柱体的侧面，做一个圆柱
体。照下图的样子卷动，使上下口成两个等圆。
圆锥
圆锥有一个顶点、一个底面。底面是一个圆。动动手：用
刀子把圆柱形铅笔的头部削成圆锥形。
例4在硬纸上画出一个半圆，如下图，按实线剪下，以圆
心 O
为锥顶，你能做成一个圆锥体吗再加制作，你能
做个小话筒吗
球体
想一想：球体和圆有什么联系
动动手，再看一看：用刀切球形西瓜，截面是圆。
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练习四
1．挑出各种立体图形（写出编号）。
〔解〕可以折出一个立方体，形状如下图。 6．一个长方体（或立方体）的面数、顶数、棱数各多少
两个长方体（或立方体）的面数、顶数、棱数各多少
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练习四解答
1．长方体（1、5）；立方体（2）；圆柱体（4、7）；圆锥
体（3、6）；球（8）。
2．把实物和它的立体图形用直线相连如下：
_
3．球（5）个；长方体（2）个；立方体（1）个；圆锥体
（5）个；圆柱体（1）个。
4．图中有5个小立方体。有5个小长方体，它们分别由立
方体1与2；2与3；1与4；2与5；4与5合成。有1个中号长
方体，它由立方体1、2、3合成。有1个大号长方体，它由
立方体1、2、4、5合成。
5．题中平面图可以折成长方体，如下图。
6．一个长方体（或立方体）有6个面，8个顶，12个棱。
两个长方体（或立方体）有12个面，16个顶，24个棱。
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