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关于数学参考书（大学数学系本科所有课程）
来源：复旦BBS数学
一、数学分析
从数学分析的课本讲起吧。复旦自己的课本应该可以从六十年代上海
科 技出的算起(指正式出版)，那本书在香港等地翻印后反应据说非常好，
似乎丘成桐先生做学生的时候也 曾收益与此。到90年代市面上还能看到的
课本里面，有一套陈传璋先生等编的，可能就是上面的书的新 版，交大的
试点班有几年就拿该书做教材。
另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生的连襟)， 秦曾复，朱学炎三位
编的课本，好象后来数学系不用了，计算机系倒还在用。那本书里面据说
积 分的第二中值定理的陈述有点小错。总的说来，这些书里面都可以看到
一本书的影子，就是菲赫今哥尔茨 的数学分析原理，其原因，按照秦老
师的说法，是最初在搞教材建设的时候，北大选的模本是辛钦的数学 分
析简明教程，而复旦则选了数学分析原理。后来自然有欧阳先生和姚允
龙老师的那本数学分析 。我不否认那是一种尝试，但是感觉上总有点别扭。
以比较新的观点来看数学分析这样经典的内容在国际 上的确是一种潮流，
但是从这个意义上说该书做得并不是非常好。而且从整体的课程体系上说，
在后面有实变函数这样一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue积分值得
商榷。
下面开始讲一些课本，或者说参考书:
1。菲赫今哥尔茨微积分学教程，数学分析原理。
前一本书，俄文版共三卷，中译本共8本;
后一本书，俄文版共二卷，中译本共4本。 此书堪称经典。微积分学教程其实连作者(莫斯科或者列宁格勒大学
的教授，门下弟子无数，包括后 来得诺贝尔经济学奖的著名数学家
Kantorovitch)都承认不太合适作为教材，为此他才给出 了能够做教材的后
一套书，可以说是一个精简的版本(有所补充的是在最后给出了一个后续课
程 的简介)。相信直到今天，很多老师在开课的时候还是会去找微积分学
教程，因为里面的各种各样的例题 实在太多了。如果想比较扎实的打基础
的话，可以考虑把里面的例题当做有答案的习题来做，当然不是每 道题都
可以这么办的。如果你全部做完了那里的题目然后考试的时候碰到你做过
的可别怪我。毫 无疑问，这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指
不引入实变，泛函的观念)的最高水平，考虑 到在中国的印数就以十万计，
可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了。这两套书在 理图
里面都有。
2。Apostol
在西方(西欧和美国)，这应该算得上是一本相当完整的课本了，在总
书库里面有。

3。W。Rudin
(有中译本:卢丁数学分析原理，理图里有)这也是一本 相当不错的书，
后面我们可以看到，这位先生写了一个系列的教材。该书的讲法，(指一些
符号 ，术语的运用)也是很好的。这里附带说一句，因为在理基里面当年念
的是后来复旦出版社出的秦老师和 余跃年编的高等数学，虽然我一向认
为该书编的很是不好，但是在这里想引秦老师的一句话，希望能对非 数学
专业的ddmm有所帮助:就是学完高等数学以后，可以找一本西方
advancedca lculus水平的书来看，基本上就能够达到一般数学系的要求了。
当时秦老师曾特别指出Rudin 的书。说到AdvacedCalculus，在这个标题下
面有一本书也是可以一看的，就是L。Lo omis和S。Sternberg的
AdvancedCalculus，其第一版在总书库里面有不 少，第二版在理图外国教材
中心有一本，系资料室是不是有不清楚。这本书的观点还是很高的，毕竟是人家Harvard的课本。
4。数学分析北大版)方企勤，沈燮昌等
数学分析习题 集，数学分析习题课教材。北大的这套课本写得还
是可以的，不过最好的东西还是两本关于习题的东西。 大家知道，吉米多
维奇并不是很适合数学系的学生的，毕竟大多是计算题(一个比较有意思的
地 方是那套被广大教师痛骂的习题解答其实有一个题的第二小题是没答案
的，原因好象是编书的人也没做出 来，好象是关于级数收敛的一个题目)。
相比之下北大的这本习题集就要好许多，的的确确值得一做。那 本习题课
教材也是很有意思的书，包括一些相当困难的习题的解答，96年那会理图
里面有一本 ，现在不知道怎么样了。
5。克莱鲍尔数学分析
记得那是一本以习题的形式讲分析的书，题目也很不错。理图里有。
6。张筑生数学分析新讲共三册)
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本，张老 师写这书
也实在是呕心沥血，手稿前后写了差不多五遍。象他这样身有残疾的人做
这样一件事情 所付出的是比常人要多得多的。以致他自己在后记中也引了
都云作者痴，谁解其中味。在这套书里，对于 许多材料的处理都和传统的
方法不太一样。非常值得一读。唯一的遗憾是，按照张老师本人的说法，北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂，所以版面不是很好看。
理图里有。
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The cloud wishes it were a bird。
The bird wishes it were a cloud。
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7a。尼柯尔斯基数学分析(教程?)
理图里有，是清华的人翻译的，好象没翻 全。那属于80年代以后苏联
的新潮流的代表，不管怎么说，人家是苏联科学院院士。
7b。 数学分析
忘了是谁写的了，也是苏联的，莫斯科大学的教材。理图里面有第一
卷的中译本，分两 册。那里面从极限的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明
显得让人感觉到观点非常的高。
8。 狄多涅现代分析基础(第一卷)
那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷，用的术语相当
高深，可能等以后学了实变，泛函再回过头来看感觉会更好一些。
9。说两句关于非数学专业的高等数学。
这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书。因为 在法国高等教育
系统里面，对于最好的学生，中学毕业以后念的是两年大学预科，这样就
是不分 系的，所以他们的高等数学(比如理图里面有J。Dixmier院士的高
等数学第一卷)或者叫普通数 学理图里面有一套书就是这个标题)，其水
平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间。
10。再补充一个技术性的小问题。对于函数项级数收敛，
一致收敛是充分而非必要的，有一 个充要条件叫亚一致收敛性，在
微积分学教程里面提了一句，其详细讨论，似乎仅见于鲁金(Lusin )的实
变函数论里面，总书库里面有。
11。华罗庚先生的高等数学引论第一卷
这 套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初华先生在王元先生的
辅助下对科大学生开课时的讲义。那 时候他们做过一个实验，就是一个教
授
负责一届学生的教学，所以华先生这书里面其实是涉及 很多方面的(附
带提一句，另外两位负责过一届学生的是关肇直先生和吴文俊先生)。也是
出于 一种尝试吧，华先生这书里面有一些不属于传统教学内容的东西，还
包括一些应用。可以一读。理图里有 。
12。何琛，史济怀，徐森林数学分析
这应该是科大的教材，虽然好象影响不是很大，我本 人还是很喜欢的，
高一的时候第一次学数分就是用的这套书，感觉是条理清晰，配的习题也
很好 。印刷质量也相当不错。可惜的是学校里面没有，所以放在最后。
二、空间解析几何
空间解 析几何实在是一门太经典，或者说古典的课。从教学内容上说，
可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里 面的一些基本常识，包括最基本
的线性变换(那是线性代数的特例)，和二阶曲面的不变量理论。在现行 的

复旦的教材，苏先生，胡先生他们编的空间解析几何里面，最后还有一
章讲射 影几何。这本书非常之薄。但是内容还是比较丰富的。特别是有些
习题并不是非常容易。最后一章射影的 内容还不是很好念的。当然，这里
还要提到十来年前大概做过教材的一本书:项武义，潘养廉等古典几何 学。
这书的内容与课本不是很一样，不过处理方法还是很不错的。项先生应当
算做很能侃的那种 类型的。可以考虑的参考书包括:
1。陈(受鸟) 空间解析几何学
内容基本上和课本差不多 ，不过要厚许多，自然要好念点。陈先生是
吴大任先生(大猷先生的堂弟，南开多年的教务长)的夫人， 也是中国早期
留学海外的女学者。
2。朱鼎勋 解析几何学
这本书基本上只在欧氏空 间里面讨论问题。优点是非常易懂，连二维
的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚。那里面的习题也 比较合理，
不是非常的难(如果我没有记错的话)。朱先生相当有才华，可惜英年早逝。
关于 数学分析的习题，还有一本书，就是G。Polya(波利亚)，G。Szego(舍
贵)的数学分析中 的问题和定理在学习数学分析的阶段，可以考虑其第一
卷的前面一半，后面就全是复变的东西了。该书的 内容还是非常丰富的。
在历史上，这是一套曾经使好几代数学家都受益匪浅的经典著作。这套书
的一个好处就是题目难归难，后面还是有答案或提示的。
微积分学教程的第一卷有一册在理图里面似乎很少，到总书库里面
去看看吧!Loomis- Sternberg的书的书号是O172L863如果想了解比较新
的动态，可以考虑
3。Postnikov 解析几何学与线性代数(?)第一学期)
这是莫斯科大学新的课本 ，从课程形式就可以看出，解析几何这样一
门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导，给出一些具 体的对象的
话，迟早是要给吃到线性代数里面去的。海外教材中心有一本英文本。我
个人以为， 现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的。中国的中
学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点， 从整体上说，比整个欧洲都要
差。我相信所谓三维的解析几何的内容总有一天要下放到高中里面去。上面的书如果撑不饱你，你又不想学其它的课程的话。可以考虑下面两本
经典。其好处是看过以后可 以对很多几何对象(当然具体说是指三维空间里
面的二次曲面)有相当深刻的了解。
4。狄隆涅 解析)几何学
这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论，记得五年前看的时
候感觉非常有意思。这位苏联科学院院士真是够能写的。总书库里面有。
5。穆斯海里什维利 解析几何学教程
这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了。具体的说特别值
得参考的是 它里面关于射影的一些观点和讲法(比如认为椭圆也是有渐近
线的，只不过是虚的而已)。

三、高等代数
高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论。如果严格一 点，
关于线性空间的理论应该叫线性代数，再加上一点多项式理论(就是可以完
完全全算做代数 的内容的)就叫高等代数了。这门课在西方的对应一般叫
Linear Algebra，就是苏联人喜 欢用高等这个词，你可以在外国教材中心里
面找到一本Kurosh(库落什)的Higher Algebra。
现在用的课本好象是北大的高等代数第二版?)。用外校的课本在基
础课里 面是不常见的。这本书可以说是四平八稳，基本上该讲的都讲了。
但是你要说它有什么地方讲的特别好， 恐怕说不出来。值得注意的是95-96
学年度，北大现在的校党委组织部长王杰老师(段学复先生的弟 子)给北大
数学科学学院95级1班开课时曾经写过一本补充材料，把空间理论的讲得
非常清楚 。如果谁能搞到的话翻印出来是件很好的事情(我的那本舒五昌老
师给96开课的时候送给他了，估计是 找不到了)。好象上面有一点说得不
对，就是北大的书用的还是第一版。第二版在书店里似乎看见过。从 这门
课的内容上说，是可以有很多种讲法的。线性空间的重点自然是线性变换，
那么如果在定义 空间和像空间里面取定一组基的话，就有一个矩阵的表示。
因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的。而 且如果要和数值搭界的话还
必须这么做。复旦以前有两本课本就是这么做的。
1。蒋尔雄，吴景琨等 线性代数
这是那时候计算数学专业的课本，其教学要求据说是比数学专 业相应
的课程要高的。因为是偏向计算的缘故，你可以找到一些比较常用的算法。
我个人以为还 是比较有意思的。理图里有。
2。屠伯埙等 高等代数
这就是在上海科技出版的一整套复旦数 学系教材里讲高等代数的那
本。不记得图书馆里面有，不过系里可能可以买到翻印的。这本书将80%< br>的篇幅贡献给矩阵的有关理论。有大量习题，特别是每章最后的选做题。
能独立把这里面的习题做 完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益
的。当然这不是很容易的:据说屠先生退休的时候留下这么 句话:今后如果
有谁开高等代数用这本书做教材，在习题上碰到麻烦的话可以来找我。
有此可见 一斑。如果从习题方面考虑，觉得上面的书太难吃下去的话，那
么下面这本应该说是比较适当的。
3。屠伯埙等 线性代数-方法导引
这本书比上面那本可能更容易找到，里面的题目也更实际一 些。值
得一做。另外，讲到矩阵论。就必须提到
4。甘特玛赫尔 矩阵论
我觉得这恐 怕是这方面最权威的一本著作了。其中译者是柯召先生。
在这套分两册的书里面，讲到了很多不纳入通常 课本的内容。举个例子，
大家知道矩阵有Jordan标准型，但是化一个矩阵到它的Jordan标准 型的变

换矩阵该怎么求?请看矩阵论。这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论，
非常有趣。总书库里有。图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边。
5。许以超 线性代数和矩阵论
虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国念大学数学
系要么去北大，要么去科大 --他是北大毕业的，现在数学所工作--我可没听
他的)，但是必须承认这本书还是写得很不错的，习 题也不错。必须指出，
这里面其实对于空间的观念很重视。不管怎么样，他还是算华先生的弟子
的。
6。华罗庚 高等数学引论
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格，在矩 阵理论
方面他也有很好的工作。甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名
字，一个是樊畿 先生，另一个就是华先生。可能是他第一次把下述观点引
进中国的数学教材的(不记得是不是在这本书里 面了):n阶行列式是n个n
维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数。这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了。高等代数的另
外一种考虑可能是更加代数 化的。比如
7。贾柯勃逊(N。Jacobson) Lectures on Abstract Algebra， II: Linear
Algebra GTM (Graduate Texts in Mathematics) No。31(抽象代数学
第二卷:线性代数)
这里想说的是，这套书的中译者黄缘芳先生，大概数学系里面已经没
多少人还记得文革前复旦有这么一 位代数学教授了。此书英文版总书库里
有，中文版(字体未完全简化)理图里有。
8。Greub Linear Algebra(GTM23)
这里面其实更多讲的是多线 性代数。里面的有些章节还是值得一读的。
还有两本书我觉得很好，不知道图书馆里面是不是有:
9。丘维声 高等代数上，下)
北大94级的课本，相当不错。特点是很全，虽然在矩阵那个 方向没有
上面提到的几本书将得深，但是在空间理论，具体的说一些几何化的思想
上讲得还是非 常清楚的。多项式理论那块也讲了不少。
10。李炯生，查建国 线性代数
这是中科大的课 本，可能是承袭华先生的一些传统把，里面有一些内
容的处理在国内可能书属于相当先进的了。

四、常微分方程
从常微分方程开始，数学课就变成没底的东西，每一个标题做 下去都
是数学研究里面庞大的一块。对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论
不断。这里我打 算还是从现行课本讲起。
常微分方程这门课，金福临先生和李迅经先生在六十年代写过一本课
本，后来在八十年代由控制那一块的老师们修订了一下，变成第二版，就
是现在常用的课本。上海科技出 版社出版。应该说，金先生他们的第一版
在今天看来还是很好的一本课本(这本书估计受了下面的一本参 考书的不
小的影响)，该书在理图老分类的那一块里有。但是第二版有那么点不敢恭
维。不知为 什么，似乎这本书对具体方程的求解特别感兴趣，对于一些比
较现代的观点，比如定性的讨论等等相当地 不重视。最有那么点好笑的
是在某个例子中(好象是介绍Green函数方法的)，在解完了之后话锋一 转，
说这个题其实按下面的办法解更简单。。。而这个所谓更简单的办法是
根本不具一般性的。
下面开始说参考书，毫无疑问，我们还是得从我们强大的北方邻国说
起。
1。彼得罗夫斯基 常微分方程讲义
在20世纪数学史上，这位前莫斯科大学校长占据着一个非 常特殊的地
位。从学术上说，他在偏微那一块有非常好的工作，五十年代谷先生去苏
联读学位的 时候还参加过他主持的讨论班。他从三十年代末开始就转向行
政工作。在他早年的学生里面有许多后来苏 共的高官，所以他就利用和这
些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个保护伞，他本人也以一个非共< br>产党员得以做到苏联最高苏维埃主席团成员。下面将提到的那个天不怕地
不怕的Arnold提起 他来还是满恭敬的。他这本书在相当长的时期里是标准
教材，但是可能和性格，地位有关吧，对此书的一 种评论是有学术官僚作
风，讲法不是非常活泼。
2。庞特里亚金 常微分方程
庞特里 亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明，在母亲的鼓励和
帮助下，他以惊人的毅力走上了数学道路， 别的不说，光看看他给后人留
下的连续群，最佳过程的数学理论，你就不得不对他佩服得五体投地，有六体也投下来了。他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的。此书影响
过很多我们的老师辈的人物 ，也很大的影响了复旦的课本。如果对没有完
全简化的字不感冒的话绝对值得一读。
下面转到欧美方面，
3。Coddington&Levinson of Ordinary Differnetial
Equations
这本书自五十年代出版以 来就一直被奉为经典，数学系里有。说老实
话这书里东西太多，自己看着办吧。比较现代的表述有

4。Hirsh&Smale Equations，Linear Algebra and
Dynamical Systems中译本微分方程，线性代数和动力系统
这两位重 量级人物写的书其实一点都不难念，非常易懂。所涉及的内
容也是非常基本，重要的。关于作者嘛，可以 提一句，Smale现在在香港
城市大学，身价是三年1000万港币。我想称他为在中国领土上工作的 最重
要的数学家应该没有什么疑问。图书馆里有中译本。
5。Arnol'd 常微分方程< br>必须承认，我对Arnol'd是相当崇拜的。作为Kolmogorov的学生，他
们两就占了 KAM里的两个字母。他写的书，特别是一些教材以极富启发性
而著称。实际上，他的习惯就是用他自己 的观点把相应的材料全部重新处
理一遍。从和他的几个学生的交往中我也发现他教学生的本事也非常大。
特别是他的学生之间非常喜欢讨论，可能是受他言传身教的作用吧。他自
己做学生的时候就和其 它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班，
互相教别人自己的专长，想想这里都走出来了些什么 人物吧:Anosov，
Arnol'd， Manin， Novikov， Shavarevi ch，Sinai。。。由此可见互相讨
论的重要性。从学术观点上说，他更倾向于比较几何化的想法， 在这本书
里面也得到了相当的体现。近年来，Arnol'd对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度。不过话说回来，在日常生活中他还是个非常平易
近人的人，至少他的学生们 都是这么说的。这本书理图里有中译本，不过
应当指出译者的英文水平不是很高，竟然会把北极光一词音 译，简直笑
话。再说一句，Arnol'd的另外一本书，中文名字叫常微的几何方法。。。。
的，程度要深得多。看了半天，讲来讲去都是外国人写的东西，有中国人
自己的值得一看的课本吗?答曰 Yes。
6。丁同仁，李承治 常微分方程教程
这绝对是中国人写的最好的常微课本，内容翔 实，观点也比较高。在
复旦念这本书还有一个有利的地方，袁小平老师是丁先生的弟子，有不懂
的话不愁找不到人问。附带提一句，理图里面有这书，但是是第一次(?)印
刷的，里面有一个习题印错 了，在后来印刷的书里面有改动。再说一句，
就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看
7。卡姆克(Kamke) 常微分方程手册
那里面的方程多得不可胜数，理图里有。对于变 系数常微分方程，有
一类很重要的就是和物理里常用的特殊函数有关的。对于这些方程，现在
绝 对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉。我的疑问是不是真有必要象
现在物理系的数学物理方法课里那 样要学生全部完全记在心里。事实上，
我很怀疑，不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数系的完备性， 象

8。Courant-Hilbert 数学物理方法第一卷
可以说达到 古典处理方法的顶峰了，但是看起来并不是很容易的。我
的理解是学点泛函的观点可以获得一些统一的处 理方法，可能比一个函数
一个方法学起来更容易一些。而且，
9。王竹溪，郭敦仁 特殊函数 概论
的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的东
西，具体的细节要用的 时候去查书。要知道，查这本书并不是什么丢人的
事情，看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:年代 末)。。。我的
老师王竹溪先生送了我一本刚出版的'特殊函数概论'。。。从此这本书就一
直 在我的书架上，。。。经常在里面寻找我需要的结论。。。连他老先生
都如此，何况我们?上面这两本书 理图里面都有，9。的英文版系资料室有
一本。
五、单复变函数论
单复变函数论从 它诞生之日(1811年的某天Gauss给Bessel写了封信，
说我们应当给'虚'数i以实数一 样的地位。。。就成为数学的核心，上个
世纪的大师们基本上都在这一领域里留下了一些东西，因此数学 的这个分
支在本世纪初的时候已经基本上成形了。到那时为止的成果基本上都是学
数学的学生必 修的东西。复旦现在这门课是张锦豪老师教。张老师是做多
复变的。毫无疑问，多复变在二十世纪的数学 里也占有相当重要的地位，
不仅它自身的内容非常丰富，在其它分支中的应用也是相当多的--举个例< br>子就是Penrose的Spinor理论，基本上就是一个复分析的问题。这就扯远
了，就此打 住。张老师用的是他自己的讲义，那书要到今年夏天才能印出
来。所以还是这两年上过这门课的ddmm 来谈谈感受比较好。
现在具体的情况我不是很清楚，复旦以前有一本
1。范莉莉，何成奇 复变函数论
这是上海科技出版的那套书里面的复变。今天回过头来看，这本书讲
的东西也不是很 难，包括那些数量很不少的习题。但是做为第一次学的课
本，应当说还不是很容易的。总的说来，从书的 序言里面列的参考书目就
可以看出两位先生是借鉴了不少国际上的先进课本的。不知道数学系的学
生还发这本书吗?如果要列参考书的话，单复变的课本真是多得不可胜数，
从比较经典的讲起吧:
2。普里瓦洛夫 复变函数(论)引论
这是我们的老师辈做学生的时候的标准课本。内容翔实， 具有传统的
苏联标准课本的一切特征。听说过这么一个小故事:普里瓦洛夫是莫斯科大
学的教授 ，一次期末口试(要知道，口试可比笔试难多了，无论是从教师还
是从学生的角度来说)，有一个学生刚 走进屋子，就被当头棒喝般地问了一
句有界无界?此人稀里糊涂地回答了一句有界，就马上被开回去了，
实在是不幸之至。这书不在理图就在总书库里面。

3。马库雪维奇 解析函数 论(教程?)
这本厚似砖头的书可以在总书库里找到。它比上面这本要深不少。张
老师说过，以 前学复变的学生用2。做课本，学完后再看3。，然后就可以
开始做研究了。这本书的一个毛病是它喜欢 用自己的一套数学史，所以象
Cauchy- Riemann方程它也给换了个名字，好象是Euler-D'Alembert吧!再说
点西方的:
4。L。Alfors(阿尔福斯) 复分析)
这应该是用英语写的最经典的复分析教材。Al fors是本世纪最重要的
数学家之一(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的人物之一 )，单复
变及相关领域正好是他的专长。他的这本课本从六十年代出第一版开始就
好评如潮，总 书库里面有英文的修订本，理图里面是不是有中译本(好象是
张驰译的)记不清了，建议还是看英文的。 这里需要说明的是，复分析在十
九世纪的三位代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy-- 积分公
式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass--幂级数方法。这三种方法各 有千
秋，一半的课本多少在其中互有取舍。Alfors的书的处理可以说是相当好
的。
5。H。Cartan(亨利。嘉当) 解析函数论引论
这位Bourbaki学派硕果仅存的 第一代人物在二十世纪复分析的发展史
上也占有很重要的地位。他在多复变领域的很多工作是开创性的。 这本课
本内容不是很深，从处理方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作(无论如
何比 那套数学原理好念多了:-))
6。J。B。Conway ，
， II
(GTM=Graduate Mathematics Texts， 是Springer-V erlag的一套丛书，
后面的数字是编号)第一卷也是1。的参考书目之一。作者后来又写了第二卷。当然那里面讲述的内容就比较深一点了。这本书第一卷基本上可以说
是Cauchy+Weie rstrass，对于在1。中占了不少篇幅的Riemann的那套东西
要到第二卷里面才能看到。
7。K。Kodaira(小平邦彦)
这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课时用 的课本。Kodaira
也是一位复分析大师，也是Fields+Wolf。这本书属于不深，但该学 的基
本上都有了的那种类型。总书库或系资料室有。需要注意的是这本书(英
译本)的印刷错误 相对多，250来页的书我曾经列出过100多处毛病。由此
我对此书的英译者F。Beardon极为 不满，因为同样Beardon自己的一本
is我就找不出什么错。偶记得国内的复变教材还有北大庄< br>圻泰的<<复变函数>>，不记得是不是和张南岳合写的。应该是不错的，习
题较多。科大严镇军 也有一本<<复变函数>>也不错。其他的复变书都大同

小异，偶还记得有本钟玉泉的馆 藏考贝最多。人家的课本基本上就是这些
了。下面说说习题
9。G。Polya(波利亚)， G。Szego(舍贵)的数学分析中的问题和定理

第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的 习题，第二卷的大部分也
是，只不过那就有点太过专门了而已。看看这本书的序言就可以多少体会
到单复变的地位了。一般来说，里面的题目都有答案或提示，不过我以为
一般来说还是可以独立做出来 的。
10。解析函数论习题集
实在不好意思，作者(大概是三个苏联人)的名字忘了，这本书 里面的
题目相当多。理图里面有，系资料室有一本英文的。其它的书我认为可以
翻翻的包括
11。张南岳，陈怀惠 复变函数论选讲
这是北大出版的研究生课本，基本上可以说和上面提到 的Conway的
第二卷属于同一水平。从内容上来看，第一章正规族，第二章单连通区
域的共 形映射都是直接可以看的，第五章整函数同样如此。看一点第七
章函数和Riemannzeta函数这 部分内容在6。里面也有)，然后去
看
12。J。-P。Serre(塞尔)数论教程) < br>第二部分的十来页东西就可以理解下述Dirichlet定理的证明了:，b
互素，则{am+ b}里有无穷多个素数也是本世纪杰出的复分析，代数
几何，代数专家。他28岁得Fields奖的记 录至今还没有人能够打破。他写
的书一向以清晰著称。在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下，理图里
面还有
13。庄圻泰，何育瓒等 复变函数论(专题?)选讲
差不多的题目应该有两 本，一本肯定理图里面是有的，比较薄，从
Cauchy积分公式的同伦，同调形式讲起，属提高性质。 另外一本记忆中就
觉得太专门了点。除此之外，讲单复变的还有两本书，不过可能第一遍学
的时 候不是很适合看。图书馆里面都有。
14。W。Rudin
必须承认，Rudin很会写书 ，这本书里面他把对应与我们的复变，实
变，泛函的许多东西都串在一起了。用泛函方法处理复变的基础 是某一个
Riesz表示定理，在复旦的课本里面你要到研究生的泛函课本里(还不一定
教)才 能找到那个命题。所以还是到学泛函的时候再谈吧!

15。L。Hormander
Variables
这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物。他的这本多复 变的课
本也是经典，其工具主要是微分算子的L^2估计。这里有用的是它的第一
章，可以说第 一次看这部分讲单复变的内容一般都会有一种耳目一新的感
觉。讲个细节，就是Cauchy积分公式对 于一般可微函数的推广叫
Cauchy-Pompeiu公式，基本上多复变的课本都会提到而单复变的 书都不讲。
其实只要你看一下它的形式就会知道这个公式的用处是很大的，不妨试试
拿它来算一 些奇异积分。
16。Titchmarch 函数论
这是一本老书，相当有名。书中一半多的 篇幅是讲复变的，看看可以
知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子。除此之外的意义是，程民德先生在他给陈建功先生做的传中写到:三十年代的浙大)陈先生开的复分析
课程几乎包括Titchm arch函数论除实函数外的全部内容。。关于陈先生这
位对今天复旦数学系的地位有至关重要影响的先 驱，等说实变的时候再谈
吧!
17。戈鲁辛 复变函数几何理论
这本书也很老了。但 是这本书的价值并不因时间的推移而改变。作者
也是很好的数学家，夏道行先生当年在苏联做得最好的工 作之一就是解决
了戈鲁辛的两个猜想。总书库里面应该有，标题可能略有出入。最后讲一
本书， 不知道复旦有没有:
17。R。Remmert Analysis， reading in
mathematics)
Remmert是德国的多复变专家，他的这本书一点也不深，其 最大特色
是收集了很多历史资料，把许多概念的来龙去脉交代的异常清楚。12。的
作者J。- P。Serre成为第五位既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家。(前
面四位是L。Alf ors;K。Kodaira;L。Hormander;J。Milnor)
六、组合数学
这门课没读过，不过如果现在的课本还是
1。I。Tomescu 组合学引论
的话 ，倒还是想说两句的。首先，这是本很好的书，不管上不上这门
课都值得一读。其次，这本书的习题不是 很好做的，特别是没有答案(严肃
的说，当你看到许多习题后面都标有人物，年代，就该知道这些结果不 是
那么平凡的了)作为补充，可以考虑

2。I。Tomescu
这 本书有比较详细的提示和解答，里面的题目也非常好，高二的时候
曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍( 当时条件简陋，没法复印的说。。。
sigh)。不过复旦是不是有我不是最清楚。但是我可以肯定的是 ，下面这
本书总书库里面有很多:
3。Lovasz
这是本相当好的习题集，作者 Lovasz是唯一一个得过wolf奖的组合
学家。唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大了点，不 过千万不要被吓
倒!(这里应当声明，已经快五年没好好看过组合书了，所以脑子里面的印
象难 免有所偏差，还望大家原谅)有一些书是讲图论的，其中比较好的书大
概可以算
4。Bondy，Murty
(中译本:图论及其应用，科学出版社，理图里有)这本书内容 翔实，写
得很容易读，而且有许多难度适当的习题，注意这些习题不仅在书后(好象)
有简短的 提示，而且在图书馆里面还有一本
5。图论及其应用习题解答
做得还算不错吧。翻译成中文的书里面，还有上海科技出版的
6。Harary(哈拉里) 图论)
这本书里面的习题基本上都是从人家的论文里面直接找来的，所以有
相当难度，虽说那 里给出了非常详细的文献来源，但是有些还是很不好找
的。这本书其实已经有点专著的味道了。讲到图论 ，还有象
7。B。Bollobas
这本书世界图书刚刚重印，市面上应该还能见到不少。 Bollobas现在
是在剑桥吧，国际数学家大会上也是做过45分钟报告的。
(作为参照，改革开放以来，从大陆出去做过45分钟报告的好象才两
个人-- 在国外工作的加上去也不到十个吧)
8。G。Chartrand，L。Lesniak
是本好书，浅显易懂。此外还有
9。C。Berger
是这里的框架性著作，至少 在外国教材中心里面有一本。还有一些不
讲或不专讲图论的组合书，中文的有
10。李乔 组 合数学基础
我们的这位校友(华宣积老师的同学)文革期间在中科大吃过很多苦
头，现在在上海 交大。他这本书写得很不错，不过一个小小的遗憾，就是
这书的书脊上印的是组合数学础基。

11。I。Anderson
12。Bollobas
这两本书国内影印过，所以我想总书库里面会有。理图里面还能找到
一本薄得要死的名著
13。Ryser(赖瑟) 组合数学
这里面记得有一些讲组合设计的章节还是很简单明了的。至于象
14。魏万迪 组合 论
这书感觉好象篇幅太大了点，而且你很快就会发现其实这书很不好看。
着重算法的书很多就是 计算机类的了，比如
15。朱洪等 算法设计和分析
16。卢开澄 组合数学--算法与分析
印象中该书第一版是上下两册，第二版就只剩下一半篇幅了，没有很
仔细得比较过前后两版，所 以也说不出究竟变了点什么。组合数学有不少
书是可以看着玩的，比如外国教材中心里面有一本书好象叫 theory
from Euler to Konig等于就是说讲现代图论的史前史)，等等。如 果要求不
是很高，那么下面的书可能可以算篇幅不大，内容不深，但多少也讲了些
东西的:
17。I。Anderson
18。C。Berger 组合学原理上海科技)
19。C。L。Liu(刘炯朗，现新竹清华大学校长) 组合学引论
这书是魏万迪翻的，就是 印刷质量差了点。其它都还好，在北美的评
价也不错。此外，最近刚刚看到出了一本
20。Lovasz，etal。(ed。)
厚厚的两大本，里面有很多人的文章，算得上是包罗万象了。组合里
面还有一个非常有名的东西 --四色定理，关于它就是是不是被证明了争论
了很多年，当真是仁者见仁，智者见智。当年的两位主角 Appel和Haken
写过本书，就叫
21。Appel，Haken
如果你觉得这书块头太大，可以先翻翻他们在
22。Steen(ed。)
(中译 本:今日数学，上海科技)里面的一篇通俗的文章，写得非常的好。
最后补充canetti指出的

23。ReinhardDiestel
这本书里面讲到了概率方法，这个感 觉是一个很有希望的方向，有很
多人在做，包括98年得Fields奖的T。Gower(这位是靠B anach空间理论
得奖的，但是他的组合功夫本来就很深，现在好象干脆就转向组合了)
七、抽象代数
抽象代数，有的地方管这叫近世代数，反正近不近各人自己看着办
吧! 从历史上说，可以认为严肃的讨论是从伽罗华开始的，他在决斗前夜写
下的那封著名的信件(里面有你可 以公开向Jacobi或者Gauss提出请求，
不是就这些结果的正确性，而是重要性，给出意见。。 。。，现藏法国国
家图书馆)。在后来的发展过程中，代数结构话的语言逐步渗透到数学的各
个 角落。到今天这已经是一门无处不在的分支了。不止一个老师教导过我
们:在复旦，你们受到的分析训练 将是很多的(充不充分要看各人的要求了)，
但是代数。。。恐怕你们自己还要多下点功夫。现行教材是 我的本家写的，
总的说来作为初学还很可以一读，原因将在下面说明。北大的课本是
1。丁石孙，聂灵沼 代数学引论
这本书的特点和北大的那本高等代数一样，就是没什么自己的 特色，
原因是这本书从体例到习题在很大程度上参考了
2。N。Jacobson ，II< br>这书在总书库里面有不少，理图里面也有前面几章的中译本，应该是
叫基础代数学吧，不过翻译质 量一般。Jacobson在代数领域也属于权威，
是华先生同时代的人。这本书从观点上说是相当现代 化的，比同作者的那
本
3。N。Jacobson 。30，31，32)
(中译本:抽象代数学，共三卷，理图里有)
要改进不少。有兴趣的话不妨那我的本家先生的 书和2。去比较一下。
从习题的角度上说，可以看
4。徐诚浩 抽象代数--方法导引
这本书可以说比较适合在复旦学这门课。可以罗列的参考书还有很多，
综合性的课本有名气很大的
5。S。Lang
Lang写书以清晰著称，他的这本书还得过AMS发的Steel优秀图书奖。
6。莫宗坚 代数学(上，下)
北大数学丛书里面的一本，没有很仔细地看过，但是感觉不错。北大
的一些同 学对此书推崇倍至，认为比1。写得好。

7。熊全淹 近世代数
这本书的好坏 不敢评论，不过这本书有个很大的特点，就是作者收集
了很多小文章，比如许多American Mathematical Monthly上的短文。依他
开列的参考文献到系资料室去找，可以看到 很多有趣的东西。其它的就是
比较专门的东西了。比如群论就有影响过无数学者的
6。库洛什 群论
注意这本书第二版和第三版中译本的封面一模一样。或者段学复先生
的导师Robinso n写的
7。Robinson
再有象(群，代数)表示论，环论，模论等等，都有专著，不 过我是一
窍不通的了。还望这里的高手多多指点。对于Galois理论，有一本
8。E。Artin 伽罗华理论
非常薄，讲得很精彩，绝对是本传世佳作。还有
9。Edwards
这本书很有趣，它是循着Galois的原始想法写的，因此和一般通行 的
教本里面的讲法不是很一样。
八、实变函数
这是数学系的学生学到的第一门完全 属于二十世纪的课程。这门课程
的重要性是不言而谕的。对于这门课程在中国的发展，许多和复旦有密切
关系的前辈都做出过重要贡献。在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是陈
建功先生(1893- 1971)。作为中国现代数学的先驱者，他在1914-1929年间
三赴日本学习现代数学，是在日 本获得理学博士学位的第一个外国学者。
此后他回到浙大，和31年回国的苏先生一起为中国现代数学的 发展做出了
极其重要的贡献。即便是在抗战最困难的时期，他们也没有放弃学术研究。
李约瑟当 时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford和Cambridge，陈先生在
浙大的大弟子程民德先生 说到这一光辉的称号，可以说是用难以数计的微
弱的桐油灯光所照亮的。程先生为陈建功先生在
1。中国现代数学家传第二卷)
里面做了一篇传记，不可不读。
陈先生在浙大担负着极重的教学任务，在五十年代
他把历年使用的讲义遍成书出版，这就是
2。陈建功 实函数论
今天看来，这里面的内容是相当古典的，但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的。陈先生门下弟子无数，早期(20年代)的学生包括中国现
代数学的另两位重要人 物王福春先生和曾炯之先生。后来从浙大到复旦，

我们可以列出一串长长的名单:程民德 ，叶彦谦，秦元勋，张鸣镛，夏道行，
龚升，李训经。。。前校长杨福家先生在某次会上说过复旦人不会 忘记，
五十年代，复旦造了两幢小楼，一幢是给陈建功先生的，一幢是给苏步青
先生的，正是他 们使复旦的数学变了样。。。。那两幢房子现在还在第九
宿舍里面。一幢苏先生家人还住着。另外的那幢 在陈先生58年搬去杭州以
后就空着，据说曾有某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过，但不久就因为实在摆不平又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑。今天
在数学系里还能找到陈先 生的一些遗迹，比如那套Gauss全集就是陈先生
出让给浙大图书馆的(见内页题字)现在用的课本是
3。夏道行，严绍宗，吴卓人，舒五昌 实变函数论与泛函分析
第二版，上，下册这是，在我看 来，复旦为中国的数学事业贡献的最
重要的课本。从1978年第一版出版开始，这就是中国最标准的实 变与泛函
课本。受益与此书的学生不可计数。夏先生是陈先生五十年代初的研究生。
当年陈先生 开实分析课的时候夏先生做助教，也是跟班从头听到底(和今天
CS的TA的要求差不多，不是吗?*_ ^)夏先生50年代中期赴苏联进修，师
从I。M。Gelfand。那是泛函分析还处于发展的初期， Gelfand又是这个领
域的泰山北斗。所以夏先生不仅在在苏联的两年间做出了相当好的工作，而且回国后在复旦建立了一个相当强的泛函研究小组。具体可以看
4。杨乐，李忠编 中国数学会 六十年
里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章。六十年代初，夏先生就已经
是现代数学丛书的编 委了，那时候他才30出头一点。今天的中国数学界，
没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年的学术地 位!夏先生做单复变和
概率的功夫也是非常深的。在80年当选学部委员的时候，他的专业就写的
是这三样。我们一章一章来看:
第一章集和直线上的点集这是很美妙的东西，数学系的学生从这里< br>开始严肃地接受关于无限的教育。具体的问题是教师一般都要在这一章上
面花不少时间，部分是因 为这些搞脑子的东西学生以前根本没有接触过。
我想今后可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一 章的内容，象实
数理论和极限论，等价关系，直线上的开，闭集，等等。这样一是可以省
下很多 时间，其次的确你翻翻许多数学分析的书也能看到这些内容。大概
一定要留到这里来讲的包括Zorn引 理，在
5。E。Hewitt，K。Stromberg
里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其等价命题的叙述。那里写到
axiom of choice does not perhaps play a central role in analysis， but
when it is needed， it is needed most urgently。这是很有道理的。这个方
向上扩展出去可以看
6。那汤松 实 变函数论
在下册里面还有关于超限归纳法的描述。这本书是徐瑞云先生翻译的。
据说当年陈建功 先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口。徐先生不幸于文

革中自杀身亡。总书库里面有。 另外，对于很多具体的点集的例子，有许
多书可以参考，比如
7。汪林 实分析中的反例这是本非常非常好的书，在以后的几章里面我们也都要引用这本书。
作者是程民德先生的弟子。要记 住的是，这不仅仅是一本讲例子的书!理图
里有。和一些习题集和解答，比如
8。实变函数论习题解答
这是那汤松的书的习题解答。质量一般，不过好歹是本习题解答吧。
9。实变函数论的定理与习题
记不清是谁写的了，应该是某个苏联人。里面有详细的解答，质量 相
当高。
第二章测度，这是这本书上册的核心。测度在这里的讲法，从环上
的测度讲 到测度的扩展，基本上属于
10。P。R。Halmos
(中译本:测度论)的框架里面。 这本书实在不敢评论，自己看吧!这本书
里面还有一些精选的习题，有胆子和时间的话值得一做。集环的 理论，一
本相当有趣的书可以看看，就是
11。J。Oxtoby Measure and Category(GTM2)
这里的不是指代数里面的范畴，而是集合的纲，讲了很多
有趣的东西。现在可以来谈谈
12。周民强 实变函数第二版)
这本书写得不错，总的说来最大的好处恐怕就是习题很多，而且都是
能做的习题--复旦的课本 里面的习题初学好象是难了点，特别是在没有答
案的情况下还有一本很好的书，可惜至今只打过几个照面 ，但是可以肯定
的是绝对是好书:
13。程民德，邓东皋 实分析
我见过这书里面的一个测度的题目:
$$m^*(E_1capE_2)+m^*(E1 cupE_2)leqm^*(E_1)+m^*(E_2)$$，
还是很有趣的，还难住过我们的一个 老师哦!此外，上一章里面的参考
书都可以搬过来。需要注意的一点是，有些书是纯讲Lebesgue 积分的，比
如6。12。等，有些细节上注意一下L与L-S的差别还是有用的。
第三章 这就是真正的实分析了。这里面应该说
每一节都是重要的。在全面引用上两章的参考书的同时，还可以考虑
下面的:

14。I。E。Segal，R。A。Kunze 和
15。A。N。Kolmogorov，S。V。Fomin 函数论与泛函分析初步
这些作者 应该说都是相当好的数学家了。比较遗憾的是一般由于课时
安排等种种原因，最后三节都不能好好讲。其 实这些都是很有趣的东西。
广义测度和R- N定理更是非掌握不可的。最后问个小问题:(R)是R上
全体可积函数全体构成的空间这句话对吗?
第四章 从这里开始算泛函分析的课了。不过这一章是不是一定要以这
样的篇幅在这里讲值得讨 论。其实很多度量空间的概念在数学分析课里面
就可以解决掉，在这里应该只要强调有限维和无限维的差 别就可以了。上
面的许多参考书在这里一样可以用，还应该加上的是:
16。夏道行，严绍宗，舒五昌，童裕孙 泛函分析第二教程
里面就有一些这方面的内容。此外还有象
17。夏道行，严绍宗 实变函数 与泛函分析概要(?)
(上海科技出的那套教材里面的一本，理图里面有)好象就是按照先积
分 再测度的办法讲的。另外用这一体系的书好象还有
18。F。Riesz，B。Sz。-Nagy 泛函分析讲义
nelle)
这也是不错的书。对测度感兴趣的话，还可以看一些动力系统里面讲
遍历理论(ergodic theory)的书，那是真正的测度论。M。Bony)。GTM
里面也有两本是讲拓扑线性空间这个 题目的:
19。汪林 泛函分析中的反例
第十节一般不讲，不过这东西实在是基本，整个泛函 的体系都可以建
立在上面，理图里面有一本
20。夏道行，杨亚立 拓扑线性空间
不过那书基本上是第二作者写的，所以建议有兴趣的化还是看下面几
本
21。N。Bourbaki 。1-5
布尔巴基写书是一章一章出的，这书能一次就包含五 章，实属罕见。
而且估计今后也不会有后续的内容了。在直线(或者更一般的局部紧群上)，
是 有可能先建立积分理论再导出测度的。比如下面将要讲到的

22。H。H。Schaefer Topological Vector Spaces(GTM3) 和
23。J。L。Kelley，I。。Namioka Linear Topological Spaces(GTM36)
16。里面有一章也是讲这东西的。其它许多以泛函分析为标题的书
也是以此为出发点的，比如
24。S。K。Berberian
Theory
Berberian也是很好的数学家，他翻译的Connes的
Ge ometry是一个很好的版本。尽管后来Connes自己出了个内容更多的英
文本。或者
25。W。Rudin
这本书里面也有很多非常有趣的内容。Rudin的书都是很好的。
26。L。V。Kantorovitch，G。P。Akilov
(英文版系资料室有一本 ，中译本在理图有很多)不少人都说Nobel经济
学奖有不少是给数学家的，这话一点不错，不过给计 划经济体制下的数学
家恐怕就Kantorovitch一位了。这是本很清晰简洁的书，中译本的质量 也
很不错。此外还有
27。。J。B。Conway
【在goliath(朱古力)的大作中提到:】
:不好意思，也许是个傻问题，不过偶还是想问问。
:GTM是什么啊？
这问题不 傻，因为在写数学分析，高等代数的时候就提过，所以这里
我就没有重复。GTM=GraduateT extsinMathematics是Springer-Verlag出的
一套数学教材丛书，其中 有很多都是人家已经成名的教材它把版权拿过来
重印的，因此有一些还是经典著作。现在大概出到第20 0号左右，前120
本世界图书出版公司都是影印的(早期是完全盗版，后来开始买版权了)，
后面的只有部分影印。老的那些(120号以前)总书库里面一般都能找到。
第五章 这一章讲述Banach空间上的有界线性算子理论。这一内容的
框架性著作毫无疑问是
28。Dunford，Schwarz
这书在系资料室运气好的话能找到一到两本。注意有 一些结论是可以
把Banach空间减弱为Frechet空间的，不过好象据说实际应用中除了广义< br>函数空间是个Frechet空间以外其它用得并不多。前面列的各中标题是泛函
分析的书这里都 可以用。汪林的书19。里面有许多有趣的例子。不自反的
空间的例子在系资料室可以查到，应该是在某 期Proc。ofNat。Acad。ofSci。
上。再补充一下前面漏掉的一本书:

29。W。Rudin
在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了，这里面可 以看到不少实
分析或者说泛函方法在复变中的应用。这书现在已经有第三版了，老的版
本总书库 里面有很多。
第六章 Hilbert空间由于其上存在一个内积，可以发展的性质比
Ban ach空间要多得多。从空间本身来讲，线性代数学好点对本章前面几节
有很大帮助，学的过程中密切注 视维数无限导致的各种反例就是了。算子
理论其实也一样，脑子里面清楚哪些有限维的性质是可以推广到 无限维的
对整个体系的理解很有用。本科阶段一般也就教半章，这也没有办法，如
果第四章能省 下的点时间的话还是能够讲一些算子谱理论的。这里可以做
的习题非常多，特别是
30。P。R。Halmos A Hilbert Space Problem Book(GTM19)
算得上一本杰作。only way to learn mathematics is to do
mathematics就出自这里。再往下去研究算子 代数的话，就实在是没有底
的东西了陈晓漫)在16。里面有一章讲些基本概念。这一块的文献也是浩< br>如烟海，因为学得太少，不敢妄加评论，只想指出一本书，
31。G。K。Pedersen
这书连A。Connes都说好，我想决不会差到哪里去。再说两句A。
Connes，关于他 的工作，或者说整个算子代数往后来的非交换几何的发展
历史，特别是这一分支从其开始的阶段就和量子 物理的联系，可以看
32。Vaughan Jones(Fields90) and Henri Moscovici of
Noncommutative Geometry by Alain ConnesAMSNotice，v。
44(1997)，No。7
33。A。Lesniewski ， v。
44(1997)， No。7
还有
34。IrvingSegal Book Review， Noncommutative geometry by Alain
Connes AMS Bulletin，v。33(1996)，No。4
因为
35。AlainConnes(Fields82)
可以说是这一块的里程碑式的著作，( 33。中甚至说今后人们会用今天
看Riemann的就职演说的眼光看这本书)所以对于这本书的评论 很多也就
把整个分支都评论进去了，不妨看看。Jones说这书是miles tone for

mathematics。Connes has created a theory that embraces most a spects of
`classical' mathematics and sets us out on along and exciting voyage into the
world of noncommutative mathematics。做为老前辈，Segal的书评里面有
一些批评，也值得注意。
第七章 这一章一般不讲，在本科阶段不讲，在研究生阶段也不讲，实
在奇怪，不是吗?主要问 题是，就事论事地讨论广义函数恐怕不是非常地有
趣，要紧的还是这套框架在偏微分理论中的应用。现在 的状态就是你在复
旦数学系基础专业念四年出来可以还没听说过什么叫Sobolev空间，尽管
大家都承认复旦的偏微是很强的。。。sigh在广义函数的标题下最有名的
应该是
36。I。M。Gelfand等 广义函数， I-V)
大概I-IV都有中译本吧!理图 里面应该是有的，英文本系资料室有。从
泛函的角度，据说是第二本最有意思。另外还有两本好书，不光 是这一块
内容，从整体上讲也是很好的泛函课本
37。K。Yosida(吉田耕作) 他也过两种不同规格的书，一本比较厚，一本比较薄，都很好。其
中有一本的第六版去年世界图书刚 刚影印。
38。H。Brezis
Brezis是我校名誉教授，法国科学院院士，非线性 偏微的权威。他的
这本书很见功力。如果能念法语的话绝对值得一读。在Rudin的书25。里
面也讲了不少广义函数的内容，特别有一章讲Tauberian Theory，很有意思。
这是讲偏微分方程的课的名称。
九、数学物理方程
顾名 思义，就是说这里的方程原则上最早都是从物理里面来的。这个
分支里面的东西丰富之至(当然往反面说 就是有时候会显得结果比较零
散)。
现行课本是
1。谷超豪，李大潜，谭永基(?)，沈纬熙，秦铁虎，是嘉鸿 数学物
理方程上海科技) < br>这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数，弱解等泛函里面的概念)
是相当不错的。注意那些 经典方程的推导里面多少有一些近似的过程，这
其实从某种意义上反应了所对应的微分算子的某些性质的 稳定性。比如，
对于经典的波动方程，3维及以上的奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可< br>以看作经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个证据)，你在其它一
些书(或者说以后)可 以看到，差不多二阶双曲方程里面只有波动方程有这
样的性质--但是别忘了，高维波动方程的推导里面 是有近似的，这说明什
么?一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的，常微的最后教不教我课

不知道，有些东西还是很有趣的，象Cauchy-Kowaleskaya定理，Ekela nd
拿来证明微观经济模型的合理性，然后说他看不出有存在C^infty推理的
可能--数 学经济是怎么回事，可见一斑。你能说社会活动中的数据都是按t
解析的吗???!!!学这门课的那个 学期在忙着各种各样考试(比如T，G等等)，
故此没能够看太多的参考书。北大的课本也没有看过，不 过据一位北大的
师兄说，和复旦的课本相比较，可能北大那边相对更注重一些解的渐进估
计等等 ，而复旦这里对于显式解讲得更多些。注意在图书馆里面可以找到
一本内容相当接近的书
2。谷超豪，李大潜，陈恕行，谭永基(?)，郑宋穆，??? 数学物理方
程人民教育?高等教育?)
这书的题材，难度，例题，习题等等和1。非常接近。 特别指出这本
书的原因是在复旦的课本中据我所见，只有这本是曾经出过一本官方的
习题解答的 ，那是80年代初，油印本。能不能搞到就看各位本事了。那本
解答对于做作业是很有帮助的。比较容易 找到的书里面，
3。陈恕行，秦铁虎 数学物理方程--方法导引
是一本非常好的讲习题的书 。里面的习题如果能够全部做一遍的话，
应付考试是绰绰有余了。还有
8。O。A。Ladyzhenskaya Boudary value Problems of
Mathematical Physics
和5。一样，都很经典。当然你要说它们陈旧我也 没话可说。既然这
课叫数学物理方程，多少和物理沾点边吧，在这个方向上我以为
9。李大潜，秦铁虎 物理学与偏微分方程高教)
还是很不错的，上册已经出版，下册也就要 付印了。该书的起点并不
高，所以应该比较容易看。据说该书的责编(北大毕业的)极为负责，认真到连里面的公式都一个个去推导的地步。从课程设置的角度上说，其实有
一些深度介于本科课程和研 究生的那门偏微基础课之间的书(包括不少经
典)都可以在这段时间里面看看的。比如
10。L。Bers，F。John，M。Scheter，
Bers是个很有趣的人，可以看看
11。L。Steen，ed。 今日数学
里面 的文章。附带说一句，这本书是最好的数学普及读物之一，绝对
值得一看，中译本的质量也不错。
12。F。John
这本书系资料室肯定有。剩下两本应该是比较容易找到的，因为世界图书刚刚印，虽说贵了点。不过还是值得一看的。

13。J。Rauch
14。M。Taylor Differentia lEquationsI
Mathematical Sciences 115)
后面这本 看前一半就可以，后一半也看当然更好:-))，引G。Lebeau的
一句话，这书比
15。L。Hormander ，I
要好念多了。(当然基本上人人都是这么认为的，只不过这位的来头比
较大而已-- 法国科学院通讯院士，46岁)
十、拓扑学
我拓扑学得很差(从总体上说)，因此这里我也 说不出太多东西。大概
也就点集拓扑还算过得去，我以为这一方面我们的现行课本:
1。李元熹，张国(木梁) 拓扑学
的前两章还是不错的。至少该讲的东西都讲了，而且后面罗 列(我想不
出还有什么更好的形容词)了许多习题，做上一遍是很有趣的一项工作。中
文的参考 书里面好象
2。熊金城 点集拓扑讲义
是比较好的。该书也有些名气。不过要好好学，可能还 是看下面的两
本比较经典的书:
3。J。L。Kelley
此书名头很响，55年 出版的时候应该算得上是把这一领域里面的结果
做了个很好的总结。该书是想写成课本的，因此每章后面 都有习题，按A，
B，C，D，。。。编号。只是。。。。真要做起来未免有些困难。听说过
这 样一个故事，就是曾有一位华裔数学家回国讲学的时候于酒席间说他的
老师要他去学拓扑，指明看Kel ley的书，而且要习题全做。结果大家都笑
了，因为大家都明白这目标不是很现实。我个人的经验是， 在那个学期陷
入各类考试的重围中之前，还做了前面两三章的题目。是比较困难，但是
做起来也 非常有趣。再补充一本中文的书，内容和1。差不多

4。尤承业 基础拓扑学是北大的教材。
5。I。M。Singer，J。A。Thorp
and geometry(中译本基础?)几何学与拓扑学讲义，干丹岩译)
这是本极好的教材，应该可以用 深入浅出来形容吧!第一作者Singer
就是和Atiyah一起证指标定理的那位，说是重量级人物 当无疑义。如果你
只想查结果，我觉得可以去找
6。R。Engelking
这书 是七十年代末写的，内容翔实，至少对我来说是有包罗万象的感
觉，当然对做这一块的人就不一定了。按 照萧先生的速度，大概第二章还
是能讲大半的。这里属于代数拓扑的起始部分，
参考书一下子就比前面的多多了。
讲代数拓扑的书，可能
7。Greenberg
属于写得很通俗易懂，配置合理的那一类。还有象GTM里面的
8。W。S。Massay
也是写得很好的书。我能写的大概就这点了，还望大家多多补充。
这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。
拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发 展的数学分支，
现在已与近世代数，近世分析共同成为当代数学理论的三大支柱。如果先
要对该 学科有一个感性的认识的话，建议看
《拓扑学奇趣》巴尔佳斯基 叶弗来莫维契合著
这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定数量的有启发
性的题目。
M。 A。Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。由于该书中
的讨论范围有很多是基于Ha usdorff空间，有些是甚至是在度量空间里讨论
问题的，所以一些定理的证明就变的比较简单易懂 ，例如Urysohn引理。
由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
Spanier's Topologynot be neglected。it is a classic in
this field，though it is not easy to read。
Aleksandrov's torial Topologyy good for beginner。it is
a nauthority in history。but it is too large， it contains 3 volumes。
Bredon'sand Geometryis praisedas the success or
of Spanier's great book。 :7。Greenberg :
属于写得很通俗易懂，:配置合理的那一类。:还有象GTM里面的:8。W。S。
Massay
:也是写得很好的书。:我
能写的大概就这点了，:还望大家多多补充。

十一、微分几何
几何是非常美妙的，通常人们提到几何的时候会把直观两个字 加上去。
这其实是很有道理的，在微分几何中也不例外。具体的说，就是虽然微分
几何往往会使 人感觉被淹没在计算的汪洋大海，但是有一个几何的感觉
是很有帮助的。现在用的课本应当是
1。苏步青，胡和生等微分几何
这书写得不错，至少比北大陈维桓的那本微分几何初步要好多了。
这很大程度上应当感谢本书的主要作者，也就是书上列的第三作者沈纯理
先生，他现在在华师大。应当 承认这本书，特别是第三章，取材受
2。DoCarmo(多卡模) 曲线和曲面的微分几何学
Geometry of Curves and Surfaces这是本绝 对的好书，胡
先生他们把这本书翻译出来实在是功德无量。在总书库里面有一本英文本，
如果怀 疑有什么翻译问题的话可以去对照。
1。第三章里面有个习题是从2。的中译本上搬过来的，不过有题 意不
清之嫌。做的时候要小心。还有一点要注意的是1。里面曲面论基本定理
的证明中有个地方 漏印了两项，具体去问黄宣国老师吧。一般说来，看上
面两本书也就够了，可以考虑的扩充部分包括在2 。的末尾所开列的参考
书目。这是我很少见到的带书评的书目。里面提到的一些经典的著作在数
学系资料室都能找到，比如
3。Eisenhart
谷先生读书的时候就念过这本。还有象
4。Darboux
在系资料室里偏偏缺最常被引用的第二卷。古典微分几何的开山之做
是
5。Gauss
这是拉丁文的(Gauss只有晚年最后的一些东西是用德文写的)，所以虽
然系里有Gauss全集，我也不认为有人能看懂，不过现在我们有下面的
6。P。Dombrowski years after Gauss ''Disquisitiones general
escirca super ficies curvas'
这里面有完全的英文翻译和里面的结果到20世纪70年代末的发展情
况。对于 中文的课本，其实总数就不是太多。有象
7。吴大任 微分几何学(?)
或者五十年代翻译苏 联的课本等等，内容都差不多，而且微分几何的
特点是各人都喜欢用自己的一套符号，许多符号，象曲率 等等，常会有正

负号的差异，所以建议认定一两本，其它简单翻翻即可。所以说想找讲解
详细的书还不如看
8。沈纯理，黄宣国 微分几何经济科学出版社，97)
虽然说这本书是自学考试的教材。那里的习题也是有较详细解答的。
更难一些的习题可以在
9。姜国英，黄宣国 微分几何100例
里面的题目全部做下来的话，应付期末考试绝对是没有 问题的。而且，
如果老师有心考点难题的话，说不定就会有里面的题目。此外还有两本苏
联人的 书
10。A。S。Mishenko，A。T。Fomenko 微分几何与拓扑学教程中
译本，第一册，第二册)
我没有看到过是否有第三册，反正这书是没 有翻全。其处理方法别具
一格。我想这书要不是非常好的话胡先生也不会去翻它。
:9。姜国英，黄宣国 :微分几何100例
:里面的题目全部做下来的话，:应付期末考试绝 对是没有问题的。:而
且，如果老师有心考点难题的话，:说不定就会有里面的题目。呵呵，师兄
真是料事如神啊:此外还有两本苏联人的书
:10。A。S。Mishenko，A。T。Fomenko :微分几何与拓扑学教程中
译本，第一册，第二册)
:我没有看到过是否有第三册，:反正这 书是没有翻全。其处理:方法别
具一格。我想这书要不是:非常好的话胡先生也不会去翻它。这本书确实 不
错，可我没有全部看完：（--忻元龙老师有时候会开一门极小曲面，这里
的特点是甚至可以 不引进流形等概念，出现的最难的工具有时候就是单复
变的一些结果。这门课的参考书大概首推
11。R。Osserman
此书篇幅不大，但内容丰富。其它还有
12。J。C。C。Nitsche
l Surfaces。1)
这书学校里面肯 定有。这里面关于Plateau问题讲得很全，可惜至今我
没见到第二册，而原来的德文版又看不懂( 上面写的是英译本):-(注意到微
分几何有许多东西并不象大家想象的那样古老，比如第三章里面提到 的
Fray-Milnor定理，那J。Milnor还好好活着呢?再比如说等温参数，几乎必
引的文献就是陈省身先生55年的文章。这些文献，系里的资料室里面都是
有的，看原始文献可以让人 逐步体会一样东西在它刚刚出现的时候是个什
么样子，这和经过无数再处理后写进课本的讲法往往是不一 样的。
补充一本：《微分几何》苏步青原著姜国英改写，就是那本黄颜色封
面的，理图里有借。

这本书的原版据说晦涩难懂，但即使改写以后，根据潘老师的讲法，
看起来也比较费 劲。印象比较深的有，书中单独的一节讲了Bertrand曲线，
对于等周问题，该书也给出了好几种 不同的证法。（最近的几期美国数学
月刊里，对于该问题也集中给出了几个比较初等的证明和若干相关命 题）
另外，该书的一个特色是几乎每道练习题都附有最先证明该命题的人名和
时间。使人能够感 受到微分几何发展的脉搏。
《微分几何一百例》确实是一本很好的书，这本书很薄，所以可以在
两三天里面看完。但是建议在看解答的时候最好先自己想一想，因为书中
有些题目的解法并不是最简洁 的。
yjyao师兄猜得很准啊，我们上个学期考试的时候，有一道题目就是来
源于这本书， 当时做出的人不多。
（不过往往是这样，难的题目分值就少，真是%^*@）
十二、微分流形
现在想来讲两句微分流形，我想大概给94开的是第一次，当时是作
为基础专业的选修课的，我是逃了三分之一的抽象代数课去听的(当然，应
该解释为为听这课逃掉了三分 之一的抽象代数课，由于其他原因的还不算
在内*_^)，最后参加考试，因为没选这课，所以就和黄老 师商量，如果没
有A的话就算了，结果就是我这课没有成绩--那课只有今年要去Stanford的哥们拿了个A。说正经的，微分流形可以认为是微分)流形上的微积分
与微分几何初步。在目前教 材尚未确定的情况下，我们只能来看一下具体
的内容了:-((当然我想说还是有本教材的好，这样至少 有个明确的目的，不
然尽管大家都可以直接把笔记拿来当讲义，但总是有点别扭的，我以为)
首先自然是流形的概念，我们自然不能指望从Bourbaki的流形开始
念，一般来说，在任何一本讲 微分几何的书里面都有这一概念的介绍，只
不过详略不同而已。
复旦曾经有相当长的一段时间用
1。W。M。Boothby
Riemannian Geometry
作为微分几何课本，从某种技术性的观点来说这书可能太罗嗦，
讲到流形上的向量场就用了100多页的篇幅，
但是我觉得初学看这书还是很好的，毕竟讲得 相当详细，几乎所有的
东西都是有详细证明的。理图总书库里面有不少。讲到流形总是有两种引
进方法，一是从一开始就讲一个局部和欧氏空间中的开集同胚的Haussdorf
空间。。。。然后再 讲微分结构等等。
中文书里面有
2。陈省身，陈维桓 微分几何初步
很有大师风范 ，只是印刷质量不算太好。(至于陈维桓自己写的那本北
大教材，我比较倾向于引用北大一位师兄的说法 :陈还写过一本微分流形，

给人的感觉是话说了很多，但还是摸不着头脑，例如dx，d y究竟是何意，
所以，还是免了吧)
另外被认为写得比较好的中文书有
3。白正国，沈一兵，水乃翔，郭效英 黎曼几何初步
这书的特点-- 要说就在于没有特点，那实在是太过分点了--我认为还是
在于很细致，既然不用象Boothby那样 在拓扑流形上花时间，进入正题可
以说比较快，而且有不少习题，书末更有一个索引，实在是本好书。有 胃
口的话，还可以看看
4。B。A。Dubrovin， A。T。Fomenko， S。P。Novikov
Geometry methods and Applications的第一，二卷(GTM94，103，
世界图书新印过)。
该书的 作者都是名家，除了对于这门课就事论事来说可能难了点外应
该说不出有什么不好。至少可以看看第二卷 的第一章。二是从欧氏空间中
的子流形开始讲。这样的好处应该说是可以马上看到很多例子，另外毕竟< br>大多数情况下流形只有放在仿射空间或者射影空间里面才有点意思(至少
在开始阶段是这样)，从 这一角度出发写的微分几何课本中有一本
5。Gallot，Hulin，Lafontain to Riemannian
Geometry
是Springer-Verlag的Univer sitext中的一本，应该说写得很好，评价(我
听到的)也很不错。用这种观点(其实用前一种观点 也一样，多元函数的反
函数定理，隐函数定理都是要明白的。J。Milnor曾经写过两本很有意思的
书，里面的讲解都是非常精彩的，
6。J。Milnor Topology from a differential point of view
(中译本:从微分观点看拓扑)
7。J。Milnor Morse Theory
(中译本:莫尔斯理论)
如果 还没给赔光的话理图里面应该都是有一些的。讲到微分形式，自
然可以讲流形上的积分，以及Stoke s公式等等。这里有
8。Spiva Calculus on Manifolds
(中文名字就叫流形上的微积分⒎至餍?
可以一看。有一点，就是大家千 万不要只会用Stokes公式，真给你一
个流形上的体积元去积一下反而不会，这千万要不得。作为练 习，不妨试
试复射影空间CP^n上的Fubini-Study形式积出来是多少?

9。V。I。Arnold
里面关于微分流形，微分形式等等的介绍也很简单明了。还可以一看
的书有
10。R。Narasimhan
(中译本:实流形和复流形上的分析，科学，1986)
陆柱家翻译这书是花了功夫的，连印刷错误都一一纠正。我想至少前
一百页是可以看的。
11。苏竞存 流形的拓扑学
此书块头很大，内容翔实，而且有很多作者加的话，很有意思。有 一
本书，可能不入高手法眼，不过我觉得是很不错的，
12。C。vonWestenholz
(这书有两个中译本，书名都是数学物理中的微分形式，理图里面至少
有一个版本)
这是写给念物理的人看的，因此只有条条框框，很多定理都没有证明。
但是好处在于:条理是清楚的，例 子是丰富的(虽然很多例子没有展开，但是
至少开始阶段该有的基本上都有了)，而且这书里还能给人一 个大概的概
念，这些东西学了都可以干什么用(主要是写了一些在理论物理中的应用)。
对于到 考试前还有点不知所云的人(比如说我那时候)，应该说帮助不小。
至于侯伯元，侯伯宇的那本物理学家 用微分几何，可能是太深了点，非
物理学家不能理解。
以下是北大的一位师兄做的补充
数学分析 欧阳光中，姚允龙
数学分析这本书在外面的口碑不好，错误不少，据说南开的一位 老
师曾笑称此书的作者为“老糊涂”了。
高等代数 9。丘维声
高等代数上，下)
本书的作者为61(?)年的全国高考状元，他自称在教课的那一年写作经
常至夜里二，三点。
单复变函数 11。张南岳，陈怀惠 复变函数论选讲
这本书中的错误不少，据说陈是个很有天 赋的人，但文革中受到很大
打击，以至学风不很扎实。
微分几何
陈维桓微分几何初 步
这本书确实写得不很清楚，陈还写过一本微分流形，给人的感觉是话
说了很多，但还是摸不着 头脑，例如dx，dy究竟是何意
十三、大学自学丛书
现代数学的一大特色即是已经完全建 立了一套自己的表达方式。没有
一个学科象数学这样创造了这么多的概念。现代数学的传播的一大困难也

在与此，要向一个非本行(哪怕是数学里另外一个分支的专家)解释清楚一
个概 念恐怕也要费上半天口舌。但在另外一方面数学是如此有用，而且数
学的抽象性使得一个数学观点往往可 以表征其它学科的许多看似毫无关系
的对象。所以现代数学还是挺值得一学的。自学不是一件容易的事情 ，特
别是自学数学。从动机上说，如果是想系统学一下大学数学系的课程的话。
我的建议还是跟 班听课，这比自己找书看要省力的多。在可以考虑的书籍
方面，以前上海科技出版社出过一套
1。大学数学自学丛书
应当说编得是不错的。至于具体该怎么学，这里我不敢多说，建议参
考
2。赵慈庚，朱鼎勋 大学数学自学指南
赵先生是上面那套书的主编，这本书基本上以上面那套 书为蓝本，也
给出了一些参考书。关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明。好
象是高等 教育出的。