希腊许愿池-二级建筑师报考条件

高三数学书本知识整理（代数部分）
一、集合与简易逻辑
1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性.
2.对集合
A、B
，AB
时，你是否注意到“极端”情况：
A
或
B
；求 集合的子集时是否注
意到

是任何集合的子集、

是任何非空集合的 真子集.
21，
3.对于含有
n
个元素的有限集合
M
， 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为
2，

n
2
n
1，

22.

nn
4.“交的补等于补的并，即
C
U
(A
；“并的补等于补的交，即
C
U
(AB)C
U
AC
U
B

B)C
U
AC
U
B
”
5.集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。
注意：区分集合中元素的形式：如：
A{x |yx
2
2x1}
；
B{y|yx
2
2x1 }
；
C{(x,y)|yx
2
2x1}
D{x|xx< br>2
2x1}
；
E{(x,y)|yx
2
2x1, xZ,yZ}
；
y
F{(x,y)|yx
2
2x1}
；
G{z|yx
2
2x1,z}

x
6 .符号“
,
”是表示元素与集合之间关系的，符号“
,
”是表示集合 与集合之间关系的。
7.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价
命题 ，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假； < br>8.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若
AB
，则A是B
的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法： 即利用等价关系
ABBA
判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运 用等价法；
9.反证法：当证明“若
p
，则
q
”感到困难时，改证 它的等价命题“若
q
则
p
”成立，
步骤：1、假设结论反面成立；
2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；
3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；
2、导出与假设相矛盾的命题；
3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
10.书本重要习题：
习题1.3 7，8 习题1.5 7 习题1.7 2，3，4
复习参考题一 (A)11, 12, 13 (B)1, 2, 3, 6
- 1 -

二、函 数
1.指数式、对数式，
aa
，
a
m
n
n
m

m
n
logN
，
a
a
N


1
m
a
n
a
b
Nlog
a
Nb(a0,a1,N0)
，.
a
0
1
，log
a
10
，
log
a
a1
，
lg2lg51
，
log
e
xlnx
，
loga
b
log
c
b
，.
logb
n

n
logb
.
a
a
m
m
log
c
a
2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合
A
中的元素必有像，但第二个集合
B
中
的元素不一定有原像（
A
中元 素的像有且仅有下一个，但
B
中元素的原像可能没有，也可任意个）；
函数是“非空数 集上的映射”，其中“值域是映射中像集
B
的子集”.
(2)函数图像与
x
轴垂线至多一个公共点，但与
y
轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.
(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.
(4)原 函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三
步：逆 解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.
注意：①
f(a)bf
1
(b)a
，
f[f
1
(x)]x
，f
1
[f(x)]x
，但
f[f
1
(x)]f
1
[f(x)]
.
②函数
yf(x1)
的反函数是
yf
1
(x)1
，而不是
yf
1
(x 1)
.
（5）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：
（6）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
f(x)ax
2
bxc,x(m,n)
的形式；
②逆求法 （反求法）：通过反解，用
y
来表示
x
，再由
x
的取值范围 ，通过解不等式，得出
y
的取值
范围；常用来解，型如：
y
ax b
,x(m,n)
；
cxd
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式 法：转化成型如：
yx
k
(k0)
，利用平均值不等式公式来求值域；
x
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
3.单调性和奇偶性
- 2 -

判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f (-x)=0或
f(x)
1
（f(x)≠0）;
f(x)
( 1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上
若有单调性，则其单调性恰恰相反. 单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，
那么其反函数一定还是奇函数.
注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用
方法有：定义法、图像法等等.
对于偶函数而言有：
f(x)f(x)f(|x|)
.
（2）若奇函 数定义域中有0，则必有
f(0)0
.即
0f(x)
的定义域时，
f(0)0
是
f(x)
为奇函数的
必要非充分条件.
（3）确 定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选
择、填空题 中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.
（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.
(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”. < br>(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有
f(x) 0(x{0})

有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（
f(x)0
，定 义域是关于原点对称的任意一个数集）.
(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
复合函数要考虑定义域的变化。（即复合有意义）
（8）导数与函数的单调性的关系
㈠
f

(x)0
与
f(x)
为增函数的关系.
f

(x)0
能推出
f(x)
为增函数，但反之不一定。 如函数
f(x)x
3
在
(,)
上单调递增，但
f

(x)0
，∴
f

(x)0
是
f( x)
为增函数的充分不必要条件。
㈡
f

(x)0
时，
f

(x)0
与
f(x)
为增函数的关系。
若 将
f

(x)0
的根作为分界点，因为规定
f

(x)0
，即抠去了分界点，此时
f(x)
为增函数，就一
定有
f

(x)0
。∴当
f

(x)0
时，
f

(x)0
是
f(x)
为增函数的充分必要条件。
㈢
f

(x)0
与
f(x)
为增函数的关系。
f(x)
为增函数，一定可以推出
f

(x)0
，但反之 不一定，因为
f

(x)0
，即为
f

(x) 0
或
- 3 -

f

(x)0。当函数在某个区间内恒有
f

(x)0
，则
f(x)
为常数，函数不具有单调性。∴
f

(x)0
是
f(x)
为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一 定要把握好以上三个关系，用
导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律 用开区间作为单调区间，避免
讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题， 要谨慎处理。
㈣单调区间的求解过程，已知
yf(x)

（1）分析
yf(x)
的定义域;
（2）求导数
y

f

(x)

（3）解不等式
f

(x)0
，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式
f

(x)0
，解集在定义域内的部分为减区间。
我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数
yf(x)
在某个区间内可导。
㈤求极值、求最值。
注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小
值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。f(x
0< br>)＝0不能得到当x=x
0
时，函数有极值。但是，当x=x
0
时，< br>函数有极值

f(x
0
)＝0判断极值，还需结合函数的单调性说明


4.对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）
(1)函数
yf

x

与函数
yf

x
< br>的图像关于直线
x0
（
y
轴）对称.
推广一：如果函数< br>yf

x

对于一切
xR
，都有
f
ax

f

bx

成立，那么
yf

x

的图像关
于直线
x
ab
(ax)(bx)
（由“
x
和的一半
x
确定”）对称.
2
2
ba
（由
axbx
确定）对称.
2
推广二：函数
yf

ax

，
yf

bx

的图像关于直线
x
(2)函数
yf

x

与函数
yf

x

的图像关于 直线
y0
（
x
轴）对称.
推广：函数
yf

x

与函数
yAf

x

的图像关于 直线
y
A
对称（由“
y
和的一半
2
y
[f(x)][Af(x)]
确定”）.
2
(3)函数
yf

x

与函数
yf

x

的图像关 于坐标原点中心对称.
推广：函数
yf

x

与函数< br>ymf

nx

的图像关于点
(
n
,
m
)
中心对称.
22
- 4 -

< br>(4)函数
yf

x

与函数
yf
1

x

的图像关于直线
yx
对称.
推广：曲线
f(x,y)0
关于直线
yxb
的对称曲线是
f(yb,x b)0
；
曲线
f(x,y)0
关于直线
yxb
的对称曲线是
f(yb,xb)0
.
(5)曲线
f(x,y) 0
绕原点逆时针旋转
90
，所得曲线是
f(y,x)0
（逆时 针横变再交换）.
特别：
yf(x)
绕原点逆时针旋转
90
，得
xf(y)
，若
yf(x)
有反函数
yf
1(x)
，则得
yf
1
(x)
.
曲线
f (x,y)0
绕原点顺时针旋转
90
，所得曲线是
f(y,x)0（顺时针纵变再交换）.
特别：
yf(x)
绕原点顺时针旋转
90< br>，得
xf(y)
，若
yf(x)
有反函数
yf
1
(x)
，则得
yf
1
(x)
.
(6)类比“三角函数图像”得：
(ab)
，则
yf(x)
必 是周期函数，且一周期为若
yf(x)
图像有两条对称轴
xa,xb
T 2|ab|
.
若
yf(x)
图像有两个对称中心
A(a,0 ),B(b,0)(ab)
，则
yf(x)
是周期函数，且一周期为
T 2|ab|
.
如果函数
yf(x)
的图像有下一个对称中心
A (a,0)
和一条对称轴
xb(ab)
，则函数
yf(x)
必 是
周期函数，且一周期为
T4|ab|
.
如果
yf(x)< br>是R上的周期函数，且一个周期为
T
，那么
f(xnT)f(x)(nZ )
.
若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数；
若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数； < br>若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2
ab
的周 期函数；
若y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期 为2
ab
的周期函数；
特别：若
f(xa)f(x)(a0)< br>恒成立，则
T2a
.
若
f(xa)
11
(a 0)
恒成立，则
T2a
.若
f(xa)(a0)
恒成立 ，则
T2a
.
f(x)f(x)
如果
yf(x)
是周 期函数，那么
yf(x)
的定义域“无界”.
- 5 -

5.图像变换
(1)函数图像的平移和伸缩变换应注意哪些问题？
函数
yf(x)
的图像按向量
a(k,h)
平移后，得函数yhf(xk)
的图像.
(2)函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.
(3)图像变 换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对
数函数、指数函 数、三角函数、“鱼钩函数
yx
k
互转化.
（4）掌握函数
y
函数
x

k0

”及函数
yx
k

k0

等）相
x
axbbacc
a(bac0);yx(c0)
的图象和性质；
xcxcx
axbbaca
yayx(a0
）
xcxcx
(b – ac≠0)
定义域

(,c)(c,)

值域
奇偶性

非奇非偶函数

单

调

性


图


象

注意：
①形如
yaxbxc
的函数，不一定是二次函数.
- 6 -
2
(,0)(0,)

(,a)(a,)

(,2a][2a,)


奇函数
在
(,a],[a,)
上单调递
增；
在
[a,0),(0,a]
上单调递增；
当b-ac>0时:
分别在
(,c),(c,)
上单调递减；
当b-ac<0时:
分别在
(,c),(c,)
上单调递增；


Y=a
y

y
o
X=-c
o
X
x

②应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系.
③形如
y
axb
(c0,adbc)
的图像是等轴 双曲线，双曲线两渐近线分别直线
x
d
(由分母
cxd
c为零确定)、直线
y
a
(由分子、分母中
x
的系数确定)，双 曲线的中心是点
(
d
,
a
)
.
ccc
④处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：
一看开 口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
⑤恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2 ）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)
求解；
⑥依据单调性，利用一次函数在区间 上的保号性可解决求一类参数的范围问题：

f(a)0

f(a)0< br>f(u)g(x)uh(x)0(或0）(aub)

(或
< br>)
；

f(b)0

f(b)0
6.补充内容：
抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①
f(x
1< br>x
2
)f(x
1
)f(x
2
)
正比例函数
f(x)kx(k0)

②
f(x
1
 x
2
)f(x
1
)f(x
2
)
；
f( x
1
x
2
)f(x
1
)f(x
2
)



f(x)a
x
(a0,a1)
③
f(x
1
x
2
)f(x
1
)f(x< br>2
)
；
f(
x
1
)f(x
1
) f(x
2
)


f(x)log
a
x(a0,a1)

x
2
④
f(x
1
)f(x
2
)2f(
7.书本重 要习题：
习题2.1 6 习题2.2 6 习题2.3 5，6 习题2.4 4，5
习题2.5 2，6，7 习题2.7 3 习题2.8 4
§2.9例1 ，例3 本节练习题2（你能利用此题改编出一道最值问题的应用题吗？）
本章小节与复习的参考例题1，2，3
复习参考题二 （A）3，12， （B） 2, 3, 5








- 7 -
x
1
x
2
xx
2
)f(
1
)

f(x)cosx

22

三、数 列
1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前
n
项和公式的关系：
a
n


S
1,(n1)
(必要时请分类讨论).
S
n
S
n1
,(n2)
注意：
a
n
(a
n
a
n1< br>)(a
n1
a
n2
)(a
2
a
1
)a
1
；
a
n

a
n
a
n1

a
n1
a
n2

a
2
a
1
.
a
1
2.等差数列
{a
n
}
中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性.
（2）
a
n
a
1
(n1)d
a
m
(nm)d
；
pq mna
p
a
q
a
m
a
n
.
(3)
{a
n
1
(k1)m
}
、
{k a
n
}
也成等差数列.
(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.
(5)
a
1
a
2

（6）
S
n

a
m< br>,a
k
a
k1
a
km1
,
仍成 等差数列.
n(a
1
a
n
)n(n1)dd
d
，
S
n
n
2
(a
1
)n
， ，< br>S
n
na
1

2222
a
n
< br>(7)
S
2n1
Aa
，
n
f(n)
n
f(2n1)
.
b
n
2n1
B
n
a
p
q,a
q
p(pq)a
pq
0
；
S
p
q,S
q
p(pq)S
pq
( pq)
；
S
mn
S
m
S
n
mn d
.
(8)“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和；
(9) 对等差数列｛a
n
｝,当项数为2n时，S
偶
—S
奇
＝nd ；项数为2n－1时，S
奇
－S
偶
＝a
中
（n∈N*）；
（10）两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解 .
(11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法(也就 是说数列
是等差数列的充要条件主要有这五种形式).
3.等比数列
{a
n
}
中：
（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.
（2）
a
n
a
1
q
n1
a
m
q
nm
；
pqmnb
p
b
qb
m
b
n
.
(3)
{|a
n
|}
、
{a
n
1
(k1)m
}
、
{k a
n
}
成等比数列；
{a
n
}、{b
n
}
成等比数列
{a
n
b
n
}
成等比数列.
(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.
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(5)
a
1
a
2
a
m
,a
k
a
k1
a
km1
,
成等比数列.

na
1
(q1)

na
1
(q1)

（6）
S
n


.

a
1
n
a
1

a
1
a< br>n
qa
1
(1q
n
)

1q

1q
(q1)


1q
q
1q
(q1)


特别：
a
n
b
n
( ab)(a
n1
a
n2
ba
n3
b
2

(7)
S
mn
S
m
q
m
S
n
S
n
q
n
S
m
.
( 8)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若
总 项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项
和”＝“首 项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.
（9）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数
a ,b
同号时，实数
a,b
存在等比中项.对同号两实数
a,b
的等< br>比中项不仅存在，而且有一对
Gab
.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号 时)，如果
有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转 化求解.
(10)判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法(也就是 说数列是等比
数列的充要条件主要有这四种形式).
4.等差数列与等比数列的联系
(1)如果数列
{a
n
}
成等差数列，那么数列
{A
n< br>}
(
A
n
总有意义)必成等比数列.
(2)如果数列
{a
n
}
成等比数列，那么数列
{log
a
|a
n
|}(a0,a1)
必成等差数列.
(3)如果数列
{a
n
}
既成等差数列又成等比数列，那么数列
{a
n
}
是非零常 数数列；但数列
{a
n
}
是常数数列
仅是数列既成等差数列又成等比 数列的必要非充分条件.
(4)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是 等差数列，且新等差数列的
公差是原两等差数列公差的最小公倍数.
如果一个等差数列与一个 等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”
进行研讨，且以其等比数列的项 为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列.
注意：(1)公共项仅是公共的项， 其项数不一定相同，即研究
a
n
b
m
.但也有少数问题中研究a
n
b
n
，
这时既要求项相同，也要求项数相同.
(2)三(四)个数成等差(比)的中项转化和通项转化法.
5.数列求和的常用方法：
（1）公式法：
①等差数列求和公式（三种形式），
②等比数列求和公式（三种形式），
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a
a
ab
n2
b
n1
)
.

③
123n
1
n(n1)
，
1
2
2
2
3
2

2
n2

1
n(n1)(2n1)
，
6
135 (2n1)n
2
，
135(2n1)(n1)
2
.
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起， 再
运用公式法求和.
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有 其共性或数列的通项与组合
数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差 数列前
n
和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数 列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么
常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列 的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新
等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是 等比数列前
n
和公式的推导方法之一）.
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分 裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选
用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
11

1

1
， ②

1
(
1

1
)
，
n(n1)nn1n(nk)knnk
11111
()
， ③< br>2

2
kk12k1k1
①
1111111
 
2

，
kk1(k1)kk(k1)kk1k
④
⑤
1111
[]
，
n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
n11
,
 
(n1)!n!(n1)!
⑥
2(n1n)
1
2(n n1)
,
n
m1mmmmm1
⑦
a
n
 S
n
S
n1
(n2)
，⑧
C
n
.
C
n
C
n1
C
n
C
n1C
n
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.
（6）通项转换法。
若一阶线性递归数列a
n
=ka
n－1
+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形
式:
a
n
< br>b
k(a
n1

b
)
(n≥2)，于是可依据等 比数列的定义求出其通项公式；
k1k1
6.分期付款型应用问题
(1)重视将这类应用题与等差数列或等比数列相联系.
(2)若应用问题像“森林木材问题”那样，既增长又砍伐，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
(3)“分期付款”、“森林木材”等问题的解决过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”作为相< br>应的“指数”.
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7.书本重要习题：
习题3.1 4（要注意，这题可改造成综合题）
习题3.3 10（若改成G.P又会有什么结论呢？）
本章阅读材料
习题3.4 11
本章小节与复习的参考例题2
复习参考题三 (A) 14,15 (B) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8



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